Fiche méthode n 1 Résolution d'équations et d'inéquations

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1 Fiche méthode n 1 ECE1-Ozenne-018/019 Fiche méthode n 1 Résolution d'équations et d'inéquations Pensez toujours à vérier vos résultats! Et à vérier que vos solutions appartiennent à l'ensemble de dénition de vos équations. Domaine de résolution d'une (in)équation, de dénition d'une fonction. Même si ce n'est pas explicitement demandé dans l'énoncé, il faut TOUJOURS commencer par donner le domaine de résolution de l'(in)équation, c'est à dire l'ensemble des nombres réels pour lesquels toutes les expressions sont valides. La résolution eectuée, il faut conserver uniquement les solutions qui appartiennent à cet ensemble. Cette méthode est particulièrement importante en présence de quotients, de racines carrées et de logarithmes. 1 Equations. Résoudre une équation de degré un Exemple : Résoudre l'équation (E) : 3x + 1 = 0. D (E) = R. ) Résolution : Soit x D (E), 3x + 1 = 0 3x = 1 x = 1 3 { S = 1 }. 3 ( 4) Vérication : 3 1 ) + 1 = = Résoudre une équation de degré deux Exemple : Résoudre l'équation (E) : x + x 6 = 0 D (E) = R. ) Résolution : Le discriminant vaut : = b 4ac = 1 4 ( 6) = = 49 > 0. 1

2 D'où = 49 = 7 et l'équation x + x 6 admet deux racines qui sont et x 1 = b a = = 8 4 = x = b = = 6 a 4 4 = 3. Attention à ne pas oublier de diviser par a et non par, lorsque a est diérent de 1. { S = ; 3 } 4) Vérication : ( ) 6 = 0. De même pour 3. Remarques : x 8 = 0 est un cas particulier de trinôme du second degré. Mais on résout plutôt ce type d'équation sans passant par le discriminant et en écrivant x 8 = 0 x = 8 x = 8 ou x = Résoudre une éq. qui ne peut pas se ramener à une éq. de degré un ou deux Une factorisation est généralement possible dans ce cas là. On utilise ensuite le fait qu'un produit de facteurs est nul si et seulement un des facteurs est nul. Exemple : Résoudre l'équation (E) : 3(x + 1)(x + 3) = (x + 3) D (E) = R. ) Résolution : Soit x D (E), 3(x + 1)(x + 3) = (x + 3) 3(x + 1)(x + 3) (x + 3) = 0 (x + 3) [3(x + 1) (x + 3)] = 0 (x + 3)(x) = 0 x + 3 = 0 ou x = 0 x = 3 ou x = 0 S = {0; 3} 4) Vérication : 3(0 + 1)(0 + 3) = 9 et (0 + 3) = 9, de même pour 3. Remarques : 1. Attention, vous pourriez être tenté de diviser par (x + 3) les deux membres de l'équation (E) et écrire : 3(x + 1)(x + 3) = (x + 3) 3(x + 1) = x + 3 x = 0. Ceci est faux! En eet, x D (E)=R, d'où x + 3 peut être égal à 0, auquel cas vous divisez par 0. Ce qui est strictement interdit. De ce fait, vous oubliez des solutions possibles.. Parfois la factorisation n'est pas évidente. Si ça ne l'est pas, pensez déjà à factoriser les trinômes du second degré qui pourraient apparaître (soit en faisant apparaître des identités remarquables, soit en calculant les racines et en utilisant la technique de factorisation vue en cours). Par exemple :

3 (a) (x + 1)(x + 5) (x + 3)(x + 3x + ) = (x + 1)(x + 5) (x + 3)(x + 1)(x + ), car x + 3x + = (x + 1)(x + ) en factorisant par la méthode du cours. (b) x 16 (x 4)(x + 5) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x + 5), car x 16 = (x 4)(x + 4) en reconnaissant une identité remarquable. 3. En dernier recours, on développe et on voit si on peut simplier et se ramener à un des cas précédents. 5. Résoudre une équation avec des quotients Exemple : Résoudre l'équation (E) : x x + + x = 3 Ici il est très important de donner d'abord l'ensemble de dénition. Pour que l'équation soit bien dénie, il faut que x + 0 et que x 0, c'est à dire x et x 0 (an que l'on ne divise pas par 0). D'où, D (E) = R \ {, 0}. Soit x D (E). On regroupe tout d'abord l'ensemble des termes dans un même membre et puis on réduit au même dénominateur. x x + + x = 3 x x + + x + 3 = 0 x (x + ) 3x(x + ) + + x(x + ) x(x + ) x(x + ) = 0 x + (x + ) + 3x(x + ) = 0 x(x + ) 4x + 8x + 4 = 0 x(x + ) car une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul 4x + 8x + 4 = 0 à noter qu'on est ainsi ramené à résoudre une équation sans fractions 4(x + x + 1) = 0 x + x + 1 = 0 (x + 1) = 0 en reconnaissant une identité remarquable, ou sinon on passe par le calcul du discriminant x + 1 = 0 x = 1 Attention, ici il est important de vérier que les solutions appartiennent au domaine de dénition de l'équation (car celui-ci n'est pas tout R). On a 1 D (E). D'où, S = { 1} 3) Vérication : = Résoudre une équation avec des racines carrées 3

4 Exemple 1 : Résoudre l'équation (E) : x 4 = Ici il est très important de donner d'abord l'ensemble de dénition. L'équation (E) : x 4 = est bien dénie lorsque x 4 0 (an que x 4 soit bien dénie), c'est à dire pour x 4. D'où, D (E) = [4; + [. Soit x D (E) (c'est à dire x 4). x 4 = ( x 4) = on élève tout au carré pour faire partir les racines x 4 = 4 x = 8 Attention, ici il est important de vérier que les solutions appartiennent au domaine de dénition de l'équation (car celui-ci n'est pas tout R). Comme 8 4, on en déduit que 8 D (E). D'où, S = {8}. 4) Vérication : 8 4 = 4 =. Exemple : Résoudre l'équation (E) : x + 9 = 5 L'équation (E) : x + 9 = 5 est bien dénie lorsque x + 9 0, c'est à dire pour tout x R (car un carré est toujours positif, donc a fortiori x pour tout x R). D'où, D (E) = R. Soit x D (E) (c'est à dire x R). x + 9 = 5 ( x + 9) = 5 x + 9 = 5 x = 16 x = 16 = 4 ou x = 16 = 4 Comme il n'y a pas de restriction sur l'ensemble de dénition qui est égal à tout R, on en déduit que S = { 4; 4}. 4) Vérication : = 5 = 5 et ( 4) + 9 = 5 = 5. Exemple 3 : Résoudre l'équation (E) : x + 3 = x 4

5 L'équation (E) : x + 3 = x est bien dénie lorsque x (an que x + 3 soit bien dénie) et lorsque x 0 (car une racine est toujours positive). Or x 0 x 0. Et x est vrai pour tout x R. D'où, D (E) = R +. Soit x D (E) (c'est à dire x 0). x + 3 = x ( x + 3) = (x) x + 3 = 4x 3x = 3 x = 1 x = 1 = 1 ou x = 1 = 1 Or 1 D (E) mais 1 / D E. D'où, S = {1}. Cet exemple montre qu'il est fondamental de vérier que les solutions obtenues appartiennent à l'ensemble de dénition avant de conclure. 4) Vérication : = 4 = et 1 =. Remarque : Il faut toujours isoler la racine avant d'élever au carré. Par exemple, on écrira d'abord x + 3 x = 0 x + 3 = x, avant d'élever au carré. 7. Résoudre une équation avec de l'exponentielle On sait résoudre des équations du type : ˆ e f(x) = a (avec a > 0). Autrement, si a < 0, il n'y a pas de solution car l'exponentielle est toujours > 0. ˆ du type e f(x) = e g(x) en passant au logarithme. Exemple 1 : Résoudre l'équation (E) : e x = D (E) = R. Soit x D (E). { } ln() S =. 4) Vérication : e x = ln(e x ) = ln() on peut composer par le logarithme car tout est positif x = ln() on est ramené à des équations classiques sans exponentielle x = ln() 5

6 ln() e = e ln() =. Exemple : Résoudre l'équation (E) : e x e x = 0 D (E) = R. Soit x D (E). S = {0; }. e x e x = 0 e x = e x ln(e x ) = ln(ex ) on peut composer par le logarithme car tout est positif x = x on est ramené à des équations classiques sans exponentielle x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 ou x = 4) Vérication : e 0 = e 0 = 1 et e 0 = e 0 = 1, de même pour. Remarques : 1. Il faut parfois utiliser les propriétés de l'exponentielle pour se ramener à une expression du type e f(x) = a ou du type e f(x) = e g(x). Exemple : e x e 3x+x = 1 e x 3x+x = 1 e x x = 1.. Attention à ne pas utiliser des propriétés qui n'existent pas : par exemple ln(e x e x ) x x. 8. Equations avec des logarithmes On sait résoudre des équations du type ˆ ln(f(x)) = a ˆ ln(f(x)) = ln(g(x)) en passant au logarithme. Attention, les équations faisant intervenir du logarithme nécessitent de bien étudier l'ensemble de dénition de l'équation. Exemple 1 : Résoudre l'équation (E) : ln(x 3) + 5 = 0 1)Ensemble de dénition : Il faut que x 3 > 0 (pour que le logarithme soit bien dénie). On rappelle que le logarithme est déni sur ]0, + [. Or x 3 > 0 x > 3 x < 3 ou x > 3. D'où [ D (E) = ] ; 3 ] [ 3; +. 6

7 Soit x D (E) ln(x 3) = 5 e (ln(x 3)) = e 5 on est ramené à des équations classiques sans logarithme en composant par l'exponentielle x 3 = e 5 x = e x = e ou x = e Comme e > 3, on a bien que e D (E) et e D (E). D'où S = { e 5 + 3, e } 4) Vérication : je vous laisse la faire. Exemple : Résoudre l'équation (E) : ln(x + 1) = ln(x) L'équation (E) est bien dénie pour x tels que x + 1 > 0 (an que ln(x + 1) soit bien dénie) et x > 0 (an que ln(x) soit bien dénie). On doit donc avoir, x > 1 et x > 0. D'où, D (E) = ]0; + [. Soit x D (E). Comme 1 / D (E), S =. Remarques : ln(x + 1) = ln(x) e ln(x+1) = e ln(x) x + 1 = x x = 1 1. Il faut parfois utiliser les propriétés du logarithme pour se ramener à une expression du type ln(f(x)) = a ou du type ln(f(x)) = ln(g(x)). Exemple : ln(x) + ln( 3x + 1) = 1 ln(x ( 3x + 1)) = 1 ln( 6x + x) = Attention à ne pas utiliser des propriétés qui n'existent pas. 9. Une astuce : le changement de variables Exemple 1 : Résoudre l'équation (E) : e x + e x 6 = 0 D (E) = R. ) Résolution de (E) : L'astuce consiste à écrire : e x + e x 6 = 0 (e x ) + e x 6 = 0. En posant X = e x, cela revient à résoudre X + X 6 = 0 avec X > 0 (puisque X = e x > 0). Après calcul du discriminant, on trouve que les solutions de l'équation X + X 6 = 0 sont S = { 3, }. 7

8 D'où X = 3 ou X = e x = 3 ou e x = e x = (car e x = 3 est impossible puisque e x > 0) x = ln() (en passant au logarithme). S = {ln()}. 4) Vérication : e ln() + e ln() 6 = e ln() + 6 = + 6 = Inéquations Les techniques restent les mêmes, sauf que l'on remplace des égalités par inégalités et que à la n on fait un tableau de signe. 11. Résoudre une inéquation de degré un Il faut surtout faire attention au signe lorsqu'on divise par un terme négatif. Exemple : Résoudre l'inéquation (I) : 3x D (I) = R. ) Résolution : Soit x D (I), 3x x 1 x 1 3 [ [ 1 S = D (I) 3 ; + = [ [ 1 3 ; Résoudre une inéquation de degré deux Exemple : Résoudre l'inéquation (I) : x x D (I) = R. ) Résolution : Le discriminant vaut : = b 4ac = ( 1) 4 ( ) 6 = = 49 > 0. D'où = 49 = 7 et l'équation x + x 6 admet deux racines qui sont et D'où le tableau de signe suivant : x 1 = b a x = b + a = = 6 4 = 3 = = 6 4 =. 8

9 3 x x x Attention à ne pas oublier qu'ici on est du signe contraire de a = entre les racines, c'est à dire de signe positif. S = D (I) [ ; 3 ] = [ ; 3 ] Remarques : Comme pour les équations, si on a pas du degré un ou deux, on peut généralement tout ramener dans un même membre et tout factoriser. Cas particulier : Soit k 0. ˆ x k k x k. ˆ x k x k ou x k. La meilleure façon pour le voir est d'en faire la représentation graphique. Figure 1 En vert les solutions de l'inéquations x k et en rouge les solutions de l'inéquations x k Exemple : Résoudre l'inéquation (I) : x 3. D (I) = R. ) Résolution : Soit x D (E). x 3 x 3 ou x 3. S = ] ; 3 ] [ 3; + [ Exemple : Résoudre l'inéquation (I) : (x 3) 1. D (I) = R. ) Résolution : Soit x D (E). 9

10 On pourrait développer le carré, tout passer dans un même membre et étudier le signe du trinôme du second degré obtenu. Ici il est plus simple d'utiliser le résultat cité ci-dessus : S = [; ] (x 3) 1 1 x x x Résoudre une inéquation qui ne peut se ramener directement à une inéquation de de Lorsqu'une inéquation ne peut se ramener à une inéquation de degré un ou deux, on cherchera à la mettre sous la forme A(x) 0 (ou, >,<) puis à factoriser A(x). On obtiendra ainsi un produit de facteurs dont on pourra construire le tableau de signe. Exemple : Résoudre dans R l'inéquation (I) : (x 1)(x + 5) 3(x 1). D (I) = R. ) Résolution : On a : (x 1)(x + 5) 3(x 1) (x 1)(x + 5) 3(x 1) 0 (x 1)(x + 5 3(x 1)) 0 (x 1)(x + 5 6x + 3) 0 (x 1)(x 6x + 8) 0 On étudie maintenant séparément le signe des deux facteurs. D'une part, on a x 1 0 x 1. Et d'autre part, x 6x x ], ] [4; + [. En eet, le discriminant de cette équation vaut = ( 6) 4 8 = 36 3 = 4 > 0. D'où, l'équation admet deux solutions qui sont x 1 = 6 + = 4 et x = 6 Et on conclut au signe de l'équation en utilisant le tableau de signe des équations du second degré. Au nal, on obtient le tableau de signe suivant : x 1/ 4 + x x 6x (x 1)(x 6x + 8) Il faut toujours faire un tableau de signe à la n lorsqu'on résout une inéquation. Ne surtout pas écrire : (x 1)(x 6x + 8) 0 x 1 > 0 ou x 6x + 8 > 0 qui est totalement faux! Car un "ou" signie que l'un des facteurs peut être négatif tant que =. 10

11 l'autre est positif. Or un positif fois un négatif donne un négatif! De plus, le produit peut être positif parce que les deux facteurs sont négatifs! 3) S = ] ; 1 ] [; 4]. 14. Résoudre une inéquation avec des racines Exemple : Résoudre l'équation (I) : x 4 x + Cherchons tout d'abord le domaine de validité : On doit avoir : x 4 0 x et x + 0 et x + 0 x. Donc D (I) = [, + [. ) Résolution : Soit x D (I), x 4 x + ( x 4) (x + ) car x x est croissant sur R + x 4 (x + ) x 4 x + 4x x + x + 8 Cherchons le signe de : x + x + 8. Calculons le discriminant : = < 0, donc comme a = 1 > 0, x + x + 8 > 0 sur R. Donc S = D (I) R = [, + [. 15. Résoudre une inéquation avec de l'exponentielle ou le logarithme Les techniques restent les mêmes que pour une équation. Exemple 1 : Résoudre l'inéquation (I) : e x D (I) = R. Soit x D (i). 11

12 e x ln(e x ) ln() ] S = ; ln() ]. car x ln(x) est croissant sur R + x ln() x ln() Pour le logarithme on pensera à bien vérier que les solutions appartiennent au domaine de dénition de l'équation ; ; 16. Résoudre une inéquation avec des quotients Exemple : Résoudre l'équation (I) : x x + + x < 3 Pour que l'équation soit bien dénie, il faut que x + 0 et que x 0, c'est à dire x et x 0 (an que l'on ne divise pas par 0). D'où, D (I) = R \ {, 0}. Soit x D (I), on regroupe tout d'abord l'ensemble des termes dans un même membre x x + + x < 3 x x + + x + 3 < 0 x (x + ) 3x(x + ) + + x(x + ) x(x + ) x(x + ) < 0 x + (x + ) + 3x(x + ) x(x + ) 4x + 8x + 4 x(x + ) 4(x + x + 1) x(x + ) 4(x + 1) x(x + ) < 0 < 0 < 0 Ensuite, une fois l'ensemble factorisé, on fait un tableau de signe. Surtout ne pas écrire 4(x + 1) < 0 (car pour cela vous multiplier l'inégalité par x(x + ), or vous ne savez pas si ce terme est positif ou négatif). On écrit donc l'ensemble des facteurs dans le tableau! On a : < 0 1

13 x (x + 1) x 0 + x (x + 1) x(x + ) D'où S = ], 1[ ] 1, 0[. Attention à bien exclure 1 et Bilan On rappelle la méthode pour résoudre une (in)équation : 1. On cherche l'ensemble de dénition. On regroupe tout dans un même membre 3. On met tout au même dénominateur s'il y a des fractions qui interviennent, on isole la racine et on élève au carré s'il y a des racines carrées. 4. On factorise au maximum au numérateur et au dénominateur par des termes de degré un (de la forme ax + b) ou deux (de la forme ax + bx + c). Et surtout on ne divise pas par des termes qui dépendent de x car on n'en connait pas le signe. 5. ˆ Pour une équation : le produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul. On se ramène ainsi à résoudre des équations de degré un ou deux. ˆ Pour les inéquations : on étudie le signe de chacun des facteurs et on fait un tableau de signe. 18. Equations ou inéquations avec des valeurs absolues On se ramène à des (in)équations classiques en se débarassant de la valeur absolue. Exercice 18.1 Résoudre 5x + 7 = x Solution. 1. Ecrivons 5x + 7 et x + 1 sans valeur absolue. On a : 5x x 7 x 7 5. et x x 1 x 1. On en déduit alors le tableau suivant : 13

14 x 7/5 1/ + 5x + 7 (5x + 7) = 5x + 7 5x + 7 5x 7 x + 1 (x + 1) = (x + 1) = x + 1 x 1 x 1 5x + 7 5x 7 5x + 7 5x + 7 = x = ( x 1) +1 = ( x 1) +1 = (x + 1) +1. On doit maintenant résoudre trois équations. (a) 1er cas : On résout sur ] ; 7/5] l'équation 5x 7 = x. On a : 5x 7 = x 3x = 7 x = 7/3. Or 7/3 < 7/5. D'où S = { 7/3} Pensez à vérier que vos solutions sont bien dans l'ensemble sur lequel vous résolvez votre équation. (b) ème cas : On résout sur [ 7/5; 1/] l'équation 5x + 7 = x. On a : 5x + 7 = x 7x = 7 x = 1. Or 1 [ 7/5; 1/]. D'où S = {1}. (c) 3ème cas : On résout sur [ 1/; + [ l'équation 5x + 7 = x +. On a : 5x + 7 = x + 3x = 5 x = 5/3. Or 5/3 [ 1/; + [. D'où S = { 5/3}. (d) Au nal, l'ensemble des solutions est donc égal à S = { 1; 7/3; 5/3} Remarque : penser à vérier vos résultats an d'être sûr de ne pas avoir fait d'erreurs de calcul. Le principe reste le même pour les inéquations avec valeurs absolues. 14