Le Modèle de taux de Ho-Lee - Pricing d obligation

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1 Le Modèle de taux de Ho-Lee - Pricing d obligation Le modèle de Thomas S. Y. Ho et Sang-bin Lee [1] est un modèle simple de fluctuation de taux d intérêts. Il est utilisé sous l hypothèse d absence d opportunité d arbitrage et sur la base d un modèle binomial. En ce sens il peut être vu comme l analogue du modèle de Cox-Ross-Rubinstein (modèle pour actions et leurs dérivés ) appliqué à l évaluation d actifs et d actifs dérivés sur taux d intérêts. [1] : Thomas S.Y. Ho and Sang B. Lee, Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims, Journal of Finance (1986). 1 Modèle à une période 1.1 Définitions On considère un marché financier en temps discret construit sur un espace probabilisé (Ω, F, P) dans lequel les flux ne sont échangés qu aux dates 1, 2,..., N où N est un entier strictement positif. Par la suite on munit (Ω, F) d une filtration (F k, k N) supposée complète et vérifiant F 0 = {Ω, φ}, F N = F. Definition 1.1. Un zéro coupon de maturité N et de nominal 1 est un produit financier qui paie à son acheteur un unique flux de 1 en N (dans la journée du N-ème jour). On note P k (N) son prix à la date k N. Question 1.2. Que vaut P N (N)? Remarque 1.3. L investissement dans un zéro coupon d échéance courte est sans risque, car il est en général calculé au taux en cours. Mais lorsque l échéance est lointaine, l évolution des taux peut rendre l investissement aléatoire. Par exemple, si le taux annuel en cours est de 3%, l investissement sur un zéro-coupon à taux annuel de 3% sur un an ou six mois n est pas très risqué, mais si l échéance est de 20 ans et que d ici là, les taux pratiqués usuellement passent à des valeurs comme 6%, l investissement se révélera mauvais. Si, par contre, les taux usuels pratiqués passent à 1%, l investissement se révèle meilleur. On peut ainsi considérer (P k (N), k N) comme un processus stochastique adapté à la filtration (F k, k N). On suppose qu il existe un processus adapté strictement positif (r k, k N) et un actif financier, appelé actif sans risque, tel que 1 euro investi à la date k (le soir du k-ème jour) rapporte e r k euros à la date k + 1 (dans la journée du k + 1ème jour). Remarque 1.4. On a r k = log P k (k + 1), c est un taux d intérêt sans risque entre les périodes k et k + 1 mais risqué sur le plus long terme. Question 1.5. Si les (r j, j N) étaient déterministes (fixés à la date k=0), à quoi serait égal le produit P k (m)p m (n), pour tout k < m < n N? 1.2 La dynamique Ho et Lee supposent que d un instant k à l instant k + 1 le prix du zero-coupon peut augmenter ou baisser en fonction d une variable qui dépend de différents facteurs économiques inconnus. On 1

2 notera donc η k (N k) cette variable, elle vaudra u k (N k) si le prix monte et d k (N k) sinon. On peut donc écrire la dynamique (aléatoire récurrente) pour P de la façon suivante P k+1 (N) = à comparer avec l expression obtenue dans la Question??. P k(n) P k (k + 1) η k(n k 1), (1) Definition 1.6. On appellera cash account et on notera (B k, k N), le montant capitalisé à la date k d un investissement de 1 à la date 0. Il s écrit B k+1 = B k /P k (k + 1), 1 k N 1; B 0 = 1. Question ) B est-il prévisile (i.e. B k est-il F k 1 mesurable)? 2) Ecrire B k en fonction des (r k, k N). Hypothèses 1) u k (m) d k (m) > 0 2) On suppose qu il n y a pas de dépendance en k, u k (m) = u(m) et d k (m) = d(m) 3) u(0) = d(0) = Absence d opportunité d arbitrage On va considérer un portefeuille Π := (β k, γ k, k N), dont la valeur à l instant k N est donnée par : := β k B k + γ k P k (N). X Π k On le supposera autofinancé, c est à dire β k B k + γ k P k (N) = β k+1 B k + γ k+1 P k (N). Definition 1.8. Soit (S k, k N) un processus adapté, et ( S k := S k /B k, k N) sa valeur actualisée, une mesure de probabilité P est appelée probabilité risque neutre si P est équivalente à P et si ( S k, k N) est une martingale sous P. On a le théorème suivant Théorème 1.9. Etant donné un zéro coupon de prix à l instant k donné par P k (N). Il y a équivalence entre l absence d opportunité d arbitrage et l existence d une probabilité risque neutre P pour (P k (N), k N). Question Montrer que l existence de P implique l A.O.A. 1.4 Détermination de la probabilité risque neutre On supposera que le marché est complet, et également que la valeur d un actif est unique. Théorème Le processus de prix (P k (N), k N) est sans opportunité d arbitrage si et seulement si les propriétés suivantes sont satisfaites : 1) Pour tout k, k + 1 N, on a u(n k) > 1 > d(n k) 2) Il existe 0 < q < 1, tel que pour tout k, N k + 1, q = Question Montrer ce théorème. 1 d(n k) u(n k) d(n k) Remarque En l absence d opportunité d arbitrage, tout modèle binomial à une période est caractérisé par la relation : pour tout k et N k + 1 qu(n k) + (1 q)d(n k) = 1. 2

3 1.5 Dérivés sur taux d intérêts On va prendre l exemple d une option de type européenne sur une obligation (O k (N), k N) dont la dynamique est la même que pour P (mais qui n est pas un zéro-coupon). Le payoff f d un call sur l obligation O d échéance N à la date k est donné par f(o k (N)) := (O k (N) K) +. On notera C k le prix de cette option à la date k, C + k+1 (resp. C k+1 ) le prix de l option à l instant k + 1 si le prix du sous-jacent est monté (resp. a baissé) entre les instants k et k + 1. Question ) Montrer une relation entre C k, C + k+1 et C k+1. 2) Montrer que ( C k, k) est une martingale sous P ( C k, est la valeur actualisé de C k ), en déduire une expression de C k (sous forme d une espérance conditionnelle). 2 Modèle multi-périodes On suppose maintenant que la valeur du zéro coupon peut évoluer entre deux dates quelconques successives k et k + 1, ceci ayant pour but de rendre le modèle plus réaliste. On note alors M le nombre de pas entre l instant 0 et N, n le nombre de pas entre l instant 0 et k, et δ = 1/n. F k est la tribu des événements comportant les n fluctuations du marchés (hausses ou baisses) entre les instants 0 et k. Definition 2.1. Le prix d un zéro coupon à l instant k de maturité N et d état s, P k (N, s), est défini par { u(n k)pk δk (N, s 1)/P P k (N, s) = k δk (k, s 1) en cas de hausse, d(n k)p k δk (N, s)/p k δk (k, s) en cas de baisse. (2) u(n k) et d(n k) étant F k δk -mesurable. Remarque 2.2. On peut aussi écrire pour tout s, l évolution du zéro-coupon entre l instant k et k + δk de la façon suivante P k (N, s) P k+δk (N, s + 1) = u(n k δk)p k (N, s)/p k (k + δk, s) P k+δk (N, s) = d(n k δk)p k (N, s)/p k (k + δk, s) en cas de hausse, en cas de baisse. et s désigne la hausse maximale de l actif à l instant k, ainsi 0 s n. Partant de P k (N, s), à l instant k + δk la valeur du zéro coupon vaut soit P k+δk (N, s + 1) avec une certaine probabilité p et P k+δk (N, s + 1) avec une probabilité 1 p. 2.1 Arbres recombinants On fait une hypothèse supplémentaire sur l évolution des prix de P : Definition 2.3. On dira qu un arbre formant le processus de prix P est re-combinant si pour tout k, une hausse entre les instants k et k + 1 et une baisse entre entre les instants k + 1 et k + 2, équivaut à une baisse entre les instants k et k + 1 et une hausse entre entre les instants k + 1 et k + 2 Question 2.4. Faire une représentation graphique de l évolution du prix de P entre les instants k et k + 2δ en partant de la valeur initiale P k (N, s). En déduire une relation entre P k+δk (N, s + 1) et P k+δk (N, s). 3

4 Pour tout k, on posera P k (k + δk, s + 1)/P k (k + δk, s) = u(δk)/d(δk). u(δk) et d(δk) étant des constantes déterminées à l instant initial. Notons λ := P k (k + δk, s + 1)/P k (k + δk, s), λ est une constante appelée volatilité. Question 2.5. Montrer qu il existe une relation entre u et d à deux instants successifs. En déduire une expression, en fonction de λ, de u(n k)/d(n k) et de P k+δk (N, s + 1)/P k+δk (N, s). 2.2 A.O.A. On admettra le résultat suivant : Proposition 2.6. Il y a équivalence entre absence d opportunité d arbitrage et absence d opportunité d arbitrage sur une période. en déduire le résultat suivant Proposition 2.7. Il y a A.O.A pour le modèle binomiale de Ho-Lee à multi-période si et seulement si il existe une probabilité risque neutre q tel que pour tout k, N k + kδ, où u(n k) > 1 > d(n k). q = 1 d(n k) u(n k) d(n k), Question 2.8. Si q existe, montrer que pour tout s, la valeur actualisée du zéro coupon ( P k (N) := P k (N, s)/b k (s), k) est une martingale sous P définit par q. On remarquera que P k (N, s) = P k (k + δk, s)(qp k+δk (N, s + 1) + (1 q)p k+δk (N, s)). 2.3 Prix de l obligation dans le modèle de Ho-Lee On va montrer le résultat suivant : Théorème 2.9. Prix du zéro coupon dans le modèle binomiale (de Ho-Lee). On a : n 1 P k (N, s) = λ s(m n) m=0 1 q + qλ n (k+1) 1 q + qλ M (k+1) P 0 (N) P 0 (k). Pour tout m, P 0 (m) est le prix forward du zéro-coupon d échéance m (à l instant initiale s = 0, on ne le fait donc pas apparaître). Question Ecrire d(n k) et u(n k) en fonction de λ et q. Question Montrer le Théorème??. 2.4 AOA Question Calculer P k (k + δk, s) en déduire une condition nécessaire sur λ pour qu il y est A.O.A. 2.5 Différents taux d intérêts issus du modèle de Ho-Lee Taux forward instantané On définit le taux forward instantané f(k, N, N + δk, s) par f(k, N, N + δk, s) := log P k(n + δk, s) log P k (N, s) δk Question Donner une expression du taux forward instantané en fonction de q et λ. 4

5 Le taux court On définit le taux court r(k, s) par : r(k, s) := log P k(k + δk) δk Question Donner une expression du taux court. Le taux spot On définit le taux court y(k, N, s) par : y(k, N, s) := log P k(n, s) N k Question Donner une expression du taux spot. 2.6 Dérivés sur taux d intérêts On reprend l exemple d une option de type européenne sur une obligation (O k (N), k N) dont la dynamique est la même que pour P (mais qui n est pas un zéro-coupon). Le payoff f d un call sur l obligation O d échéance N à la date k est donné par f(o k (N, s)) := (O k (N, s) K) +. On notera C k (s) le prix de cette option à la date k, C k+1 (s) (resp. C k+1 (s + 1)) le prix de l option à l instant k + 1 si le prix du sous-jacent est monté (resp. a baissé) entre les instants k et k + 1. Question ) Montrer une relation entre C k (s) et C k+1 (s) et C k+1 (s + 1). 2) Montrer que ( C k, k) est une martingale sous P ( C k, est la valeur actualisé de C k ), en déduire une expression de C k (sous forme d une espérance conditionnelle). 3) Donner l expression de C 0. 4) Montrer une relation de parité call/put à la date k (on notera P k, le prix du put de même caractéristique que C k ). 5

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