Opération sur les matrices

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1 Plan du chapitre 2 Opération sur les matrices Notation matricielle Multiplication matricielle Méthode alternative Propriétés des opérations matricielles Transposition L inverse d une matrice Inverse d une matrice 2 2 Caractérisations des matrices inversibles Application linéaire inversible Elements sur les espaces vectoriels Définitions Vect(A) et ker(a) Base d un sev Dimension et rang Coordonnées sur une base La dimension d un sous-espace Théorème du rang

2 Opération sur les matrices

3 Notation matricielle Défintions Il y a deux façons de noter une matrice A de taille m n : à partir de ses colonnes ( a1 a 2 a n ) à partir de ses coefficients A = a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a m1 a mj a mn les éléments a 11, a 22, sont appelés les éléments diagonaux la matrice nulle, notée O, est la matrice dont tous les éléments sont nuls

4 Opérations sur les matrices Propriétés Soient A, B, et C des matrices de même taille, 0 la matrice nulle de même taille que A, B, C et r et s des réels Alors A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = A r(a + B) = ra + rb (r + s) A = ra + sa r (sa) = (rs) A

5 Définition : produit matriciel Soient A une matrice de taille n k et B une matrice de taille k p On définit le produit AB par AB = ( Ab 1 Ab 2 Ab p ) On a en bien A (Bx) = (AB) x En effet donc Bx =x 1b 1 + x 2b x pb p A (Bx)=A(x 1b 1 + x 2b x pb p) = A (x 1b 1) + A (x 2b 2) + + A (x pb p) = x 1Ab 1 + x 2Ab x pab p = ( ) x 2 Ab 1 Ab 2 Ab p x p x 1

6 4 2 Calculer AB quand A = 3 5 and B = 0 1 ( ) Exprimer Ab 1 et Ab 2 comme combinaisons linéaires des colonnes de A Propriété Chaque colonne de AB est une combinaison linéaire des colonnes de A avec des poids des colonnes correspondantes de B

7 Si A est de taille 4 3 et B de taille 3 2, quelles sont les tailles de AB et BA? AB = et BA = Propriété Soient A une matrice de taille n k et B une matrice de taille k p alors AB a la taille n p

8 Autre méthode pour calculer AB Propriété du produit matriciel Soient A une matrice de taille n k et B une matrice de taille k p Chaque élément (AB) ij du produit AB est donné par (AB) ij = a i1b 1j + a i2b 2j + + a inb nj ai1 ai2 ain b 1j b 2j b nj = (AB) ij A = ( ), B = Calculer AB et BA, s ils sont définis

9 Propriétés de la somme et du produit matriciel Soient A de taille m n et B et C dont les tailles permettent les sommes et produits suivants alors A (BC) = (AB)C A (B + C) = AB + AC (B + C) A = BA + CA r(ab) = (ra)b = A(rB) pour tout réel r I ma = A = AI n

10 Propriétés de la somme et du produit matriciel Soient A de taille m n et B et C dont les tailles permettent les sommes et produits suivants alors A (BC) = (AB)C A (B + C) = AB + AC (B + C) A = BA + CA r(ab) = (ra)b = A(rB) pour tout réel r I ma = A = AI n Toutes les propriétés vraies pour les nombres réels ne sont pas vraies pour les matrices Par exemple AB n est, en général, pas égal à BA Même si AB = AC, alors B peut ne pas être égal à C Il est possible que AB = 0 même si A = 0 et B 0

11 Puissances d une matrice carré Propriété : puissance Si A est une matrice carrée alors A k = A A }{{} k Soit A = ( ) Que vaut A 3?

12 Transposée d une matrice Définition : transposée Si A est une matrice de taille m n, la transposée de A est la matrice de taille n m, notée A T, dont les lignes sont formées des colonnes de A Exemple A = = A T =

13 Soit A = ( ), et B = Calculer AB, (AB) T, A T B T et B T A T

14 Règle sur la transposition Propriétés de la transpostion Soient A et B deux matrices dont les tailles permettent les sommes et produits suivants Alors ( ) A T T = A (A + B) T = A T + B T Pour tout réel r, (ra) T = ra T (AB) T = B T A T ( ) ( ) Soient A = et x = deux matrices de taille 2 2 et Calculer (Ax), x A, xx, x x et A x quand c est possible

15 L inverse d une matrice

16 Définition et propriété : inverse d une matrice carrée Une matrice A de taille n n est dite inversible s il existe une matrice, notée A 1 de taille n n telle que A 1 A = AA 1 = I n où I n est la matrice identité de taille n n A 1 est appelée inverse de A Quand elle existe, l inverse d une matrice est unique Attention toutes les matrices carrées ne sont pas inversible Une matrice non-inversible est dite singulière ( ) 2 5 Soient A = et C = 3 7 ( ) 7 5 Montrer que C est l inverse de A 3 2

17 Théorème pour les matrices de taille 2 2 ( ) a c Soit A = Si ad bc 0, alors A est inversible et b d A 1 = 1 ad bc ( d c b a ) Si ad bc = 0, alors A est singulière (non-inversible) Déterminant ( ) d une matrice 2 2 a b Si A =, ad bc 0 est son déterminant, noté det(a) c d Trouver l inverse de la matrice A = ( )

18 Inversibilité et systèmes linéaires Théorème Si A est une matrice n n inversible, alors pour tout b dans R n, l équation Ax = b a la solution unique x = A 1 b Utiliser l inverse de A = ( ) pour résoudre { 7x1 + 3x 2 = 2 5x 1 2x 2 = 1

19 Propriétés des inverses Si A et B sont inversibles, alors a A 1 est inversible et ( A 1) 1 = A (ie A est l inverse de A 1 ) b AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1 c A T est inversible et ( A T) 1 = ( A 1 ) T

20 Caractérisations des matrices inversibles

21 Théorème sur les matrices inversibles Soit A une matrice carré de taille n n alors toutes les énoncés suivants sont équivalents 1 A est une matrice inversible 2 A est ligne-équivalente à I n 3 A a n pivots 4 L équation Ax = 0 admet seulement la solution triviale 5 Les colonnes de A sont linéairement indépendantes 6 L équation Ax = b a une solution pour chaque b dans R n 7 Les colonnes de A engendrent R n 8 Il existe une matrice C de taille n n telle que CA = I n 9 Il existe une matrice D de taille n n telle que AD = I n 10 A T est une matrice inversible

22 1 3 0 Utiliser le théorème précédent pour déterminer si A = est inversible Supposons que H est une matrice de taille 5 5 et qu il existe un vecteur v dans R 5 qui n est pas combinaison linéaire des colonnes de H Que peut-on en déduire sur le nombre de solution de Hx = 0?

23 Pour une matrice inversible A 1 Ax = x pour tout x dans R n et AA 1 x = x pour tout x dans R n Définition : application linéaire inversible Une application linéaire T : R n R n est dite inversible s il existe une fonction S : R n R n telle que S(T(x)) = x pour tout x dans R n et T(S(x)) = x pour tout x dans R n

24 Théorème : Soit T : R n R n une application linéaire et A la matrice standard de T Alors T est inversible si et seulement si A est une matrice inversible Dans ce cas, l application linéaire S définie par S(x) = A 1 x est l unique application qui satisfait : et S(T(x)) = x pour tout x dans R n T(S(x)) = x pour tout x dans R n Soit T 1 et T 2 deux transformations de R 2 dans R 2 définies par T 1(x 1, x 2) = ( 5x 1 + 9x 2, 4x 1 7x 2) T 2(x 1, x 2) = (2x 1 8x 2, 2x 1 + 7x 2) 1 Sont-elles des applications linéaires? 2 Sont-elles inversibles? 3 Si oui, trouver leurs inverses

25 Elements sur les espaces vectoriels

26 Définition : sous-espace vectoriel de R n Un sous-ensemble H de R n est un sous-espace vectoriel (sev) s il a les 3 propriétés : 0 H Pour tous u, v dans H, u + v H Pour tous u H et c réel, cu H Exemple Si v 1 et v 2 sont 2 vecteurs de R n alors H = Vect(v 1, v 2) est un sev

27 Voici 4 sous-ensembles de R n, dire dans chaque cas s il s agit d un sev de R n

28 Définition/propriété : image d une application linéaire L espace image d une application linéaire de matrice A de taille n p, noté Im(A) ou Vect(A) est l ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ses colonnes C est un sev de R n Soit A = et b = Est ce que b Vect(A)?

29 Définition/propriété : noyau d une application linéaire Le noyau de l applicaiton linéaire de matrice A de taille n p, noté ker(a) est l ensemble des solutions de l équation homogène Ax = 0 C est un sev de R p Décrire ker(a) quand A =

30 Définition : base d un sev Une base d un sev H de R n est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent H Trouver deux bases de R 2 Trouver une base de ker(a) quand A =

31 Trouver une base de Vect(B) quand B = de Vect(C) quand C = Propriétés Les colonnes des pivots d une matrice forment une base du sev engendré par ses colonnes (son Vect)

32 Soient v 1 = ( ), v2 = ( ) et w = ( ) Est ce que w est dans le sev de R 3 engendré par v 1 et v 2 Déterminer si les ensembles de vecteurs suivants forment des bases de R 2 ( ) ( ) , 2 3 ( ) ( ) 2 4 2, 5 10 ( ) ( ) ( ) ,, 0 1 0

33 Dimension et rang

34 1 Vérifier que b 1 = ( 1 0 ), b 2 = ( 1 1 ) est une base de R 2 2 Ecrire ( 4 10 ) comme une combinaison linéaire de b 1, b 2

35 Définition : coordonnées Soit B = (b 1,, b p une base d un sev H de R n Pour tout x H, les coordonnées de x sur la base B sont les poids c 1,, c p tels que x = c 1b c px p et le vecteur [x] B : c 1 c 2 c p est le vecteur des coordonnées de x relativament à la base B

36 Soient v 1 = ( ), v2 = ( ) et w = ( ) On sait que w est dans le sev de R 3 engendré par v 1 et v 2 1 Est ce que v 1, v 2 forment une base de Vect(v 1, v 2)? 2 Si oui, trouver les coordonnées de w relativement à la base (v 1, v 2)

37 Définition : dimension d un sev La dimension (dim(h)) d un sev H non-nul est le nombre des vecteurs de n importe laquelle de ses bases La dimension du sev nul 0 est 0 Quelle est la dimension de ker(a) quand A = ?

38 Définition : rang d une matrice Le rang d une matrice A, noté rang(a), est la dimension du sev engendré par ses colonnes Déterminer le rang de la matrice A =

39 Théorème du rang Si la matrice A a p colonnes, alors p = rang(a) + dim(ker(a)) En particulier rang(a) p Théorème de la base Soit H un sev de dimension p Tout ensemble de p vecteurs linéairement indépendants est automatiquement une base de H

40 Conditions d inversibilité Soit A une matrice de taille n p Alors les assertions suivantes sont équivalentes 1 A est une matrice inversible 2 Les colonnes de A engendrent R p : Vect(A) = R n 3 Les colonnes de A forment une base de R p 4 dim(vect(a)) = p 5 rang(a) = p 6 ker(a) = 0 7 dim(ker(a)) = 0

41 Dans les 2 cas suivants, trouver sur le plan le vecteur x {( ) ( )} ( ) B =, et [x] 1 1 B = 2 {( ) ( )} ( ) B =, et [x] 1 2 B = 2