Bases Indispensables des Mathématiques

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1 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Bases Indispensables des Mathématiques Chapitre 2 : Algèbre linéaire. (Partie 2 : Applications linéaires et Matrices) Julian Tugaut Jeudi 08 Septembre 2016 Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

2 Sommaire 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel Addition et multiplication par un scalaire Produit de deux matrices 5 Déterminants 6 Inversion de matrices

3 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel 5 Déterminants 6 Inversion de matrices

4 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Applications linéaires Définition Soient E et F deux espaces vectoriels sur R (ou C). On dit qu une application f de E dans F est linéaire si λ R, x,y E, on a : f (λx +y) = λf(x)+f(y). Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

5 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Applications linéaires Définition Soient E et F deux espaces vectoriels sur R (ou C). On dit qu une application f de E dans F est linéaire si λ R, x,y E, on a : f (λx +y) = λf(x)+f(y). Exemples L application Id E de E dans lui-même définie par Id E (x) := x est linéaire. L application de K n dans K définie par f(x 1,,x n ) := x 1 + +x n est linéaire. L application Tr de M n (R) dans R qui, à une matrice, associe sa trace est également linéaire. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

6 Vocabulaire Endomorphisme Une application linéaire de E dans lui-même est un endomorphisme.

7 Vocabulaire Endomorphisme Une application linéaire de E dans lui-même est un endomorphisme. Exemple L application f de C dans lui-même définie par f(z) := z.

8 Vocabulaire Endomorphisme Une application linéaire de E dans lui-même est un endomorphisme. Exemple L application f de C dans lui-même définie par f(z) := z. Isomorphisme Une application linéaire bijective de E vers F est un isomorphisme.

9 Vocabulaire Endomorphisme Une application linéaire de E dans lui-même est un endomorphisme. Exemple L application f de C dans lui-même définie par f(z) := z. Isomorphisme Une application linéaire bijective de E vers F est un isomorphisme. Exemple L application f de C dans R 2 définie par f(z) := (Re(z);Im(z)).

10 Vocabulaire Endomorphisme Une application linéaire de E dans lui-même est un endomorphisme. Exemple L application f de C dans lui-même définie par f(z) := z. Isomorphisme Une application linéaire bijective de E vers F est un isomorphisme. Exemple L application f de C dans R 2 définie par f(z) := (Re(z);Im(z)). Définition On dit que E est isomorphe à F s il existe un isomorphisme de l un vers l autre.

11 Théorème de la dimension Image On appelle image de f : Imf := {f(x) ; x E} F.

12 Théorème de la dimension Image On appelle image de f : Imf := {f(x) ; x E} F. Noyau On appelle noyau de f : Kerf := {x E f(x) = 0}.

13 Théorème de la dimension Image On appelle image de f : Imf := {f(x) ; x E} F. Noyau On appelle noyau de f : Kerf := {x E f(x) = 0}. Imf est un sous-espace vectoriel de F tandis que Kerf est un sous-espace vectoriel de E. On appelle rang de f : rg(f) := dimimf.

14 Théorème de la dimension Image On appelle image de f : Imf := {f(x) ; x E} F. Noyau On appelle noyau de f : Kerf := {x E f(x) = 0}. Imf est un sous-espace vectoriel de F tandis que Kerf est un sous-espace vectoriel de E. On appelle rang de f : rg(f) := dimimf. Théorème du rang dime = dimimf +dimkerf = rg(f)+dimkerf.

15 Déterminer une application linéaire Résultat Soient {e 1 ; ; e p } une base de E et {f 1 ; ; f n } une base de F. Alors connaître les coordonnées des p vecteurs f(e 1 ),,f(e p ) dans la base {f 1 ; ; f n } est suffisant pour caractériser l application linéaire f.

16 Déterminer une application linéaire Résultat Soient {e 1 ; ; e p } une base de E et {f 1 ; ; f n } une base de F. Alors connaître les coordonnées des p vecteurs f(e 1 ),,f(e p ) dans la base {f 1 ; ; f n } est suffisant pour caractériser l application linéaire f. Démonstration On suppose connues les coordonnées des p vecteurs f(e 1 ),,f(e p ) dans la base {f 1 ; ; f n } : f(e j ) = a 1,j f 1 +a 2,j f 2 + +a n 1,j f n 1 +a n,j f n. Soit un vecteur quelconque x de E. Il existe α 1,, α p R tels que x = α 1 e 1 + +α p e p d où : f(x) = p α j f(e j ) = j=1 p j=1 i=1 n a i,j α j f i = n p a i,j α j f i i=1 j=1

17 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel 5 Déterminants 6 Inversion de matrices

18 Matrice d une application linéaire On connaît donc l application linéaire f si l on connait : f(e 1 ) {}} { a 1,1. a i,1. a n,1 ; ; f(e j ) {}} { a 1,j. a i,j. a n,j ; ; f(e p) { }} { a 1,p. a i,p. a n,p

19 Matrice d une application linéaire On connaît donc l application linéaire f si l on connait : f(e 1 ) {}} { a 1,1. a i,1. a n,1 ; ; f(e j ) {}} { a 1,j. a i,j. a n,j ; ; f(e p) { }} { a 1,p. a i,p. a n,p Pour simplifier l écriture, on met tous les coefficients dans un tableau à n lignes et p colonnes : a 1,1 a 1,j a 1,p... a i,1 a i,j a i,p... a n,1 a n,j a n,p

20 Terminologie Matrice Ce tableau est appelé la matrice de l application linéaire f.

21 Terminologie Matrice Ce tableau est appelé la matrice de l application linéaire f. Rang d une matrice Le rang d une matrice M est égal au rang de son application linéaire.

22 Terminologie Matrice Ce tableau est appelé la matrice de l application linéaire f. Rang d une matrice Le rang d une matrice M est égal au rang de son application linéaire. Notation Pour simplifier, on écrit M = (a i,j ) 1 i n. 1 j p M est alors une matrice à n lignes et p colonnes. On appelle M n,p (R) l espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes et à coefficients dans R. On note : dim R M n,p (R) = np.

23 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Transposée et adjointe Transposée Si le corps est R, la transposée de M est M T := (a j,i ) 1 i n, 1 j p. M T est alors une matrice à p lignes et n colonnes. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

24 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Transposée et adjointe Transposée Si le corps est R, la transposée de M est M T := (a j,i ) 1 i n, 1 j p. M T est alors une matrice à p lignes et n colonnes. Adjointe Si le corps est C, l adjointe de M est M := (a j,i ) 1 i n, 1 j p. M est alors une matrice à p lignes et n colonnes. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

25 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel 5 Déterminants 6 Inversion de matrices

26 Matrices carrées Définition Matrices ayant autant de lignes que de colonnes : a 1,1 a 1,j a 1,n... M := a i,1 a i,j a i,n... a n,1 a n,j a n,n

27 Matrices carrées Définition Matrices ayant autant de lignes que de colonnes : a 1,1 a 1,j a 1,n... M := a i,1 a i,j a i,n... a n,1 a n,j a n,n Trace On définit la trace comme étant la somme des éléments diagonaux : n Tr(M) := a i,i. i=1

28 Matrices symétriques/hermitiennes Matrices symétriques Matrices carrées réelles telles que M = M T : a i,j = a j,i. Exemple : M :=

29 Matrices symétriques/hermitiennes Matrices symétriques Matrices carrées réelles telles que M = M T : a i,j = a j,i. Exemple : Matrices hermitiennes M := Matrices carrées complexes telles que M = M T : a i,j = a j,i. Exemple : 1 i 3 M := i 5 3 i 3 3+i 2

30 Matrices symétriques/hermitiennes Matrices symétriques Matrices carrées réelles telles que M = M T : a i,j = a j,i. Exemple : Matrices hermitiennes M := Matrices carrées complexes telles que M = M T : a i,j = a j,i. Exemple : 1 i 3 M := i 5 3 i 3 3+i 2 Remarque : une matrice complexe symétrique n est pas une matrice hermitienne.

31 Matrices diagonales Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Les matrices diagonales sont des matrices carrées telles que les coefficients hors diagonale sont nuls : a i,j = 0 si i j. Exemple : M := Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

32 Matrices diagonales Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Les matrices diagonales sont des matrices carrées telles que les coefficients hors diagonale sont nuls : a i,j = 0 si i j. Exemple : M := Les matrices diagonales jouent un rôle particulier puisqu il est facile de les multiplier, de calculer leurs puissances et leur exponentielle. On cherche autant que faire se peut à travailler avec. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

33 Matrices triangulaires Remarque On ne peut pas toujours travailler avec des matrices diagonales mais si l on travaille dans C, on peut toujours se ramener à une matrice triangulaire supérieure (ou une matrice triangulaire inférieure).

34 Matrices triangulaires Remarque On ne peut pas toujours travailler avec des matrices diagonales mais si l on travaille dans C, on peut toujours se ramener à une matrice triangulaire supérieure (ou une matrice triangulaire inférieure). Définition Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée telle que a i,j = 0 si i > j : M :=

35 Matrices identités Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices La matrice identité est une matrice diagonale dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1. On la note I n lorsque l on est en dimension n : I 4 := Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

36 Matrices identités Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices La matrice identité est une matrice diagonale dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1. On la note I n lorsque l on est en dimension n : I 4 := Il s agit aussi de l élément neutre pour la multiplication des matrices. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

37 Matrices nulles Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices La matrice nulle est une matrice carrée dont tous les coefficients sont égaux à 0. On la note O n lorsque l on est en dimension n : O 4 := Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

38 Matrices nulles Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices La matrice nulle est une matrice carrée dont tous les coefficients sont égaux à 0. On la note O n lorsque l on est en dimension n : O 4 := Il s agit aussi de l élément neutre pour l addition des matrices. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

39 Vecteurs lignes/colonnes Vecteur ligne Un vecteur ligne est une matrice ayant une unique ligne et p colonnes.

40 Vecteurs lignes/colonnes Vecteur ligne Un vecteur ligne est une matrice ayant une unique ligne et p colonnes. Exemple ( )

41 Vecteurs lignes/colonnes Vecteur ligne Un vecteur ligne est une matrice ayant une unique ligne et p colonnes. Exemple ( ) Vecteur colonne Un vecteur colonne est une matrice ayant une unique colonne et n lignes.

42 Vecteurs lignes/colonnes Vecteur ligne Un vecteur ligne est une matrice ayant une unique ligne et p colonnes. Exemple ( ) Vecteur colonne Un vecteur colonne est une matrice ayant une unique colonne et n lignes. Exemple

43 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel Addition et multiplication par un scalaire Produit de deux matrices 5 Déterminants 6 Inversion de matrices

44 Addition L addition de deux matrices se fait coefficient à coefficient : a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 b 1,1 b 1,2 b 1,3 b 1,4 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 + b 2,1 b 2,2 b 2,3 b 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 3,4 = a 1,1 +b 1,1 a 1,2 +b 1,2 a 1,3 +b 1,3 a 1,4 +b 1,4 a 2,1 +b 2,1 a 2,2 +b 2,2 a 2,3 +b 2,3 a 2,4 +b 2,4 a 3,1 +b 3,1 a 3,2 +b 3,2 a 3,3 +b 3,3 a 3,4 +b 3,4

45 Addition L addition de deux matrices se fait coefficient à coefficient : a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 b 1,1 b 1,2 b 1,3 b 1,4 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 + b 2,1 b 2,2 b 2,3 b 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 3,4 = a 1,1 +b 1,1 a 1,2 +b 1,2 a 1,3 +b 1,3 a 1,4 +b 1,4 a 2,1 +b 2,1 a 2,2 +b 2,2 a 2,3 +b 2,3 a 2,4 +b 2,4 a 3,1 +b 3,1 a 3,2 +b 3,2 a 3,3 +b 3,3 a 3,4 +b 3,4 Les matrices doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes.

46 Addition L addition de deux matrices se fait coefficient à coefficient : a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 b 1,1 b 1,2 b 1,3 b 1,4 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 + b 2,1 b 2,2 b 2,3 b 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 3,4 = a 1,1 +b 1,1 a 1,2 +b 1,2 a 1,3 +b 1,3 a 1,4 +b 1,4 a 2,1 +b 2,1 a 2,2 +b 2,2 a 2,3 +b 2,3 a 2,4 +b 2,4 a 3,1 +b 3,1 a 3,2 +b 3,2 a 3,3 +b 3,3 a 3,4 +b 3,4 Les matrices doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes. La multiplication par un scalaire λ K s effectue sur chaque coefficient : a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 λ.a 1,1 λ.a 1,2 λ.a 1,3 λ.a 1,4 λ. a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 = λ.a 2,1 λ.a 2,2 λ.a 2,3 λ.a 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 λ.a 3,1 λ.a 3,2 λ.a 3,3 λ.a 3,4

47 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Propriétés de l addition Addition et multiplication par un scalaire Produit de deux matrices Groupe L ensemble M n,p (K) des matrices à n lignes et p colonnes muni de l addition matricielle est un groupe abélien. Et, muni de la multiplication par un scalaire, c est un K-espace vectoriel. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

48 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Propriétés de l addition Addition et multiplication par un scalaire Produit de deux matrices Groupe L ensemble M n,p (K) des matrices à n lignes et p colonnes muni de l addition matricielle est un groupe abélien. Et, muni de la multiplication par un scalaire, c est un K-espace vectoriel. Pour les matrices carrées, on a de plus : Tr(A+B) = Tr(A)+Tr(B) et Tr(λ.A) = λ.tr(a). La trace est donc une application linéaire de M n (K) vers K. On a également : (A+B) T = A T +B T. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

49 Définition du produit de deux matrices Rappel Une matrice est associée à une application linéaire. Ainsi, si f est une application linéaire d un espace vectoriel E de dimension p vers un espace vectoriel n, la matrice associée est un tableau à n lignes et p colonnes, les n coordonnées dans la nouvelle base des images par f de l ancienne base.

50 Définition du produit de deux matrices Rappel Une matrice est associée à une application linéaire. Ainsi, si f est une application linéaire d un espace vectoriel E de dimension p vers un espace vectoriel n, la matrice associée est un tableau à n lignes et p colonnes, les n coordonnées dans la nouvelle base des images par f de l ancienne base. Définition On définit le produit d une matrice A M n,p par une matrice B M q,r comme étant la matrice associée à la composée des deux applications linéaires associées.

51 Définition du produit de deux matrices Rappel Une matrice est associée à une application linéaire. Ainsi, si f est une application linéaire d un espace vectoriel E de dimension p vers un espace vectoriel n, la matrice associée est un tableau à n lignes et p colonnes, les n coordonnées dans la nouvelle base des images par f de l ancienne base. Définition On définit le produit d une matrice A M n,p par une matrice B M q,r comme étant la matrice associée à la composée des deux applications linéaires associées. Première remarque On en déduit immédiatement que le produit A B n est défini que si p = q et alors la matrice produit A B est dans M n,r.

52 Formule pour le produit On peut montrer que le produit d une matrice A M n,p par une matrice B M p,q est une matrice C dans M n,q dont chaque coefficient c i,j est égal à c i,j = p a i,k b k,j. k=1

53 Formule pour le produit On peut montrer que le produit d une matrice A M n,p par une matrice B M p,q est une matrice C dans M n,q dont chaque coefficient c i,j est égal à c i,j = p a i,k b k,j. k=1 Matrices carrées On peut toujours multiplier deux matrices carrées de même taille entre elles, dans un sens ou dans l autre. Muni de l addition et de la multiplication, M n (K) est un anneau.

54 Formule pour le produit On peut montrer que le produit d une matrice A M n,p par une matrice B M p,q est une matrice C dans M n,q dont chaque coefficient c i,j est égal à c i,j = p a i,k b k,j. k=1 Matrices carrées On peut toujours multiplier deux matrices carrées de même taille entre elles, dans un sens ou dans l autre. Muni de l addition et de la multiplication, M n (K) est un anneau. Propriétés Tr(A B) = Tr(B A). Et : (A B) T = B T A T.

55 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Remarques importantes sur le produit Addition et multiplication par un scalaire Produit de deux matrices Le produit de deux matrices non nulles peut être nul. Exemple : = Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

56 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Remarques importantes sur le produit Addition et multiplication par un scalaire Produit de deux matrices Le produit de deux matrices non nulles peut être nul. Exemple : = Et, une matrice est inversible pour le produit si et seulement si le rang de la matrice (en d autres termes, la dimension de l image de son application linéaire associée) est égal à n. Ainsi, une matrice est inversible si et seulement si ses vecteurs colonnes (ou ses vecteurs lignes) forment une famille libre dans K n. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

57 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel 5 Déterminants 6 Inversion de matrices

58 Définition Par définition, le déterminant... détermine. Il détermine en particulier l inversibilité ou non de la matrice. On le définit comme étant une application multi-linéaire de la matrice.

59 Définition Par définition, le déterminant... détermine. Il détermine en particulier l inversibilité ou non de la matrice. On le définit comme étant une application multi-linéaire de la matrice. Exemple On considère une matrice carrée de n lignes et n colonnes. On appelle C 1,,C n ses n colonnes. On a alors : Det ( C 1,,C i 1, λ.c i +C i,c i+1,,c n ) =λdet(c 1,,C i 1,C i,c i+1,,c n ) +Det ( C 1,,C i 1,C i,c i+1,,c n ).

60 si k i. Enfin, on suppose Det(I n ) = 1. Définition Par définition, le déterminant... détermine. Il détermine en particulier l inversibilité ou non de la matrice. On le définit comme étant une application multi-linéaire de la matrice. Exemple On considère une matrice carrée de n lignes et n colonnes. On appelle C 1,,C n ses n colonnes. On a alors : Det ( C 1,,C i 1, λ.c i +C i,c i+1,,c n ) =λdet(c 1,,C i 1,C i,c i+1,,c n ) +Det ( C 1,,C i 1,C i,c i+1,,c n ). On suppose également que le déterminant est nul dès que deux colonnes sont égales d où : Det(C 1,,C i 1,C i + λ.c k,c i+1,,c n ) = Det(C 1,,C i 1,C i,c i+1,,c n )

61 Calcul pratique 1 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Définition calculatoire Det(A) := n a i,σ(i). σ S n ( 1) Inv(σ) i=1 Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

62 Calcul pratique 1 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Définition calculatoire Det(A) := n a i,σ(i). Peu pratique... σ S n ( 1) Inv(σ) i=1 Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

63 Calcul pratique 1 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Définition calculatoire Det(A) := n a i,σ(i). Peu pratique... σ S n ( 1) Inv(σ) i=1 Dans M 2 (K) Det (( a b c d )) := ad bc. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

64 Calcul pratique 2 Dans M 3 (K) Det a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3

65 Calcul pratique 2 Dans M 3 (K) Det a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 se calcule par la méthode de Sarrus (NE FONCTIONNE PAS SI N 4!!). On réécrit les deux premières lignes en dessous de la matrice. On prend la somme des trois nombres obtenus en effectuant le produit des trois diagonales descendantes et l on retranche les trois nombres obtenus en effectuant le produit des trois diagonales ascendantes.

66 Calcul pratique 2 Dans M 3 (K) Det a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 se calcule par la méthode de Sarrus (NE FONCTIONNE PAS SI N 4!!). On réécrit les deux premières lignes en dessous de la matrice. On prend la somme des trois nombres obtenus en effectuant le produit des trois diagonales descendantes et l on retranche les trois nombres obtenus en effectuant le produit des trois diagonales ascendantes. En dimension quelconque On effectue le pivot de Gauss (opérations sur les lignes de la matrice) pour simplifier le calcul du déterminant.

67 Exemple de calcul de déterminant par le pivot (L 1 ) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) On encadre le pivot que l on choisit puis l on applique les opérations sur les lignes : (L 1 ) (L 2 ) (L 1 ) (L 3 ) (L 1 ) (L 4 ) (L 1 )

68 Exemple de calcul de déterminant par le pivot 2 On conserve l encadrement du pivot (pour se souvenir de ne plus utiliser la ligne (L 1 )). On procède de même que précédemment : (L 1 )+ 1 2 (L 3) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) (L 3 )

69 Exemple de calcul de déterminant par le pivot 2 On conserve l encadrement du pivot (pour se souvenir de ne plus utiliser la ligne (L 1 )). On procède de même que précédemment : (L 1 )+ 1 2 (L 3) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) (L 3 ) Puis : (L 1 )+ 1 2 (L 2) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) (L 2 )

70 Exemple de calcul de déterminant par le pivot 3 Puis : (L 1 )+ 1 4 (L 4) (L 2 )+ 1 2 (L 4) (L 3 )+ 1 2 (L 4) (L 4 )

71 Exemple de calcul de déterminant par le pivot 3 Puis : (L 1 )+ 1 4 (L 4) (L 2 )+ 1 2 (L 4) (L 3 )+ 1 2 (L 4) (L 4 ) On calcule ensuite le déterminant en développant par rapport à la première colonne.

72 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Développement par rapport à une colonne (ou une ligne) Si une ligne ou une colonne contient beaucoup de 0, on peut utiliser la formule suivante : Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

73 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Développement par rapport à une colonne (ou une ligne) Si une ligne ou une colonne contient beaucoup de 0, on peut utiliser la formule suivante : n ) Det(A) = a i,k ( 1) i+k Det (Ãi,k k=1 où Ãi,k est la matrice A à laquelle on a enlevé la ligne i et la colonne k. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

74 Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Développement par rapport à une colonne (ou une ligne) Si une ligne ou une colonne contient beaucoup de 0, on peut utiliser la formule suivante : n ) Det(A) = a i,k ( 1) i+k Det (Ãi,k k=1 où Ãi,k est la matrice A à laquelle on a enlevé la ligne i et la colonne k. De même : Det(A) = n k=1 ) a k,j ( 1) k+j Det (Ãk,j où Ãk,j est la matrice A à laquelle on a enlevé la ligne k et la colonne j. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

75 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

76 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

77 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible. Det(AB) = Det(BA) = Det(A)Det(B). Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

78 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible. Det(AB) = Det(BA) = Det(A)Det(B). Le déterminant d une matrice diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

79 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible. Det(AB) = Det(BA) = Det(A)Det(B). Le déterminant d une matrice diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux. Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

80 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible. Det(AB) = Det(BA) = Det(A)Det(B). Le déterminant d une matrice diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux. Det(λA) = λ n Det(A). Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

81 Quelques propriétés Applications linéaires Matrices : Introduction Quelques matrices particulières Calcul matriciel Déterminants Inversion de matrices Si le déterminant est nul, la matrice est non inversible. Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible. Det(AB) = Det(BA) = Det(A)Det(B). Le déterminant d une matrice diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux. Det(λA) = λ n Det(A). ( ) Det A T = Det(A). Julian Tugaut Bases Indispensables des Mathématiques

82 Plan 1 Applications linéaires 2 Matrices : Introduction 3 Quelques matrices particulières 4 Calcul matriciel 5 Déterminants 6 Inversion de matrices

83 Définition Par définition, A M n (K) est inversible si et seulement s il existe une matrice B M n (K) telle que A B = B A = I n. On note A 1 cette matrice inverse (si elle existe).

84 Inversion par le pivot de Gauss On peut procéder par le pivot de Gauss. Reprenons notre exemple : A :=

85 Inversion par le pivot de Gauss On peut procéder par le pivot de Gauss. Reprenons notre exemple : A := On met la matrice identité à droite de la matrice initiale et on les sépare par un trait vertical. Puis, l on effectue le pivot de Gauss jusqu à obtenir la matrice identité à gauche. On aura alors l inverse de A à droite.

86 Exemple d inversion de matrice par le pivot de Gauss (L 1 ) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) On encadre le pivot que l on choisit puis l on applique les opérations sur les lignes : (L 1 ) (L 2 ) (L 1 ) (L 3 ) (L 1 ) (L 4 ) (L 1 )

87 Exemple d inversion de matrice par le pivot de Gauss 2 On conserve l encadrement du pivot (pour se souvenir de ne plus utiliser la ligne (L 1 )). On procède de même que tout à l heure : (L 1 )+ 1 2 (L 3) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) (L 3 )

88 Exemple d inversion de matrice par le pivot de Gauss 2 On conserve l encadrement du pivot (pour se souvenir de ne plus utiliser la ligne (L 1 )). On procède de même que tout à l heure : (L 1 )+ 1 2 (L 3) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) (L 3 ) Puis : (L 1 )+ 1 2 (L 2) (L 2 ) (L 3 ) (L 4 ) (L 2 )

89 Exemple d inversion de matrice par le pivot de Gauss 3 Puis : (L 1 )+ 1 4 (L 4) (L 2 )+ 1 2 (L 4) (L 3 )+ 1 2 (L 4) (L 4 )

90 Exemple d inversion de matrice par le pivot de Gauss 3 Puis : (L 1 )+ 1 4 (L 4) (L 2 )+ 1 2 (L 4) (L 3 )+ 1 2 (L 4) (L 4 ) Et enfin : (L 1 ) (L 3) (L 2) (L 4)

91 Exemple d inversion de matrice par le pivot de Gauss 3 Puis : (L 1 )+ 1 4 (L 4) (L 2 )+ 1 2 (L 4) (L 3 )+ 1 2 (L 4) (L 4 ) Et enfin : (L 1 ) (L 3) (L 2) (L 4) La matrice à droite du trait vertical est l inverse de la matrice de départ.