Equations dierentielles

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1 Equations dierentielles Université Mohammed I Faculté des Sciences Département de Mathématiques Oujda.

2 Plan 1 Introduction 2 3

3 Résponsable du cours : Pr. NAJIB TSOULI.

4 1 Introduction 2 3

5 Introduction Une équation diérentielle (ED) d'ordre n est une équation faisant intervenir une fonction y ainsi que ses dérivées y (k) jusqu'à l'ordre n. Par exemple : y = 2y et y = 1 2 x 2 y 5x, où y est une fonction à pour variable x.

6 Introduction Denition. L'équation diérentielle d'ordre n s'écrit sous la forme : F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (E) où F est une fonction de (n+2) variables. Une solution à une telle équation diérentielle sur l'intervalle I R est une fonction y de classe C n (I ) à valeur dans R telle que x I : F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0

7 1 Introduction 2 3

8 Denition Ondit qu'une équation diérentielle est du premier ordre si n = 1 dans l'équation (E).

9 Plan 1 Introduction 2 3

10 Denition Une équation diérentielle du premier ordre est dite à variables séparées si elle peut s'écrire sous la forme : f (y)y = g(x)(evs) Proposition Une solution de (EVS) vérie la formule suivante F (y) = G(x) + c te où F (resp. G) est une primitive de f (resp. g). Remarque

11 Plan 1 Introduction 2 3

12 Denition Une équation diérentielle linéaire du premier ordre est une équation du type : a(x)y + b(x)y = c(x)(e) où a,b,c sont des fonctions continues sur un intervalle I R, et que a(x) 0 x I. l'équation homogène associée à (E), notée (E h ), est l'équation sans second membre suivante : a(x)y + b(x)y = 0(E h ) Remarque

13 Proposition (Résolution de (E h )) On considère a(x)y + b(x)y = 0(E h ) 1 les solutions de cette équation sur I où a(x) 0, forment un espace vectoriel de dim un dont une base est B = {exp G(x)} où G(x) = b(x) a(x) dx. 2 si l'on suppose que y(x 0 ) = y 0 alors cette solution est unique. 3 si y(x 0 ) = 0 alors y=0 sur I (solution trivial).

14 Proposition (Résolution de (E)) Soit y p une. 1 si y h est une solution de (E h ) alors y p + y h est une solution de (E). 2 Inversement, si y est une solution de (E) alors y y p est une solution de (E h ).

15 Remarque 1 Pour chercher une soultion de (E), on peut appliquer la méthode de la variation de la constante, en cherchant une solution de la forme y(x) = K(x) exp G(x) où y h (x) = exp G(x) est une solution de (E h ) et K (x) = c(x) a(x) exp G(x). 2 Equation diérentielle à coecient constants : ay + by = c(x) (E) On peut trouver une sans passer par le procédé de la variation de la constante.

16 Plan 1 Introduction 2 3

17 Denition Ce sont des équations diérentielles du premier ordre de la forme y = a(x)y + b(x)y α (E) (α R) Remarque 1 si α = 0 ou α = 1, on se trouve en présence d'une équation linéaire. 2 α 0, α 1 et y 0, on se ramène à une équation diérentielle linéaire du première ordre. 3 y = 0 est en fait une solution si α > 0.

18 Plan 1 Introduction 2 3

19 Denition Ce sont des équation diérentielle du premier ordre de la forme y = a(x)y 2 + b(x)y + c(x)(e) Remarque 1 si a(x) = 0, l'equation (E) est linéaire. 2 si a(x) 0 ; il est nécessaire de trouver une solution particulière. Posons alors y(x) = y p (x) + z(x)

20 où z(x) est une fonction inconnue à déterminer z (x) = a(x)z 2 (x) + [2a(x)y p (x) + b(x)]z(x). Ainsi on se ramène à une équation de Bernoulli.

21 1 Introduction 2 3

22 Denition On appelle équation diérentielle du second ordre à coecients constants toute équation de type : ay + by + cy = d(x)(e) où a,b,c sont des constantes réelles avec a 0.

23 Plan 1 Introduction 2 3

24 Denition On appelle équation homogène ( ou équation sans second membre) associée à (E) l'equation ay + by + cy = 0(E h ) et l'équation ar 2 + br + c = 0 l'equation caractéristique associée à (E h ).

25 Proposition Soit ay + by + cy = 0(E h ) une équation diérentielle linéaire du second ordre à coecients constants, et soit l'équation ar 2 + br + c = 0( ) l'equation caractéristique associée à (E h ). On note = b 2 4ac le discriminant de (*). 1 si 0 alors y = A exp (r 1 x) + B exp (r 2 x) est une solution de (E h ) pour tout A,B R, où r 1 et r 2 sont les racines distinctes de (*). 2 si = 0 alors y = A exp (rx) + Bx exp (rx) est une solution de (E h ) pour tout A,B R, où r est la racine double de (*).

26 Plan 1 Introduction 2 3

27 Proposition Soit ay + by + cy = d(x)(e) une équation diérentielle linéaire du second ordre à coecients constants, et soit y p une. 1 si y h est une solution de (E h ) alors y p + y h est solution de (E). 2 si y est une solution de (E) alors y y p est une solution de (E h ).

28 Plan 1 Introduction 2 3

29 On va étudier trois cas. 1 er cas : Si d(x) = P(x) exp λx, où P est un pôlynome et λ est une constante réelle ou complexe. On cherche une solution y p = Q(x) exp λx.

30 Proposition 1 Si λ n'est pas racine de l'equation caractéristique, alors y p (x) = Q(x) exp λx avec d Q = d P. 2 Si λ est l'une des racines distinctes de l'equation caractéristique (*), alors y p (x) = Q(x) exp λx avec d Q = d P Si λ est la racine double de l'equation caractéristique (*), alors y p (x) = Q(x) exp λx avec d Q = d P + 2.

31 2 me cas : Principe de superposition. Proposition On suppose que y 1 (resp.y 2 ) est une solution de l'équation diérentielle linéaire du second ordre à coecients constants ay + by + cy = d 1 (x)(e 1 ) (resp.ay + by + cy = d 2 (x)(e 2 )). Alors y 1 + y 2 est une solution de l'équation diérentielle linéaire du second ordre à coecients constants ay + by + cy = d 1 (x) + d 2 (x)(e 3 ).

32 3 me cas : Oscillation linéaire libres. Proposition On considère l'équation diérentielle linéaire du second ordre à coecients constants y + 2my + ω 2 0y = 0 sur R + (E). avec m 0 et ω 0 > 0. m se comporte comme un paramètre d'amortissement, et ω 0 se comporte comme un paramètre de pulsation propre. Soit r 2 + 2mr + ω0 2 = 0 l'equation caractéristique, et soit = 4(m 2 ω0 2 ) le discriminant.

33 1- cas où m = 0 (amortissement nul) y(x) = C 1 cos(ω 0 x) + C 2 sin(ω 0 x) = A cos(ω 0 x + φ) c'est un amortissement périodique d'amplitude A et de période T 0 = 2π ω 0.

34 2- cas où < 0 (amortissement faible) Soit ω = ω0 2 m2 > 0 alors = (2iω) 2, ainsi y(x) = [C 1 cos(ωx) + C 2 sin(ωx)] exp( mx), c'est un mouvement pseudo-périodique T = 2π ω avec T > T 0 = 2π ω. 0

35 3- cas où = 0 (amortissement critique) y(x) = (xc 1 + C 2 ) exp( mx), c'est un mouvement apériodique critique.

36 4-cas où > 0 (amortissement fort) Soit ω = m 2 ω0 2 > 0, où ( m + ω) et ( m ω) sont les deux racines de l'equation caractéristique : y(x) = [C 1 exp(ωx) + C 2 exp( ωx)] exp( mx) = [D 1 ch(ωx) + D 2 sh(ωx)] exp( mx), c'est un mouvement apériodique.

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