Découverte et modélisation du condensateur

Transcription

1 Découvere e modélisaion du condensaeur Dans cee découvere du condensaeur, nous allons d abord faire appel à vos connaissances, puis nous les complèerons avec quelques noions de cours ou des démonsraions. 1. Énoncer en quelques mos (ou phrases) commen es consiué un condensaeur e ce qu il va faire (du poin de vue des sciences physiques). Un condensaeur es consiué de deux conduceurs méalliques séparés par un isolan. Hisoriquemen, la boueille de Leyde es l'ancêre du condensaeur. Elle fu réalisée la première fois en 1745 dans la ville de Leyde (ou Leiden) aux Pays-Bas par Pieer van Musschenbroek. Un condensaeur es un disposiif quelconque pouvan emmagasiner une charge élecrique ; Tou corps conien à la fois des charges posiives e des charges A négaives Les charges négaives son porées par des paricules rès peies e U ideniques appelées élecrons Les charges posiives son porées par des paricules rès peies conenues dans le noyau des aomes: les proons. B Dans un corps neure les charges posiives e les charges négaives se compensen. La charge oale es nulle. Dans le cas d un condensaeur chargé, les charges posiives son localisées sur une armaure, les charges négaives sur l aure. 2. A quoi correspond la charge Q? La quanié d élecricié Q emmagasinée par un condensaeur es proporionnelle au nombre des charges élémenaires présenes sur les armaures (élecrons). Q CU Avec : Q en coulombs. C en Farads. U en Vols. Le coefficien de proporionnalié C caracérise l apiude d un condensaeur à emmagasiner une quanié d élecricié. C es la capacié du condensaeur e elle s exprime en Farads (F). Pour un condensaeur donné (sa capacié éan fixe), la ension U exisan enre ses Q armaures va croîre en foncion du nombre de charges élémenaires, donc de Q. U Nous en déduisons que pour la même quanié d élecricié (donc la même charge Q), si C la capacié du condensaeur es plus élevée, la ension sera plus faible. 3. Quel es le lien enre la charge Q, le couran (qui peu charger le condensaeur), e le emps? Pour charger le condensaeur, il fau augmener le nombre de charges élémenaires, il suffi donc qu un couran d inensié I circule. L augmenaion de la charge es proporionnelle aux nombre l élecrons donc à la durée de la charge. Nous pouvons en déduire la formule suivane : Q I 0600_Nex_COURS_Inro_Condensaeur_CORR 1 / 6 06/10/14

2 4. Commen va évoluer la ension en foncion de la charge du condensaeur? Quel paramère va on inroduire? Lorsque le condensaeur se charge, la ension à ses bornes augmene. Si la charge se produi à couran consan, la ension augmene proporionnellemen à la durée de cee charge puisque : U Q I C C Sonde pour mesure de la ension aux bornes du condensaeur Généraeur de couran sous forme d une impulsion. ( 0mA puis 1 ma) Sonde de couran pour la mesure La simulaion es parfaiemen conforme avec l analyse qualiaive puisque la ension aux bornes du condensaeur croi de manière oalemen linéaire lorsqu un couran d inensié consane charge ce condensaeur. Le emps es donc un paramère esseniel lors de l éude des circuis comporan un condensaeur. 5. Chercher dans ce cas une modélisaion «couran ension» du condensaeur en foncion du emps Pour une résisance, la modélisaion «couran ension» prend la forme de la loi d Ohm avec U I. R Si nous cherchons à obenir une loi similaire pour le condensaeur, il nous fau nécessairemen inroduire la noion de emps. Une pei variaion de la charge ( dq ), es réalisée par la circulaion d un couran ( I ) sur une faible durée ( d ). dq du Nous en déduisons : dq I d, d où Ic() C d d, 0600_Nex_COURS_Inro_Condensaeur_CORR 2 / 6 06/10/14

3 6. Appliquer cee modélisaion sur le circui «RC» ci-dessous, en essayan de prévoir l évoluion des ensions e des courans en foncion du emps (précisez dans ce cas l acion sur l inerrupeur). Rq : Les modélisaions mahémaiques obenues ne son pas oujours évidenes à résoudre dans ce cas, n hésiez pas à uiliser de manière perinene les ouils à vore disposiion Au ou débu, (=0), nous considérons que l inerrupeur es ouver, e le condensaeur es déchargé. Puisqu il n a aucune charge, alors Uc=0V. Commençons par «flécher e annoer le schéma L inerrupeur es ouver donc Ig=0, de même que Ir e Ic ous les courans son nuls. Nous en déduisons que Ur=0, e comme le condensaeur es déchargé (Uc=0), la ension Uin aux bornes de l inerrupeur es égale à E soi 10V. Fermons l inerrupeur nous obenons le schéma ci-dessous le condensaeur va se charger Puisque l inerrupeur es fermé (e considéré comme un conac parfai) alors Uin=0. La loi des mailles nous perme d affirmer que Uc=E-Ur. Pour enir compe des remarques précédenes, il fau inroduire la noion de emps Uc() EUr() E( R Ir()) E es la ension imposée par le généraeur, c es une consane qui ne dépend pas du emps Le couran Ir par conre va dépendre du emps nous consaons d après la loi des nœuds que Ir()=Ic(). En réuilisan la forme Ic(), nous obenons l équaion duc() suivane : Uc() E ( R Ic()) E R C d Nous obenons une équaion différenielle du premier ordre (dérivée simple), à coefficiens consans (R e C son des consanes) avec second membre consan (la source de ension E es fixe) duc() que l on écrira sous la forme : RC Uc() E d Nous allons à présen chercher l équaion Uc(). 0600_Nex_COURS_Inro_Condensaeur_CORR 3 / 6 06/10/14

4 Deux possibiliés s offren à nous pour résoudre cee équaion différenielle. Tou d abord, la méhode «puremen mahémaique». Pour cela, il fau faire appels à des ouils mahémaiques vus au lycée (S ou SSI) ou dans les premières années d éudes «pos-baccalauréa». Il es égalemen possible d uiliser des ouils modernes els que les calcularices scienifiques, ordinaeurs ou ablees numériques. La résoluion sera perinene à condiion d uiliser des ouils de calcul dis «formels», c'es-à-dire capable de manipuler des expressions liérales (à la différence des ouils de calcul numériques). C es cee seconde soluion que nous allons uiliser puisqu elle es perinene à l heure acuelle pour les sciences de l ingénieur. Nous allons uiliser le logiciel libre e graui «maxima» disponible sur PC e ablees. Saisie de l équaion( wxmaxima ). La saisie de l équaion commence par % il ne fau pas le reirer Nous rerouvons nos consanes R e C, puis le symbole «quoe» ( ) qui signifie que le logiciel ne va pas chercher une valeur numérique (mais le raier en liéral) L expression «diff» indique que nous dérivons la foncion U par rappor au emps. Le logiciel nous reourne le résula ci-conre: RC RC Que nous pouvons réécrire sous la forme : U () e e Ecse Nous pouvons consaer que cee forme n es pas explicie (produi d exponenielles ) e que le résula conien une consane qui n es pas connue. Pour déerminer cee consane il fau prendre en compe l éa iniial du condensaeur. Nous savons que le condensaeur es iniialemen (=0) déchargé (donc U=0). Avec ces condiions iniiales nous avons une équaion qui ne conien plus d inconnues, modifions l expressions afin qu elle soi plus facilemen compréhensible e raçons la courbe associée U(). RC RC U () e e 1E RC U () 1e E 0600_Nex_COURS_Inro_Condensaeur_CORR 4 / 6 06/10/14

5 Tou d abord, aribuons des valeurs numériques aux grandeurs liérales présenes dans l équaion : Puis saisissons l équaion pour obenir la représenaion graphique La ension aux bornes du condensaeur U() par de 0 pour endre vers E. La rapidié avec laquelle le condensaeur se charge dépend de sa capacié ainsi que de la valeur de la résisance qui «modère» cee charge en limian l inensié du couran Nous observons dans l équaion le produi «RxC» qui es homogène (du poin de vue des équaions aux dimensions) à une durée Ce produi sera appelé consane de emps e permera d évaluer rès immédiaemen la rapidié de charge du condensaeur. Il es donc esseniel dans oue éude de circui conenan un condensaeur d idenifier ce circui de charge (ou de décharge). Par exension, nous pouvons obenir une équaion rès générale permean l éude des circuis RC uilisable pour la charge ou la décharge quel que soi l éa iniial du condensaeur. La seule conraine éan que les différenes variables (E, R, C) soien consanes duran l inervalle de emps de l éude. Si une de ces valeurs es modifiée, il fau recommencer une nouvelle éude à ce insan. Nous obenons après simplificaion les 2 équaions suivanes qui permeen d obenir Uc() ou (Uc) Uc() Uf ( Uf Ui) e Uf Ui Uc ( ) ln Uf Uc Avec Uc : différence de poeniel aux bornes du condensaeur à l insan. Ui : différence de poeniel aux bornes du condensaeur au débu de l éude il s agi ici de déerminer les condiions iniiales de l éude Uf : différence de poeniel aux bornes du condensaeur si on laissai le condensaeur se charger un emps infinimen long (en praique on considèrera une durée au moins égale à 5xτ) τ : consane de emps du circui éudié. Exemple : Eude de la charge d un condensaeur avec un échelon de ension 10V celui-ci éan iniialemen chargé avec une ension de 2V. Déerminaion des différens paramères nécessaires à la mise en équaion : Ui : La charge iniiale du condensaeur es de 2V. Uf : Si le condensaeur se charge pendan un emps suffisammen long, il sera oalemen chargé Par conséquen le couran de charge (qui raverse R1) deviendra nul D où Ur=0 e Uc(en fin de charge)=ve. Nous pouvons en déduire que Uf=Ve=10V. La consane de emps τ es égale à RxC soi 10ms. Nous pouvons en déduire l équaion Uc() suivane. 0,01 Uc() 10 (102) e Nous obenons la courbe ci-dessous qui es conforme à ce que nous pouvons rouver avec un logiciel de simulaion. 0600_Nex_COURS_Inro_Condensaeur_CORR 5 / 6 06/10/14

6 Conclusion : Nous venons de réaliser la modélisaion puis la mise en équaion du comporemen d un condensaeur qui se charge au ravers d une résisance. Les ouils modernes de simulaion permeen de réaliser une éude saisfaisane e complèe de cee srucure élecronique simple, à condiion que l uilisaeur comprenne les différens paramères qui enren en jeu dans cee simulaion. Un logiciel de simulaion uilise des modèles mahémaiques souven complexes. Il ne s agi pas de rerouver sysémaiquemen ces équaions mais bien de comprendre les grands principes de foncionnemen pour paramérer convenablemen le logiciel mais aussi en saisir les limies. 0600_Nex_COURS_Inro_Condensaeur_CORR 6 / 6 06/10/14