BACCALAURÉAT BLANC. MATHÉMATIQUES - Série ES

Transcription

1 BACCALAURÉAT BLANC Mardi 30 JANVIER 2018 MATHÉMATIQUES - Série ES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, en mode examen, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s assurera que le sujet comporte bien 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6. page 1/6

2 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Il est constitué de quatre questions indépendantes. Pour chacune des questions posées, une seule des réponses proposées est exacte. Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie, en justifiant soigneusement votre choix. Une réponse exacte et correctement justifiée rapporte 1 point, une réponse exacte non justifiée ou incorrectement justifiée, une réponse fausse ou l absence de réponse n apporte ni n enlève aucun point. 1. Une entreprise fabrique des tubes métalliques de longueur 2m. Un tube métallique est considéré comme étant dans la norme si sa longueur est comprise entre 1,98 m et 2,02 m. On prélève au hasard un échantillon de tubes, on observe que 954 tubes sont dans la norme. L intervalle de confiance de la fréquence des tubes dans la norme pour cette entreprise au niveau de confiance de 95%, avec les bornes arrondies à 10 3, est : a. [0,922 ; 0,986] b. [0,947 ; 0,961] c. [1,98 ; 2,02] d. [0,953 ; 0,955] 2. A l occasion de son inauguration, un hypermarché offre à ses clients un ticket à gratter par tranche de 10 euros d achats. L hypermarché affirme que 15% des tickets à gratter sont gagnants, c est-àdire donneront droit à un bon d achat de 5 euros. Amandine a reçu 50 tickets à gratter après un achat de 500 euros dans cet hypermarché. Deux d entre eux étaient gagnants. On suppose que le nombre de tickets à gratter est suffisamment important pour considérer qu un échantillon de 50 tickets correspond à un tirage aléatoire avec remise. a. L intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de 50 tickets à gratter est [0,051 ; 0,249], les bornes étant arrondies au millième. b. L intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de 50 tickets à gratter est [0,100 ; 0,200], les bornes étant arrondies au millième. c. La fréquence de tickets gagnants reçus par Amandine est d. Amandine peut annoncer avec un risque de 5% que l affirmation de l hypermarché n est pas mensongère. 3. Un article de journal affirme, qu en France, il y a 16 % de gauchers. Un chercheur souhaite vérifier cette affirmation. Pour cela, il veut déterminer la taille de l échantillon de la population française à étudier qui permettrait d obtenir un intervalle de confiance d amplitude égale à 0,1 au niveau de confiance de 0,95. La taille de l échantillon est : a. 30 b. 64 c. 100 d Une grandeur a été augmentée de 5 % la première année, puis de 7 % la deuxième année. Sur ces deux années, le pourcentage global d augmentation est égal à : a. 12 % b. 35 % c. 0,35 % d. 12,35 % page 2/6

3 EXERCICE 2 Candidats de la série ES ayant suivi l enseignement de spécialité 5 points Partie A Les parties A et B sont indépendantes Un créateur d entreprise a lancé un réseau d agences de services à domicile. Depuis 2009, le nombre d agences n a fait qu augmenter. Ainsi, l entreprise comptait 300 agences au 1 er janvier 2011 puis 400 agences au 1 er janvier 2013 et enfin 700 agences au 1 er janvier On admet que l évolution du nombre d agences peut être modélisée par une fonction f définie sur [0 ; + [ par : f(x)= ax 3 + bx 2 + cx où a, b et c sont des nombres réels. La variable x désigne le nombre d années écoulées depuis 2009 et f(x) exprime le nombre d agences. Ci-contre, on a représenté graphiquement la fonction f. 1. On cherche à déterminer les valeurs respectives des coefficients a, b et c. a. A partir des données de l énoncé, montrer que le triplet (a, b, c) est solution du système 8a+ 4b + 2c = a + 16b + 4c = a+ 64b + 8c = 600 b. En déduire que le système précédent est équivalent à une équation matricielle MX = R où M, X et R sont des matrices à déterminer. c. On admet que la matrice M est inversible. Déterminer, en détaillant le raisonnement, et à l aide de la calculatrice, le triplet (a, b, c) solution du système (S). On donnera les valeurs exactes. 2. En utilisant cette modélisation que l on suppose fiable jusque 2020, démontrer que le nombre d agences dépassera le millier au 1 er janvier Partie B Le responsable d une agence de services à domicile implantée en ville a représenté par le graphe ci-contre toutes les rues dans lesquelles se trouvent des clients qu il doit visiter quotidiennement. Dans ce graphe, les arêtes sont les rues et les sommets sont les intersections des rues. 1. a. Quel est l ordre de ce graphe? b. Déterminer si ce graphe est connexe. c. Déterminer si ce graphe est complet. 2. Ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue dans laquelle se trouvent des clients. Déterminer si ce circuit existe dans les deux cas suivants : a. Le point d arrivée est le même que le point de départ. b. Le point d arrivée n est pas le même que le point de départ. page 3/6

4 EXERCICE 3 Commun à tous les candidats 5 points Une petite ville dispose d un service municipal de location de vélos. La municipalité souhaite être informée sur le nombre de vélos en circulation et le coût engendré. Le responsable du service de location de vélos constate que, chaque année, 20% des vélos sont devenus inutilisables car perdus, volés ou détériorés. Le budget alloué au service lui permet de racheter 30 vélos par an. Le 1er janvier 2017, le parc contient 200 vélos utilisables. On modélise l évolution du nombre de vélos utilisables par une suite (u n ) dans laquelle, pour tout entier naturel n, u n est le nombre de vélos le 1er janvier de l année n. Ainsi u 0 = 200 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,8 u n a. Justifier le coefficient 0,8 dans l expression de u n+1 en fonction de u n. b. Combien y aura-t-il de vélos dans ce parc au 1er janvier 2018? 2. On définit la suite (v n ) par v n = u n 150 pour tout entier naturel n. a. Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme v 0. b. Pour tout entier naturel n, exprimer v n en fonction de n. c. En déduire que pour tout entier naturel n, u n = 50 0,8 n d. La municipalité a décidé de maintenir ce service de location tant que le nombre de vélos reste supérieur à 160. En quelle année le service de location s arrêtera-t-il? 3. Pour l aider à maintenir le service de location, la municipalité a obtenu une subvention de la région qui sera versée de 2017 inclus à 2025 inclus. Par commodité, on suppose qu elle est versée pour chaque année le 1er janvier, de 2017 inclus à 2025 inclus. Cette subvention s élève à 20 euros par vélo disponible à la location. a. Justifier que la somme des subventions reçues pour les deux premières années s élève à euros. b. Déterminer la somme totale perçue grâce à cette subvention du 1er janvier 2017 au 1er janvier page 4/6

5 EXERCICE 4 Commun à tous les candidats 6 points On considère la fonction f définie sur l intervalle [1 ; 10] par : f (x) = 4e 0,5x x 1 On admet que la fonction f est dérivable sur l intervalle [1 ; 10] et on note f sa fonction dérivée. On donne en annexe, à remettre avec la copie, la courbe représentative C de la fonction f sur l intervalle [1 ; 10] dans un repère d origine O. Partie A 1. Démontrer que pour tout nombre réel x de l intervalle [1 ; 10] on a : f (x) = 2e 0,5x a. Montrer que le nombre = 2 2ln 1 est solution l équation f (x) = 0 sur l intervalle [1 ; 10]. 2 On admet que est l unique solution de cette équation. b. Placer sur le graphique fourni en annexe le point de la courbe C d abscisse. 3. On admet que l ensemble des solutions sur l intervalle [1 ; 10] de l inéquation f (x) 0 est [2 2ln 1 2 ; 10]. En déduire les variations de la fonction f sur l intervalle [1 ; 10]. Partie B L entreprise «COQUE EN STOCK» fabrique et commercialise des coques pour téléphone portable. Son usine est en mesure de produire entre 100 et coques par jour. La fonction f permet de modéliser le coût de production d une coque en fonction du nombre de centaines de coques produites par jour. Ainsi, si x désigne le nombre de centaines de coques produites alors f (x) représente le coût, en euros, de production d une coque. 1. Calculer, au centime près, le coût de production d une coque dans le cas de la fabrication de 500 coques par jour. 2. a. Montrer que produire 339 coques par jour permet de minimiser le coût unitaire de production. b. En déduire le coût minimal de production d une coque, en euros, au centime près. Partie C Le prix de vente d une coque peut être modélisé par la fonction g définie sur l intervalle [1 ; 10] par : g (x) = 1 4 x + 6 où x désigne le nombre de centaines de coques produites et g (x) le prix de vente d une coque en euros. Estimer les quantités de coques à produire par jour afin d assurer un bénéfice à l entreprise. On utilisera un raisonnement graphique. page 5/6

6 TES - TL spé Nom:. ANNEXE À remettre avec la copie page 6/6