10.1 L ensemble des matrices et son vocabulaire

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1 Chapitre 10 Matrices Sommaire 10.1 L'ensemble des matrices et son vocabulaire Dénitions Quelques cas particuliers Opérations élémentaires sur les matrices Somme et multiplication par un scalaire Transposition Produit matriciel Produit d'une matrice par une matrice colonne Produit d'une matrice par une matrice Propriétés du produit matriciel Puissances de matrices carrées Matrices carrées inversibles Dénition Calcul de l'inverse d'une matrice carrée Dans ce chapitre, nous allons découvrir ce que sont les matrices et apprendre à calculer avec ces nouveaux objets. Le calcul matriciel nous permettra, par la suite, de résoudre des problèmes mathématiques, notamment issus de la théorie des probabilités. Dans tout le chapitre, on notera K le corps C ou R L ensemble des matrices et son vocabulaire Dénitions Dénition 10.1 (Matrice à n lignes, p colonnes et coecients dans K) Soient n et p deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice à n lignes, p colonnes à coecients dans K ou matrice (n, p) à coecients dans K un tableau de n lignes et p colonnes, rempli par des éléments de K. Cet objet mathématique se présente de la manière suivante : a 1,1 a 1,2 a 1,p a 2,1 a 2,2 a 2,p A = a n,1 a n,2 a n,p 93

2 CHAPITRE 10. MATRICES Dénition 10.2 (Vocabulaire et notation) ˆ Les (a i,j ) (i,j) {1,...,n} {1,...,p} sont appelés les coecients de la matrice. ˆ On peut noter la matrice à partir de ses coecients : A = (a ij ) 1 i n. 1 j p ˆ On trouve également la notation [A] i,j pour désigner les coecients. ˆ Le couple (n, p) est appelé taille de la matrice. ˆ Enn, l'ensemble des matrices de taille (n, p) à coecients dans K se note M n,p (K). Dénition 10.3 (vecteurs ligne et colonne) Soit A = (a ij ) 1 i n M n,p (K). Pour (i, j) tel que 1 i n et 1 j p, on appelle : 1 j p ˆ jème vecteur colonne de A le vecteur C j = a 1,j a 2,j... Kp a p,j ˆ ième vecteur ligne de A le vecteur L i = (a i,1, a i,2,..., a i,n ) K n. ( ) 1 e 3 Exemple est une matrice 2 3 à coecients réels. ln i 0 i est une matrice 3 2 à coecients complexes. 1 i 1 Exercice Écrire la matrice M = (i j) 1 i 3. 1 j Quelques cas particuliers Dénition 10.4 On adopte le vocabulaire suivant : 1. M n (K) = M n,n (K) est l'ensemble des matrices carrées de taille n à coecients dans K. 2. M 1,p (K) est l'ensemble des matrices lignes de taille p à coecients dans K. 3. M n,1 (K) est l'ensemble des matrices colonnes de taille n à coecients dans K. 4. A = (a i,j ) M n (K) est une matrice triangulaire supérieure si a i,j = 0 dès que i > j. 5. A = (a i,j ) M n (K) est une matrice triangulaire inférieure si a i,j = 0 dès que i < j. 6. A = (a i,j ) M n (K) est une matrice diagonale si a i,j = 0 dès que i j n,p M n,p (K) est la matrice nulle, dont tous les coecients valent 0. On note 0 n la matrice carrée nulle de taille n. 8. Id n M n (K), ou plus simplement I n est la matrice identité : de taille n, dont tous les coecients sont nuls, sauf ceux diagonaux qui valent 1. Exercice Pour n = 3, donner des matrices triangulaire supérieure (resp. inférieure) et diagonale Opérations élémentaires sur les matrices Commençons par donner la dénition intuitive suivante. 94 Cours ECS1

3 10.2. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES MATRICES Dénition 10.5 Soient A = (a ij ) et B = (b ij ) deux matrices de M n,p (K). On dit que A et B sont égales (et on note A = B) si : (i, j) 1, n 1, p, a i,j = b i,j Somme et multiplication par un scalaire Dénition 10.6 (Somme et multiplication par un scalaire) Soient A et B deux éléments de M n,p (K) et λ un élément de K (on appelle tous les éléments de K des scalaires.) Par dénition, on a A + B = (a i,j + b i,j ) 1 i n 1 j p λa = (λa i,j ) 1 i n 1 j p. Remarque 10.1 ˆ Cela signie que,par dénition, pour sommer deux matrices, on somme leurs coecients et pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie les coecients par ce scalaire. Il est possible d'additionner deux matrices uniquement lorsqu'elles ont les mêmes dimensions! ˆ Exercice Calculer A + B et 3A avec A = ( ) ( ) 1 e 3 ln 2 2 e 1 et B = π 6 Puisqu'on sait additionner deux matrices et multiplier une matrice par un scalaire, on est capable de faire des combinaisons linéaires de matrices Exercice Si A = 2 5 6, combien vaut A 3I 3? Propriété 10.1 Soient (α, β) K 2 et soit (A, B, C) M n,p (K) 3. On a : 1. A + B = B + A (commutativité de la somme) 2. (A + B) + C = A + (B + C) (associativité de la somme) 3. α(βa) = (αβ)a (associativité de la multiplication), 4. (α + β)a = αa + βa (distributivité), 5. α(a + B) = αa + αb (distributivité). 95

4 CHAPITRE 10. MATRICES Remarque 10.2 La preuve est directe parce que le corps K possède toutes ces propriétés. Exercice Pour A = (a i,j ) (i,j) 1,n M n (K), on dénit la trace de A par Tr(A) = n a i,i. Que dire alors de Tr(A + B) et Tr(λA) pour (A, B) M n (K) 2 et λ K? Transposition Dénition 10.7 (Transposée d'une matrice) Soit A M n,p (K). On appelle transposée de A et on note t A, la matrice B M p,n (K) dont les coecients vérient : (i, j) 1, p 1, n, b i,j = a j,i. a 1,1 a 1,2 a 1,p a 1,1 a 2,1 a n,1 a 2,1 a 2,2 a 2,p Autrement dit, si A =......, alors t a 1,2 a 2,2 a n,2 A = a n,1 a n,2 a n,p a 1,p a 2,p a n,p k=1 Remarque 10.3 En fait, transposer une matrice, c'est seulement échanger ses lignes et ses colonnes. Remarque On notera bien que si A est une matrice n m, sa transposée est une matrice m n. 2. La transposée d'une matrice ligne est une matrice colonne et vice-versa. 3. La transposée de 0 n est 0 n et celle de I n est I n. Plus généralement, toute matrice diagonale est égale à sa transposée. 4. Pour une matrice carrée, la transposition est équivalente à une symétrie par rapport à la diagonale. Exemple Calculer la transposée de T = ( ) Exercice Que dire de Tr( t A) pour A M n (K)? Propriété A M n,p (R), t ( t A) = A. 2. λ K, A, B M n,p (R), t (λa + B) = λ t A + t B. 96 Cours ECS1

5 10.3. PRODUIT MATRICIEL Exercice Montrer que la transposition est une bijection involutive de M n (K) dans lui-même. A partir de cette opération, on peut dénir un ensemble de matrices particulières. Dénition 10.8 (Matrices symétriques ou antisymétriques) Une matrice A M n (K) est dite : ˆ symétrique si t A = A. ˆ antisymétrique si t A = A. On note S n (K) l'ensemble des matrices symétriques et A n (K) l'ensemble des matrices antisymétriques. Remarque 10.5 Les coecients diagonaux d'une matrice antisymétriques sont forcément nuls. Pourquoi? Exemple I n est symétrique n est symétrique et antisymétrique est symétrique e est antisymétrique. e Produit matriciel Si la somme est une opération facile et intuitive dans l'ensemble des matrices, c'est un peu diérent pour le produit. Voyons maintenant comment multiplier deux matrices entre elles Produit d'une matrice par une matrice colonne Dénition 10.9 (Produit matrice matrice colonne) Soient A = (a i,j ) M n,p (K) et X = (x j ) M p,1 (K). Le produit de ces deux matrices est la matrice colonne AX = (y i ) M n,1 (K) avec, pour tout i {1,..., n} : y i = p a i,j x j. j=1 Remarque 10.6 On insiste sur le fait qu'on multiplie une matrice de M n,p par une matrice de M p,1 pour obtenir une matrice de M n,

6 CHAPITRE 10. MATRICES Exercice Calculer AB et CD pour A = t D = ( a b c ) ( ) 1 2 3, t B = ( ), C = ( ) 7 1 3, Produit d'une matrice par une matrice Dénition (Produit matriciel) Soient A = (a i,j ) M n,p et B = (b j,k ) M p,q (K). Le produit de ces deux matrices est la matrice AB = (c i,k ) M n,q (K), avec pour tout (i, j) 1, n 1, q : c i,k = p a i,j b j,k. j=1 Remarque 10.7 On insiste sur le fait qu'on multiplie une matrice de M n,p par une matrice de M p,q pour obtenir une matrice de M n,q. Remarque 10.8 Évidemment, si q = 1, on retrouve la dénition précédente. Finalement, la kième colonne de AB est la produit de A par la kième colonne de B. Exemple On peut disposer les calculs ainsi : = B A = = AB Pour obtenir le coecient à la 2ème ligne et 2ème colonne, on fait le calcul : = 5 Exercice Calculer les produits AB et BA pour A = et B = Insistons encore une fois : Le produit AB de A par B a donc le nombre de lignes de A et le nombre de colonnes de B. La multiplication agit donc sur les formats comme la relation de Chasles : (n, p) (p, q) = (n, q). On ne peut calculer le produit AB que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Cette dénition n'a un sens que si A est de type (n, p) et B de type (p, q). Ainsi, le produit AB peut être déni, sans que BA ne le soit! 98 Cours ECS1

7 Exemple Si A = ( ) et B = mais le produit BA n'existe pas! ( 2 2. Si A = et B = 1) ( 1 2 ), alors AB = PRODUIT MATRICIEL ( ) , alors AB =, ( ) 2 4 et BA = ( 4 ). 1 2 Remarque 10.9 On vient de démontrer que le produit de matrice n'est PAS commutatif Propriétés du produit matriciel Propriété 10.3 ( Propriétés du produit) Le produit matriciel 1. est associatif : A M n,p (K), B M p,q (K), C M q,r (K), (AB)C = A(BC). 2. est distributif à gauche par rapport à + : A M n,p (K), (B, C) M p,q (K) 2, A(B + C) = AB + AC. 3. est distributif à droite par rapport à + : (A, B) M n,p (K) 2, C M p,q (K), (A + B)C = AC + BC. 4. commute avec le produit externe : λ K, (A, B) M n,p (K) M p,q (K), 5. vérie A M n,p (K),. (λa)b = λ(ab) = A(λB). AI p = A et I n A = A. 6. passe à la transposition de la manière suivante : A M n,p (K) B M p,q (K), t (AB) = t B t A. Attention à l'ordre! Attention nous avons déjà vu que le produit matriciel n'est pas commutatif. Par ailleurs, il ne vérie pas non plus la propriété du produit nul : la propriété AB = 0, [A = 0, oub = 0] est fausse! Il existe des matrices non nulles dont le produit est nul. (On dit que M n (K) n'est pas intègre) Dans le cas général, il est donc interdit de simplier un terme dans un produit matriciel! On peut avoir AB = AC mais B C. Exercice Montrer que Tr(AB) =Tr(BA) pour (A, B) M n (K) Puissances de matrices carrées Lorsqu'on considère des matrices carrées, on n'a pas besoin de faire attention à la compatibilité des tailles pour faire des produits. En particulier, on peut multiplier une matrice par elle-même. Cela permet, en itérant, de dénir les puissances de matrice. 99

8 CHAPITRE 10. MATRICES Dénition (Puissances d'une matrice carrée) Soit A M n (K). On dénit la matrice A k pour k N par On a également A 0 = I n. A k = A A (k fois) Exemple Pour la matrice A = , on a A 3 = A vérier. ( ) 1 1 Exercice Calculer A n pour tout n N, pour la matrice A =. 1 1 Exercice Calculer A k pour A = diag(λ 1,..., λ n ). Le produit matriciel ne commutant pas en général, la puissance de matrice garde seulement certaines propriétés des réels : Propriété 10.4 Soient k, l, n trois entiers naturels et A et B deux matrices de M p (K). 1. A k A l = A k+l. 2. (A k ) l = A kl Pour obtenir d'autres propriétés intéressantes, on se restreint aux matrices sur lesquelles le produit est commutatif. Dénition Si (A, B) M n (K) 2, on dit que A et B commutent si AB = BA. Exercice Soient A = ( ) 1 0, B = 2 1 ( ) 1 0, ces matrices commutent-elles? 1 1 Remarque Deux exemples fondamentaux de matrices qui commutent. ˆ Pour tout A M n (K), pour tout λ K : A et λi n commutent. En particulier la matrice identité commute avec toutes les matrices. ˆ Pour toute matrice carrée A : toutes les puissances de A commutent entre elles : A M n (K), (k, p) N 2, A p A k = A p+k = A k A p. Exercice Déterminer toutes les matrices qui commutent avec la matrice N = L'ensemble des matrices qui commutent avec une matrice donnée s'appelle le commutant de cette matrice. 100 Cours ECS1

9 10.3. PRODUIT MATRICIEL Propriété 10.5 Lorsque A et B commutent, on a : 1. (AB) k = A k B k 2. (A B)(A + B) = A 2 B 2 3. (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 4. (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 Exercice Calculer, si possible : 1. A 2 pour A = ( 1 1 ) A 2, A 3, B 2, AB, BA, A + B, (A + B) 2, A 2 + 2AB + B 2 pour A = M 0, M 1, M 2, M 3, M 4, M 100 pour M = ( ) 2 1 pour B = 0 1 ( ) Enn, la formule importante du binôme de Newton se généralise à la somme de deux matrices dès lors que celles-ci commutent. Théorème 10.1 ( Binôme de Newton ) Soient A et B deux éléments de M n (K) telles que AB = BA. On a alors pour tout p N, (A + B) p = p k=0 ( ) p A k B p k. k Méthode 10.1 Application : si on veut calculer la puissance n-ième d'une matrice carrée A, on peut écrire A = B + C, avec B et C qui commutent (en général B = λi n ) et appliquer la formule du binôme Exemple : calculer A n avec A =

10 CHAPITRE 10. MATRICES Remarque Bilan : Précautions calculatoires à retenir Les défauts de commutativité et d'intégrité du produit matriciel ainsi que la conventiona 0 = I n obligent à prendre quelques précautions calculatoires. Ainsi, ˆ lorsqu'on factorise une expression, il faut, d'une part, tenir compte de l'ordre et, d'autre part, ne pas oublier les termes I n qui peuvent apparaître, comme par exemple dans l'égalité AB + A = A(B + I n ); ˆ une matrice A non nulle peut avoir l'une de ses puissances qui est nulle ; ˆ la quantité (AB) p n'est pas égale à A p B p (sauf lorsque A et B commutent) ; ˆ le développement de (A+B) 2 donne (A+B) 2 = A 2 +AB +BA+B 2 et rien ne dit, sans hypothèse de commutativité, que l'expression AB + BA soit égale au double-produit 2AB ; ˆ plus généralement, on retiendra que la formule du binôme de Newton n'est utilisable que si les matrices commutent Matrices carrées inversibles Dénition Nous avons vu plus haut, qu'il n'est en général pas possible de simplier par une matrice. Nous allons maintenant étudier un ensemble très particulier de matrices qui nous permettra ce genre de simplications. Dénition (Matrice inversible et inverse d'une matrice) Une matrice A M n (K) est dite inversible s'il existe B M n (K) telle que AB = BA = I n. Lorsqu'une telle matrice existe, elle est unique et on l'appelle l'inverse de A. On la note A 1. L'ensemble des matrices inversibles est noté GL n (K). Remarque ˆ Pour être inversible, une matrice doit être carrée! ˆ Il existe des ( matrices ) non nulles et non inversibles. ( ) ( ) 1 1 a b a + c b + d Soit A =. Pour toute matrice M =, on a AM =. 0 0 c d 0 0 En particulier, (AM) 2,2 = 0, donc (AM) 2,2 1. Par conséquent, quelle que soit la matrice M M 2 (K), la matrice AM ne sera jamais égale à la matrice identité I 2, donc A n'est pas inversible. Exemple La matrice identité I n est inversible et l'on a clairement I 1 n = I n. 2. La matrice nulle 0 n n'est pas inversible (puisqu'il est évidemment impossible de trouver une matrice A telle que 0 n A = I n ). ( ) Soit A =. Alors A = I 2. De sorte que A est inversible : elle est sa propre inverse, A 1 = A. 4. Si A vérie A 2 2A + 3I n = 0, alors A est inversible d'inverse 1 3 (2I n A). 102 Cours ECS1

11 10.4. MATRICES CARRÉES INVERSIBLES Remarque Pour en revenir à la simplication : si on a AB = AC et si A est inversible, alors on peut simplier par A, puisqu'en multipliant à gauche par A 1 de chaque côté de l'égalité, on obtient B = C. On peut faire la même chose si BA = CA en multipliant par A 1 à droite. En revanche, on ne peut rien dire dans le cas général si AB = CA. Propriété 10.6 (Inversibilité à gauche ou à droite) Soient A et B deux éléments de M n (K) vériant AB = I n, alors A et B sont inversibles et inverses l'une de l'autre. Propriété 10.7 Soient (A, B) GL n (K) 2. On a alors 1. A 1 est inversible et (A 1 ) 1 = A 2. AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1 Attention à l'ordre! 3. Si λ K est un scalaire non nul, λa est inversible et on a : (λa) 1 = 1 λ A t A est inversible et t (A 1 ) = ( t A) pour tout p N, A p est inversible et (A p ) 1 = (A 1 ) p Exercice Vérier que B = est l'inverse de la matrice A = Soit n N. Montrer que si A 2 A = I n alors A est inversible, et préciser son inverse. 3. Soit n N, λ K. Vérier que λi n est inversible, d'inverse 1 λ I n et que 0 n n'est pas inversible. Remarque La somme de deux matrices inversibles n'est pas inversible en général. Par exemple I n et I n sont inversibles mais I n I n = 0 n ne l'est pas. Exercice Soit A M p (K) et P GL p (K). Simplier (P 1 AP ) 2, (P 1 AP ) 3. Conjecturer une formule pour (P 1 AP ) n valable pour n N et la prouver par récurrence. Est-elle encore valable pour n = 0? Exercice Soient A, B telles que AB = 0. Montrer que si A 0 et B 0 alors ni A ni B ne sont inversibles. ( ) Soit B = Calculer B B et déduire que B n'est pas inversible Calcul de l'inverse d'une matrice carrée C'est cette propriété qui va nous permettre de calculer explicitement l'inverse d'une matrice

12 CHAPITRE 10. MATRICES Propriété 10.8 Soit A M n (K). Les assertions suivantes sont équivalentes : i) A est inversible. ii) il existe B M n (K), telle que pour tous X et Y dans M n,1 (K), AX = Y X = BY. Le cas échéant B est l'inverse de A. Méthode 10.2 (Calculer l'inverse d'une matrice) Pour calculer l'inverse d'une matrice A, on utilise la caractérisation AX = Y X = A 1 Y. Ainsi, on xe deux vecteurs X et Y de M n,1 (K), on pose le système AX = Y d'inconnu X et on le résout pour trouver A Exercice Montrer que la matrice A = est inversible et calculer son inverse Lorsque la matrice est carrée de taille 2, on a une formule explicite pour trouver son inverse. Propriété 10.9 (Cas particulier - taille 2) ( ) a b Soit A =, où a, b, c, d sont quatre nombres réels. Alors, c d 1. Si ad bc = 0, A n'est pas inversible. 2. Si ad bc 0, A est inversible et A 1 = 1 ad bc ( ) d b. c a Exercice Trouver une matrice carrée de taille 2 inversible et donner son inverse. Trouver une matrice de taille 2 non inversible. Propriété (Cas particulier - matrice triangulaire) Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coecients diagonaux sont non nuls. Exercice Trouver une condition nécessaire et susante pour qu'une matrice diagonale soit inversible et donner son inverse. 104 Cours ECS1

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