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1 AVANT PROPOS Cet ouvrage propose aux élèves de classes termiales (fraçais) S (spécialité math) des rappels et des complémets de cours assez complet, aisi que des problèmes et des exercices corrigés. Les complémets de cours sot des résultats très classiques (qui figure das le programme de termial tuisie spécialité math et e sot pas des objectifs das le programme fraçais) et dot la coaissace est utile et idispesable pour résoudre et bie compredre les problèmes proposés. Ciq chapitres sot présetés das cet ouvrage : Aalyse Arithmétique Complexe Probabilité Similitude Les problèmes proposés sot gééralemet difficiles et très origiaux et élégats, ils poctuet des résultats très célèbres raremet ou jamais vu e termiale secodaire, plutôt, ils fot l objectif du programme du premier cycle supérieur, l atout de l ouvrage est de satisfaire la curiosité des matheux et les élites e les préparat pour accéder aux classes préparatoires aux grades écoles e leurs offrat ue boe culture mathématique, des astuces très difficiles et surtout des techiques de résolutio de problèmes mathématiques o courate pour les classes de termial. Cet ouvrage pourra itéresser égalemet les eseigats de ce iveau.

2 Présetatio de l ouvrage «Présetatio de l ouvrage» A/ Arithmétique : I/ Cours et complémet de cours : Rappels des défiitios et théorèmes. Le complémet de cours comporte le théorème du petit Fermat et le théorème de Wilso avec démostratio aisi que la défiitio de Z/Z e tat qu esemble sas parler i de groupe i d aeau,il comporte égalemet la otio d ijectivité, surjectivité et bijéctivité. O parlera de l axiome suivat : Si U ue partie o vide de IN alors elle admet u plus petit élémet. O utilisera le résultat suivat qui découle de l axiome précédet : toute partie fiie et o vide de IN admet u plus petit élémet. I/ Problèmes : Problème 1 : Recherche de deux etiers a, b IN vérifiat a b m avec m u etier très grad. Problème : p premier x 1 p 14 o costruit explicitemet u etier x vérifiat Problème 3 : Soit p s 1 et INet U Si 1 p et p premier alors U p Si 1 s et p est premier alors U p1 k k1 1 p Problème 4 : 3 Si premier et 5alors divise C La démostratio est très origiale et assez courte présetat sept degrés de difficultés (sept étapes) faisat iterveir simplemet de l arithmétique. Problème 5 : 1 1! Si premier et 5 alors divise k1 k La démostratio de ce résultat s ispire de celle de la démostratio précédete. Problème 6 : Nouvelle démostratio du résultat : 14 Si p premier alors a, b tel que p a b.le ouveau das cette démostratio, c est qu o utilise par la théorie des groupes mais simplemet de l arithmétique e se limitat aisi au programme du termial S spécialité math. 1

3 Présetatio de l ouvrage Problème 7 : Nouvelle démostratio du théorème des sommes des carrés : m IN* est somme de deux carrés das la décompositio caoique e produit de facteur premier, tout facteur premier 34 est d exposat paire. Le ouveau ici est qu o exclue das la démostratio, la théorie de groupe e la remplaçat par ue récurrece très difficile et origiale sur des ombres premiers. O se limite égalemet à l arithmétique. Problème 8 : Résultat : Si p premier alors a, b tel que : 13 p a ab b. La démostratio se limite égalemet au programme de termial S spécialité math : seulemet de l arithmétique sas théorie de groupe. Problème 9 : Résultat : m IN*, a, b tel que m a b ab das la décompositio caoique e produit de facteurs premiers, tout facteur premier 3 est d exposat paire. La démostratio est aussi ouvelle faisat exclure la théorie des groupes et se limitat à l arithmétique, et ue ouvelle fois ue récurrece sur les ombres premiers. Problème 1 : résultat : l esemble des ombres premiers 11 est ifii. La démostratio est coforme au programme de termial S spécialité math utilisat simplemet de l arithmétique. Démostratio ouvelle et origiale. Problème 11 : l esemble des ombres premiers 14 est ifii Problème 1 : l esemble des ombres premiers Problème 13 : 13 est ifii Le but du problème est de prouver que u m,uu m, avec u la suite défiie par : u,u1 1et IN u u 1u Problème 14 : Le problème démotre le résultat suivat : 3 x,p,q IN*,d p,q et d mp q x d 1 x mp 1,x q 1 Si alors Problème 15 : Le problème démotre le résultat suivat : pa qb, ra sb avec psqr 1 Calcul de e foctio de a,b Problème 16 : Le problème démotre le résultat suivat : u m,uu m, avec u la suite défiie par : u,u1 1et IN u 3u 1u

4 Présetatio de l ouvrage Problème 17 : Le problème étudie l applicatio idicateur d Euler et quelques applicatios, par exemple : Si a, 1 alors a 1 ; et si d 1,d,...,ds sot les diviseurs de alors di s i1 sas utiliser la théorie des groupes. Problème 18 : Ce problème étudie les polyômes cyclomatiques, s démostratio du résultat suivat : x 1d xavec d i 1,d,...,d s sot i1 les diviseurs de e se limitat à l arithmétique sas utiliser la théorie des groupes. B/ Aalyse : I/ Cours et complémet de cours : 1) Rappel de cours. ) Le complémet de cours comporte : a) les défiitios des limites des suites et des foctios. NB : la résolutio des problèmes de l ouvrage utilise d ue maière simple la défiitio de lim U lim f x (à trois reprises) et la défiitio de x (à ue seule reprise) et utilise pas les autres défiitios. b) Limite et ordre pour les suites et foctios ; c) Foctio cotiue sur u itervalle, bijectivité et foctio réciproque Deux théorèmes sot proposés das ce complémet : i) Cotiuité de la foctio réciproque ii) Dérivabilité de la foctio réciproque. I/ Problèmes : Problème 1 : 1 Calcul de série de Riema d exposat lim e s ispirat des k1 k 6 série de Fourier bie travailler pour être compatible avec le iveau de termiale secodaire S. Problème : Méthode de Holme pour calculer la série de Riema d exposat et p1 x Logx so applicatio pour calculer : dx avec p IN adapté au iveau x 1 termial secodaire (astuces ouvelles très itéressates) Problème 3 : Méthode de Papadimitrou pour calculer la série de Riema d exposat. Problème log plei de difficultés et astuces origiales. 3

5 Présetatio de l ouvrage Problème 4 : Itégrales de Wallis et ses applicatio : Formule de Wallis, formule de Stirlig et itégrale de Gauss x t limx e dt, le ouveau das ce problème est l itégrale de Gauss à l aide de Wallis gééralemet étudié e 1 er cycle scietifique supérieur (math sup.) k si x Problème 5 : Le but de ce problème est de démotrer que : lim dx k x Problème 6 : Calcul de l itégrale de Gauss e utilisat la foctio itermédiaire x cos t e t défiie sur, cos t 4. Le problème présete des difficultés itéressates. Problème 7 : Ce problème permet de calculer l itégrale de Poisso Ix Logx xcost1dt e démotrat que Ix Ixqui est u sujet d étude du cycle préparatoire aux grades écoles (math sup. et math spé.). Il est préseté coformémet au programme de termial S. Problème 8 : Ce problème permet de calculer l itégrale de Poisso e utilisat la somme de Riema. Problème 9 : Le but du problème est d expliciter et développer e série etière la foctio cos t I x dt pour x 1,1. Ce problème a été le sujet d u cocours 1 xcost d admissio à l école polytechique, 86. Ce problème est plei de trucs origiaux coformes au programmes de termial S. Problème 1 : Ce problème permet de calculer la série k lim IR / par l itermédiaire de la suite k si k1 U cosx.cosx dx. Ce problème était le sujet du cocours des mies coforme au programme de termial S. 4

6 Présetatio de l ouvrage Problème 11 : Ce problème permet ue ouvelle costructio de la foctio expoetielle. C est la solutio du problème : H l esemble des applicatios de IR das IR tel que : f H i) f : IR IR cotiue e O o idetiquemet ulle. 1 ii) f 1 eavec e lim k1 k! k x O démotrera que hx lim est l uique élémet de H. k1 k! Ce problème est ue ouvelle vue de la costructio de la foctio expoetielle. Problème 1 : Ce problème permet de démotrer la formule du biôme k k k ab C a b sas utiliser le théorème de récurrece i la théorie de k dérivatio. Le ouveau das ce problème est qu il suppose icoue la suite C k das le développemet de a b. Problème 13 : Le but du problème est de prouver que e est irratioel e utilisat de l aalyse et de l arithmétique coformémet au programme de termial S spécialité math. Problème 14 : Le but du problème est de prouver que e est o algébrique d ordre c est à dire qu il existe pas trois etiers a, b et c o tous uls vérifiat : ae be c Problème 15 : Le but du problème est de justifier l irratioalité de et Problème 16 : Le problème étudie l aire d u cercle par deux méthodes aalytiques et géométrique et démotre la formule de Fraçois Viète à savoir : Problème 17 : Le problème détermie la limite de la suite u défiie par : u u 1 et IN u 1e 1 5

7 Présetatio de l ouvrage Problème 18 : x1 t Le problème défiit la foctio euréliee ( x) t e dtavec quelques propriétés. C/ Complexe : I/ Rappels de cours : II/ Exercices : 1 exercices sot proposés, 5 d etres eux démotret des résultats célèbres : i) Théorème de Ptolémée. ii) La somme des carrés des diagoales d u parallélogramme est égal à la somme des carrés des ses quatre côtés. iii) Si A, B, C, D et E ciq poits du pla et r alors il existe u poit M du 5 cerclec A,r tel que MA.MB.MC.MD.ME r. iv) Recherche des applicatio défiies sur vérifiat : i i 3 3 z f zf e zf e z z v) C est u problème de complexe doat l expressio de cos D/ Géométrie (Similitude) : I/ Rappels de cours : II/ Exercices : 6 exercices sur les similitudes et les isométries présetat des astuces itéressates dot u démotre que : Si O et I sot respectivemet le cetre du cercle circoscrit au triagle quelcoque ABC et le cetre du cercle iscrit à ce triagle et P u poit de [BA) et Q u poit de BP CQ BC alors OI PQ. [CA) tel que E/ Probabilité : I/ Rappels de cours : II/ Exercices : 6 exercices sot proposés dot u démotre de faço élégate le résultat suivat : IN C C k k 6

8 Cours d aalyse CHAPITRE1: ANALYSE COURS ET COMPLEMENT DE COURS Suites Numériques Défiitio : U:I IR ue applicatio de I das IR avec I ue partie o vide de IN est appelé : suite réelle. Propriétés : Si raiso r U 1 U r alors U est dite ue suite arithmétique de U U r ; Ui 1 Si raiso q i U 1 qualors U U U.q 1 Mootoie d ue suite réelle : a) U U est dite ue suite géométrique de ; Ui U Si q 1 i U est croissate U 1 U U est décroissate U 1 U b) U est costate U 1 U c) 1 q 1 q 1 d) U est dite mootoe si elle est croissate ou décroissate U est dite majorée si e) U est dite miorée si f) U M U m g) U est dite borée si elle est majorée et miorée Théorème de récurrece Le but d u raisoemet par récurrece est de prouver qu ue propriété P est vraie. 7

9 Cours d aalyse a) 1 ère P est vraie et forme : si si Pvraie alors P 1est vraie alors P est vraie P est vraie et b) ème forme : si Si k / k, Pkvraie alorsp 1est vraie alors P est vraie Défiitio de limite d ue suite : lim U cetre et de rayo, tel que U l itervalle de u rag partir du rag. lim U A tel que U A lim U A tel que U A Formule du Biôme : a,b Théorème 1 :! ab C a b avec C k! k! k k k k k tel que U, à Si U admet ue limite alors elle est uique. Si cette limite existe est fiie alors o dit que U est covergete si o U est dite divergete Théorème : Toute suite covergete est borée Théorème 3 : Toute suite croissate et majorée est covergete. Toute suite décroissate et miorée est covergete. Théorème 4 : Si a 1,1 Si a 1 Si a 1 lim a lim a U a admet pas de limite U limu et lim si lim V V limv lim U.V lim U lim V lim U lim U si U et V sot covergetes. 8

10 Cours d aalyse Théorème 5 : (Limites et ordres) Si U, et lim U alors Si U, et lim U alors Si U, et lim U alors Si U, et lim U alors Corollaire : U Si V, et lim U et Théorème 6 : Si lim U et si V U Théorème 7 : lim V ' alors alors lim V Si U V W et lim U lim W alors lim V Théorème 8 : Si f est ue foctio cotiue sur u itervalle I et soit U ue suite à valeurs das I qui coverge vers u réel. U f U et si I f Si Théorème 9 : 1 alors ' Si lim V et V alors 1 lim V Théorème 1 : Toute suite croissate et o majorée ted vers Toute suite décroissate et o miorée ted vers Théorème 11 : Si Si lim U lim V Théorème 1 : Si lim f x x et U V alors lim V et U V alors lim U et lim U alors lim f U 9

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