Nom : DEVOIR SURVEILLÉ 4 corrigé TS Prénom :

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1 Nom : DEVOIR SURVEILLÉ 4 corrigé TS Prénom : Sujet A L utilisation de la calculatrice est autorisée. Eercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. 1) f ' () 0, pour tout nombre réel de l intervalle [3 ; 1]. VRAI. En effet, la courbe c' est en-dessous de l ae des abscisses sur l intervalle [ 3 ; 1]. 2) La fonction f est croissante sur l intervalle [1 ; 2]. VRAI. En effet, f ' () 0, pour tout nombre réel de l intervalle [ 1 ; 2]. 3) f () 1, pour tout nombre réel de l intervalle [ 3 ; 2]. FAUX. En effet, à l aide du signe de f ' () lu sur le graphique, on en déduit le tableau de variation suivant pour la fonction f : Or d après l énoncé, on sait que f (0) = 1 Vu que f ( 1) est le minimum, on a donc f ( 1) < f (0), donc f ( 1) < 1 4) La tangente à la courbe c au point d abscisse 0 passe par le point de coordonnées (0 ; 1). FAUX. En effet, la tangente à la courbe c au point d abscisse 0 passe par le point de coordonnées (0 ; f (0)), c est-à-dire par le point de coordonnées (0 ; 1) et non pas (0 ; 1).

2 Eercice 2 (4 points) QCM. Dans l espace muni d un repère orthonormé. 1) Soit D 1 la droite de vecteur directeur u (2 ; 1 ; 1) passant par A (1 ; 1 ; 1). { =5+4 t Une représentation paramétrique de la droite D 1 est : réponse c) y= 3 2 t (t réel) z=1+ 2t En effet, la droite représentée par la représentation paramétrique de la réponse c) a pour vecteur directeur v (4 ; 2 ; 2) qui est un vecteur colinéaire au vecteur u (2 ; 1 ; 1). Donc u est aussi un vecteur directeur de la droite. { 5+4t=1 De plus, le système 3 2t= 1 1+2t= 1 Donc la droite passe par le point A. admet comme solution t = 1. La droite admet u pour vecteur directeur et passe par le point A, il s agit donc de la droite D 1. 2) ABCD est un tétraèdre régulier et I est le milieu de l'arête [BD]. Réponse c) : les droites (BC) et (AD) sont orthogonales. réponse b) : ABCD étant un tétraèdre régulier, les faces sont des triangles équilatérau. On en déduit que les droites (BD) et (CI) sont orthogonales, ainsi que les droites (BD) et (AI). A La droite (BD) étant orthogonale à deu droites sécantes du plan (ACI), elle est par conséquent orthogonale au plan (ACI). C B I D Eercice 3 : (10 points) On considère la fonction f définie sur R par f ( )= e. On note c sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Partie A : Soit g la fonction définie sur R par g () = e 1. 1) Étudier les variations de la fonction g sur R. g' () = e 1. Étude du signe de g' : g' () > 0 e e 1 > 0 e e > 1 e > 0. D'où le tableau de variations suivant : Page 2 sur 6

3 0 + g ' () 0 + g () 0 2) En déduire le signe de g () et en déduire que e est strictement positif, pour tout. D'après le tableau de variations précédent, g () 0 Partie B : 1) a) Calculer f ' (), f ' désignant la fonction dérivée de f. e e 1 0 e e 1, donc e > 0. f ()= e donc f = u v, avec u () = et v () = e, donc u' () = 1 et v' () = e 1. Donc f ' = u' v uv ' v 2, donc f ' () = e (e 1) = e e = e (1 ) (e ) 2 (e ) 2 (e ) 2 b) Dresser en justifiant le tableau de variation de la fonction f (sans les limites au bornes). Étude du signe de f ' () : e et (e ) 2 sont positifs, f ' est donc du signe de 1, on obtient donc le tableau de variations suivant : 1 + f ' () + 0 f () 1 e 1 2) a) Déterminer une équation de la tangente t à la courbe c au point d'abscisse 0. f (0) = 0 et f ' (0) = 1, une équation de t est donc y =. b) À l'aide de la partie A, étudier la position de la courbe c par rapport à la droite t. Pour étudier la position de la courbe c par rapport à la droite t, il étudier le signe de f (), soit e = e (e ) e = e 2 e = (e + 1) e = g( ) e D après la partie A, g () ainsi que e sont positifs. Donc f () > 0 quand < 0 (la courbe est au dessus de la tangente) et f () < 0 quand > 0: la courbe est en dessous..

4 Nom : DEVOIR SURVEILLÉ 4 corrigé TS Prénom : Sujet B L utilisation de la calculatrice est autorisée. Eercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. 1) f ' () 0, pour tout nombre réel de l intervalle [3 ; 1]. VRAI. En effet, la courbe c' est en-dessous de l ae des abscisses sur l intervalle [ 3 ; 1]. 2) La fonction f est croissante sur l intervalle [1 ; 2]. VRAI. En effet, f ' () 0, pour tout nombre réel de l intervalle [ 1 ; 2]. 3) f () 1, pour tout nombre réel de l intervalle [ 3 ; 2]. FAUX. En effet, à l aide du signe de f ' () lu sur le graphique, on en déduit le tableau de variation suivant pour la fonction f : Or d après l énoncé, on sait que f (0) = 1 Vu que f ( 1) est le minimum, on a donc f ( 1) < f (0), donc f ( 1) < 1 4) La tangente à la courbe c au point d abscisse 0 passe par le point de coordonnées (0 ; 1). FAUX. En effet, la tangente à la courbe c au point d abscisse 0 passe par le point de coordonnées (0 ; f (0)), c est-à-dire par le point de coordonnées (0 ; 1) et non pas (0 ; 1). Page 4 sur 6

5 Eercice 2 (4 points) QCM. Dans l espace muni d un repère orthonormé. 1) Soit D 1 la droite de vecteur directeur u (2 ; 1 ; 1) passant par A (1 ; 1 ; 1). { =5+4 t Une représentation paramétrique de la droite D 1 est : réponse c) y= 3 2 t (t réel) z=1+ 2t En effet, la droite représentée par la représentation paramétrique de la réponse c) a pour vecteur directeur v (4 ; 2 ; 2) qui est un vecteur colinéaire au vecteur u (2 ; 1 ; 1). Donc u est aussi un vecteur directeur de la droite. { 5+4t=1 De plus, le système 3 2t= 1 1+2t= 1 Donc la droite passe par le point A. admet comme solution t = 1. La droite admet u pour vecteur directeur et passe par le point A, il s agit donc de la droite D 1. 2) ABCD est un tétraèdre régulier et I est le milieu de l'arête [BD]. Réponse c) : les droites (BC) et (AD) sont orthogonales. réponse b) : ABCD étant un tétraèdre régulier, les faces sont des triangles équilatérau. On en déduit que les droites (BD) et (CI) sont orthogonales, ainsi que les droites (BD) et (AI). A La droite (BD) étant orthogonale à deu droites sécantes du plan (ACI), elle est par conséquent orthogonale au plan (ACI). C B I D Eercice 3 : (10 points) On considère la fonction f définie sur R par f ()= e. On note c sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Partie A : Soit g la fonction définie sur R par g () = e 1. 1) Étudier les variations de la fonction g sur R. g' () = e 1. Étude du signe de g' : g' () > 0 e e 1 > 0 e e > 1 e > 0. D'où le tableau de variations suivant :

6 0 + g ' () 0 + g () 0 2) En déduire le signe de g () et en déduire que e est strictement positif, pour tout. D'après le tableau de variations précédent, g () 0 Partie B : 1) a) Calculer f ' (), f ' désignant la fonction dérivée de f. e e 1 0 e e 1, donc e > 0. f ()= e donc f = u v, avec u () = et v () = e, donc u' () = 1 et v' () = e 1. Donc f ' = u' v uv ' v 2, donc f ' () = e (e 1) = e e = e (1 ) (e ) 2 (e ) 2 (e ) 2 b) Dresser en justifiant le tableau de variation de la fonction f (sans les limites au bornes). Étude du signe de f ' () : e et (e ) 2 sont positifs, f ' est donc du signe de 1, on obtient donc le tableau de variations suivant : 1 + f ' () + 0 f () 1 e 1 2) a) Déterminer une équation de la tangente t à la courbe c au point d'abscisse 0. f (0) = 0 et f ' (0) = 1, une équation de t est donc y =. b) À l'aide de la partie A, étudier la position de la courbe c par rapport à la droite t. Pour étudier la position de la courbe c par rapport à la droite t, il étudier le signe de f (), Page 6 sur 6