Oscillations des systèmes à 1 DDL

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1 Oscillations des systèmes à 1 DDL Oscillateur élémentaire linéaire Un système mécanique à 1 DDL, son comportement se traduit par une équation différentielle de second ordre, linéaire a coefficients constant ( ) + ( ) + ( ) = ( ) Degré de liberté DDL Le nombre minimal des variables permettant de définir la configuration d un système mécanique a chaque instant. L oscillateur mécanique élémentaire comprend les éléments suivants : - Une masse m indéformable. - Un ressort sans masse qui fournit une force élastique proportionnelle et opposée au déplacement x(t). Le coefficient de proportionnalité k est appelé rigidité ou raideur du ressort. - Un amortisseur qui fournit une force de freinage, proportionnelle et opposée à la vitesse, c est un coefficient de proportionnalité appelé constante d amortissement visqueux linéaire. x k c m Les oscillations mécaniques Les oscillations libres 1) Les oscillations libres non amorties 2) Les oscillations libres amorties Les équations de Lagrange : Equation de mouvement : + = : Pulsation propre de système = k x Résolution de l équation de mouvement ( ) = ( + ) A : amplitude des vibrations ; : La phase initiale A et sont calculés a partir des conditions initiales : ( = ) = ; ( = ) = Les équations de Lagrange : + Equation de mouvement : + + = : Pulsation propre de système : Coefficient d amortissement Résolution de l équation de mouvement Si > : Système est sur-amorti ou apériodique ( ) = + Si = : L amortissement critique ( ) = ( + ) Si < : le système est sous-amorti ou pseudopériodique Avec = ( ) = ( + ), et sont calculés a partir des conditions initiales : ( = ) = ; ( = ) = x k = c m Les oscillations Forcés amortie Les équations de Lagrange : + = ( ) Equation de mouvement : + + = ( ) : Pulsation propre de système : Coefficient d amortissement Résolution de l équation de mouvement ( ) = ( ) + ( ) ( ) : Solution homogène (la solution de l équation sans second membre) ( ) : Une solution particulière (la solution de l équation avec second x k F(t) Le régime transitoire L intervalle de temps pendant lequel la solution homogène est non négligeable. Le régime permanent a la fin de ce régime transitoire commence l intervalle de temps pour lequel la solution homogène est quasi-nulle et pour lequel la solution ( ) ( ) Mr. ZEROUKI 1

2 Résolution de l équation de mouvement d un système Forcé amorti Cas où ( ) = ( ) (Harmonique) Calcul de la solution permanente à l aide de la méthode des nombres complexes Pour t suffisamment grand : ( ) ( ) Le déplacement complexe : = ;avec = La force sous forme complexe : ( ) = ; avec : pulsation excitation L amplitude = ( ) + La phase φ + + = ( ) [( ) + ] = = ( ) + = Variations de l amplitude et de la phase en fonction de la pulsation de l excitation Le maximum de l amplitude : ( ) = La pulsation de résonance : = si < L amplitude maximale : = La phase a la résonance : = La résonance pour les faibles amortissements = = La vitesse ( ) = = = = L amplitude complexe de la vitesse : = = La résonance de vitesse est obtenue pour =, quelle que soit la valeur de, La valeur maximale de l amplitude de la vitesse vaut dans ce cas : = ( ) = La puissance moyenne La puissance fournie par la force ( ) au système La puissance instantanée ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( + ) La valeur moyenne < > = ( ) = La puissance dissipée par les forces de frottement de viscosité La puissance instantanée ( ) = = ( + ) La puissance instantanée La valeur maximale de la puissance moyenne est obtenue pour = quelle que soit la valeur de λ : < > = Bande passante (Pulsation de coupure) = = Coefficient de qualité d un oscillateur = < > = Mr. ZEROUKI 2

3 Cas où ( ) = + ( ) + ( ) (Périodique) L équation différentielle devient alors : + + = + ( ) + ( ) Résolution de l équation de mouvement ( ) = 2 + ( + ) + ( + ) ( Ω ) + 4 Impédance mécanique Z Une force sinusoïdale : ( ) = ( ) En régime permanent, le point d application de cette force se déplace avec une vitesse ( ) = (Ω + ) On appelle impédance mécanique d entrée du système mécanique, le rapport des amplitudes complexes de la force F et de la vitesse v : = Masse : = = Ressort : = = = Amortisseur : = Mr. ZEROUKI 3