CALCUL MATRICIEL Exercices EXERCICE 1 : opérations sur les matrices
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- Hervé Drapeau
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1 CALCUL MATRICIEL Exercices EXERCICE : opératios sur les matrices a) Soi les matrices A = 0 B = Calculer A + B; B A; A B; AB b) Effectuer les produits suivats (si cela est possible) : 0 5 A = ; B = ; C = ( ) 5 0 D = ( ) 5 c) Soit = ; F = ; E ( ) 0 A = 0 0 Motrer que A A + A = O 0 0 d) Soi A 0 = B = EXERCICE : Pour tout ier aturel, calculer la puissace a 0 a 0 a b Comparer ( A+ B)( A B) ième des matrices suivates A B A = ; B ; C 0 a = = b 0 0 a, où a b sot des ombres réels EXERCICE : x O pose M x = où x est u ombre réel o ul x Calculer ( M ) a + M b pour tout ier aturel, où a b sot des ombres réels o uls EXERCICE 4 : O cosidère les deux matrices suivates : A = I = a) Détermier la matrice J telle que A = I + J, puis calculer J b) E déduire que, pour tout ier supérieur ou égal à, J est égale à la matrice ulle ( ) a) Motrer que, pour tout ier aturel, A = I + J + J b) E déduire alors, pour tout ier aturel, l'expressio sous forme de tableau de la matrice A J
2 a) Développer le produit ( I + J ) ( I J + J ) b) E déduire que A est iversible préciser A e foctio de I J Vérifier que l'égalité obteue à la questio a) reste vraie si = EXERCICE 5 : 4 Soi les réels x y ; les matrices A = 0 B = 4 Soit la matrice M = x A+ y B ) Calculer A A ; e déduire A (o discutera suivat les valeurs de N ) ) Calculer B, puis détermier B e foctio de B ( ier aturel o ul) ) Calculer AB BA 4) Exprimer M e foctio de x, y, A, B, ( ier aturel o ul) EXERCICE 6 : O cosidère les matrices suivates : 0 0 A =, B = I = ) Calculer B puis Soit X M, ( ) B pour tout ier aturel ) Vérifier que A = I + B e déduire l expressio de EXERCICE 7 : M R B R différe de la matrice ulle de ( ), A pour tout ier aturel t = X X ( désigat u ier aturel o ul t X la trasposée de la matrice X) ) Motrer que le produit t XX est u ombre réel strictem positif que l o otera λ p ) Calculer B e foctio de λ, p B pour p N ) Soit la matrice A = ai + bb où a b sot deux réels Exprimer a, b, λ, p, I, B pour p N EXERCICE 8 : O cosidère la matrice A = ) Calculer le produit matriciel A 0 ; la matrice A est-elle iversible? ) Calculer A, A motrer que : A = ( A + A) p A e foctio de
3 ) Prouver, par récurrece, que pour tout ier aturel o ul, il existe des réels a, b tels a+ = b + a que : A = a A + b A avec : Doer a, b b+ = a 4) Motrer que pour tout ier aturel o ul : a + b = E déduire que : b = + b + 5) Exprimer alors b a e foctio de EXERCICE 9 : Soit ( u ) la suite défiie par : u0 = 0, u =, u = N N, u = + 6u + u + + 6u 0 0 O ote A = 0 0 P = ) Avec la méthode de Gauss -Jorda, motrer que la matrice P doer P ) Motrer que la matrice D = P AP est ue matrice diagoale puis calculer, pour tout ier aturel, D ) Motrer que, pour tout ier aturel, A = PD P u O pose, pour tout ier aturel, X = u+ u + 4) Motrer que X = + AX E déduire que, pour tout ier aturel, X = A X 0 5) E déduire la valeur d eu e foctio de EXERCICE 0 : Soi P = 0 Q = 0 Calculer le produit PQ E déduire que P est iversible exprimer so iverse e foctio de Q EXERCICE : 0 Soit J = 0 EXERCICE : ; calculer J e déduire que J est pas iversible Soi les matrices M = 4 I = ) Calculer M détermier les réels a b tels que M = am + bi ) E déduire que la matrice M est iversible préciser M
4 EXERCICE : Cosidéros les matrices A = B = ) Vérifier que B = A + 4I ) Trouver ue formule liate B B, e déduire ue relatio re A, A I ) Motrer que la matrice A est iversible calculer EXERCICE 4 : O cosidère la matrice carrée réelle d'ordre 4 : A = Calculer A, A, A 4 E déduire que la matrice A est pas iversible EXERCICE 5 : O cosidère les matrices I= 0 0, A= 0 0 O= x A tout réel x o associe la matrice M ( x ) = I + x A+ A () ) Calculer A,A e déduire, pour tout ier aturel, A ) Calculer e utilisat () le produit M ( x) M ( y ) motrer que M ( x) M ( y) = M ( x + y) ) Recoaître M ( 0) E utilisat la questio ) justifier l iversibilité de la matrice M ( x) M x Calculer, pour tout ier aturel,( M ( x )) détermier l iverse de ( ) EXERCICE 6 : 0 0 Soi A = 7 9 I = ) Calculer A, puis détermier deux réels a b tels que A = a A + b I ) E déduire que la matrice A est iversible, exprimer so iverse A e foctio de A I, puis calculer A x + y z = ) Résoudre le système : x 7 y + 9z = 0 x 4y + 5z = EXERCICE 7 : E résolvat u système liéaire, motrer que les matrices suivates sot iversibles préciser leur iverse 4 + a A = 0, B = où a, b, c sot trois ombres réels + b + c A
5 EXERCICE 8 : Détermier le rag des matrices suivates (préciser si ces matrices sot iversibles) : 0 4 m 0 m A = 6 5, B = 4 6, C = m m m où m R m EXERCICE 9 : 0 a b O ote I = 0 o cosidère la matrice M = c d élém de M ( R) M = a + d M ad bc I ) Motrer que ( ) ( ) ) E déduire que M est iversible si seulem si ad bc 0 ) Das le cas où ad bc 0, écrire M e foctio seulem de a, b, c, d A reir : ad bc est le détermiat de la matrice M a b = c d O peut reir que a c b d est iversible si seulem si ad bc 0 a b d b Das ce cas = c d ad bc c a EXERCICE 0 : Calculer le carré de la matrice A = ( a ) i ( ier aturel o ul) où ij j a ij j i ( ) si = i 0 sio i j EXERCICE : La trace d ue matrice A M ( R),otée ( ) ) Motrer que R,Tr ( A) = Tr ( A) ) Motrer que si A B sot deux éléms de M ( R), Tr ( A B) Tr ( A) Tr ( B) Tr ( AB) = Tr ( BA) ) Motrer qu il existe pas de matrices A B éléms de ( R) Tr A, est la somme de ses coefficis diagoaux + = + M vérifiat AB BA = I
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