L3 MFA, Probabilités, Université Paris-Sud 11. Feuille de TD n o 1

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1 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Exercice.. Jea, Luc et Marc lacet chacu u dé. Feuille de TD o (a) Doer u espace de probabilité (Ω, F, P) associé à cette expériece aléatoire. (b) Soiet i, j {,...,6} deux uméros différets. Calculer la probabilité qu avec les trois dés, ils obtieet : i. deux fois le uméro i et ue fois le uméro j ; ii. au mois deux uméros idetiques ; iii. 9 e additioat les trois uméros obteus.. Ue persoe lace trois dés idetiques. L espace de probabilité défii das la questio (a) coviet-il ecore pour décrire cette expériece aléatoire? 3. Jea pred au hasard u jeto das u sac qui cotiet jetos umérotés de à, puis passe le sac avec les jetos restats à Luc qui e pred u à so tour et le doe esuite à Marc pour qu il e choisisse u à so tour. (a) Muir l espace (Ω = {,...,} 3, P(Ω)) d ue probabilité P qui red compte de cette expériece. (b) Soit k {,...,}. Quelle est la probabilité que Marc tire le uméro k? (c) Quelle est la probabilité que Marc obtiee u uméro supérieur à ceux de Jea et de Luc? Exercice. Paradoxe des aiversaires.. Quelle est la probabilité que parmi r persoes, au mois deux persoes aiet leur aiversaire le même jour? O commecera par doer u espace de probabilité (Ω, F, P) associé à cette expériece aléatoire.. Pour quelles valeurs de r cette probabilité dépasse-t-elle /? Exercice 3. Soit u etier. O suppose que livres sot posés au hasard côte à côte sur ue étagère et que, parmi ces livres, il y e a k {,...,} qui sot de l auteur M.. Proposer u codage de la dispositio des livres de l auteur M sur cette étagère qui utilise que des 0 et des.. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l auteur M soiet côte à côte? 3. Soit r k. Avec quelle probabilité tous les livres de l auteur M sot-ils das les r premiers livres de l étagère? 4. Soit {k,..., }. Quelle est la probabilité qu il y ait livres etre le livre de l auteur M qui se trouve le plus à gauche sur l étagère et celui qui se trouve le plus à droite sur l étagère? Si k =, combie de livres est-il le plus probable de trouver etre les deux livres de l auteur M sur l étagère? Exercice 4. Soit u etier. O suppose que toutes les répartitios des sexes des efats d ue famille à efats sot équiprobables. Les deux évéemets suivats sot-il idépedats : M : la famille de efats a des efats des deux sexes ; F : la famille de efats a au plus ue fille? Exercice 5. Soit N. O choisit au hasard u des etiers,,...,. Pour k {,...,}, o ote A k l évéemet le ombre choisi est divisible par k.. Calculer la probabilité de l évéemet A k lorsque k divise.. Soit p,...,p des ombres premiers disticts qui diviset. Les évéemets A p,...,a p formet-ils ue famille d évéemets idépedats? Exercice 6. U couple a deux efats. Das la coversatio, o appred qu au mois u des efats est u garço. Quelle est la probabilité que le couple ait deux garços? Exercice 7. U juge iterroge séparémet deux témois qui e se coaisset pas afi de savoir si u évéemet a eu lieu. O supposera que chaque témoi a ue probabilité p d affirmer que l évéemet a eu lieu alors que cet évéemet a pas eu lieu ; chaque témoi a ue probabilité q d affirmer que l évéemet a pas eu lieu alors que cet évéemet a eu lieu. O ote a la probabilité que cet évéemet ait lieu et o suppose que a, p, q ]0, [.. Doer u espace de probabilité (Ω, F, P) associé à cette expériece aléatoire.. Calculer la probabilité que l affirmatio du premier témoi soit fausse. Les évéemets l affirmatio du premier témoi est fausse et l affirmatio du deuxième témoi est fausse sot-ils idépedats? 3. Quelle est la probabilité que l évéemet ait eu lieu si les deux témois affirmet qu il a eu lieu? 4. Quelle est la probabilité que l évéemet ait eu lieu si au mois u des deux témois affirme qu il a eu lieu?

2 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Exercice 8. Formule du crible.. Soiet A,...,A des évéemets défiis sur l espace de probabilité (Ω, F, P). Motrer que P A i = ( ) k P(A i A ik ). i= k=. Soiet A,...,A des esembles fiis. E déduire que Card A i = ( ) k i= k= i < <i k i < <i k Card(A i A ik ). 3. Applicatio : Pour fêter la ouvelle aée, ue société demade à chacu de ses membres d apporter u cadeau. Tous les cadeaux sot mis esemble. Esuite, chaque cadeau est doé au hasard à l u des membres de la société, l idéal état, bie sûr, qu aucu membre e reçoive so propre cadeau. Soit le ombre de membres de la société. (a) Calculer la probabilité pour qu u membre de la société, choisi à l avace, reçoive so propre cadeau. (b) Calculer la probabilité p que la situatio idéale se réalise. Calculer alors lim p. (c) Calculer la probabilité p (k) pour que k persoes exactemet reçoivet leur propre cadeau. Par quelle valeur peut-o approcher p (k) lorsque est très grad? Exercice 9. O cosidère u système de r particules pouvat être das u des iveaux d éergie e,...,e.o défiit l espace des états du système comme l esemble des cofiguratios distiguables. O fait l hypothèse que chaque cofiguratio distiguable est équiprobable. O cosidère les trois cas suivats : (i) Statistique de Maxwell-Boltzma. Les r particules sot localisées et doc distiguables. (ii) Statistique de Bose-Eistei. Les r particules sot idistiguables. (iii) Statistique de Fermi-Dirac. Les r particules sot idistiguables et il y a au plus ue particule par iveau d éergie (o suppose que r). Exemples de cofiguratios das le cas de 3 particules et deux états d éergie : les figures et représetet deux cofiguratios idetiques pour le modèle (i) et(ii). Les figures et 3 représetet des cofiguratios distiguables das le modèle (i) mais idistiguables das le modèle (ii). Aucue de ces cofiguratios e sot possibles das le modèle (iii). e e e e figure e figure e figure 3. Costruire l espace de probabilité correspodat à chacu des modèles (i), (ii), (iii).. L état macroscopique du système est détermié par les ombres r i de particules das l état d éergie e i.o modélise l espace des états macroscopiques par Ω ma = {(r,...,r ) N, t.q. r + + r = r}. Muir Ω ma de la probabilité aturelle das chacu des cas (i), (ii), (iii). Que peut-o dire das les cas (ii) et (iii)? 3. O ote p r, (k) la probabilité qu u iveau d éergie doé cotiee exactemet k particules. Calculer p r, (k) das chacu des trois cas (i), (ii) et (iii). 4. Pour chacu des trois modèles (i), (ii) et (iii), doer la limite p k de p r, (k) lorsque et r tedet vers l ifii et le ombre moye r/ de particules par iveau d éergie ted vers ue quatité fixée λ>0 (pour le cas (iii), o supposera que λ ). Vérifier que l o a toujours k=0 p k =. 5. Das le modèle (i) puis das le modèle (ii), détermier le ombre de cofiguratios distiguables dot au mois u iveau d éergie est vide. Remarque : L hypothèse que les particules sot distiguables est l hypothèse usuelle e mécaique classique, l hypothèse cotraire apparait e mécaique quatique : le modèle (ii) est par exemple utilisé avec les photos alors que le modèle (iii) est utilisé avec les électros, protos, eutros...

3 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Feuille de TD o Exercice. Jea et Luc lacet chacu ue pièce de moaie qui a ue probabilité p de tomber sur face jusqu à ce que chacu obtiee ue fois face. O ote X le ombre de pile obteus par Jea la première fois où sa pièce tombe sur face et Y le ombre de pile obteus par Luc la première fois où sa pièce tombe sur face. Détermier les lois de X et de Y.. Détermier la probabilité que Jea et Luc obtieet face après le même ombre de lacers. 3. Détermier les lois de X + Y et de mi(x, Y ). Exercice. O rappelle que toute foctio localemet borée f : R R vérifiat f(x + y) =f(x)+f(y) pour tous réels x et y est écessairemet de la forme f(x) =λx pour u certai réel λ.. Détermier la loi et l espérace d ue variable aléatoire X à valeurs das N qui vérifie (k, l) N P(X k) > 0 = P(X k + l X k) =P(X l).. Soit Y ue variable aléatoire strictemet positive qui vérifie (s, t) (R +) P(Y s) > 0 = P(Y s + t Y s) =P(Y t). () Détermier la loi de Y et so espérace. Que sigifie () si Y modélise la durée de foctioemet d ue machie? 3. Motrer que P(Y s + ε Y > s)/ε coverge lorsque ε 0 vers ue limite que l o détermiera. Exercice 3. Jea, Luc et Marc etret simultaémet das u bureau de poste qui dispose de deux guichets. Jea et Luc utiliset les deux guichets qui sot libres au momet de leur arrivée et Marc atted so tour. O ote X, Y et Z les variables aléatoires doat le temps que met u guichetier pour traiter les demades de Jea, Luc et Marc respectivemet. O suppose que ce sot des variables idépedates et de loi expoetielle de paramètre a>0.. Quelle est la probabilité pour que Marc e quitte pas la poste le derier?. Détermier la loi du temps T passé par Marc à la poste aisi que so espérace. 3. Détermier la loi du temps W écessaire pour que les trois persoes soiet servies. Exercice 4. Soit X ue variable aléatoire réelle défiie sur l espace (Ω, A, P). O dit que m est ue médiae pour X si P(X <m) / P(X m).. Pour x <...<x, détermier les médiaes de la loi uiforme sur l esemble {x,...,x }. Supposos que X admette u momet d ordre fii.. Motrer que si m est ue médiae pour X alors E[ X a ] E[ X m ] pour tout a R. 3. Motrer que si m et m sot deux médiaes pour X alors E[ X m ]=E[ X m ]. Supposos que X admette u momet d ordre fii. 4. Motrer que E[(X a) ] Var(X) pour tout a R. 5. Motrer que E[ X m ] σ(x) où σ(x) désige l écart-type de X. Exercice 5. Iégalité de Hoeffdig. Soit X ue variable aléatoire réelle telle que a X b, pour deux réels a et b, et soit (X,...,X )u-échatillo de variables aléatoires de même loi que X. L objectif de l exercice est d établir l iégalité de Hoeffdig suivate : ε >0 P X i E(X) ε i= exp ε (b a). (). Soit Y ue variable aléatoire telle que 0 Y et(y,...,y )u-échatillo de variables aléatoires de même loi que Y. Notos µ = E[Y ]ety =(Y Y )/. (a) Motrer que P(Y µ ε) E[exp(θ(Y (µ + ε))] pour tous ε>0etθ>0. (b) E déduire que P(Y µ ε) e (λ(θ) θ(µ+ε)) pour tous ε>0etθ>0, où λ(θ) = log E[e θy ]. (c) Motrer que Var(Y ) /4.

4 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud (d) E calculat les deux premières dérivées de λ, motrer que λ(θ) θµ + θ /8 pour tout θ>0. (e) E déduire que P(Y µ ε) exp( ε ) pour tout ε>0. (f) Motrer qu o a aussi P(Y µ ε) exp( ε ) pour tout ε>0.. E déduire l iégalité de Hoeffdig (). Exercice 6. Méthode de simulatio par iversio de la foctio de répartitio. Soit X ue variable aléatoire réelle de foctio de répartitio F. Soit U ue variable aléatoire de loi uiforme sur ]0, [. O pose pour u ]0, [, F (u) =if{x R F (x) u}.. Motrer que pour t R et u ]0, [, o a F (u) t F (t) u. E déduire la loi de Y = F (U).. Détermier la foctio F das les deux situatios suivates : (a) F est la foctio de répartitio de la loi expoetielle E(λ). (b) F est la foctio de répartitio de µ = i= p iδ ei où e <...<e et p,...,p > 0avec i= p i =. 3. Soit µ ue probabilité sur u esemble fii quelcoque E = {e,...,e }. Pour tout i {,...,}, posos q i = i j= µ({e j}). O suppose que l o dispose d ue foctio rad qui vérifie les deux propriétés suivates : (i) u appel à la foctio rad doe ue réalisatio d ue variable aléatoire de loi uiforme sur ]0, [. (ii) les appels successifs à la foctio rad fourisset ue réalisatio d ue suite de variables aléatoires idépedates de loi uiforme sur ]0, [. Motrer que l algorithme ci-dessous permet de simuler ue réalisatio d ue variable aléatoire de loi µ et détermier le ombre moye de comparaisos effectué par cet algorithme : u rad i Tat que u>q i i i + FiTatque X e i Commet uméroter les élémets de l esemble E pour miimiser le ombre moye de comparaisos? Exercice 7. Soit X ue variable aléatoire de loi expoetielle de paramètre λ> 0.. Détermier la loi de Y = X, la partie etière de X, puis la loi de sa partie fractioaire Z = X X.. Ces variables aléatoires sot-elles idépedates? 3. Par quelle loi peut-o approcher la loi de Z lorsque λ est très petit?

5 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Feuille de TD o 3 Exercice. Soit X et X, pour N, des variables aléatoires défiies sur u même espace de probabilité (Ω, F, P). O pose φ(x) =x/(x+) pour tout x 0. Motrer que la suite (X ) N coverge e probabilité vers X si et seulemet si E[φ( X X )] ted vers 0 lorsque ted vers +. Exercice. Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles possédat des variaces fiies. O pose S = X + + X. O dit que la suite (X ) satisfait à la loi faible des grads ombres si pour tout ε > 0, lim P( S E[S] ε) = 0. Motrer que la suite (X ) vérifie la loi faible des grads ombres si :. la suite (Var(X )) est borée et pour tout, X déped de X et de X +, mais est idépedate des autres X k ;. pour tous i et k, Cov(X k+i,x i )=Cov(X k+,x )etdepluslim Cov(X,X ) = 0. Exercice 3. Théorème de Weierstrass. Soit f ue foctio cotiue sur [0, ]. Soit (X (x) i de Beroulli idépedates de paramètre x [0, ]. O pose S (x). Motrer que (P ) coverge uiformémet vers f. = i= X(x) i et P (x) =E[f( S(x) )]. ) i ue suite de variables. Expliciter la foctio P. E déduire que toute foctio cotiue sur u itervalle boré peut être approchée uiformémet par des polyômes. Exercice 4. Soit φ : R R + ue applicatio d itégrale fiie o ulle. Notos D φ = {(x, y) R 0 <y<φ(x)}.. Soit Z =(X, Y ) u vecteur aléatoire de loi uiforme sur D φ. Détermier la loi de X.. Trouver des foctios φ pour lesquelles X et Y sot idépedates et des foctios φ pour lesquelles X et Y e sot pas idépedates. 3. Soit W ue variable aléatoire dot la loi a pour desité f = par rapport à la mesure de Lebesgue sur φ(u)du R R. Soit U ue variable aléatoire de loi uiforme sur ]0, [ idépedate de W. Détermier la loi de (W, Uφ(W )). Exercice 5. Méthode de simulatio par acceptatio-rejet. Soit µ ue loi de probabilité sur u espace mesurable (E,E) etd E tel que µ(d) > 0. Soit (X i ) i N u échatillo (c est-à-dire ue suite de variables aléatoires i.i.d.) de loi µ. Notos T D =if{i N, X i D}.. Motrer que X TD est ue variable aléatoire de loi µ D ( ) = µ( D) µ(d) idépedate de T D.. Quelle est la loi de T D? Quelle est l espérace de T D? 3. Détermier la loi de X TD si µ est la loi uiforme sur u esemble A E coteat D. 4. Soit Y ue variable aléatoire preat ses valeurs das u itervalle compact [a, b] et admettat ue desité h borée par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. E utilisat les résultats de l exercice 4 et ce qui précède, doer ue méthode pour simuler ue réalisatio de la variable aléatoire Y. Exercice 6. Soit W ue variable aléatoire de loi expoetielle de paramètre / et V ue variable aléatoire idépedate de W de loi uiforme sur l itervalle ]0, π[. O pose X = W cos(v )ety = W si(v ).. Détermier la loi de cos(v ).. Détermier la loi du couple (X, Y ). 3. Quelles sot les lois des margiales X et Y? Les variables aléatoires X et Y sot-elles idépedates? 4. Détermier la loi de X/Y Exercice 7. O appelle loi Gamma de paramètres a>0etb>0 (otée Γ(a, b)) la loi dot la desité est doée par la foctio : + x ba γ(a) xa exp( bx) {x 0} où γ(a) = t a exp( t)dt.. Vérifier qu il s agit bie d ue desité de probabilité. Détermier l espérace et la variace de cette loi.. Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates de loi Γ(a, λ) et Γ(b, λ). O pose U = X + Y et V = X X+Y. Détermier la loi du couple (U, V ) aisi que les lois de U et de V. Les variables U et V sot-elles idépedates? 3. Détermier l espérace et la variace de V. φ 0

6 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Exercice 8. Soit f : R R défiie par f(x, y) = où ρ est ue costate vérifiat <ρ<.. Motrer que f est ue desité. ρ Soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires qui a pour desité f. π exp (x ρxy + y ).. Détermier la loi de chacue des variables aléatoires X et Y et doer leurs moyees et variaces. 3. Détermier la covariace etre X et Y. 4. Les variables aléatoires X et Y sot-elles idépedates? Exercice 9.. U poste de radio foctioe avec ue pile de 3V. O ote T la durée (e heures) de foctioemet d ue telle pile de marque M. O suppose que T suit ue loi expoetielle de paramètre λ>0. Le poste de radio est mis e marche avec ue pile euve à l istat 0. Lorsque le poste est e pae, o remplace la pile par ue pile de la même marque. O ote S la durée de foctioemet du poste de radio si o dispose de piles. (a) Quelle est la loi de S (o explicitera les hypothèses faites)? (b) Soit t>0. O ote N t le ombre de piles utilisées pedat les t premières heures de foctioemet de la radio. Détermier la loi de N t.. O cosidère maiteat u poste de radio qui foctioe avec piles de, 5V. O suppose que la loi de la durée de foctioemet des piles de, 5V de marque M est la loi expoetielle de paramètre a>0. Quelle la loi de la durée de foctioemet de ce poste de radio si o dispose de deux piles?

7 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Feuille de TD o 4 Exercice. Motrer que la loi N (0,σ ) coverge étroitemet vers δ 0 lorsque σ 0. Exercice. Soit (X ) 0 ue suite de variables aléatoires réelles. Motrer que (X ) 0 coverge e loi vers ue costate a si et seulemet si (X ) 0 coverge e probabilité vers a. Exercice 3. Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles idépedates de loi expoetielle de paramètre. Pour tout etier, soit M = max{x,...,x } et Z = l() M.. Motrer que (Z ) coverge e probabilité vers.. Motrer que (M l()) coverge e loi lorsque vers ue loi que l o détermiera. Exercice 4. Pour tout N, o ote X ue variable aléatoire réelle ayat ue desité f par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. O suppose que la suite (f ) coverge vers ue desité f e presque tout poit.. Motrer que R f (x) f(x) dx 0. Idicatio : O pourra utiliser la décompositio a b = a+b mi(a, b).. Motrer que (X ) coverge e loi vers la loi de desité f. 3. Soit µ ue loi de desité f (x) =( cos(πx)) {x [0,]} par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. La suite (µ ) coverge-t-elle étroitemet? Soit x ]0, [, la suite (f (x)) coverge-t-elle? Exercice 5. Soit X ue variable aléatoire de loi de Laplace de paramètre, c est-à-dire ayat pour desité x e x / par rapport à la mesure de Lebesgue sur R.. Motrer que X a pour foctio caractéristique t +t.. Soit Y ue variable aléatoire de loi de Cauchy de desité x π(+x ) par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. Déduire de la questio précédete que Y a pour foctio caractéristique t e t. 3. Soit Z ue variable aléatoire idépedate de Y et de même loi. Pour a>0etb>0 détermier la loi de ay +bz. 4. Soit Y,...,Y ue suite de variables aléatoires idépedates et de même loi que Y. Quelle est la loi de i= Y i? Pourquoi ce résultat e cotredit-il pas la loi des grads ombres? Exercice 6. Soit (X ) et (Y ) deux suites de variables aléatoires qui coverget e loi respectivemet vers µ et ν. O suppose que pour tout, les variables X et Y sot idépedates. Motrer que la suite des couples (X,Y ) coverge e loi. Exprimer la loi limite e foctio de µ et ν. Exercice 7. Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles i.i.d. de carré itégrable. O pose X = i= X i. Que peut-o dire de la limite de (X m) sim est ue costate différete de E[X ]? Exercice 8. Soit X a ue variable aléatoire de loi de Poisso P(a).. Détermier la foctio caractéristique de X a.. Motrer que Z a = a (X a a) coverge e loi vers la loi N (0, ) lorsque a. 3. Motrer que la suite (E[Z ]) coverge. 4. Calculer E[Z ] pour N. 5. Retrouver à partir des questios précédetes la formule de Stirlig.

8 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Feuille de TD o 5 Exercice. Soit ρ [, ]. Soit Z =(X, Y ) u vecteur aléatoire gaussie d espérace 0 et de matrice de covariace ρ Γ=. Détermier la loi du vecteur W =(X + Y,X Y ) et les lois des margiales X + Y et X Y. ρ a b Exercice. Soit Γ = ue matrice réelle. c d. À quelles coditios sur a, b, c et d, la matrice Γ est-elle la matrice de covariace d u vecteur aléatoire gaussie?. O suppose que la matrice Γ est la matrice de covariace d u vecteur aléatoire gaussie. Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates de loi N (0, ). (a) Costruire à l aide de X et Y u vecteur aléatoire gaussie Z de matrice de covariace Γ. (b) À quelles coditios sur a, b, c et d, levecteurz admet-il ue desité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R? (c) A quelles coditios sur a, b, c et d, les margiales de Z sot-elles idépedates? Exercice 3. Ue molécule formée d ue logue chaîe plae d atomes idetiques est modélisée de la faço suivate. Les atomes sot positioés e des poits A,...,A d u même pla ; deux atomes cosécutifs positioés e A i et A i+ sot à ue distace et la directio du vecteur A i A i+ est ue variable aléatoire de loi uiforme sur l esemble des directios possibles du pla et idépedate des directios des autres vecteurs A j A j+.. Quelle est la loi approchée du vecteur A A?. E déduire la loi approchée du carré de la distace etre le premier atome et le derier atome de la chaîe. Exercice 4. O suppose que le sigal reçu par u radar est X = θs + où est ue variable de loi N (0,σ ), S>0 et où θ = si u objet volat a été détecté das la zoe couverte par le radar et θ = 0 si aucu objet a été détecté. Costruire u test pour décider si u objet volat est das la zoe couverte par le radar au vu d ue observatio de X de sorte que la probabilité de fausse alarme soit de 0 6. O doera aussi la puissace de ce test e foctio de S et de σ. Exercice 5. O dispose de deux traitemets médicaux A et B. O a obteu 60 guérisos sur 00 cas pour le traitemet A et 70 guérisos sur 00 cas pour le traitemet B. O aimerait tester s il y a ue différece de résultats etre les deux traitemets. Notos p A (resp. p B ) la probabilité qu u patiet suivat le traitemet A (resp. B) guérisse et otos S,A (resp. S,B ) le ombre d idividus guéris sur idividus qui suivet le traitemet A (resp. B). O effectue u test de l hypothèse H 0 : p A = p B cotre H : p A = p B au iveau 5%.. Par quelle loi peut-o approcher la loi de (S,A S,B ) sous l hypothèse H 0 lorsque est grad?. O pose U = (S,A + S,B ). Que peut-o dire de la loi de U lorsque ted vers +? 3. O choisit comme zoe de rejet de H 0 ue zoe de la forme : R = { S,A S,B q U ( U )} Commet choisir le réel q pour que P H0 (R )tedevers0.05 lorsque ted vers +? 4. Que peut-o dire de la puissace de ce test e ue valeur de p B p A = 0 fixée lorsque ted vers +? 5. Appliquer ce test aux doées. Exercice 6.. Costruire u test d ajustemet du χ à la loi p 0 δ x0 + p δ x où x 0 et x sot deux valeurs distictes, p 0 et p sot deux réels positifs de somme.. Applicatio : Le bureau de la statistique du gouveremet du Quebec a déombré ouveau-és das la provice e 986. De ce ombre, 430 étaiet des garços et 4359 des filles. Tester si la probabilité d avoir u garço est la même que la probabilité d avoir ue fille. 3. Doer u itervalle de cofiace pour la probabilité d avoir ue fille de iveau de cofiace asymptotique 95%.

9 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Exercice 7. Le couvert végétal du domaie vital d u éla d Amérique se composait de peuplemets feuillus (5, 8% de la superficie du domaie vital), de peuplemets mixtes (38% de la superficie), de peuplemets résieux (5, 8% de la superficie) et d u marécage (0, 4% de la superficie). Das ce domaie, l éla fut localisé à 5 reprises au cours de l aée. Sur 5 localisatios, 8 se situaiet das les feuillus, 0 das les peuplemets mixtes, 0 das les résieux et 8 das le marécage. L éla fréquete-t-il idifféremmet les quatre types de végétatio de so domaie vital? Exercice 8. O suppose que la durée de vie des piles d ue fabrique doée suit ue loi expoetielle de paramètre θ>0 icou. O dispose de ampoules euves proveat de cette fabrique. O ote τ,...,τ les durées de vie respectives de ces ampoules et o les supposera idépedates. O ote T = i= τ i.. Détermier la loi de T.. Motrer que ( T ) coverge e probabilité vers θ. 3. Motrer que ( θt ) coverge e loi vers ue loi que l o détermiera. 4. E déduire u itervalle de cofiace asymptotique de iveau de cofiace 95% pour θ à l aide de T. 5. Ue etreprise a acheté u lot de 0 piles idetiques ; le fabriquat garatit ue durée de foctioemet moye de 0 heures pour ces piles. Si la durée de foctioemet moyee de ce lot est de 9 h 30, peut-o avec u risque de se tromper iférieur à 5 % remettre e cause l affirmatio du fabriquat? 6. Dès que la pile de la pedule du hall d ue gare tombe e pae, elle est remplacée par ue pile de la même marque. Soit t>0. O ote N t le ombre de remplacemets effectués pedat les t premières heures. Détermier la loi de N t.

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