Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA"

Transcription

1 Université Paris-Dauphine Méthodes numériques Département MIDO année 03/04 Master MMDMA Travaux dirigés Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires Exercice. Pour α > 0, on considère le problème de Cauchy x (t) = (x(t)) α, t > 0, x(0) = x Pour quelle(s) valeur(s) du réel α le théorème de CauchyLipschitz garantit-il l'existence et l'unicité d'une solution du problème pour tout temps t > 0?. Pour α = et x 0 =, il n'existe pas de solution pour tout temps t > 0. Le vérier en trouvant une solution du problème dans ce cas qui tend vers l'inni en temps ni. 3. Pour α = et x 0 = 0, il existe plus d'une solution. Trouver deux solutions évidentes du problème dans ce cas, puis construire une famille innie de solutions distinctes. Exercice. On considère le système d'équations diérentielles ordinaires scalaires suivant u (t) = t u(t)u (t) u(t)v(t), v (t) = t v(t)v (t) + 4 u (t).. Écrire ce système sous la forme d'un système diérentiel du premier ordre x (t) = f(t, x(t)).. Déterminer la matrice jacobienne f (t, x) associée. 3. Déterminer une constante de Lipschitz pour f sur [0, ] {x R 5 x } relativement aux normes vectorielles et. Exercice 3. On s'intéresse au problème de Robertson, décrivant la cinétique d'une réaction chimique autocatalytique mettant en jeu trois espèces chimiques A, B et C. En notant x A, X B et x C les concentrations respectives de ces espèces chimiques, on est conduit à étudier le problème de Cauchy associé, de système x A = k x A + k 3 x B x C, x B = k x A k x B k 3 x B x C, x C = k x B, avec k = 0, 04, k = et k 3 = 0 4, et de condition initiale x A (0) =, x B (0) = 0, x C (0) = 0, cette dernière traduisant le fait que seule l'espèce A est présente en début de réaction.. Montrer que ce problème admet une unique solution maximale.. Montrer que chacune des concentrations reste positive au cours du temps (on pourra raisonner par l'absurde en considérant un temps pour lequel l'une des concentrations s'annule et en montrant que celle-ci ne peut alors décroître). 3. En déduire que la solution maximale est globale.

2 Exercice 4. Vérier que la méthode de Heun, de schéma x n+ = x n + h n (f(t n, x n ) + f (t n + h n, x n + h n f(t n, x n ))) et la méthode d'euler modiée, de schéma x n+ = x n + h n f ( t n + h n, x n + h ) n f(t n, x n ) sont bien des méthodes de RungeKutta explicites à deux niveaux et écrire les tableaux de Butcher correspondants. Exercice 5. Construire toutes les méthodes de RungeKutta d'ordre deux ayant pour tableau de Butcher 0 c c. c 3 0 c Quel avantage ces méthodes présentent-elles en termes de mise en uvre? Exercice 6. Déterminer les conditions sur les coecients a, b, b, c et c pour qu'une méthode de RungeKutta explicite à deux niveaux ne satisfaisant pas les conditions simplicatrices usuelles c = 0 et c = a soit d'ordre deux. Exercice 7. Montrer que pour les méthodes de RungeKutta explicites à s niveaux d'ordre s dont les coecients a ij et b i, j < i s, sont positifs, la constante de Lipschitz Λ de la fonction d'incrément satisfait + h Λ < e h L, où le réel L strictement positif désigne la constante de Lipschitz de la fonction f. Pour cela, on utilisera les conditions satisfaites par les coecients de telles méthodes. Exercice 8. En étudiant leurs erreurs de troncature locales, déterminer l'ordre de la méthode d'euler implicite, de schéma x n+ = x n + h n f(t n+, x n+ ), de la méthode de la règle du trapèze, de schéma et de la méthode de Heun, de schéma x n+ = x n + h n (f(t n, x n ) + f(t n+, x n+ )), x n+ = x n + h n (f(t n, x n ) + f (t n + h n, x n + h n f(t n, x n ))). Exercice 9. On considère le problème de Cauchy x (t) = λ x(t), x(0) =.. Appliquer un pas d'une méthode de RungeKutta explicite à s niveaux pour la résolution numérique de ce problème et montrer que x n+ est un polynôme en h de degré au plus égal à s.. On rappelle que ceci n'est possible que pour s 4.. Ces conditions sont : b = pour s =, b + b = et b c = pour s =, b + b + b 3 =, b c + b 3 c 3 =, b c + b 3 c 3 = 3 et b 3a 3 c = 6 pour s = 3, b + b + b 3 + b 4 =, b c + b 3 c 3 + b 4 c 4 =, b c + b 3 c 3 + b 4 c 4 = 3, b 3a 3 c + b 4 (a 4 c + a 43 c 3 ) = 6, b c 3 + b 3 c b 4 c 3 4 = 4, b 3c 3 a 3 c + b 4 c 4 a 4 c + b 4 c 4 a 43 c 3 = 8, b 3 a 3 c + b 4 a 4 c + b 4 a 43 c 3 = et b 4a 43 a 3 c = pour s = 4. 4

3 . En déduire que l'ordre d'une méthode de RungeKutta explicite ne peut être plus grand que son nombre de niveaux. Exercice 0. On considère la famille de méthodes dénie par le schéma x n+ = x n + h n (( ω) f(t n, x n ) + ω f(t n+, x n+ )), avec ω un réel appartenant à l'intervalle [0, ]. Montrer qu'une telle méthode est A-stable, c'està-dire que sa région de stabilité contient le demi-plan complexe C = {z C Re(z) < 0}, si et seulement si ω. Exercice. Déterminer la fonction de stabilité absolue de la méthode de Merson de tableau de Butcher Exercice. Écrire un pas de la méthode d'euler explicite pour le système du modèle SIR de KermackMcKendrick ds = r SI, dt di = r SI a I, dt dr = a I, dt Faire de même avec la méthode d'euler implicite. Exercice 3. On considère le système d'équations diérentielles x (t) = x (t) + x (t) x (t) e x(t) x (t) = x (t) x (t) x (t) e x(t), t > 0, complété de la condition initiale x (0) = x (0) =. Dans la suite, on pose x(t) = 6. ( ) x (t). x (t). Démontrer que si x est solution du problème, alors la fonction g dénie par g(t) = x(t) est décroissante.. Écrire la méthode d'euler implicite pour la résolution du problème en expliquant la mise en uvre la méthode de NewtonRaphson à chaque itération. 3. Montrer que si x n est l'approximation de la solution au temps t n = nh fournie par la méthode d'euler implicite, avec h la longueur du pas de discrétisation, alors la suite (g n ) n N dénie par g n = x n, n N, est décroissante. 3

4

5 Université Paris-Dauphine Méthodes numériques Département MIDO année 03/04 Master MMDMA Travaux dirigés Résolution des équations hyperboliques Exercice (calcul d'une solution classique). On considère la loi de conservation de ux f(u) = u, avec la condition initiale f(u) (t, x) + (t, x) = 0, t > 0, x R, u(0, x) = u 0 (x) = x, x R.. Calculer explicitement la solution classique de ce problème.. Représenter les caractéristiques associée dans le demi-plan (x, t), x R, t 0, et la solution à diérents instants. Exercice (équation de transport avec terme d'absorption). Résoudre explicitement, en adaptant la méthode des caractéristiques, le problème de Cauchy où a > 0, µ > 0 et u 0 C (R). (t, x) + a (t, x) = µ u(t, x), t > 0, x R, u(0, x) = u 0 (x), x R, Exercice 3 (équation de transport avec condition au bord). On s'intéresse à la résolution du problème suivant, posé sur une demi-droite en espace, (t, x) + a (t, x) = 0, t > 0, x R +, u(0, x) = u 0 (x), x R +, où a est une constante et u 0 C (R + ). On suppose que a < 0.. Montrer que le problème admet une unique solution. On suppose maintenant que a > 0.. Montrer que le problème est mal posé. 3. On ajoute la condition au bord u(t, 0) = g(t), t > 0, où g C (R). Montrer que le problème admet une solution de classe C, que l'on déterminera, si et seulement si l'on a g(0) = u 0 (0) et g (0) + a u 0(0) = 0.

6 4. On se propose de retrouver, par une méthode basée sur un bilan d'énergie, la nécessité d'imposer une condition sur le bord pour que le problème admette une unique solution lorsque a > 0. Pour cela, montrer que toute solution d'énergie nie du problème vérie l'identité d dt ( u(t, x) dx R + Conclure alors en distinguant les cas a < 0 et a > 0. ) = a u(t, 0), t 0. Exercice 4 (construction d'une onde de raréfaction). On considère la loi de conservation f(u) (t, x) + (t, x) = 0, t > 0, x R, de ux f(u) = u, avec la condition initiale 0 si x 0 x u(0, x) = u 0 (x) = α si 0 x α si x α avec α > 0.. Calculer la solution de ce problème à l'aide la méthode des caractéristiques.. Est-ce une solution classique? 3. Que se passe-t-il lorsque l'on fait tendre α vers 0? Exercice 5. On considère la loi de conservation de ux f(u) = e u, avec la condition initiale f(u) (t, x) + (t, x) = 0, t > 0, x R, u(0, x) = u 0 (x) = { ln() si x 0 0 si x > 0.. Justier brièvement pourquoi la solution entropique du problème est une onde de raréfaction. Expliciter cette solution.. Tracer les caractéristiques dans le demi-plan (x, t), x R, t 0 et représenter la solution au temps t =. Exercice 6 (propagation d'une singularité). On considère le problème suivant (t, x) + a (t, x) = 0, t > 0, x R, u(0, x) = u 0 (x) = {x 0}, x R, où a > 0.. Montrer que la fonction u(t, x) = u 0 (x a t) est solution de ce problème. Représenter cette solution à divers instants t > 0.. On ajoute à présent un terme de dissipation à l'équation, qui devient (t, x) + a (t, x) = ε u (t, x), t > 0, x R,

7 avec ε > 0. Montrer que la fonction u(t, x) = g ( x a t 4ε t ), avec g(y) = + e s ds, π est solution de ce problème. Représenter cette solution à divers instants t > 0. Qu'observet-on? Exercice 7. On considère le problème composé de la loi de conservation de ux f(u) = u(u ), et de la condition initiale f(u) (t, x) + (t, x) = 0, t > 0, x R, u(0, x) = u 0 (x), x R. Trouver sa solution faible entropique pour chacune des données initiales suivantes. a. si x 0 u 0 (x) = x si 0 x. si x b. On montrera en particulier que toutes les caractéristiques issues de l'intervalle [0, ] passent par le point et coordonnées x = 3 et t =. Exercice 8. On considère la loi de conservation de ux f(u) = u, avec la condition initiale si x 0 x si 0 x u 0 (x) =. si x 3 si x > 3 f(u) (t, x) + (t, x) = 0, t > 0, x R, u(0, x) = u 0 (x), x R.. Trouver la solution entropique du problème et préciser sa nature pour chacune des données initiales suivantes { { si x 0 u 0 (x) = 4 si x > 0 et u 4 si x 0 0(x) = si x > 0.. Trouver la solution entropique du problème pour t < et la représenter aux instants t = 3, t = 6 et t = pour le choix de donnée si x u 0 (x) = 4 si < x 0. si x > 0 Dans quel sens varie la vitesse du choc pour t >? En déduire que la fonction u est continue dans le domaine x t 3, t. 3 y

8 Exercice 9 (un modèle de trac routier). On considère un problème de Cauchy lié à un modèle de trac routier de LighthillWhithamRichards, basé sur la loi de conservation ρ (ρ u(ρ)) (t, x) + (t, x) = 0, t > 0, x R, dans laquelle ρ représente la densité du trac et u(ρ) sa vitesse, donnée par ( u(ρ) = u max ρ ), ρ max avec u max R + et ρ max R +, complétée par la condition initiale a si x < 0 ρ(0, x) = ρ 0 (x) = a + (b a) x si 0 x l, a < b. l b si x > l. Déterminer les caractéristiques associées au problème.. Déterminer le temps d'apparition d'une discontinuité (un choc) dans la solution et sa vitesse de propagation. 3. Interpréter physiquement la conguration obtenue pour a. a + b > ρ max, b. a + b = ρ max, c. a + b < ρ max. Exercice 0. En supposant la fonction f dérivable au point x jusqu'à l'ordre trois, déterminer les réels α, β et γ tels que f (x) = α f(x + h) + β f(x) + γ f(x h) h + O(h ), x R, h > 0. Exercice. Déterminer l'ordre des méthodes de LaxFriedrichs et de LaxWendro appliquées à la résolution numérique de l'équation d'advection scalaire linéaire et étudier leur stabilité au sens L en utilisant l'analyse de von Neumann en supposant le rapport λ = t constant. x Exercice. Étudier la stabilité du schéma décentré amont pour la résolution numérique de l'équation d'advection scalaire linéaire en supposant le rapport λ = t x constant. Démontrer en particulier que ce schéma n'est pas stable si l'on se trompe dans le choix de la formule (c'està-dire si l'on intervertit entre elles les formules associées à chacun des signes de la vitesse). Exercice 3 (étude du schéma de LaxWendro pour la résolution de l'équation de transport). Soit une solution régulière u de l'équation de transport. Montrer que (t, x) + a (t, x) = 0, t 0, x R. u(t n+, x j ) = u(t n, x j ) a t (t n, x j ) + a t u (t n, x j ) + O( t 3 ), n 0, j Z. Pour la résolution numérique de l'équation, on propose la famille de schémas, indexée par le paramètre µ, u n+ j u n j t + a un j+ un j x µ t ( u n x j+ u n j + u n ) j = 0, n 0, j Z. 4

9 . Obtenir la valeur de µ pour laquelle la méthode est consistante à l'ordre deux au moins et montrer que le schéma ainsi obtenu est le schéma de LaxWendro. Discuter de la précision du schéma lorsque a t = x. 3. Calculer le facteur d'amplication du schéma de LaxWendro et en déduire sa stabilité sous la condition a t x. 5

10

11 Université Paris-Dauphine Méthodes numériques Département MIDO année 03/04 Master MMDMA Travaux dirigés Résolution numérique des équations paraboliques Exercice (analyse de stabilité en norme L du θ-schéma). On s'intéresse à la résolution numérique du problème d'évolution suivant (t, x) u (t, x) = 0, t > 0, x R, () u(0, x) = u 0 (x), x R, () avec u 0 une fonction continue de L (R). On considère la famille de schémas aux diérences nies dénie, en usant des notations habituelles, par u n+ j u n j t θ un+ j+ un+ j + u n+ j ( x) ( θ) un j+ un j + un j ( x) = 0, n N, j Z, le paramètre θ étant un réel entre 0 et, complétée par l'initialisation u 0 j = u 0 (j x), j Z.. Discuter de l'ordre et du caractère explicite ou implicite de ce schéma en fonction de la valeur du paramètre θ.. Toujours en fonction de la valeur de θ, étudier par l'analyse de von Neumann la stabilité en norme L du schéma. Exercice (analyse d'un schéma explicite). Pour approcher la solution du problème ()-(), on considère le schéma suivant u n+ j u n j t un j+ un j + un j ( x) = 0, n N, j Z, complétée par l'initialisation u 0 j = u 0 (j x), j Z.. Donner un algorithme de calcul de cette approximation numérique. Expliquer pourquoi cette solution approchée se propage à vitesse nie. t. Sous l'hypothèse que ( x), démontrer le principe du maximum discret a u 0 j b, j Z a u n j b, j Z, n N. En déduire en particulier que u n u 0, n N (on dit que le schéma est stable en norme L ).

12 3. On dénit l'erreur de troncature par ε n+ j = u(t n+, x j ) u(t n, x j ) t ( x) (u(t n, x j+ ) u(t n, x j ) + u(t n, x j )). On suppose que la solution u est de classe C en temps et de classe C 4 en espace et que ses dérivées sont uniformément bornées sur [0, T ] R. À l'aide d'un développement de Taylor, montrer que, pour tout entier n tel que (n + ) t T, on a l'estimation ε n+ C où par dénition ( ( t) u L ([0,T ] R) f L ([0,T ] R) = 4. On introduit l'erreur commise sur la solution + t ( x) 4 u 4 sup f(t, x). (t,x) [0,T ] R e n j = u(t n, x j ) u n j, n N, j Z. L ([0,T ] R) Écrire les équations qui relient les suites (e n ) n N et (ε n ) n N. Démontrer l'estimation d'erreur ( ) sup e n CT t u (n+) t T + ( x) 4 u 4. L ([0,T ] R) ) L ([0,T ] R), Exercice 3 (schémas de Richardson et de Du FortFrankel). On s'intéresse à la résolution numérique de l'équation de la chaleur à l'aide du schéma de Richardson u n+ j (t, x) u (t, x) = 0, t > 0, x R, u n j t un j+ un j + un j ( x) = 0, n N, j Z.. Quel est a priori l'inconvénient pratique de ce schéma?. Montrer qu'il s'agit d'un schéma explicite du second ordre en espace et en temps, mais inconditionnellement instable. 3. Dans le schéma de Richardson, on remplace le terme u n j par la moyenne un+ j +u n j. On obtient ainsi le schéma de Du FortFrankel. Montrer que ce schéma est explicite et inconditionnellement stable. 4. Analyser l'erreur de troncature du schéma de Du FortFrankel et conclure que le schéma n'est consistant que si le rapport t x tend vers 0 quand les longueurs des pas de discrétisation tendent vers 0. Ce résultat était-il prévisible?

13 Université Paris-Dauphine Méthodes numériques Département MIDO année 03/04 Master MMDMA Travaux dirigés Résolution numérique des équations diérentielles stochastiques Dans cette feuille, on considère l'équation diérentielle stochastique dx(t) = f(t, X(t)) dt + g(t, X(t)) dw (t), t [t 0, t 0 + T ], dans laquelle le processus de Wiener W est xé et adapté à une ltration {H t, t 0 t t 0 + T }. On suppose que la donnée de la condition initiale X(t 0 ) = Z est mesurable par rapport à H t0 et que les fonctions f et g sont telles que les processus {f(t, X(t)), t 0 t t 0 + T } et {g(t, X(t)), t 0 t t 0 + T } sont adaptés à la ltration {H t, t 0 t t 0 + T } et satisfont t0+t ( f(s, X(s)) + g(s, X(s)) ) ds < + presque sûrement, t 0 de sorte qu'il existe une solution forte de l'équation sur l'intervalle [t 0, t 0 + T ]. On suppose également que les méthodes numériques utilisent une grille de discrétisation uniforme, de pas de longueur h. Exercice. Montrer que les méthodes d'eulermaruyama et de Milstein s'obtiennent à partir de développements d'it otaylor tronqués. Exercice (méthode d'eulermaruyama faible ). On suppose dans cet exercice la fonction f bornée et l'on considère la méthode numérique de schéma X n+ = X n + f(t n, X n ) h + g(t n, X n ) ξ n h, n = 0,..., N, les quantités ξ n, n = 0,..., N, étant des variables aléatoires indépendantes deux à deux, ainsi que de la ltration {H t, t 0 t t 0 + T }, et telles que P (ξ n = ±) =.. Montrer que cette méthode est faiblement consistante.. Donner d'autres choix possibles de variables aléatoires ξ n, n = 0,..., N. 3. Cette méthode est-elle fortement consistante? Exercice 3 (une généralisation stochastique de la méthode de Heun). On suppose dans cet exercice que l'équation diérentielle stochastique est autonome et que les fonctions f et g sont de classe C, bornées et à dérivées bornées. On considére alors la généralisation formelle suivante de la méthode de Heun au cas stochastique, donnée par le schéma X n+ = X n + (f(x n) + f(x n + f(x n ) h + g(x n ) W n )) h + (g(x n) + g(x n + f(x n ) h + g(x n ) W n )) W n, où l'on a posé W n = W n+ W n.. Montrer que cette méthode n'est généralement pas fortement consistante.. Donner des conditions susantes sur les fonctions f et g pour que ce soit le cas.

14 Exercice 4. Montrer que les dénitions de la consistance d'une méthode numérique de résolution d'une équation stochastique coïncident avec celle des méthodes numériques à un pas pour les équations diérentielles ordinaires si la fonction g est identiquement nulle. Exercice 5. Donner deux exemples de fonctions f et g pour lesquels la méthode d'eulermaruyama a un ordre de convergence forte respectivement strictement supérieur à un et strictement inférieur à un.

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Méthodes numériques pour le pricing d options

Méthodes numériques pour le pricing d options Méthodes numériques pour le pricing d options Mohamed Ben Alaya 6 février 013 Nous allons tester les différentes méthodes de différence finies vu dans le cours en l appliquant au calcul du call ou le put

Plus en détail

Contents. Systèmes d'équations non linéaires 2 1. Dichotomie 2 2. Point xe 3 3. Méthodes de Newton et et de la sécante 5

Contents. Systèmes d'équations non linéaires 2 1. Dichotomie 2 2. Point xe 3 3. Méthodes de Newton et et de la sécante 5 Contents Systèmes d'équations non linéaires 2 1. Dichotomie 2 2. Point xe 3 3. Méthodes de Newton et et de la sécante 5 1 Systèmes d'équations non linéaires On considère un intervalle I R (borné ou non)

Plus en détail

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008) Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut

Plus en détail

Retournement Temporel

Retournement Temporel Retournement Temporel Rédigé par: HENG Sokly Encadrés par: Bernard ROUSSELET & Stéphane JUNCA 2 juin 28 Remerciements Je tiens tout d'abord à remercier mes responsables de mémoire, M.Bernard ROUSSELET

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Table des matières. Listings. 1 Tests Algorithmique et Matlab. Travaux pratiques - E.D.O. Travail individuel et personnel. Sup'Galilée Année 2014-2015

Table des matières. Listings. 1 Tests Algorithmique et Matlab. Travaux pratiques - E.D.O. Travail individuel et personnel. Sup'Galilée Année 2014-2015 Energétique I Méthodes Numériques II Sup'Galilée Année -5 Travaux pratiques - E.D.O. Groupes B à B6 Travail individuel et personnel Table des matières Tests Algorithmique et Matlab Résolution numérique

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

3 2 Séries numériques

3 2 Séries numériques BCPST 9 5 3 Séries numériques I Généralités A) Dénition Soit (a n ) n N une suite à valeurs dans R. On appelle série de terme général a n, et on note a n la suite dénie par : S n = On dit que S n est la

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

TD 5- Applications linéaires

TD 5- Applications linéaires TD 5- Applications linéaires Exercice 1. Soit f l'application dénie sur R 2 par f(x, y) = (2x y, 3x + y). 1. Montrer que f est un endomorphisme de R 2. 2. Montrer que f est injective. 3. Montrer que f

Plus en détail

Autour de Perron, Frobenius et Markov

Autour de Perron, Frobenius et Markov Université Claude Bernard Lyon 1-2007/2008 Préparation Capes - Algèbre et Géométrie - Devoir à rendre le 12 février 2008 - Autour de Perron Frobenius et Markov Rappels et notations On note M mn (K) le

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève 30-1- 2013 J.F.C. p. 1 F 1 F 2 F 3 Assez simple ou proche du cours. Demande du travail. Délicat. EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005 Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 X est une variable aléatoire de

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif. Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE. 2015-2016, Automne. N. Débit & J. Bastien TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MNBif Informatique 3A MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE 2015-2016, Automne N. Débit & J. Bastien Document compilé le 13 novembre 2015 Liste des Travaux Dirigés Avant-propos iii Travaux

Plus en détail

1.8 Exercices. Analyse d'erreurs 43

1.8 Exercices. Analyse d'erreurs 43 1.8 Exercices Analyse d'erreurs 43 1. Tous les chires des nombres suivants sont signicatifs. Donner une borne supérieure de l'erreur absolue et estimer l'erreur relative. a) 0,1234 b) 8,760 c) 3,14156

Plus en détail

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que : Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction de la copie lors de l évaluation finale. Les élèves n ayant pas la spécialité mathématique traiteront les exercices 1, 2,3 et 4, les élèves ayant

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Equations dierentielles

Equations dierentielles Equations dierentielles Université Mohammed I Faculté des Sciences Département de Mathématiques Oujda. Plan 1 Introduction 2 3 Résponsable du cours : Pr. NAJIB TSOULI. 1 Introduction 2 3 Introduction Une

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Projets scilab. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 02 Avril 2009

Projets scilab. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 02 Avril 2009 Projets scilab L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 2 Avril 29 REMARQUE: quelques résultats importants concernant le théorème central limite et les intervalles de confiance sont rappelés dans la

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Construction de solutions proches de solitons instables. d'équations dispersives non-linéaires surcritiques. Vianney Combet. Orsay, 9 janvier 2009

Construction de solutions proches de solitons instables. d'équations dispersives non-linéaires surcritiques. Vianney Combet. Orsay, 9 janvier 2009 Solitons gkdv Rapport d'activité Construction de solutions proches des solitons d'équations dispersives non-linéaires surcritiques Orsay, 9 janvier 2009 Thèse sous la direction de Luc Robbiano et Yvan

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Compte rendu des TP matlab

Compte rendu des TP matlab Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer

Plus en détail

Objectifs. Calcul scientifique. Champ d applications. Pourquoi la simulation numérique?

Objectifs. Calcul scientifique. Champ d applications. Pourquoi la simulation numérique? Objectifs Calcul scientifique Alexandre Ern ern@cermics.enpc.fr (CERMICS, Ecole des Ponts ParisTech) Le Calcul scientifique permet par la simulation numérique de prédire, optimiser, contrôler... le comportement

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE. Les candidats traiteront l'un des trois sujets au choix.

CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE. Les candidats traiteront l'un des trois sujets au choix. ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN 1 AVRIL 21 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE EPREUVE D'ORDRE GENERAL DUREE :

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Intégration (2) - Intégrales dépendants d'un paramètre

Intégration (2) - Intégrales dépendants d'un paramètre Intégration (2) - Intégrales dépendants d'un paramètre Bachelor 2 C ESME Sudria Année 2012-2013 Dénitions et propriétés Intégrale de Wallis Dénition Vocabulaire et dénitions Continuité - Dérivabilité Exemples

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

Les travaux doivent être remis sous forme papier.

Les travaux doivent être remis sous forme papier. Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Céline Lacaux École des Mines de Nancy IECL 27 avril 2015 1 / 25 Plan 1 Méthodes de Monte-Carlo 2 3 4 2 / 25 Estimation d intégrales Fiabilité d un système

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET SOCIALES Sections des sciences économiques et des hautes études commerciales Mathématiques I Cours du professeur D. Royer Recueil d exercices #2 Analyse II Semestre

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

ANNEXE 1 BTS AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL Programme de mathématiques

ANNEXE 1 BTS AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL Programme de mathématiques ANNEXE BTS AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL Programme de mathématiques L'enseignement des mathématiques dans les sections de techniciens supérieurs Agencement de l'environnement architectural

Plus en détail

Simulation numérique, contexte

Simulation numérique, contexte Introduction à la Simulation Numérique Jérémie Gressier Septembre 21 1 / 41 Plan 1 Présentation 2 Différences Finies 3 Intégration d un problème de Cauchy 4 Conclusion 2 / 41 Simulation numérique, contexte

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

Équations aux Dérivées Partielles. Pedro Ferreira et Sylvie Mas-Gallic

Équations aux Dérivées Partielles. Pedro Ferreira et Sylvie Mas-Gallic Équations aux Dérivées Partielles Pedro Ferreira et Sylvie Mas-Gallic 11 décembre 21 Table des matières 1 Introduction 3 1.1 Exemple d une équation aux dérivées partielles........... 3 1.2 Rappels sur

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

G.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction

G.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction DNS Sujet Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3 Réfraction I. Préliminaires 1. Rappeler la valeur et l'unité de la perméabilité magnétique du vide µ 0. Donner

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE RÉSOLUTION Table des matières 1 Méthodes expérimentales 2 1.1 Position du problème..................................... 2 1.2 Dégénérescence de l ordre...................................

Plus en détail

Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique

Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique J. Bodin 12, T. Clopeau 2, A. Mikelić 2 1 Agence Nationale pour la gestion

Plus en détail

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Cahier de vacances Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Votre année de PCSI a été bien remplie et il est peu probable que l année de PC qui arrive vous paraisse plus facile. C est pourquoi, je vous

Plus en détail

Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2.

Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Techniques de correction pour les options barrières 25 janvier 2007 Exercice à rendre individuellement lors

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

DERIVATION. PLAN I : Dérivée

DERIVATION. PLAN I : Dérivée 203 - Gérard Lavau - http://lavau.pagesperso-orange.fr/index.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense.

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense. 1 Feuille d exercices n o 1 1. Deuxième forme géométrique du théorème de Hahn-Banach Soient A E et B E deux convexes, non vides, disjoints (E est une espace vectoriel normé). On suppose que A est fermé

Plus en détail

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006 ESSEC M B A CONCOURS D ADMISSION Option économique MATHEMATIQUES III Année 2006 La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

Simulations des Grecques : Malliavin vs Différences finies

Simulations des Grecques : Malliavin vs Différences finies 0.1. LES GRECQUES 1 Simulations des Grecques : iavin vs Différences finies Christophe Chorro Ce petit document vise à illustrer de manière numérique les techniques présentées lors du mini cours sur le

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

Théorie des graphes. Introduction. Programme de Terminale ES Spécialité. Résolution de problèmes à l aide de graphes. Préparation CAPES UCBL

Théorie des graphes. Introduction. Programme de Terminale ES Spécialité. Résolution de problèmes à l aide de graphes. Préparation CAPES UCBL Introduction Ces quelques pages ont pour objectif de vous initier aux notions de théorie des graphes enseignées en Terminale ES. Le programme de Terminale (voir ci-après) est construit sur la résolution

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

1 Fonctions de plusieurs variables

1 Fonctions de plusieurs variables Université de Paris X Nanterre U.F.R. Segmi Année 006-007 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II. Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscré aux fonctions

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

9. Équations différentielles

9. Équations différentielles 63 9. Équations différentielles 9.1. Introduction Une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

CHAPTER 1. Introduction

CHAPTER 1. Introduction CHAPTER Introduction.. Quelques notions mathématiques indispensables... Voisinage. On appelle voisinage d'un point x R tout intervalle ouvert ]x h, x + h[, avec h >, centré sur x. Une propriété P t est

Plus en détail

Gestion d'un entrepôt

Gestion d'un entrepôt Gestion d'un entrepôt Épreuve pratique d'algorithmique et de programmation Concours commun des écoles normales supérieures Durée de l'épreuve: 3 heures 30 minutes Juin/Juillet 2010 ATTENTION! N oubliez

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

Session 2011. Enseignement de Spécialité. Durée de l épreuve : 3 heures. Coefficient : 7. Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7.

Session 2011. Enseignement de Spécialité. Durée de l épreuve : 3 heures. Coefficient : 7. Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7. BACCALAURÉAT GENÉRAL Session 2011 MATHÉMATIQUES Série ES Enseignement de Spécialité Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 7 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7. L utilisation d une calculatrice

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Master de Formation des Formateurs Groupe Modélisation. Séance du 19 septembre 2003 Modélisation du trafic routier François Sauvageot

Master de Formation des Formateurs Groupe Modélisation. Séance du 19 septembre 2003 Modélisation du trafic routier François Sauvageot Master de Formation des Formateurs Groupe Modélisation Séance du 19 septembre 2003 Modélisation du trafic routier François Sauvageot Position du problème Modéliser le trafic routier c est tenter de prédire

Plus en détail

Equations Différentielles

Equations Différentielles Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 1 Equations Différentielles I- Définitions élémentaires. On appelle Equation Différentielle Ordinaire (EDO) toute équation (E) du type (E) : y (n) (t) = F (t; y(t);

Plus en détail

CALCULATRICE AUTORISEE

CALCULATRICE AUTORISEE Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages

Plus en détail