Limite et dérivabilité de fonction

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1 Limite et dérivabilité de fonction I ites de fonctions 1 Limite finie en + Définition : Soit L un réel et f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a; + [. On dit que la fonction f a pour ite L en + si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand. On écrit : f(x) = L Dans ce cas, on dit que la droite d équation y = L est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en +. On définie de même : f(x) = L x 1

2 2 Définition : Soit L un réel et f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] ; a[. On dit que la fonction f a pour ite L en si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) pour x assez petit. On écrit : f(x) = L x Dans ce cas, on dit que la droite d équation y = L est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en. 2 Limite infinie en + Définition : Soit L un réel et f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a; + [. On dit que la fonction f a pour ite + en + si tout intervalle de la forme ]A, + [ contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand. On écrit : f(x) = +

3 I. LIMITES DE FONCTIONS 3 On définie de même f(x) = x

4 4 3 Limite infinie en a On dit que la fonction f a pour ite + en a si tout intervalle du type ]A; + [ contient toutes les valeurs f(x) pour x assez proche de a. On écrit : f(x) = + x a Dans ce cas, on dit que la droite d équation x = a est une asymptote verticale à la courbe représentative de f. On définie de même f(x) = x a On définie de même f(x) = + x a,x>a On définie de même x a,x<a f(x) = + Dans ces trois dernier cas, la droite d équation x = a est aussi une asymptote verticale à la courbe représentative de f.

5 II. OPÉRATION SUR LES LIMITES 5 II Opération sur les ites 1 ites des fonctions de références 2 Opération sur les ites Soient f et g deux fonctions. Soient m et n deux réels. Limite de la somme de deux fonctions f(x) m m m + + g(x) n + + Limite du produit de deux fonctions (f + g)(x) m + n + +?? f(x) m m > 0 ou + m < 0 ou m > 0 ou + g(x) n + + (f g)(x) m n + f(x) m < 0 ou 0 g(x) + ou Limite du quotient de deux fonctions (f g)(x) +?? f(x) m m 0 m > 0 ou + m > 0 ou + g(x) n 0 + ou 0 0 avec g > 0 0 avec g < 0 f g (x) m n 0?? +

6 6 f(x) + + g(x) n 0 + ou f (x) + si n > 0 et si n < 0?? g La ite en + ou en de toutes fonctions polynômes est égale à la ite de son terme de plus haut degré. La ite en + ou en de toute fonction rationnelle est égale à la ite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. III Limite de fonction composée Soit u et v deux fonctions telles que la fonction u v soit définie sur un ensemble D. Soit a, b, et c trois réel, ou ou +. Si v(x) = b et u(x) = c, alors u v = c x a x b x a IV Limites et ordre Soit α un réel Soit f et g deux fonctions définies sur ]α, + [ et telles que f(x) = a g(x) = b Si pour tout x ]α; + [, f(x) g(x), alors a b.

7 IV. LIMITES ET ORDRE 7 Théorème des gendarmes Soit α R. Soit f, g et h trois fonctions définies sur des ensembles contenant un l intervalle ]α; + [. Si pour tout x appartenant à ]α; + [ : f(x) g(x) h(x) Alors f(x) = a h(x) = a f(x) = a

8 8 V dérivabilité Soit f une fonction définie sur D et a un élément de D. On dit que la fonction f est dérivivable f(a + h) f(a) en a si admet une ite finie quand h tend vers 0. h On écrit alors f(a + h) f(a) = f (a) h 0 h f (a) est alors le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point A(a; f(a)) et cette tangente a pour équation : y = f (a)(x a) + f(a) On dit que f est dérivable sur l ensemble D si elle est dérivable en tout point de D. On a aussi f(a + h) f(a) + h.f (a). f(a) + h.f (a) est alors appelé approximation affine de f(a + h) au voisinage de a.

9 VI. DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 9 VI dérivées des fonctions usuelles 1 rappel Soit k un réel fixé et n un entier naturel non nul. Fonction Dérivée x appartient à f(x) = k f (x) = 0 R f(x) = x n f (x) = nx n 1 R si n > 0 et R si n < 0 f(x) = 1 f (x) = 1 R x x 2 f(x) = x f (x) = 1 2 ]0; + [ x Soient v et v deux fonctions dérivables sur un ensemble D et k un réel.

10 10 Fonction Dérivée x appartient à f = u + v f = u + v D f = ku f = ku D f = uv f = u v + uv D f = 1 u f = u v 2 dérivée d une fonction composée f = u x D et u(x) 0 u 2 f = u v uv x D et v(x) 0 v 2 Soit f et g deux fonctions définies et dérivables respectivement sur D et D et telles que pour tout x D, g(x) D. La fonction f g est alors définie et dérivable sur D et on a pour tout x D : (f g) (x) = g (x) (f g)(x)