Révision classe de 2 e Position. Vitesse. Accélération

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1 1 re B et C Révision classe de e. Position. Vitesse. Accélération 1 Révision classe de e Position. Vitesse. Accélération 1. Référentiel. Repère a) Cinéatique du point La cinéatique est l étude du ouveent des corps. Nous ne considérerons que des corps de faibles diensions de sorte qu ils seront toujours assiilables à un point appelé le obile. Les grandeurs physiques de la cinéatique sont le teps, la position, la vitesse et l accélération. "Etudier le ouveent" veut dire : 1) Trouver l équation de la trajectoire du obile. ) Trouver la relation athéatique (= équation) entre vitesse et teps. (Connaissant cette relation on peut calculer la vitesse du obile à n'iporte quel instant, ou bien l'instant correspondant à n'iporte quelle vitesse.) 3) Trouver la relation entre position et teps. (Connaissant cette relation on peut calculer la position du obile à n'iporte quel instant, ou bien l'instant correspondant à n'iporte quelle position.) 4) Trouver la relation entre vitesse et position. (Connaissant cette relation on peut calculer la vitesse du obile à n'iporte quelle position, ou bien la position pour n'iporte quelle vitesse.) b) La description du ouveent n est pas la êe dans tous les référentiels La description d un ouveent se fait par rapport à un corps (ou un systèe de plusieurs corps iobiles les uns par rapport aux autres), choisi coe référence, appelé référentiel. Exeples : Terre, systèe foré par le centre de la Terre et trois étoiles fixes (= systèe géocentrique),... Exeple : Deux voyageurs A et B sont assis dans un wagon en ouveent. Le voyageur A observe B et conclut : B est iobile. Le chef de gare C se trouvant sur le quai où passe le train, observe B et conclut : B est en ouveent. Ces deux observations sont-elles contradictoires?

2 1 re B et C Révision classe de e. Position. Vitesse. Accélération Non, car elles sont faites dans deux référentiels différents : A fait ses observations dans le référentiel du wagon, C fait ses observations dans le référentiel lié à la Terre. Exeple : La Tour Eiffel est iobile dans le référentiel terrestre, ais décrit un ouveent circulaire unifore dans le référentiel géocentrique. Pour décrire athéatiqueent les caractéristiques d un ouveent, un observateur utilise un repère lié au référentiel d observation. Un repère est déteriné par une origine O et par une base le plus souvent orthonorée. Exeple : Repère (O, i, j, k ) orthonoré (à 3 diensions). Les axes Oy et Oz perpendiculaires entre-eux, sont dans le plan de la feuille de papier. L axe Ox sort de ce plan et est perpendiculaire à ce plan (foré par Oy et Oz = plan de la feuille). c) Le teps (t) est une grandeur physique fondaentale Dans le doaine des sciences coe dans la vie courante, le teps intervient de deux anières : 1) La durée ou l intervalle de teps qui s écoule entre deux événeents. ) La date ou l instant auquel un événeent a lieu. Pour exprier une date il est nécessaire de définir une origine des teps t 0 : il faut choisir un événeent et lui attribuer conventionnelleent la date zéro (t 0 = 0). Les événeents qui se sont produit avant l instant t 0 ont des dates t < 0. Les événeents qui se sont produit après l instant t 0 ont des dates t > 0. Toute durée est une différence de deux dates, et est donc indépendante de l origine des teps! Si deux événeents se produisent à des instants t 1 et t, alors l intervalle de teps (ou la durée) entre ces événeents est t t 1 > 0. Le teps est esuré à l aide d horloges. On utilise coe horloges, soit des phénoènes naturels, soit des événeents artificiels qui se reproduisent régulièreent, à des intervalles de teps successifs égaux. Tels sont l alternance du jour et de la nuit, le ouveent du balancier d une pendule ou d une ontre, l oscillation électrique dans un cristal de quartz (ontres électroniques). L horloge est d autant plus précise que le phénoène utilisé est plus régulier. L unité S.I. (Systèe International d unités) du teps est la seconde (s).

3 1 re B et C Révision classe de e. Position. Vitesse. Accélération 3 A condition que la vitesse du référentiel soit largeent inférieur à la vitesse de la luière (v < 0,1 c), l écouleent du teps se fait de la êe façon quel que soit le choix du référentiel et du repère. (Point de vue de la physique classique ) Exeple : Deux cyclistes A et B roulent côte à côte à la vitesse de 30 k/h. Subiteent A accélère et B constate qu au bout de 3 s, A a pris une avance de 10. Un piéton C au bord de la route et ayant tout observé conclut de êe que B, qu il a fallu 3 s pour que A prenne une avance de 10 sur B. La durée entre les deux événeents A coence à accélérer et A a une avance de 10 vaut 3 s aussi bien dans le référentiel de B que dans celui de C. d) La trajectoire du point dépend du référentiel La trajectoire est l'enseble des positions successives occupées par le obile M lors de son ouveent. Elle est représentée par une courbe dans l espace. Coe toute courbe, la trajectoire est déterinée, dans un repère donné, par son équation athéatique. La fore de la trajectoire dépend du référentiel choisi.

4 1 re B et C Révision classe de e. Position. Vitesse. Accélération 4. Position d un obile a) Vecteur position et coordonnées cartésiennes Soit M le obile et (O, i, j, k ) le repère choisi. La position de M à chaque instant est repérée par les coordonnées (ou coposantes) x, y, z du vecteur position OM. Mathéatiqueent : OM = xi + yj + zk et OM = x + y + z Si le repère est orthonoré x, y, z sont appelés coordonnées cartésiennes du point M. S il y a ouveent les coordonnées x, y, z varient dans le teps. Les fonctions x = f(t), y = g(t) et z = h(t) sont appelées équations horaires ou équations paraétriques du ouveent. Exeple : Dans le repère (O, i, instant par : x = t; y = 4t +3; z = 0 j, k ) la position d un point M est définie à chaque Donner les positions respectives du point M aux instants 0 s, 1 s, s, 3 s, 4 s. En déduire l équation de la trajectoire suivie par M.

5 1 re B et C Révision classe de e. Position. Vitesse. Accélération 5 b) Abscisse curviligne Si la trajectoire d un obile M est connue, on peut l orienter (= sens +) et choisir un point origine O. La valeur algébrique de l arc OM est l abscisse curviligne s du point M. * s > 0 si en allant de O à M on se déplace dans le sens de l orientation. * s < 0 si en allant de O à M on se déplace dans le sens inverse de l orientation. Le bon sens ipose qu on oriente, dans la esure du possible, la trajectoire dans le sens du ouveent. Le déplaceent d un obile se trouvant initialeent en M 1 à l instant t 1 et arrivant en M à l instant t, est évideent s s 1. L abscisse curviligne est liée au teps par la relation s = f(t), appelée équation horaire du ouveent. Exeple : Sur une carte routière, les distances entre les villes sont déterinées à partir des abscisses curvilignes de ces dernières.

6 1 re B et C Révision classe de e. Position. Vitesse. Accélération 6 3. Vitesse d un obile La rapidité avec laquelle un obile change de position est indiquée par sa vitesse (vecteur vitesse). On distingue vitesse oyenne et vitesse instantanée. a) Vitesse oyenne v Tout le onde sait que la vitesse oyenne est le déplaceent divisé par la durée. Si un obile se trouve en M 1 à l instant t 1 et en M à l instant t > t 1, la vitesse oyenne au cours du déplaceent de M 1 vers M s écrit : s s1 Δs v = = (valeur absolue pour que v > 0) t t Δt 1 Rearque : On note usuelleent par Δx la différence "valeur finale de la grandeur x" oins "valeur initiale de la grandeur x" : Δx = x final x initial Si le déplaceent ( Δ s > 0) est noté d, on obtient (une forule à retenir) : v d = Δt b) Vecteur vitesse oyenne v Soient M 1 la position du obile à l instant t 1 et M celle à l instant t > t 1. Définitions : Vecteur déplaceent : MM 1 MM 1 Vecteur vitesse oyenne : v = t t 1

7 1 re B et C Révision classe de e. Position. Vitesse. Accélération 7 Sur la figure on voit que : M1M = OM OM1 =ΔOM Coe t t 1 = Δt, on a finaleent : ΔOM v = Δ t b) Vecteur vitesse instantanée v Le vecteur vitesse instantanée donne des renseigneents plus précis que le vecteur vitesse oyenne : il définit la vitesse du obile à chaque instant! Si au cours d un intervalle de teps Δt = t t 1, la vitesse ne varie pas d un instant à l autre, c. à d, qu elle est constante, il est évident que pour cet intervalle de teps, la vitesse instantanée à chaque instant est égale à la vitesse oyenne. Si par contre la vitesse varie d un instant à l autre (cas général), la vitesse instantanée s obtient en réduisant l intervalle de teps Δt autant, pour qu on puisse adettre que la vitesse ne varie plus au cours de cet intervalle de teps. Ceci veut dire que la vitesse instantanée est égale à la vitesse oyenne au cours d'un intervalle de teps très petit, êe infinient petite, noté dt. Bien entendu, le déplaceent ΔOM qui a lieu au cours d'une durée très petite, est égaleent infinient petit. On le note dom. dom v = dt * Direction et sens de v Lorsque Δt devient très petit, t tend vers t 1, et M tend vers M 1. La nore du vecteur déplaceent tend vers zéro, et sa direction tend vers la tangente à la trajectoire au point M 1. Son sens reste orienté de M 1 vers M = sens du ouveent. Le vecteur vitesse instantanée est celui du ouveent. v est à chaque instant tangent à la trajectoire. Son sens

8 1 re B et C Révision classe de e. Position. Vitesse. Accélération 8 * Intensité (nore, odule) de v Elle est notée v et indique la valeur de la vitesse instantanée (= nobre suivi d'une unité). L unité S. I. de la vitesse est le /s. 1 /s = 3,6 k/h En général lorsqu'il y a ouveent, v varie dans le teps! c) Coordonnées du vecteur vitesse instantanée Dans la base (O, i, j, k ), v s exprie par : v = v i + v j + v k. L intensité v est reliée aux coordonnées v x, v y, v z par la relation de Pythagore : v = v + v + v Mouveent plan : Mouveent dans l espace à deux diensions (= plan). On a : v = v i + v j et v = v x + v x y Pour l'exeple de la figure, v x > 0 et v y < 0. x x y y y z z Exeple : Calculer la nore du vecteur vitesse instantanée sachant que ses coordonnées sont : v x = 3,5 /s, v y = -6, /s, v z = 0.

9 1 re B et C Révision classe de e. Position. Vitesse. Accélération 9 4. Accélération Lorsque la vitesse v d un obile varie, on aierait connaître la rapidité avec laquelle elle varie. C est justeent l accélération a du obile qui coporte cette inforation! L accélération a (= vecteur accélération) indique de cobien varie la vitesse v (= le vecteur vitesse) en 1 seconde. Attention : v peut varier en intensité et en direction! Une forte accélération a (forte intensité du vecteur accélération) signifie que la vitesse varie vite. Une faible accélération signifie qu elle varie lenteent. L accélération a indique donc la rapidité de variation de la vitesse v. Exeples : * Mouveent rectiligne unifore v ne varie pas a = 0 * Mouveent unifore ais non rectiligne v varie en direction; par contre v (intensité de v ) reste constant a 0 * Mouveent rectiligne ais non unifore v varie; par contre la direction de v reste constante a 0 On distingue l accélération oyenne a au cours d un intervalle de teps Δt, et l accélération instantanée a à un instant donné. a) Accélération oyenne * Le obile M devient de plus en plus rapide A l instant t 1, le obile se trouve en M 1 avec la vitesse v 1.

10 1 re B et C Révision classe de e. Position. Vitesse. Accélération 10 A l instant t, le obile se trouve en M avec la vitesse v. Au cours de l'intervalle de teps Δt = t t 1, la vitesse varie de Δ v= v v 1, et l'accélération oyenne a vaut : a Δv = Δt a est appliqué au point M où le obile se trouve à l'instant t (t 1 < t < t ). On voit que l'angle α que fait L intensité de a a, notée a, est égale à l intensité de avec la vitesse au point M est un angle aigu. Δv divisée par Δt. Rearque : En physique, l intensité d'un vecteur u est généraleent noté u. En athéatiques, l intensité d'un vecteur u (= nore de u ) est notée Dans notre cas, Δv = v v 1 (différence des intensités!) est différent de l intensité de Δv (voir figure!). Par conséquent, l intensité de Δ v doit être notée exceptionnelleent Δ v. L intensité de a Δv s écrit alors : a = Δt u. b) Le obile M devient de plus en plus lent Les forules sont exacteent les êes. On voit que l'angle α que fait point M est un angle obtus. a avec la vitesse au Dans tous les cas, l accélération est dirigée vers la concavité de la trajectoire.

11 1 re B et C Révision classe de e. Position. Vitesse. Accélération 11 b) Accélération instantanée L'accélération instantanée a du obile s'obtient en réduisant l'intervalle de teps Δt telleent que l'accélération ne puisse plus varier. L'accélération instantanée a est donc égale à l'accélération oyenne a au cours d'un intervalle de teps infinient petit, noté dt. La variation infinient petite de la vitesse est notée dv. dv a = dt Si l'accélération Δv a = Δt a est constante (approxiation très fréquente), alors et l'intensité de a Δv est : a = Δt a = a. 5. Notations et vocabulaire Un vecteur est noté avec une petite flèche. Le vecteur vitesse par exeple est noté : v. L intensité du vecteur est notée sans flèche. L intensité du vecteur v est notée v. Les teres intensité, odule et nore d un vecteur sont équivalents. L intensité d un vecteur est un nobre stricteent positif. Les coposantes ou coordonnées d un vecteur sont notées avec les indices x, y, et z. Celles du vecteur v par exeple sont notées vx, v y, v z. Elles sont les projections du vecteur sur chaque axe. Ce sont des nobres algébriques (donc positifs ou négatifs)! Les très petites différences (infinient petites) ne sont plus notées par Δ ais par d.ainsi la variation infinient petite de la grandeur t est notée dt et non pas Δt.