L3 MFA, Probabilités, Université Paris-Sud 11. Feuille de TD n o 1
|
|
- Gilles Rochette
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Exercice.. Jea, Luc et Marc lacet chacu u dé. Feuille de TD o (a) Doer u espace de probabilité (Ω, F, P) associé à cette expériece aléatoire. (b) Soiet i, j {,...,6} deux uméros différets. Calculer la probabilité qu avec les trois dés, ils obtieet : i. deux fois le uméro i et ue fois le uméro j ; ii. au mois deux uméros idetiques ; iii. 9 e additioat les trois uméros obteus.. Ue persoe lace trois dés idetiques. L espace de probabilité défii das la questio (a) coviet-il ecore pour décrire cette expériece aléatoire? 3. Jea pred au hasard u jeto das u sac qui cotiet jetos umérotés de à, puis passe le sac avec les jetos restats à Luc qui e pred u à so tour et le doe esuite à Marc pour qu il e choisisse u à so tour. (a) Muir l espace (Ω = {,...,} 3, P(Ω)) d ue probabilité P qui red compte de cette expériece. (b) Soit k {,...,}. Quelle est la probabilité que Marc tire le uméro k? (c) Quelle est la probabilité que Marc obtiee u uméro supérieur à ceux de Jea et de Luc? Exercice. Paradoxe des aiversaires.. Quelle est la probabilité que parmi r persoes, au mois deux persoes aiet leur aiversaire le même jour? O commecera par doer u espace de probabilité (Ω, F, P) associé à cette expériece aléatoire.. Pour quelles valeurs de r cette probabilité dépasse-t-elle /? Exercice 3. Soit u etier. O suppose que livres sot posés au hasard côte à côte sur ue étagère et que, parmi ces livres, il y e a k {,...,} qui sot de l auteur M.. Proposer u codage de la dispositio des livres de l auteur M sur cette étagère qui utilise que des 0 et des.. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l auteur M soiet côte à côte? 3. Soit r k. Avec quelle probabilité tous les livres de l auteur M sot-ils das les r premiers livres de l étagère? 4. Soit {k,..., }. Quelle est la probabilité qu il y ait livres etre le livre de l auteur M qui se trouve le plus à gauche sur l étagère et celui qui se trouve le plus à droite sur l étagère? Si k =, combie de livres est-il le plus probable de trouver etre les deux livres de l auteur M sur l étagère? Exercice 4. Soit u etier. O suppose que toutes les répartitios des sexes des efats d ue famille à efats sot équiprobables. Les deux évéemets suivats sot-il idépedats : M : la famille de efats a des efats des deux sexes ; F : la famille de efats a au plus ue fille? Exercice 5. Soit N. O choisit au hasard u des etiers,,...,. Pour k {,...,}, o ote A k l évéemet le ombre choisi est divisible par k.. Calculer la probabilité de l évéemet A k lorsque k divise.. Soit p,...,p des ombres premiers disticts qui diviset. Les évéemets A p,...,a p formet-ils ue famille d évéemets idépedats? Exercice 6. U couple a deux efats. Das la coversatio, o appred qu au mois u des efats est u garço. Quelle est la probabilité que le couple ait deux garços? Exercice 7. U juge iterroge séparémet deux témois qui e se coaisset pas afi de savoir si u évéemet a eu lieu. O supposera que chaque témoi a ue probabilité p d affirmer que l évéemet a eu lieu alors que cet évéemet a pas eu lieu ; chaque témoi a ue probabilité q d affirmer que l évéemet a pas eu lieu alors que cet évéemet a eu lieu. O ote a la probabilité que cet évéemet ait lieu et o suppose que a, p, q ]0, [.. Doer u espace de probabilité (Ω, F, P) associé à cette expériece aléatoire.. Calculer la probabilité que l affirmatio du premier témoi soit fausse. Les évéemets l affirmatio du premier témoi est fausse et l affirmatio du deuxième témoi est fausse sot-ils idépedats? 3. Quelle est la probabilité que l évéemet ait eu lieu si les deux témois affirmet qu il a eu lieu? 4. Quelle est la probabilité que l évéemet ait eu lieu si au mois u des deux témois affirme qu il a eu lieu?
2 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Exercice 8. Formule du crible.. Soiet A,...,A des évéemets défiis sur l espace de probabilité (Ω, F, P). Motrer que P A i = ( ) k P(A i A ik ). i= k=. Soiet A,...,A des esembles fiis. E déduire que Card A i = ( ) k i= k= i < <i k i < <i k Card(A i A ik ). 3. Applicatio : Pour fêter la ouvelle aée, ue société demade à chacu de ses membres d apporter u cadeau. Tous les cadeaux sot mis esemble. Esuite, chaque cadeau est doé au hasard à l u des membres de la société, l idéal état, bie sûr, qu aucu membre e reçoive so propre cadeau. Soit le ombre de membres de la société. (a) Calculer la probabilité pour qu u membre de la société, choisi à l avace, reçoive so propre cadeau. (b) Calculer la probabilité p que la situatio idéale se réalise. Calculer alors lim p. (c) Calculer la probabilité p (k) pour que k persoes exactemet reçoivet leur propre cadeau. Par quelle valeur peut-o approcher p (k) lorsque est très grad? Exercice 9. O cosidère u système de r particules pouvat être das u des iveaux d éergie e,...,e.o défiit l espace des états du système comme l esemble des cofiguratios distiguables. O fait l hypothèse que chaque cofiguratio distiguable est équiprobable. O cosidère les trois cas suivats : (i) Statistique de Maxwell-Boltzma. Les r particules sot localisées et doc distiguables. (ii) Statistique de Bose-Eistei. Les r particules sot idistiguables. (iii) Statistique de Fermi-Dirac. Les r particules sot idistiguables et il y a au plus ue particule par iveau d éergie (o suppose que r). Exemples de cofiguratios das le cas de 3 particules et deux états d éergie : les figures et représetet deux cofiguratios idetiques pour le modèle (i) et(ii). Les figures et 3 représetet des cofiguratios distiguables das le modèle (i) mais idistiguables das le modèle (ii). Aucue de ces cofiguratios e sot possibles das le modèle (iii). e e e e figure e figure e figure 3. Costruire l espace de probabilité correspodat à chacu des modèles (i), (ii), (iii).. L état macroscopique du système est détermié par les ombres r i de particules das l état d éergie e i.o modélise l espace des états macroscopiques par Ω ma = {(r,...,r ) N, t.q. r + + r = r}. Muir Ω ma de la probabilité aturelle das chacu des cas (i), (ii), (iii). Que peut-o dire das les cas (ii) et (iii)? 3. O ote p r, (k) la probabilité qu u iveau d éergie doé cotiee exactemet k particules. Calculer p r, (k) das chacu des trois cas (i), (ii) et (iii). 4. Pour chacu des trois modèles (i), (ii) et (iii), doer la limite p k de p r, (k) lorsque et r tedet vers l ifii et le ombre moye r/ de particules par iveau d éergie ted vers ue quatité fixée λ>0 (pour le cas (iii), o supposera que λ ). Vérifier que l o a toujours k=0 p k =. 5. Das le modèle (i) puis das le modèle (ii), détermier le ombre de cofiguratios distiguables dot au mois u iveau d éergie est vide. Remarque : L hypothèse que les particules sot distiguables est l hypothèse usuelle e mécaique classique, l hypothèse cotraire apparait e mécaique quatique : le modèle (ii) est par exemple utilisé avec les photos alors que le modèle (iii) est utilisé avec les électros, protos, eutros...
3 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Feuille de TD o Exercice. Jea et Luc lacet chacu ue pièce de moaie qui a ue probabilité p de tomber sur face jusqu à ce que chacu obtiee ue fois face. O ote X le ombre de pile obteus par Jea la première fois où sa pièce tombe sur face et Y le ombre de pile obteus par Luc la première fois où sa pièce tombe sur face. Détermier les lois de X et de Y.. Détermier la probabilité que Jea et Luc obtieet face après le même ombre de lacers. 3. Détermier les lois de X + Y et de mi(x, Y ). Exercice. O rappelle que toute foctio localemet borée f : R R vérifiat f(x + y) =f(x)+f(y) pour tous réels x et y est écessairemet de la forme f(x) =λx pour u certai réel λ.. Détermier la loi et l espérace d ue variable aléatoire X à valeurs das N qui vérifie (k, l) N P(X k) > 0 = P(X k + l X k) =P(X l).. Soit Y ue variable aléatoire strictemet positive qui vérifie (s, t) (R +) P(Y s) > 0 = P(Y s + t Y s) =P(Y t). () Détermier la loi de Y et so espérace. Que sigifie () si Y modélise la durée de foctioemet d ue machie? 3. Motrer que P(Y s + ε Y > s)/ε coverge lorsque ε 0 vers ue limite que l o détermiera. Exercice 3. Jea, Luc et Marc etret simultaémet das u bureau de poste qui dispose de deux guichets. Jea et Luc utiliset les deux guichets qui sot libres au momet de leur arrivée et Marc atted so tour. O ote X, Y et Z les variables aléatoires doat le temps que met u guichetier pour traiter les demades de Jea, Luc et Marc respectivemet. O suppose que ce sot des variables idépedates et de loi expoetielle de paramètre a>0.. Quelle est la probabilité pour que Marc e quitte pas la poste le derier?. Détermier la loi du temps T passé par Marc à la poste aisi que so espérace. 3. Détermier la loi du temps W écessaire pour que les trois persoes soiet servies. Exercice 4. Soit X ue variable aléatoire réelle défiie sur l espace (Ω, A, P). O dit que m est ue médiae pour X si P(X <m) / P(X m).. Pour x <...<x, détermier les médiaes de la loi uiforme sur l esemble {x,...,x }. Supposos que X admette u momet d ordre fii.. Motrer que si m est ue médiae pour X alors E[ X a ] E[ X m ] pour tout a R. 3. Motrer que si m et m sot deux médiaes pour X alors E[ X m ]=E[ X m ]. Supposos que X admette u momet d ordre fii. 4. Motrer que E[(X a) ] Var(X) pour tout a R. 5. Motrer que E[ X m ] σ(x) où σ(x) désige l écart-type de X. Exercice 5. Iégalité de Hoeffdig. Soit X ue variable aléatoire réelle telle que a X b, pour deux réels a et b, et soit (X,...,X )u-échatillo de variables aléatoires de même loi que X. L objectif de l exercice est d établir l iégalité de Hoeffdig suivate : ε >0 P X i E(X) ε i= exp ε (b a). (). Soit Y ue variable aléatoire telle que 0 Y et(y,...,y )u-échatillo de variables aléatoires de même loi que Y. Notos µ = E[Y ]ety =(Y Y )/. (a) Motrer que P(Y µ ε) E[exp(θ(Y (µ + ε))] pour tous ε>0etθ>0. (b) E déduire que P(Y µ ε) e (λ(θ) θ(µ+ε)) pour tous ε>0etθ>0, où λ(θ) = log E[e θy ]. (c) Motrer que Var(Y ) /4.
4 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud (d) E calculat les deux premières dérivées de λ, motrer que λ(θ) θµ + θ /8 pour tout θ>0. (e) E déduire que P(Y µ ε) exp( ε ) pour tout ε>0. (f) Motrer qu o a aussi P(Y µ ε) exp( ε ) pour tout ε>0.. E déduire l iégalité de Hoeffdig (). Exercice 6. Méthode de simulatio par iversio de la foctio de répartitio. Soit X ue variable aléatoire réelle de foctio de répartitio F. Soit U ue variable aléatoire de loi uiforme sur ]0, [. O pose pour u ]0, [, F (u) =if{x R F (x) u}.. Motrer que pour t R et u ]0, [, o a F (u) t F (t) u. E déduire la loi de Y = F (U).. Détermier la foctio F das les deux situatios suivates : (a) F est la foctio de répartitio de la loi expoetielle E(λ). (b) F est la foctio de répartitio de µ = i= p iδ ei où e <...<e et p,...,p > 0avec i= p i =. 3. Soit µ ue probabilité sur u esemble fii quelcoque E = {e,...,e }. Pour tout i {,...,}, posos q i = i j= µ({e j}). O suppose que l o dispose d ue foctio rad qui vérifie les deux propriétés suivates : (i) u appel à la foctio rad doe ue réalisatio d ue variable aléatoire de loi uiforme sur ]0, [. (ii) les appels successifs à la foctio rad fourisset ue réalisatio d ue suite de variables aléatoires idépedates de loi uiforme sur ]0, [. Motrer que l algorithme ci-dessous permet de simuler ue réalisatio d ue variable aléatoire de loi µ et détermier le ombre moye de comparaisos effectué par cet algorithme : u rad i Tat que u>q i i i + FiTatque X e i Commet uméroter les élémets de l esemble E pour miimiser le ombre moye de comparaisos? Exercice 7. Soit X ue variable aléatoire de loi expoetielle de paramètre λ> 0.. Détermier la loi de Y = X, la partie etière de X, puis la loi de sa partie fractioaire Z = X X.. Ces variables aléatoires sot-elles idépedates? 3. Par quelle loi peut-o approcher la loi de Z lorsque λ est très petit?
5 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Feuille de TD o 3 Exercice. Soit X et X, pour N, des variables aléatoires défiies sur u même espace de probabilité (Ω, F, P). O pose φ(x) =x/(x+) pour tout x 0. Motrer que la suite (X ) N coverge e probabilité vers X si et seulemet si E[φ( X X )] ted vers 0 lorsque ted vers +. Exercice. Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles possédat des variaces fiies. O pose S = X + + X. O dit que la suite (X ) satisfait à la loi faible des grads ombres si pour tout ε > 0, lim P( S E[S] ε) = 0. Motrer que la suite (X ) vérifie la loi faible des grads ombres si :. la suite (Var(X )) est borée et pour tout, X déped de X et de X +, mais est idépedate des autres X k ;. pour tous i et k, Cov(X k+i,x i )=Cov(X k+,x )etdepluslim Cov(X,X ) = 0. Exercice 3. Théorème de Weierstrass. Soit f ue foctio cotiue sur [0, ]. Soit (X (x) i de Beroulli idépedates de paramètre x [0, ]. O pose S (x). Motrer que (P ) coverge uiformémet vers f. = i= X(x) i et P (x) =E[f( S(x) )]. ) i ue suite de variables. Expliciter la foctio P. E déduire que toute foctio cotiue sur u itervalle boré peut être approchée uiformémet par des polyômes. Exercice 4. Soit φ : R R + ue applicatio d itégrale fiie o ulle. Notos D φ = {(x, y) R 0 <y<φ(x)}.. Soit Z =(X, Y ) u vecteur aléatoire de loi uiforme sur D φ. Détermier la loi de X.. Trouver des foctios φ pour lesquelles X et Y sot idépedates et des foctios φ pour lesquelles X et Y e sot pas idépedates. 3. Soit W ue variable aléatoire dot la loi a pour desité f = par rapport à la mesure de Lebesgue sur φ(u)du R R. Soit U ue variable aléatoire de loi uiforme sur ]0, [ idépedate de W. Détermier la loi de (W, Uφ(W )). Exercice 5. Méthode de simulatio par acceptatio-rejet. Soit µ ue loi de probabilité sur u espace mesurable (E,E) etd E tel que µ(d) > 0. Soit (X i ) i N u échatillo (c est-à-dire ue suite de variables aléatoires i.i.d.) de loi µ. Notos T D =if{i N, X i D}.. Motrer que X TD est ue variable aléatoire de loi µ D ( ) = µ( D) µ(d) idépedate de T D.. Quelle est la loi de T D? Quelle est l espérace de T D? 3. Détermier la loi de X TD si µ est la loi uiforme sur u esemble A E coteat D. 4. Soit Y ue variable aléatoire preat ses valeurs das u itervalle compact [a, b] et admettat ue desité h borée par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. E utilisat les résultats de l exercice 4 et ce qui précède, doer ue méthode pour simuler ue réalisatio de la variable aléatoire Y. Exercice 6. Soit W ue variable aléatoire de loi expoetielle de paramètre / et V ue variable aléatoire idépedate de W de loi uiforme sur l itervalle ]0, π[. O pose X = W cos(v )ety = W si(v ).. Détermier la loi de cos(v ).. Détermier la loi du couple (X, Y ). 3. Quelles sot les lois des margiales X et Y? Les variables aléatoires X et Y sot-elles idépedates? 4. Détermier la loi de X/Y Exercice 7. O appelle loi Gamma de paramètres a>0etb>0 (otée Γ(a, b)) la loi dot la desité est doée par la foctio : + x ba γ(a) xa exp( bx) {x 0} où γ(a) = t a exp( t)dt.. Vérifier qu il s agit bie d ue desité de probabilité. Détermier l espérace et la variace de cette loi.. Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates de loi Γ(a, λ) et Γ(b, λ). O pose U = X + Y et V = X X+Y. Détermier la loi du couple (U, V ) aisi que les lois de U et de V. Les variables U et V sot-elles idépedates? 3. Détermier l espérace et la variace de V. φ 0
6 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Exercice 8. Soit f : R R défiie par f(x, y) = où ρ est ue costate vérifiat <ρ<.. Motrer que f est ue desité. ρ Soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires qui a pour desité f. π exp (x ρxy + y ).. Détermier la loi de chacue des variables aléatoires X et Y et doer leurs moyees et variaces. 3. Détermier la covariace etre X et Y. 4. Les variables aléatoires X et Y sot-elles idépedates? Exercice 9.. U poste de radio foctioe avec ue pile de 3V. O ote T la durée (e heures) de foctioemet d ue telle pile de marque M. O suppose que T suit ue loi expoetielle de paramètre λ>0. Le poste de radio est mis e marche avec ue pile euve à l istat 0. Lorsque le poste est e pae, o remplace la pile par ue pile de la même marque. O ote S la durée de foctioemet du poste de radio si o dispose de piles. (a) Quelle est la loi de S (o explicitera les hypothèses faites)? (b) Soit t>0. O ote N t le ombre de piles utilisées pedat les t premières heures de foctioemet de la radio. Détermier la loi de N t.. O cosidère maiteat u poste de radio qui foctioe avec piles de, 5V. O suppose que la loi de la durée de foctioemet des piles de, 5V de marque M est la loi expoetielle de paramètre a>0. Quelle la loi de la durée de foctioemet de ce poste de radio si o dispose de deux piles?
7 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Feuille de TD o 4 Exercice. Motrer que la loi N (0,σ ) coverge étroitemet vers δ 0 lorsque σ 0. Exercice. Soit (X ) 0 ue suite de variables aléatoires réelles. Motrer que (X ) 0 coverge e loi vers ue costate a si et seulemet si (X ) 0 coverge e probabilité vers a. Exercice 3. Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles idépedates de loi expoetielle de paramètre. Pour tout etier, soit M = max{x,...,x } et Z = l() M.. Motrer que (Z ) coverge e probabilité vers.. Motrer que (M l()) coverge e loi lorsque vers ue loi que l o détermiera. Exercice 4. Pour tout N, o ote X ue variable aléatoire réelle ayat ue desité f par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. O suppose que la suite (f ) coverge vers ue desité f e presque tout poit.. Motrer que R f (x) f(x) dx 0. Idicatio : O pourra utiliser la décompositio a b = a+b mi(a, b).. Motrer que (X ) coverge e loi vers la loi de desité f. 3. Soit µ ue loi de desité f (x) =( cos(πx)) {x [0,]} par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. La suite (µ ) coverge-t-elle étroitemet? Soit x ]0, [, la suite (f (x)) coverge-t-elle? Exercice 5. Soit X ue variable aléatoire de loi de Laplace de paramètre, c est-à-dire ayat pour desité x e x / par rapport à la mesure de Lebesgue sur R.. Motrer que X a pour foctio caractéristique t +t.. Soit Y ue variable aléatoire de loi de Cauchy de desité x π(+x ) par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. Déduire de la questio précédete que Y a pour foctio caractéristique t e t. 3. Soit Z ue variable aléatoire idépedate de Y et de même loi. Pour a>0etb>0 détermier la loi de ay +bz. 4. Soit Y,...,Y ue suite de variables aléatoires idépedates et de même loi que Y. Quelle est la loi de i= Y i? Pourquoi ce résultat e cotredit-il pas la loi des grads ombres? Exercice 6. Soit (X ) et (Y ) deux suites de variables aléatoires qui coverget e loi respectivemet vers µ et ν. O suppose que pour tout, les variables X et Y sot idépedates. Motrer que la suite des couples (X,Y ) coverge e loi. Exprimer la loi limite e foctio de µ et ν. Exercice 7. Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles i.i.d. de carré itégrable. O pose X = i= X i. Que peut-o dire de la limite de (X m) sim est ue costate différete de E[X ]? Exercice 8. Soit X a ue variable aléatoire de loi de Poisso P(a).. Détermier la foctio caractéristique de X a.. Motrer que Z a = a (X a a) coverge e loi vers la loi N (0, ) lorsque a. 3. Motrer que la suite (E[Z ]) coverge. 4. Calculer E[Z ] pour N. 5. Retrouver à partir des questios précédetes la formule de Stirlig.
8 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Feuille de TD o 5 Exercice. Soit ρ [, ]. Soit Z =(X, Y ) u vecteur aléatoire gaussie d espérace 0 et de matrice de covariace ρ Γ=. Détermier la loi du vecteur W =(X + Y,X Y ) et les lois des margiales X + Y et X Y. ρ a b Exercice. Soit Γ = ue matrice réelle. c d. À quelles coditios sur a, b, c et d, la matrice Γ est-elle la matrice de covariace d u vecteur aléatoire gaussie?. O suppose que la matrice Γ est la matrice de covariace d u vecteur aléatoire gaussie. Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates de loi N (0, ). (a) Costruire à l aide de X et Y u vecteur aléatoire gaussie Z de matrice de covariace Γ. (b) À quelles coditios sur a, b, c et d, levecteurz admet-il ue desité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R? (c) A quelles coditios sur a, b, c et d, les margiales de Z sot-elles idépedates? Exercice 3. Ue molécule formée d ue logue chaîe plae d atomes idetiques est modélisée de la faço suivate. Les atomes sot positioés e des poits A,...,A d u même pla ; deux atomes cosécutifs positioés e A i et A i+ sot à ue distace et la directio du vecteur A i A i+ est ue variable aléatoire de loi uiforme sur l esemble des directios possibles du pla et idépedate des directios des autres vecteurs A j A j+.. Quelle est la loi approchée du vecteur A A?. E déduire la loi approchée du carré de la distace etre le premier atome et le derier atome de la chaîe. Exercice 4. O suppose que le sigal reçu par u radar est X = θs + où est ue variable de loi N (0,σ ), S>0 et où θ = si u objet volat a été détecté das la zoe couverte par le radar et θ = 0 si aucu objet a été détecté. Costruire u test pour décider si u objet volat est das la zoe couverte par le radar au vu d ue observatio de X de sorte que la probabilité de fausse alarme soit de 0 6. O doera aussi la puissace de ce test e foctio de S et de σ. Exercice 5. O dispose de deux traitemets médicaux A et B. O a obteu 60 guérisos sur 00 cas pour le traitemet A et 70 guérisos sur 00 cas pour le traitemet B. O aimerait tester s il y a ue différece de résultats etre les deux traitemets. Notos p A (resp. p B ) la probabilité qu u patiet suivat le traitemet A (resp. B) guérisse et otos S,A (resp. S,B ) le ombre d idividus guéris sur idividus qui suivet le traitemet A (resp. B). O effectue u test de l hypothèse H 0 : p A = p B cotre H : p A = p B au iveau 5%.. Par quelle loi peut-o approcher la loi de (S,A S,B ) sous l hypothèse H 0 lorsque est grad?. O pose U = (S,A + S,B ). Que peut-o dire de la loi de U lorsque ted vers +? 3. O choisit comme zoe de rejet de H 0 ue zoe de la forme : R = { S,A S,B q U ( U )} Commet choisir le réel q pour que P H0 (R )tedevers0.05 lorsque ted vers +? 4. Que peut-o dire de la puissace de ce test e ue valeur de p B p A = 0 fixée lorsque ted vers +? 5. Appliquer ce test aux doées. Exercice 6.. Costruire u test d ajustemet du χ à la loi p 0 δ x0 + p δ x où x 0 et x sot deux valeurs distictes, p 0 et p sot deux réels positifs de somme.. Applicatio : Le bureau de la statistique du gouveremet du Quebec a déombré ouveau-és das la provice e 986. De ce ombre, 430 étaiet des garços et 4359 des filles. Tester si la probabilité d avoir u garço est la même que la probabilité d avoir ue fille. 3. Doer u itervalle de cofiace pour la probabilité d avoir ue fille de iveau de cofiace asymptotique 95%.
9 L3 MFA, Probabilités, 00-0 Uiversité Paris-Sud Exercice 7. Le couvert végétal du domaie vital d u éla d Amérique se composait de peuplemets feuillus (5, 8% de la superficie du domaie vital), de peuplemets mixtes (38% de la superficie), de peuplemets résieux (5, 8% de la superficie) et d u marécage (0, 4% de la superficie). Das ce domaie, l éla fut localisé à 5 reprises au cours de l aée. Sur 5 localisatios, 8 se situaiet das les feuillus, 0 das les peuplemets mixtes, 0 das les résieux et 8 das le marécage. L éla fréquete-t-il idifféremmet les quatre types de végétatio de so domaie vital? Exercice 8. O suppose que la durée de vie des piles d ue fabrique doée suit ue loi expoetielle de paramètre θ>0 icou. O dispose de ampoules euves proveat de cette fabrique. O ote τ,...,τ les durées de vie respectives de ces ampoules et o les supposera idépedates. O ote T = i= τ i.. Détermier la loi de T.. Motrer que ( T ) coverge e probabilité vers θ. 3. Motrer que ( θt ) coverge e loi vers ue loi que l o détermiera. 4. E déduire u itervalle de cofiace asymptotique de iveau de cofiace 95% pour θ à l aide de T. 5. Ue etreprise a acheté u lot de 0 piles idetiques ; le fabriquat garatit ue durée de foctioemet moye de 0 heures pour ces piles. Si la durée de foctioemet moyee de ce lot est de 9 h 30, peut-o avec u risque de se tromper iférieur à 5 % remettre e cause l affirmatio du fabriquat? 6. Dès que la pile de la pedule du hall d ue gare tombe e pae, elle est remplacée par ue pile de la même marque. Soit t>0. O ote N t le ombre de remplacemets effectués pedat les t premières heures. Détermier la loi de N t.
Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailUV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1
UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailChapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.
Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE 2 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Pla de sodage 2.2.2 Probabilités d iclusio 2.3 SONDAGE
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailStatistique Numérique et Analyse des Données
Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailPrincipes et Méthodes Statistiques
Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détailÉchantillonnage et estimation
Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page Échatilloage et estimatio Partie C : Capacités et exercices-types. Rappelos
Plus en détailStatistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1
Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailUniversité Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME
Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailUNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce
UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailEtude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT?
Etude Spéciale o. 7 Javier 2003 SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? MARK SCHNEIDER Le CGAP vous ivite à lui faire part de vos commetaires, de vos rapports et de toute demade d evoid autres
Plus en détailUniversité Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014
Uiversité Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Resposables : F. Carrat et A. Mallet Auteurs : F. Carrat, A. Mallet, V. Morice Mise à jour : 21 octobre 2013 Relecture : V. Morice,
Plus en détailPOLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT
POLTQU ONOMQU T DVLOPPMNT TRUTUR DU MAR NATONAL DU AF-AAO T PR AU PRODUTUR MALAN Beïla Beoit osultat PD N 06/008 ellule d Aalyse de Politiques coomiques du R Aée de pulicatio : Avril 009 Résumé e papier
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailComment les Canadiens classent-ils leur système de soins de santé?
Novembre Les sois de saté au Caada, c est capital bulleti o 4 Commet les Caadies classet-ils leur système de sois de saté? Résultats du sodage iteratioal du Fods du Commowealth sur les politiques de saté
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailExamen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot
Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars
Plus en détailInitiation à l analyse factorielle des correspondances
Fiche TD avec le logiciel : tdr620b Iitiatio à l aalyse factorielle des correspodaces A.B. Dufour & M. Royer & J.R. Lobry Das cette fiche, o étudie l Aalyse Factorielle des Correspodaces. Cette techique
Plus en détailLa fibre optique arrive chez vous Devenez acteur de la révolution numérique
2 e éditio Edité par l Autorité de régulatio des commuicatios électroiques et des postes RÉPUBLIQUE FRANÇAISE DÉCEMBRE 2010 La fibre optique arrive chez vous Deveez acteur de la révolutio umérique Petit
Plus en détailFormation d un ester à partir d un acide et d un alcool
CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester
Plus en détailMobile Business. Communiquez efficacement avec vos relations commerciales 09/2012
Mobile Busiess Commuiquez efficacemet avec vos relatios commerciales 9040412 09/2012 U choix capital pour mes affaires Pour gérer efficacemet ses affaires, il y a pas de secret : il faut savoir predre
Plus en détailPetit recueil d'énigmes
Petit recueil d'éigmes Patxi RITTER (*) facile (**) mois facile (***) pas facile (****) il faudra de l aide Solutios e rouge. 1) Cryptarithme (**) Trouvez la valeur de A, B et C satisfaisat l équatio suivate.
Plus en détailRESOLUTION DES FLOW SHOP STOCHASTIQUES PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES. DERBALA Ali *)
RESOLUTION DES FLOW SHOP STOCHASTIQUES PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES. DERBALA Ali *) *) Uiversité de Blida Faculté des scieces Départemet de Mathématiques. BP 270, Route de Soumaa. Blida, Algérie. Tel &
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détailINTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï
INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES par Djalil Chafaï Résumé. E cocevat les mathématiques comme u graphe, où chaque sommet est u domaie, la théorie des probabilités et l algèbre liéaire figuret parmi
Plus en détailRenseignements et monitoring. Renseignements commerciaux et de solvabilité sur les entreprises et les particuliers.
Reseigemets et moitorig. Reseigemets commerciaux et de solvabilité sur les etreprises et les particuliers. ENSEMBLE CONTRE LES PERTES. Reseigemets Creditreform. Pour plus de trasparece. Etreteir des rapports
Plus en détailLe chef d entreprise développe les services funéraires de l entreprise, en
Le chef d etreprise développe les services fuéraires de l etreprise, e assurat lui-même tout ou partie des activités de vete et e ecadrat directemet le persoel techique et commercial et d exploitatio.
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailSTRATÉGIE DE REMPLACEMENT DE LUTTE CONTRE LA PUNAISE TERNE DANS LES FRAISERAIES DE L ONTARIO
Des résultats du Programme de réductio des risques STRATÉGIE DE REMPLACEMENT DE LUTTE CONTRE LA PUNAISE TERNE DANS LES FRAISERAIES DE L ONTARIO 1. Cotexte La puaise tere Lygus lieolaris (figure 1) est
Plus en détailCréation et développement d une fonction audit interne*
Créatio et développemet d ue foctio audit itere* Ue démarche e 10 étapes [ Sommaire] Dix étapes pour réussir... 7 Étapes 1 à 4 Défiitio du cadre d itervetio... 9 1 Idetifier les attetes des parties preates...
Plus en détailUne action! Un message!
Ue actio! U message! Cotact Master est u service exclusif de relaces automatiques de vos actes vers vos cliets, par SMS, messages vocaux, e-mails, courrier... Il se décleche lorsque vous réalisez ue actio
Plus en détailTélé OPTIK. Plus spectaculaire que jamais.
Télé OPTIK Plus spectaculaire que jamais. Vivez toute la puissace de la télévisio sur IP grâce au réseau OPTIK 1 de TELUS et découvrez-e l extraordiaire potetiel. Télé OPTIK MC vous doe la parfaite maîtrise
Plus en détailLogiciel de synchronisation de flotte de baladeurs MP3 / MP4 ou tablettes Androïd
easylab Le logiciel de gestio de fichiers pour baladeurs et tablettes Visualisatio simplifiée de la flotte Gestio des baladeurs par idividus / classes / groupes / activités Activatio des foctios par simple
Plus en détailS-PENSION. Constituez-vous un capital retraite complémentaire pour demain tout en bénéficiant d avantages fiscaux dès aujourd hui.
S-PENSION Costituez-vous u capital retraite complémetaire pour demai tout e bééficiat d avatages fiscaux dès aujourd hui. Sommaire 1. Il est temps de predre l iitiative 4 2. Profitez dès aujourd hui des
Plus en détailContribution à la théorie des entiers friables
UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailGérer les applications
Gérer les applicatios E parcourat les rayos du Widows Phoe Store, vous serez e mesure de compléter les services de base de votre smartphoe à travers plus de 10 000 applicatios. Gratuites ou payates, ces
Plus en détailCompte Sélect Banque Manuvie Guide du débutant
GUIDE DU DÉBUTANT Compte Sélect Baque Mauvie Guide du débutat Besoi d aide? Preez quelques miutes pour lire attetivemet votre Guide du cliet. Le préset Guide du débutat vous facilitera l utilisatio de
Plus en détail3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions.
3 Réseau Le réseau costitue u aspect essetiel d u eviroemet virtuel ESX. Il est doc importat de compredre la techologie, y compris ses différets composats et leur coopératio. Das ce chapitre, ous étudios
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus
Plus en détailLe marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble.
II LE MARCHE DU CAFE 1 L attractivité La segmetatio selo le mode de productio Le marché du café peut être segmeté e foctio de deux modes de productio pricipaux : la torréfactio et la fabricatio de café
Plus en détailOne Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles en un seul pack
Uique! Exteded Fleet Appels illimités vers les uméros Mobistar et les liges fixes! Oe Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles e u seul pack Commuiquez et travaillez e toute liberté Mobistar offre
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires
Plus en détail