CHAPITRE 6 TRIGONOMETRIE
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- Estelle Pagé
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1 CHAPITRE 6 TRIGONOMETRIE I GENERALITES On se place dans ce chapitre uniquement dans les triangles rectangles. A) Identification des côtés d un triangle rectangle. On commence par identifier l hypoténuse, puis le côté opposé à l angle et enfin le côté adjacent. Attention, l hypoténuse ne varie pas contrairement aux côtés opposé et adjacent qui dépendent de l angle! Exemples : on se situe par rapport à l angle colorié Triangle ABC Triangle DEF Triangle GHI [AC] hypoténuse [DF] hypoténuse [IG] hypoténuse [AB] opposé [DE] opposé [IH] opposé [BC] adjacent [EF] adjacent [GH] adjacent B) Formules de trigonométrie Moyen memo technique : CAH SOH TOA
2 II Application 1 : calculer des longueurs Exemple 1 calculer KL (arrondir au dixième) sachant que JL=3.6 cm et 1) On se place dans le triangle JKL rectangle en K 2) sur la figure, on place les 3 côtés : hyp/ opp/ adj Ici [JL] hypoténuse, [JK] opposé et [LK] adjacent. 3) sur le brouillon, écrire la formule CAH SOH TOA et indiquer par une croix ce que l on cherche et une croix ce que l on connaît. Ici on cherche le côté adjacent et on connaît l hypoténuse. La formule à retenir est celle qui «remporte» 2 croix, c est donc le cosinus. 4) on met sur la copie la formule d abord avec les lettres 5) on remplace par les valeurs 6) attention au produit en croix!!! 7) KL 2 cm arrondir : attention au type d arrondi, à bien mettre le signe et ne pas oublier l unité. Exemple 2 calculer DF (arrondir au dixième) sachant que DE=4 cm et 1) On se place dans le triangle DEF rectangle en E 2) sur la figure, on place les 3 côtés : hyp/ opp/ adj Ici [DF] hypoténuse, [DE] opposé et [EF] adjacent. 3) sur le brouillon, écrire la formule CAH SOH TOA et indiquer par une croix ce que l on cherche et une croix ce que l on connaît. Ici on cherche l hypoténuse et on connaît l opposé. La formule à retenir est celle qui «remporte» 2 croix, c est donc le sinus. 4) on met sur la copie la formule d abord avec les lettres 5) on remplace par les valeurs 6) attention au produit en croix!!! 7) DF 9.5 cm arrondir : attention au type d arrondi, à bien mettre le signe et ne pas oublier l unité.
3 III Application 2 : calculer des angles Pour calculer un angle, avec la calculatrice, on utilise arccos/ arcsin et arctan. La méthode reste identique. Exemple calculer (arrondir à l unité) sachant que IH=4 cm et GH=6 cm. 1) On se place dans le triangle IGH rectangle en H 2) sur la figure, on place les 3 côtés : hyp/ opp/ adj Ici [IG] hypoténuse, [IH] opposé et [GH] adjacent. 3) sur le brouillon, écrire la formule CAH SOH TOA et indiquer par une croix ce que l on connaît. Ici on connaît l opposé et l adjacent. La formule à retenir est celle qui «remporte» 2 croix, c est donc la tangente. 4) on met sur la copie la formule d abord avec les lettres 5) on remplace par les valeurs 6) 7) 34 arrondir : attention au type d arrondi, à bien mettre le signe et ne pas oublier l unité.
4 IV Comment justifier que des droites sont A) perpendiculaires Théorème de la médiane Deux droites perpendiculaires (ou triangle rectangle) si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. réciproque de Pythagore Si un triangle est inscrit dans un cercle dont l un des côtés est le diamètre alors ce triangle est rectangle et l hypoténuse est ce diamètre. si un triangle possède deux angles complémentaires alors il est rectangle B) parallèles Deux droites parallèles si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles réciproque de Thalès si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles alternes internes (ou correspondants) de même mesure alors elles sont parallèles.
5 V Formules trigonométriques A) Première propriété Propriété 1 Soient deux angles complémentaires, le sinus de l un est égal au cosinus de l autre (et inversement). Démonstration On se place dans le triangle ABC rectangle en B Exemple Cos 60 =sin 30 Sin 25 =cos 65 B) deuxième propriété Propriété 2 Soit un angle aigu Démonstration On se place dans le triangle ABC rectangle en B Exemple
6 C) troisième propriété Propriété 3 Soit un angle aigu =1 Remarque Le cosinus et le sinus d un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1 (l hypoténuse est le plus long côté)! Démonstration On se place dans le triangle ABC rectangle en B Or d après le théorème de Pythagore, on peut affirmer que D où Application Calculer le sinus et la tangente d un angle en ne connaissant que le cosinus par exemple (sans calculatrice!!!). Exemple : soit un angle aigu tel que 1) 1 ère étape on calcule le sinus grâce à la formule Or est un angle aigu donc 0<sin <1 2) 2 ème étape on calcule la tangente grâce à la formule On remplace par les valeurs : D où.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
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