Cours de mathématiques ECT 2ème année. Chapitre 5. Matrices inversibles

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1 ECT ème année Chapitre Matrices inversibles Adrien Fontaine Année scolaire 8 9

2 Dans tout ce chapitre, on ne considérera que des matrices carrées.. MATRICES INVERSIBLES Définition : Une matrice A M n (R) est dîte inversibles il existe une matrice B M n (R) telle que : AB=I n et BA=I n Si B existe, elle est appelée inverse de A et notée A. Remarque : La notion de matrice inversible n a de sens que pour des matrices carrées. Une matrice inversible admet un unique inverse : On suppose qu il existe deux matrices B et B dans M n (R) telles que AB = B A=I n et AB = B A = I n. Alors, en particulier, (B A)B = I n B = B et (B A)B = B (AB ) = B I n = B, et donc B = B. Exemple :. La matrice identité est inversible et I n = I n car : I n I n = I n et I n I n = I n. La matrice A= ( ) est inversible et A = ( ). En effet : ( )( ) ( ) = = I ( )( ) ( ) = = I. La matrice carrée nulle O n n est pas inversible car : M M n (R), O n M=M O n = O n I n 4. La matrice A= n est pas la matrice nulle mais elle n est pas inversible pour 4 6 autant : quelle que soit la matrice par laquelle on la multiplie à droite, la première ligne du résultat sera constitué de trois zéros et donc la matrice produit ne peut pas être égale à I. Théorème : Si P et Q sont deux matrices de M n (R) telles que PQ=I n, alors P et Q sont inversibles, et on a : P = Q et Q = P Exemple :

3 ( ) ( ) Considérons les matrices P = et Q=. Alors : 4 ( )( ) ( ) PQ= = = I 4 Ce qui prouve que P et Q sont inversibles et qu elles sont inverses l une de l autre. Considérons les matrices P = et Q=. Alors : Corollaire : PQ= = =I Ce qui prouve que P et Q sont inversibles et qu elles sont inverses l une de l autre. Si P et Q sont deux matrices de M n (R) telles que PQ=λI n avecλ, alors P et Q sont inversibles, et on a : P = λ Q et Q = λ P Exemple : Considérons les matrices P= et Q= 4. Alors : 4 PQ= 4 = =I 4 Ce qui prouve que P et Q sont inversibles et que P = et Q =. Remarquons que le cas des matrices diagonales est facile : Proposition : d.... d... Une matrice diagonale D = est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux d i sont tous non nuls. Dans ce cas d n : d.... D.. d = d n

4 Exemple : = Proposition : Soit A une matrice triangulaire supérieure ou inférieure de M n (R). La matrice A est inversible si et seulement si ses termes diagonaux sont tous non nuls. Exemple : La matrice est inversible car, et 4 sont non nuls. 4 La matrice 4 n est pas inversible car le deuxième coefficient diagonale est nul. Proposition : Soient A, B et C dans M n (R). Si A est inversible, alors A est inversible et (A ) = A. Si A et B sont inversibles, alors AB est inversibles et (AB) = B A. Si A est inversibles, alors A est simplifiable à gauche et à droite, c est-à-dire : AB= AC B=C BA=CA B=C Terminons avec le cas des matrices carrées de taille. Proposition 4 : ( ) a b A= est inversible si et seulement si ad bc. Dans ce cas : c d ( ) A d b = ad bc c a Preuve. On commence par observer que : ( )( ) ( ) a b d b ad bc = = (ad bc)i c d c a ad bc Ce qui prouve que si ad bc alors A est inversible et ( ) A d b = ad bc c a ( ) d b Si par ailleurs, ad bc =, alors en posant B=, on a AB=O. c a Raisonnons par l absurde et supposons que A soit inversible. Alors, on aurait B= A AB=A O = O 4

5 , ce qui donnerait a = b = c = d = et donc A=O. Or, la matrice nulle d ordre n est pas inversible. Contradiction. Donc, A n est pas inversible. Exemple : Les matrices suivantes sont-elles inversibles? SI oui préciser leur inverse. ( ). A =. On a 4 = donc A est inversible et A = 4 ( ).. B= ( 6 4 ). 4 6= donc B n est pas inversible. ( 4 ) =. CALCUL EFFECTIF DE L INVERSE D UNE MATRICE.. Calcul de l inverse par la résolution d un système Théorème : Soit A M n (R). La matrice A est inversible si et seulement si pour tout Y M n, (R), le système linéaire AX = Y admet une unique solution. Méthode : Montrer qu une matrice est inversible et calculer son inverse En utilisant la méthode du pivot de Gauss, on résout le système AX= Y d inconnue X M n, (R) en fonction de Y M n, (R) quelconque fixé, puis on discute : Si le système admet une unique solution X= BY aalors A est inversible et A = B. Sinon, la matrice n est pas inversible. 7 Exemple : Montrons que la matrice A= 9 est inversible et déterminons son inverse. a x Soit Y= b une matrice de M, (R). Pour tout X= y M, (R), on a les équivalences : c z 7 x a AX= Y 9 y = b z c x 7y + z = a x + y 9z = b y + z = c x 7y + z = a y 8z = a + b L L + L y + z = c x 7y + z = a y 4z = a + b L L y + z = c L L

6 x 7y + z = a y 4z = a + b z = a + b + c L L + L x 7y + z = a y = 7a + 7b + c z = a + b + c x 7y + z = a y = a + b + 8c z = a + b + c x = a + b + c y = a + b + 8c z = a + b + c x a y = 8 b z c Finalement, la matrice A est inversible et son inverse est donné par A = 8... Calcul de l inverse par la méthode du pivot de Gauss Théorème : Soit A dans M n (R). La matrice A est inversible si et seulement si une suite d opérations élémentaires sur les lignes de A transforme la matrice A en une matrice B inversible. Dès lors, en transformant la matrice A en la matrice identité à l aide d opérations sur les lignes et en effectuant simultanément les mêmes opérations sur la matrice identité, on obtient l inverse de la matrice A. Méthode : Méthode de Gauss-Jordan En pratique, pour transformer A en I n, on commence par transformer la matrice A en une matrice triangulaire supérieure par la méthode du pivot de Gauss, ce qui permet déjà de savoir si A est inversible ou non. Le cas échéant, on transforme alors la matrice triangulaire obtenue en la matrice identité. C est la méthode de Gauss-Jordan. Exemple : On considère la matrice P : P= Montrer que la matrice P est inversible et déterminer son inverse. On utilise donc la méthode de Gauss-Jordan. L L +L L L +L 6

7 La matrice obtenue est triangulaire supérieure avec tous ses pivots non nuls donc elle est inversible. Par théorème, la matrice P est elle aussi inversible. Poursuivons la méthode : L L L Donc, la matrice P est inversible et P =. 7

8 . EXERCICES. On note I=I et on donne : A=. a. Calculer A, puis A. b. En déduire que A n est pas inversible.. a. Calculer (I A)(I+ A+ A ). b. En déduire que I A est inversible et donner son inverse.. Montrer également que I+ A est inversible et donner son inverse... On considère la matrice A=. a. Calculer A. b. La matrice A est-elle inversible? Si oui, expliciter son inverse.. On considère la matrice A=. a. Calculer A. b. La matrice A est-elle inversible? Si oui, expliciter son inverse.. On considère la matrice A=. a. Calculer A A A. b. La matrice A est-elle inversible? Si oui, expliciter son inverse. 4. On considère la matrice A=. a. Calculer A A. b. La matrice A est-elle inversible? Si oui, expliciter son inverse.. On considère la matrice : A= 4. Calculer A A+I.. En déduire que A est inversible et calculer son inverse..4 On considère les matrices : A= et B= 9 8

9 . Calculer A. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.. Calculer B. La matrice B est-elle inversible?. On considère la matrice : A= En résolvant un système, montrer que la matrice A est inversible et calculer son inverse..6. On considère la matrice : A= Démontrer que cette matrice est inversible et calculer son inverse.. Résoudre le système linéaire : y + z = x + z = x + y =.7. Montrer que la matrice A= est inversible et déterminer son inverse Résoudre les systèmes (S ) et (S ) suivants : (S ) : x + y + z = 4 x y + z = x + 4y 8z = 4 (S ) : x + y + z = x y + z = x + 4y 8z =.8 Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Si oui, calculer leur inverse.. A= 6. B=. C= 7 ( ) 4. D=. E= 6 6. F= 7. G= ( ) 4 8. H= 9

10 .9 Soit (x n ) n N et (y n ) n N les suites définies par la donnée de x =, y = et les relations de récurrence { xn+ = x n + 4 y n valables pour tout entier naturel n. On pose, pour tout entier naturel n, U n =. a. Donner U. y n+ = x n + 4 y n ( xn y n ). b. Déterminer une matrice A telle que, pour tout entier n, on ait : U n+ = AU n. c. Montrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, on a : U n = A n U. ( ) 9. On pose P=. Vérifier que P est inversible, avec P = ( ) Soit D=P AP. a. Calculer D, puis pour tout entier n, donner D n en fonction de n. b. Montrer que A=PDP. 4. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, on a : A n = PD n P. b. En déduire l expression de A n. c. Déterminer x n et y n en fonction de n, puis lim x n et lim y n. n + n +. Soient les matrices : Partie A : A=, P=, D= et X =.. Montrer que la matrice P est inversible et déterminer son inverse.. Déterminer D k pour tout entier naturel k.. Montrer que A=PDP et que pour tout entier naturel k, A k = PD k P. 4. Déterminer P X et en déduire par récurrence que pour tout entier naturel k : A k X = ( ) k ( k ) ( k ). Partie B : On étudie le comportement d un consommateur M à partir d une semaine donnée (appelée "semaine "). Ce consommateur choisit chaque semaine chez le pâtissier un dessert parmi les trois desserts A, B et C. On considère en outre que : si M a choisi le dessert A la semaine n, alors la semaine n+ il choisit le dessert A avec une probabilité de ou le dessert C avec une probabilité de ;

11 si M a choisi le dessert B la semaine n, alors la semaine n+ il choisit le dessert A avec une probabilité de ou le dessert B avec une probabilité de : si M a choisi le dessert C la semaine n, il reprend le dessert C la semaine n+ ; le consommateur choisit de manière équiprobable son dessert la première semaine. On notera pour tout entier naturel non nul n : A n l évènement : "M a choisi le dessert A la n-ième semaine "; B n l évènement : "M a choisi le dessert B la n-ième semaine "; C n l évènement : "M a choisi le dessert C la n-ième semaine "; On note aussi : P(A n ) U n = P(B n ). P(C n ). Donner P(A ), P(B ), P(C ) ainsi que les probabilités : P An (A n+ ), P An (B n+ ), P An (C n+ ), P Bn (A n+ ), P Bn (B n+ ), P Bn (C n+ ), P Cn (A n+ ), P Cn (B n+ ), P Cn (C n+ ).. À l aide de la formule des probabilités totales, justifier avec soin que : P(A n+ )= P(A n)+ P(B n). Donner de même des relations exprimant P(B n+ ) et P(C n+ ) en fonction de P(A n ), P(B n ) et P(C n ).. a. Montrer que pour tout entier naturel non nul n : U n+ = AU n. b. Montrer que pour tout entier naturel non nul n : U n = A n X. 4. En déduire, en fonction de n, la probabilité P(A n ) ainsi que sa limite n tend vers+.

12 4. TABLE DES MATIÈRES Matrices inversibles Calcul effectif de l inverse d une matrice. Calcul de l inverse par la résolution d un système Calcul de l inverse par la méthode du pivot de Gauss Exercices 8