Simulations de la couverture delta et de la couverture delta-gamma d un portefeuille dans le cadre du modèle de Black et Scholes

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1 imulaion la couvu la la couvu la-gamma un pofuill an l ca u moèl Black chol Fançoi-Éic Racico * Dépamn cinc aminiaiv Univié u Québc, Ouaouai LRP Raymon héo Dépamn aégi Affai Univié u Québc, Monéal RPA Woking Pap No. 006 * A poal : Fançoi-Éic Racico, Dépamn cinc aminiaiv, Univié u Québc n Ouaouai, Pavillon Lucin Baul, 0 u ain Jan Boco, Gainau, Québc, Canaa, J8Y 3J5. Coponanc : Raymon héo, Dépamn aégi affai, Univié u Québc à Monéal, 35, -Cahin, Monéal, HX- 3X. Coponanc : C papi l un chapi no pochain ouvag iniulé : Financ compuaionnll gion iqu.

2 imulaion la couvu la la couvu la-gamma un pofuill an l ca u moèl Black chol Réumé Pluiu gionnai pofuill pnn nco à o qu un couvu la uffi pou poég lu pofuill con l flucuaion maché financi. Mai un augmnaion maqué la volailié cou boui l écva an lu an. Apè avoi xpoé l uimn mahémaiqu l équaion Black chol, c aicl pén imulaion inéi an Excl la couvu la la couvu la-gamma baé u la fomul Black chol. On y cona qu la couvu la-gamma loin péféabl à un impl couvu la. Abac Many pofolio manag hink y wongly ha la hging i ufficin o poc hi pofolio again h flucuaion of financial mak. Bu a lag inca of ock xchang volailiy woul civ hi xpcaion. Af having coni h mahmaical founaion of h Black an chol fomula, hi pap pouc nw imulaion in Excl of la an la gamma hging ba on h Black an col fomula. W noic ha la-gamma hging i qui upio o a impl la hging. Mo-clf : ingénii financiè; poui éivé; couvu. Kywo : financial ngining; ivaiv; hging. JEL : G; G3; G33.

3 L moèl Black chol a véiablmn évoluionné la financ mon. Publié n 973, il copon au lancmn opion u l bou améicain. L maché opion vai connaî pa la ui un o è coniéabl. Conaimn à Black chol, l auu anéiu n avain pu ouv un oluion analyiqu au pix un call uopén qui oi opéaionnll. Avan 973, l chchu inéain uou à la valoiaion waan, l au fom opion n éan pa négocié u maché boui oganié faian onc l obj cona gé à gé. L waan on opion acha à long m qui auin pa un émiion acion lo lu xcic. O, l opion acha claiqu n onnn pa liu à un émiion acion mai ulmn à un impl anf n l pai la anacion. L waan auin onc pa un ff iluion u capial acionnai xian, c qui n pa l ca pou l opion claiqu. Comm avanag acion on émi lo l xcic waan, il y a n ff liu cain un ff iluion, c -ài un iminuion u pix l acion ou-jacn. O, l chchu n avain pa juqu-là u ouv un oluion analyiqu opéaionnll au pix u waan. C oluion inégai oujou l pix u iqu ipo faco l gé avion au iqu inviu paan, lu foncion uilié. C ux vaiabl éan è ifficil à im, foc éai ouv un oluion analyiqu qui n fa abacion. Black chol on u élimin l pix u iqu u calcul u pix un call uopén n xploian la coélaion n l pix l opion on ou-jacn. En combinan l opion avc on ou-jacn, il on aini pu fom un pofuill xmp iqu. L pix u iqu éai alo éliminé. Il on pu la o ouv un oluion xac au pix un call uopén éci u un acion n van pa ivin. 3

4 À l inéiu c aicl, nou founion an un pmi mp un puv à l équaion Black chol. En ff, il xi pluiu façon pouv l équaion Black chol. On pu n ff oluionn icmn l équaion iffénill Black chol n couan à l équaion la chalu, on la oluion connu pui longmp. Black chol on aillu pocéé la o pou calcul l équaion u pix un opion acha uopénn éci u un acion n van pa ivin. On pu pa aillu invoqu l héoèm pénaion Fynman-Kac pou éabli l pix lai opion. En ff, n vu c héoèm, l équaion iffénill Black chol a comm pnan un péanc an l univ iqu-nu. En fai, l pix l opion acha la valu acualié l péanc u payoff final l opion, éfini an l univ iqu-nu. C c façon qu nou fon la puv l équaion Black chol, c oluion éan baucoup plu impl qu cll l équaion iffénill Black chol. Pui nou éivon l «gc» opion, c -à-i l nibilié u pix l opion à iv paamè. Comm nou on à mêm l cona, cux-ci on ingéin nil à la couvu la-nu à la couvu la-gamma. Pui nou xaminon l impac un ivin fix un ivin popoionnl u la fomul Black chol. Nou pouon alo inoui l équaion Black chol généalié, qui pm valoi un gan nomb poui éivé. Fon pai cux-là l opion u cona à m l opion u vi.. Un apçu l équaion Black chol Comm nou l avon mnionné an l inoucion c papi, Black chol 973 fun l pmi à éiv un oluion analyiqu pou l pix un call uopén qui fa abacion u pix u iqu. Lu oluion vu xac ca ll po u l pincip l abnc abiag. C oluion, qu nou pouvon an la cion uivan, éci : 4

5 C X f N 0N avc C l pix un call éci u un acion n van pa ivin ; 0, l pix acul l acion ; X, l pix xcic l opion ; f, l aux an iqu, la ué l opion. N la pobabilié cumulaiv un vaiabl nomal uniai, oi : avc, N f zz ln + f X + éignan l éca yp u nmn l acion. C à la puv c équaion qu nou nou aaquon mainnan.. Puv l équaion Black chol uppoon qu'un inviu vn un cona à m gé à gé fowa conac éci u un acion on l flux monéai final, un vaiabl aléaoi. éign l pix l'acion, l'échéanc u cona. A l'échéanc, l pix c cona E, où E. l'opéau 'péanc. L vnu u cona 'ngag à vn l'acion au pix pééminé X. La valu non acualié V c cona : V E - X La valu V c cona null au épa. En ff, c cona coniu un obligaion pou l vnu liv l'acion pou l'achu pn livaion l'acion. Il n'y a aucun au alnaiv pou l ux pai. L'achu n'a pa l'opion 'xc ou non l cona. Il oi obligaoimn l'xc à l'échéanc au pix X. Il n pai onc l ju pix an l'aiionn 'un pim. Qui oi ê iingué u cona à m boui fuu conac. 5

6 Commn émin E, l pix u cona à m? Puiqu un vaiabl aléaoi, on pouai pn qu l'on oi coui au calcul pobabili pou émin c péanc, n l'occunc au héoèm cnal limi. Il n'n in. En fai, nou pouvon nou camp an un univ émini pou calcul c péanc, oi l'univ nu au iqu. En ff, l vnu u cona à m a l loii 'ach l oujacn ui cona, oi l'acion, au pix 0 aujou'hui. Pou financ c acha, il mpun au aux an iqu f, aux compoé façon coninu. A l'échéanc u cona, il poua liv l'acion qu'il éin mbou l monan on mpun, oi m u cona onc f 0 f 0. L pix à. C' c qu va pay l'achu u cona à m à on échéanc. C' l pix qu'impo l'abiag u l maché financi. ou au pix onn liu à un iuaion 'abiag. L pix qu nou vnon émin obnu n couan à la mu pobabilié iqu nu, c'-à-i: E Q f 0 où E Q. l'opéau 'péanc an un univ nu au iqu. Dan c univ, la valu pén un maingal. Choiion un bon comm numéai maniè à nomali l pix l'acion. Nou avon: E 0 Q f 3 La valu pén onc bin un maingal 3. A maqu qu E Q. un péanc coniionnll, mêm i nou avon implifié la noaion. C péanc Nou couon onc à l'abiag pou valoi l'opion n uppoan comm onné l pix u ou-jacn 0, comm nou l von plu loin, l pix 'un obligaion à coupon zéo B 0. C' onc l coupl B 0, 0 qui poin épa à no calcul. Un au façon valoi l'opion ai coui à la chniqu l'équilib généal. On n pouai plu alo conié l pix l'acion l'obligaion comm onné. Il ain éminé concomiammn avc l pix l'opion. E C'-à-i 3 Dan l'univ pobabilié éll P, un maingal éfini comm cci: 0 0. qu la millu péviion, coniionnllmn à l'infomaion iponibl au mp 0, 0, oi l'obvaion acull u l pix l'acion. 6

7 coniionnll à l'infomaion iponibl au mp 0, ici 0. O, comm nou l von uléiumn, maingal abnc 'abiag on concp qui von pai. on a: En ubiuan l'équaion an l'équaion, c niè éan acualié au aux f, f V f f f X X f Compaon c équaion à cll u call uopén éivé pa Black chol: f XN c 5 0N En compaan l équaion 4 5, on voi qu'll on iniqu i: N N. Pa conéqun, un cona à m un fom paiculiè call. Pou un l call, la pobabilié 'xcic n ff n c n qu l'achu a l'obligaion, non l'opion, 'ach l ou-jacn u cona 4. Il n pu onc pécul u a valu qui éabli à l'avanc. Pou éabli la puv l'équaion Black chol, nou von nou familiai avc la iibuion lognomal puiqu l'on uppo qu l pix l'acion éigné pa obmpè à un ll iibuion an l moèl Black chol. Pou appoch c iibuion, nou avon, an un pmi mp, ié 0000 nomb aléaoi moynn 5 'éca-yp on la iibuion lognomal n uilian l'infac Popool 'Excl. Nou avon nui conui l gaphiqu la foncion nié c iibuion à l'ai la foncion Fquncy 'Excl, gaphiqu qui appaaî à la figu. 4 À no qu N pén la pobabilié xcic u call. 7

8 Figu Diibuion lognomal 'un vaiabl X 'péanc 5 'éca yp 500 Féqunc On voi qu la iibuion lognomal iu xcluivmn an l'invall él poiif. Ell pén égalmn un fo ayméi poiiv. Dan un con mp, nou avon calculé l logaihm nomb aléaoi généé à la pmiè pa nou avon un foi plu acé la iibuion coponan, qui appaaî à la figu. Figu Diibuion lnx, X éan un vaiabl lognomal 'péanc 5 'éca-yp Féqunc

9 On n comp qu la iibuion lnx nomal. D'où un pmi éula: i la iibuion la vaiabl aléaoi X lognomal, la iibuion u logaihm X nomal. La laion mahémaiqu n l iibuion lognomal nomal éabli comm ui. La iibuion D z la vaiabl lognomal z éci: D z z ln zµ π où lnz éign l logaihm népéin z où µ on l ux pmi momn la iibuion nomal lnz. Pou pa à c niè iibuion, il uffi ffcu la anfomaion jacobinn 5 uivan : z D ln z Dz Dz Dz zd ln z log z z z z c qui impliqu : D ln z ln zµ π ll o qu : lnz~n µ,. La iffénc n l iibuion nomal lognomal n ou implmn un échll, mai il fau maqu qu l paag la iibuion nomal à lognomal aui pa l appaiion un ayméi poiiv 6. 5 Pou la anfomaion jacobinn, voi : Racico, F.-É. héo, R 00., aié économéi financiè, P l Univié u Québc, chapi. zµ 6 Noon qu i z~n µ,, alo : f z z, où f z z la foncion nié maginal z. π z a foncion pobabilié cumulaiv : f u u F z z z. anfomon la foncion nié z ll o qu ll uiv un loi nomal péanc 0 vaianc uniai. oi y c nouvll vaiabl. La z µ anfomaion qui la uivan : y. La anfomaion jacobinn ux foncion nié z z y la uivan : fy y fz z. Comm z y + µ. On a onc : f y y, c qui la y y π 9

10 i nou calculon l ux pmi momn la iibuion lnx à pai l'échanillon 0000 vaiabl aléaoi, nou ouvon qu la moynn, éigné pa µ, égal à,5348 qu l'éca yp, éigné pa, 0,3808. On appll qu l ux pmi momn la iibuion la vaiabl lognomal X éain pcivmn 5. On pu éabli l lin n l momn la iibuion lognomal la vaiabl X cux la iibuion nomal la vaiabl lnx n couan à la foncion généaic momn la iibuion lognomal. C foncion 'éci comm ui: ϕ λ, λ λµ + où µ on l ux pmi momn la iibuion nomal coponan. C foncion égugi l momn non cné la iibuion lognomal à pai cux la iibuion nomal. i λ, on obin l'péanc la vaiabl X qui ui un iibuion lognomal. Ell onc égal à: E X µ+. Dan l'xmpl pécén, µ,5348 0,3808. On a onc: ,5348+ EX 4,99 5. On appll qu l'péanc qui nou a vi à géné la figu 5. L'u minim qu nou faion n uilian la foncion généaic momn n icmn un 'échanillonnag. Pou éabli la vaianc non cné la iibuion lognomal à pai momn la iibuion nomal, nou fixon λ à an la foncion généaic momn la lognomal. Nou obnon: E X + von u éula: VAR X E X [ E X ] µ. Pou calcul la vaianc X, nou nou, EX ayan éjà éé calculé. Nou foncion nié un nomal péanc 0 vaianc. La pobabilié cumulaiv y, éigné pa y Ny, : u f u. y 0

11 µ + µ + µ + obnon: VAR X [ ] [ ] E X [ ] µ +. L'éca yp X onc :. En uilian la moynn l'éca yp calculé à pai la iibuion lnx, on obin: 0,3808 4,99[ ],97. On appll qu l'éca yp qui nou a vi à éabli la iibuion X figu. L'u qu nou common ici n, nco un foi, icmn un 'échanillonnag. Noon qu i la nié lognomal la vaiabl X la foncion fx, alo l'péanc EX c iibuion calcul mahémaiqumn comm ui: E X 0 xf x x, l bon l'inégal coponan à l'invall flucuaion la lognomal. En pénan pa u l logaihm x, on pu aui calcul c péanc la façon uivan: E X g u u u, où gu la nié nomal où l bon l'inégal coponn à l'invall flucuaion la nomal. C' n couan à c anfomaion qu nou calculon l inégal connan vaiabl lognomal an la puv qui ui, la iibuion nomal éan plu malléabl qu la lognomal. Noon égalmn qu i X ui un iibuion lognomal qu l ux pmi momn la ln X µ iibuion lnx on µ, alo la vaiabl cné éui ~N0,. Nou fon égalmn appl à c éula an la puv qui ui 7. Nou uppoon onc qu obéi à un iibuion lognomal qu l'péanc l éca yp ln on péné pcivmn pa µ comm an l ca pécén. Nou avon alo pou un call uopén 8 : + N XN E X E 6 7 L manul D la Ganvill nfm ux xclln chapi u l popiéé la loi lognomal u appo avc l mouvmn bownin géoméiqu, oi l chapi 3 6. Voi: D la Ganvill, Olivi 00, Bon Picing an Pofolio Analyi, h MI P. 8 No appoch 'inpi Hull. Mai nou y avon appoé pluiu nuanc. Voi Hull, J.C003, Opion, Fuu an oh Divaiv, 5 h iion, Pnic Hall.

12 où -X + l flux monéai final «payoff» u call, avc E ln + X, E ln X où E. l opéau péanc. Nou voulon pouv c fomul. Définion f comm éan la foncion nié. Pa éfiniion, l péanc -X + onné pa : E + X X f X 7 où X la bon inféiu l inégal puiqu l opion uopénn a xcé à l échéanc i ulmn i >X, c -à-i qu X f < 0 0 X. C' là l iqu ayméiqu qu compo un call. on énu n' pa focé 'xc comm c' l ca an l cona à m anéiu. Il xca on opion à l'échéanc i ulmn i >X. L'opion n auai onc appo flux monéai négaif comm an l ca 'un cona à m. C' pouquoi la iibuion -X + onqué compo X comm bon inféiu. Avan c bon, <X l énu l'opion n'xc pa. Du fai popiéé la loi lognomal xaminé anéiumn, nou avon qu : E + µ 8 Nou pouvon onc éci : ln[ E ] µ + 9 c qui impliqu qu µ égal à : µ ln[ E ] 0

13 D façon à obni un vaiabl cné éui, nou pouvon appliqu la anfomaion uivan à ln : ln µ z. C anfomaion impliqu qu z + µ ln, c -à- i z+µ. La vaiabl z nomalmn iibué, péanc null éca yp uniai. a foncion nié, i.. la iibuion nomal ana, onné pa : f z z π. En couan à c anfomaion, nou pouvon ééci l péanc ci-u comm ui : E + z X + µ ln X µ X f z z où la bon inféiu povin la anfomaion n vaiabl cné éui. Pa yméi, nou von n ff appliqu la mêm anfomaion à X. On pu ééci c inégal comm ui : z z X + z+ µ E X ln X µ f ln X µ f z z Dévloppon l inégan la pmiè inégal l'équaion : z z z + µ + + z+ z+ µ µ µ µ f z π π π z f z 3 9 Pa conéqun : E X + µ + z z X ln X µ f ln X µ f z z 4 9 z z z + z z Puiqu µ + µ + µ + + z µ + z. On ' égalmn z vi u éula: f z. π 3

14 En éfinian Nx comm éan la pobabilié qu un vaiabl nomal ana oi plu pi qu x, alo la pmiè inégal pu ê péné pa ln X µ - Nfz - N. Ouvon ici un panhè. Nou avon qu la loi nomal yméiqu. Pa éfiniion : N x x f z z. Pa yméi, nou avon alo qu : N x f z z. x C qui juifi la anfomaion la pmiè inégal impop. Nou avon égalmn qu N-x Nx. ln X µ ln X + µ D où, N N +. µ, on ouv qu : Puiqu ln[ E ] E ln + X N N 5 La uxièm inégal élabo la mêm maniè l on obin N. On ouv onc qu : E µ + + X N XN 6 µ+ où E. Il à maqu qu µ, oi l'péanc ln, oujou pén an l'équaion 6. On ai qu'un vaiabl è appoché c péanc, oi E ln, l nmn péé u pix l'acion, un vaiabl ifficil à im 4

15 puiqu'll incopo un pim iqu, pa conéqun l pix u iqu. Un éplacmn an l'univ nu au iqu nou pma 'ffac c vaiabl gênan. Pou complé la puv, iuon-nou onc an un univ nu au iqu uppoon un call c éci u un acion qui n pai pa ivin qui échoi à. L aux an iqu éigné pa f la volailié u nmn l acion, pa. Dan un l univ, on a : c f E Q + f Q X E [ N XN ] 7 Comm un maingal an un univ nu au iqu, on pu éci n vu l'équaion 3 0 : 0 Duboi Gi-Poin 00 founin un puv c équaion. Nou n pénon ici un vion éaillé. Comm l pix l'acion obéi à un pocu bownin géoméiqu, il am, comm nou l f + ε avon, la oluion xac uivan: où ε ~ N0,. On vu évalu l'inégal uivan: E Q f 0 +. Pou évalu c inégal, il uffi 'ffcu l changmn vaiabl qui ui. Comm l'iniqu la fomul, l logaihm ui un loi nomal: N / ;. Définion la ln vaiabl cné éui uivan: y. En fai, c vaiabl, qui nou ici à anfom l'inégal, la vaiabl aléaoi ε la foncion. Puiqu ε ~N0,, a foncion nié y Pou xpim la iibuion n foncion c vaiabl, il uffi 'xpim π onc : f y. la anfomaion jacobinn uivan: f y f y. Nou applon qu nou voulon π calcul l'péanc nu au iqu n changan la vaiabl pa la vaiabl y. Nou vnon 'xpim f n foncion y. L'xpion n foncion y imméia puiqu c' l m ε c foncion. ln/ 0 Pou xpim n m y, on iol y an l'équaion. On obin: y ε ; y y. On a onc ou l onné qui pou éou l'inégal n cau n changan la vaiabl pa la vaiabl y. y+ Q E f + y 0. A maqu qu la π vaiabl y, égal à ε, flucu an l'invall: [, + [ C qui amèn à: y y 5

16 6 0 E Q f 8 On a finalmn: [ ] 0 0 N X N XN N c f f f 9 oi l'équaion Black chol. lon l'équaion 5, égal à, achan qu : X X X X E f f f ln ln ln ln ln ln On a finalmn: X f 0 ln + + qui pu ê aui ééci comm: y E y y Q + π. On a:. y E y y Q + π En compléan l caé an l'xpoan l'inégal, on ouv:. y E y y Q + π y. E y y Q π y. E y Q π La anfomaion linéai l'xpoan n'affcan pa la pobabilié cumulaiv, on a, puiqu la pobabilié cumulaiv ou la nomal ana : Q E +, c qui l éula chché. La valu pén u pix l'acion bin un maingal an l'univ nu au iqu quan c pix ui un pocu lognomal. On ouva un vion abégé c puv an: Duboi, M. Gi-Poin 00, Excic héoi financiè gion pofuill, D Bock Univié. Pou la anfomaion jacobinn 'un iibuion, on conula: Racico, F.-É. héo, R.00, aié 'économéi financiè, P l'univié u Québc, chap.. Pou un au puv c éula, voi: D la Ganvill, O.00, Bon Picing an Pofolio Analyi, h MI P, chap. 6.

17 0 ln + f X + Comm on vin l cona, la puv l'équaion Black chol xig cain connaianc n aiiqu. Ell qui un bonn compéhnion iibuion nomal lognomal opéaion qui lu on aocié. Ell qui égalmn un maîi l'univ nu au iqu la noion maingal. Nou avon u à cœu, an la puv qui pécè, n'camo aucun c noion ba n ingénii financiè. Il xi 'au façon pouv la fomul Black chol. L'un 'll oluionn icmn l'équaion iffénill Black chol pluô qu coui à la noion 'péanc nu au iqu comm pou la puv qu nou vnon founi. À l'ai changmn vaiabl, on n aiv à anfom l'équaion iffénill Black chol n équaion la chalu, on la oluion connu pui bin longmp. 3. L gc L nibilié u pix u call à iv paamè on couammn goupé ou l vocabl «l gc» an la liéau financiè. C «gc» on ou pmiè impoanc agian la couvu pofuill. L cion qui uivn onnn l pincipaux gc. 7

18 3.. L la u call L la mu la nibilié u pix l opion au pix on ou-jacn, c -à-i un acion an l ca un opion éci u un acion. L la un call, calculé à pai la fomul Black chol, égal à : C N C fomul l éula un éivaion laboiu puiqu on ux-mêm foncion an la fomul Black chol. Nou founion, au ablau, l calcul éaillé c éivé pou l lcu xigan féu mahémaiqu. ablau : Déivaion éaillé u la : En vu la fomul B-, la valu 'un call uopén égal à : C, N X N X + +, où ln / / / ln / X + / / u call pa appo au pix l acion p, onné pa :. L la un call, qui la éivé paill C N N + X N N + N' X N' Nou nou inpion ocumn uivan : Black, F. & M. chol 973, h Picing of Opion an Copoa Liabilii, Jounal of Poliical Economy, May-Jun, ; Galai, D. & R. Mauli 976, h Opion Picing Mol an h Rik Faco of ock, Jounal of Financial Economic, Januay-Mach, 53-8; Wilmo al.995, h Mahmaic of Financial Divaiv, Cambig Univiy P, Cambig, chap.5. 8

19 9 où /, /. Cla impliqu [ ] ' ' N X N N C + Pou complé la puv, il nou à émon qu : ' ' N X N. Il nou fau onc calcul la éivé paill N N. Calculon c éivé. Nou avon qu : z N z / π, N- 0, N+ qu la éivé un inégal boné la pimiiv évalué à bon. Alo : / ' N N π / ' N N π Pou facili l calcul, coniéon la pénaion uivan : ' ' X N N l'équaion on on oi pouv l'égalié. En mplaçan l N. pa lu valu pciv, on obin : / X [ ] / ln / / / ln / ln / / / ln X x X X [ ] / ln 4 / / ln / ln 4 / 4 4 X X X + + X ln/ Exmpl : x yy x x 0 pac qu / / 0 0 x c y yy x x + onc x x x /

20 [ ln / X ] [ ln / X + ]? X Finalmn, n pnan l logaihm chaqu mmb c niè laion, on a : ln ln / x ln X ln ln X ln / X Il éul qu: C N QED. L la vê un impoanc paiculiè an la héoi poui éivé, noammn au chapi la couvu un pofuill. Pou couvi un pofuill, i l on éin un acion, il fau n ff vn à écouv call pou ipo un pofuill couv, c -à-i xmp iqu. L aio applé aio couvu. On pal alo la-hging ou couvu pa l la. Pou éabli c laion, uppoon qu nou énion un acion qu nou ayon vnu à écouv C call. Nou voulon ouv l qui onn un la-hging, c -ài : C 0 3 L appoximaion u pmi gé C égal à, n vu la éi aylo : C 4 En ubiuan 4 an 3, on obin : 0 0

21 Donc pou éni un pofuill «la-hg», il fau, i l on éin un acion, avoi vnu à écouv call. D façon alnaiv, i l on a vnu call à écouv, il fau éni acion façon à avoi un pofuill «la-hg». C, pou qu l pofuill aini éfini mu couv, il fau qu a compoiion oi moifié coninullmn ca l la u call n c moifi. En l occunc, l la l opion moifi à chaqu foi qu chang l pix l acion. On i alo qu il fau ffcu un ééquilibag ynamiqu u pofuill pou l mainni couv. Pou évi coû anacion inuil, il appopié pn n comp l gamma u call loqu l on couv un pofuill, qui fai l obj la pochain cion. 3.. L gamma u call L gamma u call la éivé u la u call n ga u pix l acion. C onc la éivé con u pix u call n ga u pix l acion. L gamma u call égal à l xpion uivan : C Γ N' Pou jug l impoanc u gamma, faion c foi-ci un xpanion u con gé u pix u call : C C + + Γ 5! Mai comm Γ, on pu ééci l équaion 5 comm ui : C + + +

22 En ubiuan c équaion an l équaion 4, on obin : C c qu on appll la chniqu couvu la-gamma. L aio hging pn alo n comp l changmn u la qui uvinnn à la ui moificaion u pix l acion. La couvu la-gamma xig onc baucoup moin ééquilibag qu la impl couvu la ca ll pn n comp l changmn u la au voiinag u pix acul l acion. Quan un acion è n-ho la monnai ou è an la monnai, on la n moifi qu è pu un couvu la paaî alo appopié. Mai un couvu la-gamma onna éula baucoup plu péci an l au iuaion. Ell xiga moin ééquilibag. Commn opéaionnali la couvu gamma n paiqu. Il cain qu puiqu l on vu ffcu un couvu n aiion la couvu la, il fau ajou au pofuill la nu un au opion qui pui amn l gamma u pofuill à 0. Dion qu un opion ai un gamma Γ qu l pofuill la nu ai un poiion gamma égal à Γ. L nomb opion à ach ou à vn pou n l pofuill gamma nu, ion n, oi aifai la laion uivan : n Γ + Γ 0 n Γ Γ Mai la poiion la u pofuill moifié à la ui c anacion. C changmn égal à n, où l la la nouvll opion inoui an l pofuill. Il fau onc ach ou vn un nomb acion égal à c monan pou n nouvau l pofuill la nu 3. 3 Pou plu éail u la couvu gamma, voi Hull 003, p la cion 5 c aicl.

23 3.3 L ha u call L ha u call la éivé u pix u call pa appo au mp. On vu ici mu la nibilié u pix u call à l écoulmn u mp. L ha égal à l xpion uivan : C θ N' + X N 6 Dan l angl c fomul, l ha un call oujou poiif. Plu l échéanc un call éloigné, plu l pix un call impoan, ou cho égal aillu. Mai cain auu éfinin l ha comm la p valu u call à mu qu l mp pa, c -à-i au fu à mu qu l pix u call appoch on échéanc. Pou ux, l ha u call alo négaif il muliplin alo l équaion 6 pa -. L équaion iffénill Black chol éabli un laion n l oi «gc» uivan : l la, l ha l gamma. Rapplon c équaion : C + C + C δ C 0 En mplaçan l éivé pmiè con pa l gc appopié an c équaion, on obin : δ 0 θ + Γ + C C là la laion qui oi ni n l oi «gc» pou évi la pénc abiag. 3.4 L vga un call La volailié u nmn l acion an ou l paamè qui influnc l plu l pix un opion. Il n auai y avoi opion an volailié u nmn u ou-jacn. C, pou l acion claiqu, la volailié ouc iqu. L inviu xign 3

24 un nmn péé upéiu pou aum avanag iqu. Mai pou l énu un opion, il n va ou aumn. L achu un opion n ff poégé puiqu on payoff n auai ê négaif. C, il a payé un pim pou au c pocion. Mai pa la ui, c la volailié qui poua amn l pix l acion au-là u pix xcic pou un call n çà u pix xcic pou un pu. L vga un call la nibilié un call à la volailié implici u nmn u pix l acion. Il éfini comm ui : C Vga N' 3.5 L ho un call L ho un call pén a nibilié au aux inéê. Plu l aux inéê impoan, plu l pix xcic acualié u call faibl. Pa conéqun, plu l pix u call alo impoan. En ff, un call équivau à un facion acion financé pa un mpun mai l énu l opion n a pa à mpun an qu il n achè pa l acion au pix xcic. Il évi onc coû mpun auan plu impoan qu l aux inéê on élvé. La valu u call augmn onc à la ui un moné u loy l agn. La fomul u ho un call la uivan : C ho X N 4

25 3.6 L gc un pu 3.6. L la un pu On pu coui à la paié pu-call pou calcul l la un pu uopén éci u un acion qui n v pa ivin. On a la laion uivan n un pu un call n vu la paié pu-call : P C + X L la u pu la éivé c xpion pa appo à : P C N Comm N <, l la un pu oujou négaif. L pix un pu auan plu élvé qu l pix l acion iu n çà u pix xcic L gamma un pu L gamma la éivé u la pa appo au pix l acion. C i l on vu la convxié u pu. L gamma un pu égal au gamma un call, c -à-i : P N' L ha un pu L ha un pu uopén éfini comm ui : P θ N' X N C la mêm xpion qu l ha un call uopén à c iffénc pè qu l con m pécéé un ign négaif pluô qu un ign poiif. ou comm pou un call, l mp xc un ff poiif u l pmi m l équaion Black chol pou un pu uopén. Mai on ff u l con m négaif i c m 5

26 omin, l pix un pu pu iminu avc a ué. En ff, loqu un pu uopén è an la monnai, on pix pu ê inféiu à a valu ininèqu. O, il éai xcé à c momn-là, on payoff ai égal à a valu ininèqu. Un échéanc inféiu ai alo un aou pou c pu L vga un pu L vga un pu égal au vga un call, c -à-i : P N' L ho un pu La valu ininèqu un pu éfini comm ui : valu ininèqu X - - Un hau u aux inéê aui onc pa un iminuion la valu ininèqu un pu. Il xi pa conéqun un laion négaiv n l pix un pu l aux inéê. La fomul u ho un pu la uivan : P X N Rpénaion gaphiqu gc à l ai Excl Nou voulon pén l la l ha à l ai Excl. Pou c fai, nou faion appl à un gaphiqu n oi imnion. Nou auon onc un gaphiqu à oi ax : x, y z. u l ax x appaaîa l la, u l ax y, l ha u l ax z, l pix l opion. La foncion Excl Viual Baic uilié pou ffcu c gaphiqu ouv au ablau. 6

27 ablau : Pogamm Viual Baic la fomul Black chol Funcion B, X, f,, ig Log / X + f * / ig * q * ig * q - ig * q N Applicaion.NomDi N Applicaion.NomDi B * N - X * Exp-f * * N En Funcion La pocéu pou ffcu un gaphiqu 3D an Excl la uivan. Il fau : pogamm la foncion qu l on éi pén, pa xmpl la fomul B&; évalu la foncion pou iffén valu u l ax x y, où l on obin l valu z. Dan Excl, il uffi choii an l mnu pincipal : Donné/abl; 3 ombag nui la plag à illu. Dan no ca il agi un maic ou un ablau. Afin illu la pocéu, coniéon l ablau 3. ablau 3 50 x 40 f 0,0 0,5 la ig 0, 0, B 0, ,5 5, , , ,4076 0,6 6,059 0, , , ha 0,7 6, ,8777 5, , ,8 6,6386 0, ,7347 0, ,0659,7466 5, ,

28 Dan c ablau, B la foncion Excl Viual Baic appoé à l xémié la maic boé pa l iffén valu choii pou 45, 50, 55, 60 l échéanc 0.5, 0.6, 0.7, 0.8,. L chiff à l inéiu la maic on éé obnu à l ai la comman abl u mnu Donné. Il uffi ombag la maic. L gaphiqu n oi imnion obnu à pai la maic u ablau 3 ouv à la figu 3. Figu 3 L Gc 5 0 Pix l'opion Call Dla : 45$; 50$; 355$; ha : 0,5; 0,6; 30,7; 40,8; L équaion Black chol généalié La vion généalié l équaion Black & chol 973 incopo un m aiionnl qui pm couvi un panopli moèl. En vu c généaliaion, ll poua onc appliqu à nombux ca picing opion. En ff, la B généalié pm l picing opion uopénn u acion, u acion avc ivin, u cona à m mêm qu l picing opion u vi. L éula analyiqu la B généalié onné pa : c BG b N X N 8

29 pou l ca l opion acha call. L opion vn pu fomul comm ui : p BG X b N N C ni éula éul l applicaion la paié pu-call. on fom imilai aux éula claiqu B on onné pa : ln / X + b + / où b l coû poag 4, xpimé n poucnag, aocié à la énion u ou-jacn. En fai, c c paamè qu la fomul la B généalié i on oiginalié. En ff, lon la valu qu il pna, pluiu iffén moèl uilié an la paiqu appaaîon. En voici qulqu xmpl i b, on ouv la fomul claiqu Black chol 973 u pix un call uopén éci u un acion n van pa ivin. Pa aillu, i b -q, on nou avc la fomul Mon un opion on l ou-jacn v un aux ivin égal à q. i b 0, c la fomul Black 976 ayan ai à opion éci u cona à m qui appaaî. Mnionnon ici qu c fomul a éé éci oiginllmn pou cona u maiè pmiè mai qu ll fu pa la ui anpoé à opion uopénn u cona à m, pui à opion uopénn u obligaion. Finalmn, i b, éan l aux inéê omiqu, l aux inéê éang, on ouv la fomul Gaman Kohlhagn 983 ayan ai à opion u vi. L aux inéê éang n ff aimilabl à un ivin payé pa l ou-jacn. C onc un impl anpoiion la vion la B généalié avc ivin. Dan c ni moèl, on n a qu à po q pou obni la B généalié avc ivin. 4 Co-of-cay, n anglai. 9

30 Il è impl implan c fomul an l langag pogammaion Excl. L ablau 4 founi un foncion éci n Viual Baic Excl pou calcul la fomul la B généalié 5. ablau 4 : Pogamm VBA la fomul Black & chol généalié. Funcion gblackcholcallpu_inicau A ing,, X,,, b, v Log / X + b + v ^ / * / v * q - v * q If callpu_inicau "C" hn gblackchol * Expb - * * Applicaion.NomDi - X * Exp- * * Applicaion.NomDi ElIf callpu_inicau "P" hn gblackchol X * Exp- * * Applicaion.NomDi- - * Expb - * * Applicaion.NomDi- En If En Funcion Il à maqu qu an c pogamm VBA, on uili la foncion inicaic callpu_inicau an l bu généali l uiliaion u pogamm à la foi au picing 5 C foncion inpi Haug

31 un call un pu implmn n iniquan au pogamm la l C pou un call ou P pou un pu an un cllul Excl. Pou illu l uiliaion c pogamm, coniéon l xmpl uivan. uppoon qu l on éi valoi un call. Dan la cllul Excl u ablau 5, on ap C. uppoon égalmn l onné uivan. L pix l acion 00 ; l pix xcic X, 90 ; l échéanc fixé à 0,5 an; l aux inéê % ; b égal à 0,0 v igma 0,3. L éula u picing un call n couan à la B généalié péné au ablau 5. ablau 5 : Réula la fomul Black & chol généalié pou l ca un call uopén u acion Black chol généalié Cou P C 00 X 90 0,5 0,0 b 0,0 v igma 0,3 B& géné. 4,58404 En vu la fomul la B généalié, l pix u call onc 4,58 $. 5. La couvu la la couvu la gamma n acion ou pofuill qui upliqu xacmn l flux monéai un opion vai compo un coû égal au pix l opion. C pincip pu mbl évin mai implicaion on cucial agian l évaluaion poui éivé. L un 3

32 coniion à la uplicaion pafai flux monéai un opion qu l maché financi oivn ê compl. lon Rbonao 004 6, i l maché financi on incompl, il n xi plu un pix uniqu pou l acif coningn c alo l off la man opion qui impoon un pix non l phénomèn l abiag. L pix l acif coningn alo éminé imulanémn avc l pix u iqu an l ca un moèl équilib généal. Il à no qu an l moèl Black chol, l ju l off la man n jou aucun ôl puiqu l pix un acif coningn alo éminé pa abiag, c -à-i n couan au pofuill upliquan. 5. Couvu la Nou uppoon onc qu l maché financi on compl. Nou voulon upliqu un call uopén c à pai un pofuill compoé acion un mpun B. C pofuill éci : c h B avc h l aio couvu. On pu ééci c équaion comm ui h B c 0 7 On vu calcul l aio hging h, qui élimin l iqu c pofuill. Un xpanion aylo u pmi gé pou c onn : c δ où δ C, l la u call, oi la nibilié u pix call à on ou-jacn qui égal à N an l moèl Black chol. On a : 6 Rbonao, R.004, Volailiy an Colaion, ièm éiion, John Wily & on. 3

33 h B c h B δ En goupan l m, on obin : h δ + B Pou élimin l iqu u pofuill, oi, il fau qu : h δ 0 h δ L la hging ynamiqu. Il fau coninullmn aju l la u call pou avoi un pofuill couv. Rpnon l pofuill couv V onné pa l équaion 7, pofuill qui épliqu un call. À l inan 0, il oi ê égal à : V δ B c 0 8 C pofuill auofinancé n c n qu l éca n l pofuill acion l mpun povin la pim ouché lo la vn u call, oi c 0, qui coniu l pix l opion. A l inan, l la u call a moifié l pofuill couv va ê moifié comm ui : V δ B c 0 La vaiaion la a égal à : B B0 δ δ 0 0 c O, n vu un xpanion aylo u pmi gé : c δ δ 0 0 On a onc : B δ δ 0 B 0 δ δ 0 0 δ 0 + δ

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