REVUE DES MODÈLES D OPTIONS ET DES TESTS SUR LES BONS

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1 REVUE DES MODÈLES D OPTIOS ET DES TESTS SUR LES BOS REVUE DES MODÈLES D OPTIOS ET DES TESTS SUR LES BOS Pierre Chollet, Université de la Méditerranée 1 Résumé. L auteur revoit, avec pédagogie, les principaux acquis sur les options et les bons de souscription d actions. Il en présente les modèles d évaluation concurrents et juge de leur performance. Il montre concrètement les sensibilités paramétriques du modèle classique selon le degré d enjeu des options. Il ajoute des exemples chiffrés d évaluation de bons vus comme options de type européen ou américain. Via une comparaison des tests connus sur les bons, il lui apparaît que les modèles plus raffinés réduisent l erreur d estimation, en particulier pour les bons très hors jeu, à vie longue et à dilution potentielle élevée. Toutefois, il reconnaît que leur application exige un surcroît d effort et demeure problématique. Il lui semble donc que les classiques de Black et Scholes (1973) et de Merton (1973) s avèrent, tout compte fait, les plus utiles pour l évaluation des bons. I. ITRODUCTIO ous voulons synthétiser les acquis en matière d évaluation des bons de souscription d actions (les bons ci-après) et donc décrire leur nature et leur importance en plus d établir la qualité des estimations issues des modèles d évaluation disponibles. En collaboration avec l Éditeur, et dans un esprit pédagogique, nous revoyons divers modèles d options et offrons des exemples chiffrés. D entrée, rappelons que la firme émettrice de bons (ou warrants) ve le droit de souscrire à des actions à des coitions prédéterminées de prix et de temps 2, le tout occasionnant divers effets de valeur sur elle-même et ses titres. 1 Pierre Chollet est Professeur à l Université de la Méditerranée (appelée Aix-Marseille II avant) et membre du CRET-LOG, de même que du CEROG de l IAE d Aix-en-Provence. Il est redevable pour la réalisation de ses travaux au CEREG de l Université Paris-Dauphine et à l IGT de l IAE de Tours. L auteur remercie vivement l Éditeur et les lecteurs de Finéco pour leurs suggestions, leurs nombreux ajouts pédagogiques et leur grae aide éditoriale. On le rejoint via chollet@paprika.iut.univ-aix.fr. 2 Même si la nature en est la même, il ne s agit pas ici des droits en cause dans une émission (dite iirecte) d actions via droits. Ceux-ci permettent d ordinaire d écouler très vite l émission, à prix de faveur et en priorité, auprès des actionnaires en place. Les émissions via droits sont traitées par Gajewski et Ginglinger (1996). FIÉCO, volume 11, année

2 PIERRE CHOLLET Quant aux options classiques que créent et s échangent les investisseurs via un marché, leur existence n influe pas d ordinaire sur la valeur de la firme, si l on exclut l effet iirect inhérent à tout marché de titres apparentés. L émission de bons commence aux États-Unis dans les années 20. On en use alors, et c est encore le cas, comme stimulants pour écouler des titres de dettes. À partir des années 70, les bons se répaent en Europe, puis à l international avec, notamment, les émissions japonaises sur l Euromarché. En France, les premiers bons sont émis en 1983 et croissent en nombre jusqu au krach de 87. Depuis, la survenance de nouveaux bons varie selon la conjoncture boursière, un contexte haussier étant favorable à leur émission. Liés à l origine à des obligations, les bons ont ensuite accompagné des émissions d actions, (g et Smith, 1996; Chemmanur et Fulghieri, 1997). Parfois, ils sont émis isolément ou donnés aux actionnaires en place et levables en contexte particulier, de contrôle menacé, par exemple. Au Canada, dans les années récentes, les émissions de bons classiques sont plutôt rares et leur mise à la cote encore plus rare. On en trouve seulement une poignée à la Bourse de Toronto (exemple: les bons d ICO) qui s échangent suffisamment pour apparaître régulièrement dans les pages financières du Globe a Mail ou de La Presse. Du côté américain, au début de 2000, c est surtout sur le ASDAQ qu on en trouve un bon nombre. La plupart ont été décotés par la suite à cause de la très forte dévalorisation, voire la disparition, des actions sousjacentes. Les bons s évaluent par méthodes empiriques jusqu à l apport de Black et Scholes (1973) permettant d évaluer les options classiques. La transposition de ce modèle de base (et de ses variantes) au contexte des bons a été facile. Il s agit pour nous de faire le point sur la qualité des estimations de bons fournies par les méthodes et modèles disponibles. ous verrons, par exemple, qu un modèle peut être performant dans un contexte et moins dans un autre. Ainsi donc, notre étude pourra éclairer le choix du modèle à retenir pour un contexte donné. ous verrons aussi que les modèles d options classiques s avèrent performants, malgré leurs simplifications. Dans la section II ci-dessous, nous rappelons la nature des bons et ce qui les distingue des options classiques. À la section III, nous présentons de nombreux modèles d options avec exemples chiffrés. Leur performance en matière d évaluation de bons est ensuite établie à la section IV via un recensement et une analyse des résultats empiriques connus à leur sujet. ous concluons à la section V quant aux modèles à retenir pour évaluer les bons. 98 FIÉCO, volume 11, année 2001

3 REVUE DES MODÈLES D OPTIOS ET DES TESTS SUR LES BOS II. LE BO: UE OPTIO U PEU SPÉCIALE Le bon n étant pas une option classique pure, son modèle devrait refléter sa nature spéciale. Celle-ci se distingue par son émettrice (la firme plutôt que l investisseur) et par ses potentialités: de financement dilué, de contrôle et de signalisation. À noter que les bons typiques manquent de liquidité, ce qui re plus problématique leur évaluation. Les options-salaires, également émises par les firmes, ont une parenté évidente avec les bons et leur évaluation est exigeante numériquement (Detemple et Suaresan, 1999; Galai, 1989). Un outil financier multiusage Avec l émission de bons, la firme augmente son capital d un certain produit initial et devient apte à profiter du produit éventuel, beaucoup plus important, de leur levée. Certes, ce deuxième apport dépe de coitions boursières. Le cas échéant, pour une dette donnée, la firme ajoute à ses fos propres et crée divers effets plus ou moins importants sur sa valeur et celle de ses titres: baisse du levier financier, effets de richesse, négatifs ou positifs, selon les coitions d émission, de levée et d utilisation des fos réunis. Par ailleurs, la firme de grae taille, faiblement eettée et rentable, peut voir dans les bons un outil d autonomie financière. En les plaçant en priorité auprès des actionnaires en place, elle limite l ouverture de son capital et ainsi le contrôle mieux 3. La distribution gratuite, assez fréquente, de bons est de même inspiration. Les bons sont utiles aussi pour contrer des OPA hostiles, tout comme ils peuvent servir dans les ententes à l amiable, notamment en facilitant divers montages financiers. Ils sont alors placés auprès de l initiatrice pour qu elle puisse acheter des actions à un prix moire et s éviter des impôts. Par delà les objectifs d augmentation et de contrôle du capital, il y a celui de la signalisation. Pour la firme de taille moyenne, eettée et peu rentable, qui manque de fos de croissance, l émission de bons peut constituer un moyen de signalisation. Rappelons le potentiel informatif des émissions de dettes (Ross, 1977) et d actions (Lela et Pyle, 1977). Pareillement, l émission de bons vient 3 L actionnaire en place s avère d autant plus réceptif qu il se voit offrir un fort levier (L) sur son placement en bons. En effet, sachant que le bon d achat (disons à X, valide jusqu à t, d une action à dividee zéro ayant cours S) lui coûte W, il n a qu à débourser une mince fraction (W/S) du prix de l action pour s en réserver toute surcroissance (S > X) jusqu à t, d où le fort levier L (=1/fraction = S/W). Aussi bien dire qu avec un placement unitaire en bons, il se réserve, jusqu à t, le surgain possible d un placement L fois plus gra en actions. FIÉCO, volume 11, année

4 PIERRE CHOLLET réduire l inégalité d information entre les intéressés à la firme (manageurs, prêteurs, actionnaires, etc.) et, du même coup, leurs conflits d intérêts. Des particularités à effets subtils L option classique s échange en lots réguliers, selon des échéances récurrentes, et par familles de prix de levée, tais que pour le bon tout est particulier à son émission, y compris parfois le rachat (Schulz, 1993), la révision en baisse du prix de levée (Howe et Su, 2001), voire la prorogation d échéance (Longstaff, 1990; Hauser et Lauterbach, 1996). De plus, sa vie étant beaucoup plus longue, souvent entre trois ans et dix ans au départ, le bon s évalue plus difficilement. En effet, avec une échéance plus lointaine on re plus probable la survenance de dividees, et la levée précoce du titre tout en fragilisant au moins deux autres hypothèses classiques d évaluation d options: la constance du taux sûr r et l homovariance du reement du support. On remet d autant plus en cause l hypothèse d homovariance (Crouhy et Galai, 1991a) que le bon absorberait une partie du bêta de l action et donc de la variance. Et cette variance serait réduite à un niveau plus instable. Un premier facteur d instabilité réside dans le partage du risque entre les actionnaires d une firme et ses détenteurs de bons puisque le partage ayant amené la baisse peut cesser dès que le bon devient, au fil du temps, fortement en jeu et se voit levé. Un deuxième facteur peut venir de l utilisation du produit initial des bons. Par exemple, si ce produit s ajoute à un eettement important en vue de réaliser des projets anormalement risqués, le risque des actionnaires augmente et par les projets et par l eettement. De plus, si la taille plus grae de la firme n a pas été anticipée, la volatilité de l action s en trouve augmentée. Bien sûr, l impact d une émission de bons sur la volatilité des actions sousjacentes dépe beaucoup de sa taille et donc de la dilution conséquente. Plus celleci est élevée, moins l hypothèse d homovariance du support convient lorsqu il s agit d évaluer les bons. En principe, les meilleurs modèles devraient intégrer l hétérovariance possible du support (Ball, 1993). Toutefois, nous verrons plus loin que de tels modèles n offrent pas une supériorité d évaluation iiscutable. III. MÉTHODES ET MODÈLES D ÉVALUATIO a. Méthodes empiriques d avant Black et Scholes (1973) Avant 1973, les bons s évaluaient à partir de méthodes empiriques peu performantes, notamment les méthodes: A) actuarielle; B) du reement égal ou de Turov (1974); C) de Shelton (1967); D) de Kassouf (1969); et E) de Miller (1971). La méthode B est encore utilisée par les praticiens. Les méthodes C et D ont subi des tests de performance dont les résultats très décevants sont compris dans le ta- 100 FIÉCO, volume 11, année 2001

5 REVUE DES MODÈLES D OPTIOS ET DES TESTS SUR LES BOS bleau 2 de la section IV. Les cinq méthodes sont présentées à l annexe A dans un but plus historique qu utile. b. Le bon vu comme option d achat classique Convenons que, en l absence de précisions: (1) il s agit toujours ci-dessous d un bon pour souscrire à n=1 action; et (2) le moment d évaluation du bon est au temps zéro de sorte que son échéance s exprime par t-0 = t. Rappelons aussi que la valeur du bon vu comme option classique 4 a ses deux composantes (intrinsèque et spéculative), qui ensemble dépeent de six paramètres, ou facteurs, à expliciter cidessous et qu on symbolise souvent par S, X, t, r, σ, i. Vu que le modèle d option classique convient dans bien des circonstances pour estimer la valeur du bon W, il devient opportun ici de le rappeler en l appliquant au bon et de montrer la sensibilité de W à des variations paramétriques. Considérons d abord les paramètres S et X, via la valeur intrinsèque (VI), ou valeur courante de base, du bon. Celle-ci se mesure par le maximum qu une levée, ou que le don, du bon dans l immédiat produirait, soit: VI = Max(S-X, 0) = Tout dépassement possible du prix de levée (X) par le cours du support (S). À noter qu avec un support rapportant i% en dividee jusqu à l échéance du bon, il faut diminuer S par la valeur actualisée du revenu avant d établir la VI en cause. ous y revenons plus loin. Par ailleurs, comme le bon vaut W et plus que sa VI, l excédent (W - VI) est donc lié à la possibilité qu il vaille davantage dans l avenir limité par son échéance. Cet excédent s appelle valeur-temps, ou valeur spéculative (VS), d où W = VI + VS. Concernant t, le temps à courir, plus il est long, plus la valeur spéculative (VS) du bon est élevée, et pareillement pour sa valeur totale (W) puisque sa valeur intrinsèque (VI) n en est pas modifiée. La simple intuition veut que, avec plus de temps, la probabilité d un produit de levée plus gra augmente. Si on mesurait l effet de valeur ( W/W) qu aurait une miniprorogation (disons t = 0,01 année) de l échéance on pourrait voir, et avancer, qu il est plus fort avec des échéances courtes. L avancé tient pour tout bon vu comme option d achat classique, qu il soit hors jeu, au jeu ou en jeu. Mais en termes relatifs d élasticité de la valeur du bon par rapport à t [η t ~ ( W/W)/( t/t)], l avancé ne tierait que pour la situation hors jeu. Le tableau 1 montre les composantes de W(=VI + VS) et les effets en cause ( W/W et η t ) pour un bon exemplaire. 4 Par classique, l on ente la modélisation, en régime continu, par Black et Scholes (1973) du droit d acheter, contre X, à l échéance t, un titre, dit support, ayant cours S et volatilité σ dans une économie à taux sûr r. Par extension, l on englobe la modélisation de Merton (1973) tenant compte d un sixième paramètre: un reement en dividee supposé continu et constant (i = D/S) pour le support. FIÉCO, volume 11, année

6 PIERRE CHOLLET TABLEAU 1 La valeur du bon (W) en tant qu option classique, ses dérivées et ses élasticités ( η ) B W = Val. intrinsèque + Val. spéculative VS = Max (0,S-X) + VS. W = S(d 1 ) - Xe -rt (d 2 ) selon Black et Scholes (1973). Partout on a que X = 40; r = 5%; σ = 30%. L élasticité par rapport au dividee est établie via le modèle de Merton (1973). Voir sous le tableau d. S = 001, X = 001, t = 001, r = 5%, r =0,01% σ = 30%, σ =0,01% État du bon levable contre X sur support ayant cours S Ligne (.) et échéance t en années W: Valeur courante du bon Valeur spéculative VS Delta W S η s W X W W (d 1 ) S S ~-e -rt (d 2 ) η x W W t t -Thêta b η Rho t W t W W t t W r ~txe -rt (d 2 ) η r W W r r Vega W σ ~S (d 1 ) c η σ W W σ σ Hors jeu X = 40 S = 30 (1) 0,2 (2) 1,0 (3) 2,5 0,03 1,23 3,82 0,03 1,23 3,82 0,02 0,26 0,46 21,07 6,37 3,60-0,02-0,16-0,25 19,87 5,36 2,60 0,60 1,79 1,62 3,70 1,46 1,06 0,13 6,58 24,83 0,20 0,27 0,33 0,72 9,74 18,82 6,73 2,38 1,48 Au jeu X = 40 S = 40 (4) 0,2 (5) 1,0 (6) 2,5 2,33 5,69 9,65 2,33 5,69 9,65 0,56 0,62 0,69 9,51 4,38 2,87-0,50-0,48-0,45 8,50 3,38 1,87 6,23 3,23 2,23 0,53 0,57 0,58 3,97 19,24 45,00 0,09 0,17 0,23 7,07 15,18 22,28 0,91 0,80 0,69 En jeu X = 40 S = 50 (7) 0,2 (8) 1,0 (9) 2,5 10,50 13,23 17,34 0,50 3,23 7,34 0,96 0,86 0,83 4,59 3,23 2,41-0,94-0,74-0,61 3,59 2,23 1,41 3,20 3,18 2,40 0,06 0,24 0,35 7,56 29,64 61,05 0,04 0,11 0,18 1,75 11,38 19,66 0,05 0,26 0,34 a Pour plus d interprétation des dérivées partielles (pentes ou taux de changement) du modèle classique d option, lire Chance (1994) et Hull (1997, ch. 14). 2 (-0,5d ) b Thêta = Taux auquel baisse W avec moins de temps à courir W/ t = -0,5 S (d 1 ) σ/t 0,5 - rxexp(-rt) (d 2 ) où (d1) = exp 1 /(2π) 0,5. c Par (d 1 ), entere la dérivée de (d 1 ) par rapport à d 1 ~ (d 1 )/ d 1, si est petit. Voir b aussi. d En présence d un support à reement continu constant en dividee (i = D/S), Merton (1973) a montré que l option, assimilée ici à un bon, vaut W = Se -it (d 1 ) - Xe -rt (d 2 ) où d 1 = [ln(s/x) + (r-i+0,5 σ 2 )t]/ σ et d 2 =d 1 - σ. Si on fixe i à 2% et pre i = 0,01% on obtient les résultats pour les lignes (1) à (9): Ligne (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) W 0,03 1,08 3,18 2,25 5,21 8,33 10,30 12,39 15,34 W/ i -0,12-7,01-29,73-4,38-23,44-62,09-9,79-40,89-95,89 Élasticité 0,08 0,13 0,19 0,04 0,09 0,15 0,02 0,07 0,13 t - t t 102 FIÉCO, volume 11, année 2001

7 REVUE DES MODÈLES D OPTIOS ET DES TESTS SUR LES BOS Concernant r, le taux d intérêt sûr pertinent, il se confo au reement que commae un placement sûr ayant l échéance du bon. La hausse de r, ne serait-ce qu en réduisant la valeur courante de X, augmente la valeur du bon. Cet effet se voit aussi en termes d économies de placement, car un moire montant placé à un taux r plus élevé procure le même X, et la même action sous option, à l échéance du bon. Le tableau 1 montre que l élasticité de W par rapport à r (= η r ) est faible, qu elle augmente avec l échéance mais qu elle diminue, pour une échéance donnée, avec le degré d enjeu du bon. Cela se voit bien dans la colonne des η r du tableau 1, si l on compare par exemple, les niveaux des lignes 3, 6 et 9 pour lesquelles on a la même échéance de 2,5 années. Concernant σ, l écart type de reement mesurant la volatilité du support, plus il est gra, plus la probabilité s élève que le cours S dépasse X à la levée du bon, et plus le bon vaut cher. Par exemple, si σ passait de 30% à 40%, alors W croîtrait de 1,23 $ à 2,28 $ à la ligne 2 du tableau 1 pour le bon hors jeu, de 5,69 $ à 7,21 $ à la ligne 5 pour le bon au jeu et de 13,23 $ à 14,49 $ à la ligne 8 pour le bon en jeu. Donc, pour le même t (ici de 1) et σ (ici de 10%), W croit proportionnellement moins qua le bon se trouve plus en jeu. Il s avère que plus le bon est hors jeu et à courte échéance, plus l élasticité de W par rapport à σ, soit η σ, est forte. En fait, elle est beaucoup plus forte que les autres élasticités ( η t, η r, η i ). Toutefois, si le bon est en jeu, l élasticité η σ serait très faible mais croissante avec l échéance du bon. Tout cela se voit bien au tableau 1. Concernant i, le reement en dividee possible du support, plus il est gra plus il dévalorise le bon (et abaisse donc W). En effet, comme i appartient au supporteur plutôt qu au détenteur du bon, celui-ci voit sa VI maximale disponible baisser de la valeur actualisée du flux de dividee, soit en régime continu, une baisse de (S-X) à (Se -it - X). Bien sûr, cette baisse de VI ne joue que pour le bon en jeu et augmente avec l échéance t. Toutefois, pour ce même bon valant W, l effet dividee sur sa VS serait légèrement positif, ce qui donne néanmoins un effet total net négatif. Pour le bon non en jeu, l effet dividee sur sa seule composante (VS) de W est faiblement négatif. Ce qui précède se reflète dans la faible élasticité de W par rapport à i ( = η i ), comme on le voit à la note d sous le tableau 1. Au total, les propriétés bien connues du bon vu comme option d achat ordinaire ressortent des situations chiffrées au tableau 1:. La valeur W du bon se décompose en valeurs additives (intrinsèque VI et spéculative, VS) mais en même temps, W doit forcément égaler, comme pour FIÉCO, volume 11, année

8 PIERRE CHOLLET tout titre, la valeur actualisée de son gain atteu [Se rt (d 1 ) e -rt = S(d 1 )] net de son coût atteu actualisé [Xe -rt (d 2 )].. W augmente avec S, t, r et σ tais que W diminue avec X et i.. À en juger par ses élasticités, W est particulièrement sensible à S et à X, que le bon soit hors jeu, au jeu ou en jeu; s il est hors jeu, W est aussi fort sensible à σ et t. c. Le bon comme option particulière ous savons déjà que les modèles classiques de Black et Scholes (1973) et de Merton (1973) peuvent servir à évaluer toutes sortes d options, y compris les bons. Le tableau 1 en illustre les calculs de valeurs théoriques, leurs composantes et leurs sensibilités paramétriques. Deux tests (peut-être typiques) de performance de ces modèles appliqués à l état pur sur les bons (avec des volatilités historiques pour le support) sont intégrés plus loin à notre tableau 2 des tests connus des modèles concurrents. Ils iiquent des erreurs significatives (au seuil de 1%) mais néanmoins fort tolérables à première vue, à en juger par ce qui suit: Erreur d évaluation Modèle Source Marché Moyenne Absolue moyenne B & S (1973) Merton (1973) Stucki et Wasserfallen (1989) oreen et Wolfson (1981) Suisse -4,55% 14,73% États-Unis 3,4% 16,1% On constate ici qu avec Black et Scholes on sous-évalue le bon tais qu avec Merton on le surévalue, alors qu en théorie, s il s était agi des mêmes bons, on aurait dû obtenir une évaluation plus faible avec Merton (qui soustrait l effet dividee). C est un premier iice que les comparaisons de performance d évaluation à partir de modèles, d échantillons et de chercheurs différents sont hasardeuses, voire déroutantes. Toutefois, avec un gra nombre de résultats, l on peut espérer parvenir à déceler les modèles plus performants, comme nous le verrons à la section IV. Ainsi, après le recours aux méthodes empiriques d avant 1973, puis aux modèles classiques de Black et Scholes et de Merton, les évaluateurs de bons ont voulu mieux prédire leur valeur en prenant des modèles d option et des mesures paramétriques plus accordés à leur réalité (levée prématurée possible, dividee ponctuel plutôt que continu, mesures concurrentes de la volatilité, etc.) et en corri- 104 FIÉCO, volume 11, année 2001

9 REVUE DES MODÈLES D OPTIOS ET DES TESTS SUR LES BOS geant les modèles pour l effet de dilution lié aux bons. Élaborons sur ces modèles améliorés avant de comparer leurs performances d évaluation de bons selon les principaux tests connus. L apport de Black (1975) Le bon est d ordinaire de type américain, donc levable en tout temps jusqu à son échéance t. Or, en présence de dividees intérimaires (à t 1, t 2,...t n < t) sauf circonstances improbables, il est établi (Hull, 1997, p. 251) qu une seule levée prématurée (juste avant t n ) peut dominer en valeur la levée à l échéance, là où l option est en jeu, le dividee D n important et t n rapproché de t. Black (1975) a justement proposé une procédure pour établir les deux valeurs en cause et retenir la plus élevée comme valeur de l option. Appliquons-la en considérant un bon soumis aux paramètres suivants: S = 20, X = 16, r = 7%, D 1 = 0,25 à t 1 = 0,15, D 2 = 0,25 à t 2 = 0,40, σ = 30% et t = 0,50. Alors si l on pre [20-0,25 exp (-rt 1 ) - 0,25 exp (-rt 2 ) =] 19,51 comme S corrigé dans le modèle B&S et t = 0,50 comme échéance, on obtient la valeur W = [S (d 1 ) - X exp (-rt) (d 2 ) = 19,51(0,8861) - 16 (0,8399) =] 4,31 pour le bon levé à son échéance t. Cepeant, si l on pre [20-0,25 exp (-rt 1 ) =] 19,75 comme S corrigé et t 2 = 0,40 comme échéance, on obtient W 2 = 4,36 pour le bon levé juste avant t 2. [On peut vérifier la non optimalité atteue pour la levée prématurée juste avant t 1 (W 1 = 4,18).] Comme la levée prématurée juste avant t 2 donne la valeur dominante W 2 (> W), nous prenons W2 comme valeur du bon. Voyons un deuxième modèle qui n exclut pas une levée prématurée possible autour de dividees ponctuels. L apport de RGW (Roll, 1977; Geske, 1979; Whaley, 1981) Dans l application du modèle RGW qui intègre les trois apports mentionnés pour les options américaines, il faut d abord établir le cours critique S c qu il faudrait observer juste après le dernier dividee (à t n + ) pour créer l iifférence avec la situation de levée juste avant, à t n -. Ce cours ex-dividee S c doit être tel que W +, la valeur de l option à t n +, compte tenu qu il reste (t - t n ) encore à courir, égale le produit net d une levée déclenchée à t n -, soit P = S c + D n - X. Bien sûr, d une part, si W + dépasse toujours P même en supposant des S c de plus en plus élevés, alors la levée prématurée est exclue. L on a alors l équivalent d une option européenne, donc évaluable à la Black et Scholes, pour peu que l on prenne le prix hors dividees actualisés comme cours du support. D autre part, on suppose ici que le facteur de chute du cours au point ex-dividee t n est de 100% (k=1) de D n. Si l on pre l exemple précédent, sachant que X = 16, r = 7%, D n = D = 0,25 et qu il resterait (t - t 2 = 0,5-0,4 =) 0,10 année encore à courir, alors il faudrait que FIÉCO, volume 11, année

10 PIERRE CHOLLET S c = 17,42 pour que l option, disons le bon, vaille alors: W + = 17,42 (d 1 ) - 16 exp (-0,07 * 0,10) (d 2 ) = 1,67 $, soit exactement le produit de levée P = S c + D n - X = 17,42 + 0,25-16,00 = 1,67 $. On a donc ici une levée prématurée possible pour - peu que le cours à t n dépasse S c + D n. Mais le lecteur peut vérifier qu avec D n = 0,05, elle serait exclue car aucun S c n aurait été assez élevé pour que W + = P. Une fois établi qu il existe un S c fini, il reste à obtenir (laborieusement) la valeur courante du bon vu comme option, car: W = K * [(b 1 ) + M 1 (.)]- Xexp(-rt) M 2 (.) - (X - kd n ) exp(-rt n ) (b 2 ) où: K * = [S * - D n exp (-rt n )] = Prix courant du support hors tout dividee prévu avant t, où S * = S - D 1 exp(-rt 1 ) D n-1 exp (-rt n-1 ) = Prix hors tout dividee avant t n où S * = S s il n y a qu un dividee (donc si t 1 = t n ); t = Temps à courir de l option par rapport au temps zéro courant, les temps de versement des D prévus étant t 1,..., t n < t; r = Taux sûr pertinent; X = Prix de levée; k = Facteur de chute du cours au point ex-dividee t n (d ordinaire on pre k=1); a 1 = [ ln( K* X) + ( r + 05σ, 2 )t] σ t ; a 2 = a 1 - σ t ; b 1 = [ ln( K* S c ) + ( r + 05σ, 2 )t n ] σ t n ; b 2 = b 1 - σ t n ; σ = Volatilité de K *, donc du prix du support hors dividees; (b i )= Probabilité normale que b < b i pour i=1,2; M i (.) = M(a i, - b i ; - t n t ) pour i = 1,2 = Probabilité normale bivariée avec corrélation ρ = - t n t = Prob (a < a i, b < -b i ; ρ ). Comme la programmation du calcul des probabilités bivariées est laborieuse 5 (voir Hull, 1997, p. 260), il n est pas étonnant que le modèle RGW soit peu utilisé par les praticiens pour évaluer les options ou bons de type américain. Le lecteur vaillant pourra établir que, dans notre exemple, où r = 0,07, S = 20, D 1 = 0,25 à t 1 = 0,15, D 2 = 0,25 à t 2 = 0,40, t = 0,50, k = 1; S * = S - 0,25 exp(-rt 1 ) = 19,7526, S c = 17,42, 5 Depuis peu, certains logiciels sont accessibles gratuitement pour établir les probabilités normales bivariées, notamment: Bivar1c.exe (sur FIÉCO, volume 11, année 2001

11 REVUE DES MODÈLES D OPTIOS ET DES TESTS SUR LES BOS K * = S * - D 2 exp (-rt 2 ) = 19,4955, X = 16 et σ = 0,30, on obtient: b 1 = 0,8395 et (b 1 ) = 0,7994; b 2 = 0,6498 et (b 2 ) = 0,7421; a 1 = 1,2059 et a 2 = 0,9938; ρ = - t 2 t = -0,8944; M 1 (.) = M(a 1, - b 1 ; ρ) = 0,0998 et M 2 (.) = 0,1150. D où une valeur pour W de 4,40 $ après bien du travail, contre une valeur de K*(d 1 ) - X exp(-rt)(d 2 ) = (19,4955*0, *0,9656*0,8390) = 4,30 $, selon un modèle classique avec correction pour dividees et sans levée prématurée possible. Cette dernière possibilité n ajoute donc que 0,10 $ à la valeur du bon. Les modèles avec hétérovariance Les modèles classiques présupposent l homovariance (une variance constante) pour le support, l obéissance à un processus brownien géométrique et une distribution lognormale pour son cours terminal [(ds/s) = µdt + σdz = dérive atteue au taux µ + aléa classique à volatilité σ constante]. Ces hypothèses posent problème et signifient des biais d évaluation pour peu que la vraie distribution diffère. Hull (1997, ch. 19) traite ces biais de façon exemplaire. Divers modèles avec variance changeante (hétérovariance) ont été proposés. Voyons-en quelques-uns. Cox et Ross (1976) ont innové en proposant une famille de modèles avec hétérovariance à élasticité constante, dits MODÈLES CEV (pour: Constant Elasticity of Variance Models). Beckers (1980) en a vu les implications pour l évaluation des options. Un tel modèle veut que le levier dû aux coûts fixes dans la firme change la variance de l action en fonction inverse de son cours. D où un processus qui s exprime par: ds = µsdt + δs 1-α dz ou (ds/s) = µdt + δs -α dz où -α = 0,5 (ψ-2), α = 1-0,5 ψ et ψ symbolise l élasticité de la volatilité par rapport au cours du support, δ étant une constante positive alors que la volatilité changeante selon le cours [σ(s)] est donnée par δs -α. À noter que: (1) si 0 ψ < 2, on a bien un α positif et donc un exposant (-α) négatif pour S, donc une relation inverse entre σ(s) et le cours; (2) si ψ = 2, alors -α = 0, δs -α = δ = constante = σ: c est le processus classique; (3) si ψ = 1, alors σ(s) = δs -0,5 = δ S : c est le MODÈLE À RACIE CARRÉE, la variante la plus populaire des modèles CEV; (4) si ψ = 0, alors σ(s) = δs -1 où la volatilité est inversement proportionnelle au cours S: c est le MODÈLE DE DIFFUSIO ABSOLUE; (5) si ψ n est pas fixée a priori, on a le MODÈLE CEV À ÉLASTICITÉ LIBRE. FIÉCO, volume 11, année

12 PIERRE CHOLLET Mentionnons aussi les innombrables modèles stochastiques via lesquels on estime h t, la variance changeante, ou hétérovariance du titre, au point temporel t, en poérant systématiquement les valeurs au carré de ses écarts de reement observés antérieurement [ε 2 t-i = (Observé -Atteu)2 ]. Il s agit donc de modèles à mémoire mobile qui diffèrent par leur système de poération. Par exemple, le modèle à poids exponentiels déclinants (selon l ancienneté) veut que l estimation de h t égale l estimation antérieure corrigée par la fraction α de la dernière erreur d estimation [h t = h t-1 + α (erreur t-1 )], ce qui revient à obtenir h t par la somme poérée des m derniers ε 2 m : h t = aε t-1 + α(1-α)ε t = où α 1 = α i=1 αi ε 2 t-i < α 2 = α(1 - α) < α 3 = α(1 - α) 2... et Σ α i =1. Plus fréquemment, on suppose une hétérovariance autorégressive de type ARCH classique [où le niveau de h t égale Cons- moyenne i = 1 α i ε 2 + t-i ] Variance m, ou ARCH généralisé (GARCH) ou tante GARCH exponentiel (EGARCH). Le lecteur a ample choix de lectures sur le sujet, par exemple: Hull et White (1987), elson (1991), Ritchken et Trevor (1999) et, en particulier, Kuwahara et Marsh (1992) puisque ceux-ci ont appliqué le modèle EGARCH aux bons. En passant, notons une chose déprimante pour ceux qui veulent évaluer les bons avec des modèles raffinés. Les bons étant d ordinaire peu négociés, le marché affiche des prix grossiers de sorte que l on peut rarement établir si le recours aux modèles raffinés (coûteux en information) confère la supériorité d évaluation atteue, comme notre tableau 2 des performances l iique plus loin. Les modèles à évolution discontinue a) Le modèle binomial de Cox, Ross et Rubinstein (1979, CRR) Avec le modèle CRR, on peut évaluer une option quelconque (donc un bon aussi), sur l horizon t, en supposant que son support connaît de très nombreux (n) chocs binomiaux successifs (un par pas, ou segment temporel t = t/n). Chaque choc constitue un facteur soit de hausse µ avec probabilité p, soit de baisse d avec probabilité (1 - p). Vu l importance de la modélisation binomiale en matière d options, élaborons sur son processus d évaluation. Le modèle CRR se veut neutre face au risque, d où partout le taux sûr r comme reement atteu des titres ou portefeuilles et comme taux d actualisation. 108 FIÉCO, volume 11, année 2001

13 REVUE DES MODÈLES D OPTIOS ET DES TESTS SUR LES BOS Ainsi, au bout de t, on a un cours atteu de S exp (r t) = psµ + (1-p)Sd donnant exp (r t) = pµ + (1-p)d et une variance correspoante permettant d écrire exp (2r t + σ2 t) = pµ 2 + (1-p)d 2. En surimposant l égalité µ = 1/d on obtient, après rejet de termes négligeables, que µ = exp (σ t), d = exp (-σ t), p = (a-d)/(µ-d) où a = exp (r t). Dans l ordre binomial issu du modèle CRR, les cours possibles évoluent comme suit. Au temps 0, on a S. Après t, aux deux noeuds possibles on a Sµ et Sd. À 2 t, les trois noeufs sont de niveau Sµ 2, Sud et Sd 2. Etc. L expression générale du cours, après i pas ou segments t, pour tout noeud j parmi les i+1 alors possibles (j=i, i-1,...,1, 0) devient S ij = Sµ j d i-j. Il s ensuit qu à l échéance les n+1 cours possibles s expriment par S n,j = Sµ j d n-j et sont: Sµ n d o, Sµ n-1 d 1,..., Sµ 1 d n-1, Sµ 0 d n. Connaissant le prix de levée X, les n+1 valeurs possibles du bon à l échéance vont obéir à W nj = Max[0,(S nj -X)], j=n, n-1,...,1,0. De là, le modèle CRR procède à reculons, un segment à la fois, pour établir d abord les n pénultièmes valeurs W n-1,j, chacune combinant deux valeurs probables actualisées, soit, par exemple: A=W n-1, j-n-1 = [p W n,j=n + (1-p) W n,j=n-1 ] exp(-r t). Pour un bon levable avant terme, on doit vérifier alors à chaque noeud si la levée immédiate rapportant B = Max [0,(S n-1,j - X)] dépasse A = W n-1,j, en lequel cas B, plutôt que A, est la valeur correcte du bon au noeud en cause. D un recul à l autre, on finit par obtenir W 0 = [p W 1,j=1 + (1-p) W 1,j=0 ] exp (-r t), soit la valeur théorique courante du bon si sa levée est repoussée d au moins un segment t. En comparant W 0 avec le produit courant de levée, Max[0,(S-X)] = L 0, la valeur courante du bon est établie à W = Max(W 0, L 0 ). À l annexe B, on donne un exemple chiffré. À noter que le modèle CRR s adapte sans difficulté majeure à un support avec dividees prévus, et se prête à toutes sortes d extensions, notamment aux situations avec taux d intérêt stochastiques, comme Hull (1997) le montre bien dans son chapitre 15. b) Les modèles avec chocs surimposés La discontinuité dans l évolution du cours du support est modélisée en termes de chocs. Selon Merton (1976), le cours des actions subit certes des effets continus mais aussi des chocs. D où divers modèles voulus plus réalistes, où la survenance des chocs est caractérisée et surimposée au processus continu classique. FIÉCO, volume 11, année

14 PIERRE CHOLLET Dans le plus simple modèle (dit modèle à diffusion mixte), on suppose des chocs de k% du cours (en moyenne) qui surviennent au rythme de λ fois par année. On les ajoute à l évolution brownienne classique du support, ayant volatilité σ, de sorte que son cours (croissant au taux atteu µ) microvarie ainsi: (ds/s) = (Dérive au taux net µ-λk) + (Aléa brownien) + (Aléa iépeant dû aux chocs), ou symboliquement: (ds/s) = (µ-kλ)dt + σdz + dq. otons que l on suppose un processus de chocs, dq, de type Poisson. Dans la version simple du modèle, le logarithme de (1+k) obéit à une distribution normale de dispersion δ et la valeur théorique A 0 de l option d achat, d échéance t, est obtenue en corrigeant comme suit sa valeur ordinaire, a 0, selon Black et Scholes: A 0 = a 0 + [( b t ) i exp( -bt) i! ]a i = a 0 + ( Facteur i )a i i = 1 i = 1 où a 0 = S(d 1 ) - Xe -rt (d 2 ) = Valeur ordinaire avec volatilité σ, taux sûr r et absence de chocs (n = 0, λ = 0); a i = Valeur de Black et Scholes modifiée par une dispersion égale à [iδ 2 /T + σ 2 ] 0,5 et un taux sûr de r-λk + [iln(1+k)/t]; et b = λ(1+k) où λ est la fréquence. À noter que la composante de correction sera toujours positive même si souvent de mince importance, ce qui souligne que les chocs du modèle augmentent la valeur de l option en augmentant la volatilité effective. Malheureusement, le modèle a ses caprices, sinon ses folies, dès qu on l applique au premier cas plausible comme le suivant où S = 40; X = 40; r = 0,05, t = 1,0, σ =20 avec des chocs de 0,1% de S en moyenne à une fréquence de λ = 40 par année et avec une dispersion δ = 0,03. Selon Black et Scholes, a 0 = 40 (d 1 ) - 40 exp (-0,05 * 1) (d 2 ) =... = 5,69 $. Si on calcule maintenant les corrections du modèle, on les trouve d abord insignifiantes pour i = 1, 2,...,20, ensuite significatives et croissantes jusqu à i = 40 puis décroissantes jusqu à l insignifiance vers i = 65. Au total, la correction apportée serait d environ 6,50 $, d où A o = 5,69 + 6,50 = 12,19 $, ce qui est invraisemblable. Le lecteur pourra aussi vérifier que si k = -0,1% en moyenne au lieu de +0,1% (toute égalité ailleurs), alors il obtiera une correction d environ 6,40 $ au total, le tout attribuable aux corrections pour i allant de 20 à 70. (B: Il n est pas inhabituel qu un modèle raffiné génère des évaluations farfelues. Parfois, les coitions de son bon fonctionnement sont manquantes, ou encore, son équation a été incorrectement reproduite dans la source utilisée. D autres fois, le modèle laisse tout simplement à désirer.) 110 FIÉCO, volume 11, année 2001

15 REVUE DES MODÈLES D OPTIOS ET DES TESTS SUR LES BOS c) Modèles à coefficient de dilution L effet de dilution, lié à la levée des bons, est en général négligeable. Toutefois, là où la dilution serait forte, on peut vouloir suivre Galai et Schneller (1978) et évaluer le bon par: W = [/(+n)]c où C symbolise la valeur d une option sur action d une firme équivalente sans bons, et [/(+n)] le coefficient de dilution montrant que le nombre d actions passerait à +n avec la levée des bons. À vrai dire, les modèles à coefficient de dilution ne conviennent qu avant l émission des bons car après coup, le cours de l action intègre la dilution. Dès lors, appliquer un coefficient signifie double dilution (Galai, 1989; Crouhy et Galai, 1991b). Sidenius (1996) recommae qu on utilise, soit le modèle d option sur la valeur nette de la firme, soit le modèle d option sur action sans coefficient de dilution. Cette dernière méthode est préférable parce que plus simple à appliquer. Modèles foés sur la valeur nette de la firme (V) Black et Scholes (1973) ont proposé d évaluer des bons échéant à t comme étant des options sur l actif de la firme net de sa dette à ladite échéance, soit en principe la valeur d alors de ses fos propres (actions + bons). Dans la formule d évaluation d une option, S est remplacé par V, la valeur courante d une des (+n) parts, ou unités, de valeur nette à t, X correspo à la dette unitaire à t et la variance prise en compte est celle du reement lié à V. D où la valeur de l option égale à C = C(V, X, σ(v), r, t), ce qui avec la correction pour dilution de Galai et Schneller (1978) donne pour le bon: W = C ( + n VXσ,, ( V ), rt, ) Il s agit ici du modèle de B&S ajusté qui permet en théorie d évaluer un bon européen. En pratique, il s applique avec difficulté car V ne s observe pas directement contrairement à S, X n est pas donné mais doit être estimé et σ(v) ne s obtient pas facilement. Mentionnons en passant qu une variante de ce modèle permet d évaluer les bons (assez nombreux aux USA) qui deviennent prorogeables lorsqu ils sont hors jeu à leur échéance. Il s agit du modèle de Longstaff (1990) avec durée extensible. Or, les tests du modèle pratiqués par Hauser et Lauterbach (1996) sont fort probants et montrent que le marché tient compte de la prorogation possible. FIÉCO, volume 11, année

16 PIERRE CHOLLET Selon la variante de Lauterbach et Schultz (1990), l on voit le bon comme une option sur la valeur nette de la firme par action ancienne dont le nombre est. D où une valeur courante de S+(n/)W et une volatilité en conséquence. Selon le modèle ajusté d Augros et Leboisne (1997), la valeur courante des fos propres (S + nw) égale à l équilibre la valeur courante des actifs risqués de la firme augmentée d une réserve couvrant les dividees prévus actualisés ( Vˆ + D), de sorte que W = [/(+n)]c( Vˆ, X, σ( Vˆ ),r,t). Quant à Schulz et Trautmann (1989, 1994), en supposant la firme sans dette, ils établissent que S = (V/B)-(n/)W(V,σ(V)) et σ( S) = σ( V)ε SV où ε SV = ( S V) ( V S) est l élasticité du cours de l action par rapport à V. Après résolution numérique simultanée des deux équations, ils obtiennent les V et σ(v) entrant dans le modèle de B&S ajusté pour obtenir W. Modèle à double support (S et V) Bensoussan et al. (1995) proposent un modèle supporté par la valeur de l action S mais où le support lui-même se conçoit comme une option d achat européenne sur la valeur V supposée exogène. La valeur approchée du bon européen s exprime alors par: W C( S( V), X, σ( S), rt, ) avec σ( V) ( S SV) [ V S( V) ] comme volatilité instantanée de l action où la constance est supposée pour σ(v). Ce modèle permet de calculer la valeur d un bon, à partir d un modèle de B&S sans coefficient de dilution. Il a ses problèmes, notamment celui d obtenir une bonne estimation de la volatilité changeante σ(s). Assurément, les modèles revus ci-dessus ont tous des lacunes et la question empirique suivante se pose: quels sont les modèles les plus convenables pour évaluer les options d achat que sont les bons? C est une question de performance relative et de jugement nuancé comme nous le verrons ci-dessous. IV. PERFORMACE DES MODÈLES D ÉVALUATIO DES BOS Les tests réunis au tableau 2 et analysés ici portent sur des bons des pays suivants: Allemagne, États-Unis, France, Japon, Pays-Bas et Suisse. Les études retenues couvrent la plupart des tests connus en matière d évaluation des bons, tout comme le relevé à venir de Veld (2003?). Pour l évaluation des bons à Lores, lire Genmill et Thomas (1997). 112 FIÉCO, volume 11, année 2001

17 REVUE DES MODÈLES D OPTIOS ET DES TESTS SUR LES BOS A. La méthodologie des tests Dans les tests en cause, l erreur d estimation E se mesure soit en pourcentage du cours observé pour le bon, soit par l erreur absolue correspoante, où: E = [(Valeur estimée - Cours)/Cours] * 100. La plupart des études excluent les bons pour lesquels les données disponibles sont insuffisantes ainsi que les bons assortis de clauses particulières. Les tests se distinguent selon le type de volatilité utilisé et selon le traitement pour dilution. a) Estimation de la volatilité Pour l essentiel, les tests en cause comportent des estimations de volatilité historique ou implicite. La volatilité historique du support est fréquemment utilisée pour peu que les suites de données nécessaires soient disponibles. Mais c est la volatilité future qui importe vraiment. D où le recours aux volatilités implicites dans les cours qu on observe pour les options ou bons. D après Jarrow et Wiggins (1989), il s agit souvent de la meilleure solution. Mais Figlewski (1997) ne trouve pas qu elles constituent de bonnes approximations des volatilités futures à cause de l inefficacité de l arbitrage sur les marchés. De plus, comme l expliquent Blomeyer et Johnson (1988), l utilisation de la volatilité implicite génère un biais du fait qu on recourt au modèle pour estimer l un de ses propres paramètres. Il y a aussi les problèmes liés au gra nombre de bons qui sont très hors jeu et au fait que la maturité des bons dépasse largement, en général, celle des options d achat sur actions. Comme le soulignent Brenner et Subrahmanyam (1988), il existe une structure à terme des volatilités. Seuls Lim et Phoon (1991) ont considéré une telle structure pour évaluer des bons. Par ailleurs, si on obtient les volatilités implicites dans les cours de bons (plutôt que d options correspoantes), on a le problème (généralisé) que pose la moire liquidité du marché des bons: les estimations qu on en tire sont piètres. b) Traitement de l effet de dilution Les tests connus portent surtout sur les modèles d options purs et les modèles ajustés pour dilution, dividees, etc. Cepeant, les tests de modèles ajustés se répaent, comme notre tableau 2 en témoigne. Celui-ci englobe 12 études et 6 pays, avec leurs distinctions quant aux modèles testés, aux mesures de volatilité et au traitement de la dilution. L erreur moyenne d estimation est donnée pour chaque test, ainsi que le seuil pour lequel elle est significativement différente de zéro (test de Student). Enfin, l erreur absolue moyenne est souvent donnée en parallèle. FIÉCO, volume 11, année

18 PIERRE CHOLLET B. Les résultats des tests empiriques Les quelques tests des méthodes empiriques (Kassouf, Shelton) effectués par Lim et oreen (1982) donnent des évaluations de bons très erronées: il faut oublier ces méthodes. a) Les modèles d options purs. Modèles utilisant une volatilité historique Le modèle classique de B&S devrait surévaluer en général les bons, du fait qu il suppose un dividee nul. Mais les résultats de Stucki et Wasserfallen (1989) iiquent une sous-estimation de 4,55%. Une explication réside peut-être dans le fait qu il s agit du marché suisse où les primes commaées par les bons sont singulièrement élevées. La prise en compte des dividees permet-elle d améliorer les résultats obtenus? Schulz et Trautmann (1989) trouvent que le modèle B&S ajusté pour les dividees sur le marché allema sous-évalue les bons de 5,2%. Pour la Suisse, la sous-évaluation est de 15,42%, contre 16,05% sur le marché français. oreen et Wolfson (1981) étudient les bons américains via le modèle de Merton, qui suppose des dividees continus. Son modèle surévalue légèrement les bons. otons qu il s agit de bons au jeu et proches de la parité. Veld (1992) étudie les bons hollaais pour une période identique (avril à septembre) sur trois années. Ses tests font apparaître des sous-évaluations importantes d au moins 12% et le double si la volatilité historique se calcule sur 6 mois plutôt qu un an. Enfin, les modèles à hétérovariance sont étudiés. Le modèle CEV à élasticité constante (ψ = 2) fournit de bons résultats sur les marchés tant américain qu allema. Schulz et Trautmann (1989) trouvent qu il ne surestime les bons que de 1,4%. Cepeant, pour certaines années, le paramètre est supérieur à 2 pour toutes les actions. Pour d autres années, il est inférieur à 1, ce qui traduit une relation inverse entre la volatilité et le cours de l action. Le modèle à racine carrée ( ψ = 1), avec prise en compte des dividees, surévalue les bons de 3,6% sur le marché américain, d après oreen et Wolfson. Ce résultat est très proche de celui obtenu par le modèle de Merton. 114 FIÉCO, volume 11, année 2001

19 REVUE DES MODÈLES D OPTIOS ET DES TESTS SUR LES BOS. Modèles utilisant une volatilité implicite Stucki et Wasserfallen (1989) testent les modèles précédents mais en utilisant la volatilité implicite dans les cours des bons observés une semaine avant l évaluation. Les différents modèles donnent des valeurs très proches des cours observés, mais les résultats sont peu significatifs. Sur le marché américain, Hauser et Lauterbach (1997) trouvent que le modèle de B&S avec dividees donnent une erreur absolue moyenne d environ 5%. Pour mieux juger de l intérêt pratique des modèles avec volatilité implicite des bons, il serait intéressant de faire des tests sur une période plus longue comportant des phases de hausse et de baisse des cours et une fluctuation importante de la volatilité. b) Modèles à coefficient de dilution La plupart des études menées sur le marché américain utilisent la volatilité historique (). oreen et Wolfson (1981) trouvent que les modèles de Merton et à racine carrée sous-estiment les bons d environ 5%. Ferri et al. (1986) trouvent que leurs modèles sous-évaluent les bons, en particulier ceux qui prennent en compte les dividees. Cette sous-évaluation s explique en partie par la dilution élevée en cause dans l échantillon. L étude de Kremer et Roenfeldt (1992) donne des résultats assez semblables. La sous-évaluation ci-dessus est peut-être reliée au coefficient de dilution (Galai, 1989). D une part, la y serait sous-estimée car l action tient déjà compte de la dilution potentielle liée aux bons. D autre part, en appliquant un coefficient de dilution, on tient double compte de cette dilution. Les résultats des tests ci-dessus militent pour le rejet des modèles à coefficient de dilution. c) Modèles d option ajustés Sur le marché allema, Schulz et Trautmann (1994) trouvent que le modèle d options américaines à volatilité constante (modèle américain CEV) est meilleur que le modèle de B&S pur, seulement lorsque les bons sont très hors jeu. Ce résultat est obtenu malgré un facteur de dilution élevé (d = n/) de 1, donc un coefficient de dilution de 50% [/(+n) = 1/(1+d)]. FIÉCO, volume 11, année

20 PIERRE CHOLLET TABLEAU 2 Performance des méthodes et modèles d évaluation des bons Pays Auteurs (année de publication) Période d étude ombre de bons Périodicité Méthode ou modèle testé Correction pour dilution Volatilité Erreur d estimation en % Allemagne EM EAM Schulz et Trautmann (1989) 1/79 à 12/86 46 bons Hebdomadaire B&S avec dividees Américain à volatilité constante CEV -5,2** -0,1 1,4** 20,5 19,6 19,8 Schulz et Trautmann (1994) États-Unis 1/79 à 12/90 37 bons Quotidienne Américain à volatilité constante 5,0 22,0 oreen et Wolfson (1981) 4/69 à 12/78 52 bons Hebdomadaire Merton Racine carrée avec dividees Merton Racine carrée avec dividees CD CD 3,4* 3,6* -5.4* -5,2* 16,1 16,2 16,8 16,8 Lim et oreen (1982) 50 bons en vie en avril 1975 Kassouf Shelton Merton CD 29,6* 117,9* -48,.8* 59,2 139,3 59,0 Ferri, Kremer, Oberhelman (1986) bons Sur 9 jours B&S Racine carrée À élasticité nulle de la variance CEV Merton Racine carrée avec dividees À élasticité nulle avec dividees CEV avec dividees continus CD CD CD CD CD CD CD CD 1,89-1,28-2,93 1,82-10,91** -12,66** -31,44** -9,59** Lauterbach et Schultz (1990) 1971 à bons Quotidienne B&S ajusté avec dividees Racine carrée ajusté MA MA VIB VIB 13,5 11,3 Kremer et Roenfeldt (1992) 1/1981 à 8/ bons Mensuelle B&S avec dividees B&S sans dividee Diffusion mixte avec dividees Diffusion mixte sans dividees CD CD CD CD -10,90** -0,51-6,39** 11,47** 27,49 30,78 33,49 36,60 Hauser et Lauterbach (1997) 1971 à bons Quotidienne B&S avec dividees B&S ajusté Racine carrée ajusté avec dividees CEV ajusté à élasticité libre Longstaff avec durée extensible MA MA MA VIB VIB VIB VIB 4,95 4,52 3,67 3,60 MA VIB 4,35 France Chollet (1998) bons Quotidienne B&S avec dividees B&S ajusté avec dividees Ajusté d Augros et Leboisne Racine carrée avec dividees MA MA MA -16,05** -17,01** -5,42-51,22** 25,31 25,75 22,78 55, FIÉCO, volume 11, année 2001