Chapitre 10 : les grandeurs périodiques

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1 Chapitre 1 : les grandeurs périodiques 1.1. La valeur instantanée d une tension u G.B.F. fréquence offset sortie 5 Ω base de temps voie 1 voie Une tension u(t) est produite par un générateur de signaux de basse fréquences elle est visualisée à l aide d un oscillographe branché comme un voltmètre. L oscilloscope permet de connaître les valeurs de u à différents instants t on choisit avec le bouton position horizontale le début t = ms à gauche de la grille (ou le réticule) relevé sur l oscilloscope : sensibilités verticales voie 1 : 1 V/div voie :...V/div sensibilité horizontale temps : 1 ms/div on choisi le niveau V avec le bouton position verticale au centre alors pour t = ms on mesure u(t) = + 1 V pour t = 1,5 ms on mesure u(t) = + 3 V et la tension u(t) est maximale pour t = 4,5 ms on mesure u(t) = - 1 V et la tension u(t) est minimale pour t = 6 ms on mesure u(t) = + 1 V et pour t = 8 ms on mesure u(t) = +,3 V environ représentation graphique : u(t) u = f(t) 3 1 u(v) la période -3 La période d un signal périodique u(t) est la durée au bout de laquelle le signal u(t) se répète identique à lui-même, a comme unité la seconde (symbole : s). On peut écrire u(t) = u(t + n) n étant un nombre entier. application : la signal triangulaire a une période de = 6 div. x 1 ms / div. = 6 ms Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 1 / 11

2 1.3. la fréquence f La fréquence f d un signal périodique u(t) est le nombre de fois que le signal u(t) se répète identique à lui-même en une seconde. f se calcule en faisant : f = 1. Si s exprime en secondes, f admet comme unité le hertz de symbole Hz, en hommage à Heinrich Hertz ( ). L ancienne unité de la fréquence était le cycle par seconde. Les multiples usités : le kilo Hertz : 1 khz = 1 Hz le méga Hertz : 1 MHz = 1 Hz le giga Hertz : 1 GHz = 1 Hz Application numérique : = 6 ms f = 1 6 x 1-3 = 167 Hz Exemples de fréquences la fréquence du secteur (line en anglais) est de f = 5 Hz pour une période de =, s = ms. les fours à micro-ondes ont des klystrons qui produisent des ondes de fréquence 45 MHz. les fréquences audio (AF) ou fréquences acoustiques L oreille perçoit les sons dont la hauteur (fréquence vibratoire de la pression de l air) est comprise entre Hz et khz. Les infrasons, les ultrasons (de khz à 1 GHz) sont généralement inaudibles par l homme Les émetteurs et récepteurs à ultrasons fonctionnent à 4 khz. Les ondes électromagnétiques les ondes hertziennes de la radio, de la télévision, des portables, de la Wifi, - entre 3 khz et 3 MHz pour la radio, - de 87,5 à 18 MHz pour la FM, entre 47 et 86 MHz pour la télévision terrestre, - entre 9 et 18 MHz pour les téléphones portables, - le Wi-Fi (Wireless Fidelity) utilise une bande de fréquence étroite de,4 à,5ghz - au dessus de 1 GHz pour la transmission par satellite les radiations lumineuses - de 5 MHz à 75 MHz (rouge, orange, jaune, vert, bleu, violet, indigo) les rayons X, les rayons cosmiques Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page / 11

3 1.4. la valeur moyenne d un signal périodique (average value ou mean value en anglais) définition de la valeur moyenne d un courant périodique i La valeur moyenne de l intensité d un courant périodique i(t) de période est l intensité I d un courant continu qui transporte la même quantité Q d électricité pendant le même temps. i(a) i(a) t(s) t(s) Q la quantité d électricité est Q = . unités : l aire A sous la courbe pendant une période Q en coulombs en A en s unités utilisées pour la charge d une batterie : Q en ampères heures (Ah) ou en mah en A en heures calcul de la valeur moyenne : = A = Aire sous la courbe sur une période période Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 3 / 11

4 exemples de calculs de valeurs moyennes de grandeurs périodiques : le signal rectangulaire u(v) le signal triangulaire = I MAX + Imin 3 i(ma) 1 le signal redressé simple alternance <us(t)> = U MAX π u s (V) UMAX le signal redressé double alternance <ud(t)> = U MAX π UMAX u d (V) Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 4 / 11

5 Le mesurage de la valeur moyenne On mesure une valeur moyenne d un courant avec un ampèremètre magnétoélectrique qui est fabriqué avec un galvanomètre. On dit plus couramment : un ampèremètre analogique ou à aiguille. C est l inertie mécanique de son aiguille qui fait la valeur moyenne. symbole Pour le mesurage de la valeur moyenne d une tension, l appareil est transformé en voltmètre grâce à une résistance série additionnelle. Le multimètre numérique sur position continu mesure une valeur moyenne. Pour mesurer la valeur moyenne d un courant l appareil dispose d une résistance interne de faible valeur ( on dit un shunt ) Les composantes continue Uc et alternative ua(t) d un signal u(t) u(t) Uc = <u(t)> u a (t) = <u(t)> = + définition : alternatif signifie de valeur moyenne nulle, = donc u a est alternatif on vérifie que u(t) = U c + u a (t) le commutateur AC DC GND ou les couplages AC pour alternative current on visualise ua(t) DC pour direct current on visualise u(t) GND pour ground on visualise le niveau V Entrée Oscillographe DC Écran Voies A M B u(t) AC GD 1MΩ 5pF ua(t) En passant de la position DC à la position AC, la trace descend de la valeur moyenne <u(t)>. Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 5 / 11

6 1.5. La valeur efficace Définition de la valeur efficace Ieff d un courant périodique i La valeur efficace Ieff d un courant périodique i(t) de période est l intensité I eff d un courant continu qui dissipe la même chaleur dans un même résistance R pendant une durée. i(a) i (t) Ieff i(a) i(t) t(s) Ieff t(s) W = R. A W = R. Ieff. A est l aire sous la courbe i (t) calcul de la valeur efficace Ieff : on en déduit que l intensité efficace vaut Ieff = A La valeur efficace Ieff d un signal périodique i(t) est la racine de la valeur moyenne du carré du signal i(t) la valeur R.M.S. : root mean square signifie racine de la valeur moyenne du carré donc la valeur R.M.S. désigne la valeur efficace il faut distinguer «la valeur efficace vraie» désignée par RMS qui mesure la valeur efficace de tout le signal et «la valeur efficace» désignée par RMS qui mesure la valeur efficace de la composante alternative. Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 6 / 11

7 exemples de valeurs efficaces de signaux usuels : le signal rectangulaire 15 u(v) le signal sinusoïdal la valeur moyenne du carré est U MAX U eff = U MAX U MAX U MAX u (t) mesurage de la valeur efficace : raditionnellement, la valeur efficace se mesure avec un appareil ferromagnétique. Les appareils numériques mesurent des tensions et indiquent deux valeurs efficaces : soit la valeur efficace de la composante alternative : sur position alternatif, notée aussi AC ou ou RMS. soit la valeur efficace du signal entier : u(t) sur position continu et alternatif, notée AC+DC ou ou RMS. Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 7 / 11

8 Relation entre la valeur efficace Ueff d un signal périodique u(t), sa composante continue Uc et sa composante alternative ua(t) Ueff = Uc + Ua eff. Les voltmètres numériques mesurent ces trois grandeurs : Ueff, Uc = et Ua eff. u(v) Exercice : 15 Pour le signal rectangulaire étudié précédemment, calculer à partir des valeurs de Uc = = et U eff = la valeur efficace de la composante alternative U a eff. U a eff = Pour chacune de ces trois valeurs quelles sont les fonctions du voltmètre à activer : AC, DC, AC+DC, continu, alternatif, alternatif, alternatif+continu, RMS ou RMS. Uc = = U eff = U a eff = est mesuré avec les fonctions est mesuré avec les fonctions est mesuré avec les fonctions Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 8 / 11

9 1.6. Propriété des signaux périodiques out signal u(t) périodique de fréquence f peut se décomposer en somme de la valeur moyenne et d une infinité de vibrations sinusoïdales de fréquences multiples de f. u(t) = + Û 1 sin(ωt + ϕ 1 ) + Û sin(ωt + ϕ ) + Û 3 sin(3ωt + ϕ 3 ) + où ω (la lettre grecque «oméga») vaut ω = πf Exemple 1 u(t) = 1 + 1,6.sin(π.167.t) +,.sin(π t + π ) +,6.sin(π t) donne sur la calculette graphique : et ci-dessous sont représentés les 4 termes : = 1, la valeur moyenne u 1 = 1,6.sin(π.167.t) est appelé le fondamental u3 =,.s(π t + π) est appelé l harmonique de rang 3 et u5 =,6.sin(π t) est appelé l harmonique des rang 5 Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 9 / 11

10 en mathématique on écrit cette décomposition d un signal u(t) + u(t) = + Ûn sin (nωt + ϕ n ) n = 1 Σ est la lettre grecque «sigma majuscule» Cette formule qui se lit : u(t) = valeur moyenne de u + somme de n = 1 à l infini de Un sin(nωt + ϕ n) le signal triangulaire U (V) Û (s) - Û il comporte une infinité d harmoniques qu on retrouve avec la formule : u(t) = 8 Û + 1 π n cos(nωt) nimpair = 1 donc u(t) = 8Û π 8Û 8Û 8Û cosωt + 9π cos 3ωt + 5π cos5ωt + 49π cos7ωt + exemple : pour un signal triangulaire d amplitude 3 V et de période 6 ms (comme l exemple 1) ω = π = π 8Û 8Û 8Û 8Û,6 = 147 rad/s, π = 1,6, 9π =,18, 5π =,6, 49π =,33 u(t) = 1,6 cos 147t +,18 cos 3x147t +,65 cos5x147t +,33 cos7x147t + on a les mêmes amplitudes pour les harmoniques remarquer qu elles sont décroissantes en plus la courbe de l exemple 1 est décalée de 1 V vers le haut Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 1 / 11

11 le signal carré + Û U (V) t (s) - Û u(t) = 4 Û + π 1 n sin(nωt) nimpair = 1 donc u(t) = 4 Û π 4Û 4Û 4Û 4Û sinωt + sin 3ωt + sin5ωt + sin7ωt + 3π 5π 7π 9π sin9ωt + Somme des premières harmoniques du signal carré : u 1 (t)+u (t) u 1 (t)+u (t)+u 3 (t) u 1 (t)+u (t)+u 3 (t)+u 4 (t) u 1 (t)+u (t)+u 3 (t)+u 4 (t)+u 5 (t) u 1 (t)+u (t)+u 3 (t)+ +u 1 (t) u 1 (t)+u (t)+u 3 (t)+ +u (t) pour la recomposition d un signal carré, il faut donc beaucoup d harmoniques Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 11 / 11