MODELES DE LA COURBE DES TAUX D INTERET. UNIVERSITE d EVRY Séance 2. Philippe PRIAULET

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1 MODELES DE LA COURBE DES TAUX D INTERET UNIVERSITE d EVRY Séance Philippe PRIAULET

2 Plan de la Séance Le modèle de recontitution de la courbe de taux Introduction, Rappel et Notation La courbe d Etat Sélection de panier Méthode théorique directe et boottrapping Différent type d interpolation Méthode indirecte: modèle de Nelon et Siegel, pline cubique et exponentielle La courbe interbancaire Le courbe «corporate» Exemple d application: l analye rich/cheap voir MP p. 9 à 34 et 67 à 78

3 Introduction Cette éance a pour but la recontitution de la courbe de taux zéro-coupon au comptant («pot». Connaître la courbe de taux zéro-coupon au comptant et trè important en pratique car cela permet aux acteur du marché: - d évaluer et de couvrir à la date de recontitution le produit de taux délivrant de flux futur connu (obligation à taux fixe, par exemple > certaine application comme l analye «rich and cheap» (bond picking qui conite à détecter le produit ur-et ou-évalué par le marché pour tenter d en tirer profit.

4 Introduction ( - de dériver le autre courbe implicite: la courbe de taux forward, la courbe de taux de rendement au pair et la courbe de taux de rendement intantané. - enfin, la courbe pot et le point de de départ pour la mie en place de modèle tochatique de déformation de cette courbe dan le temp.

5 Introduction (3 La recontitution de cette courbe et rendue néceaire par le fait qu il n exite pa uffiamment d obligation zérocoupon («trip» cotée ur le marché. Par conéquent, il n et pa poible d obtenir le taux zérocoupon pour un continuum de maturité. En outre, le obligation zéro-coupon ont ouvent une moindre liquidité que le obligation à coupon.

6 Introduction (4 Nou allon ditinguer troi grand type de courbe de taux zéro-coupon: - la courbe Tréor (ou courbe d Etat. - la courbe interbancaire - et le courbe «corporate» La courbe Tréor et contruite à partir de obligation émie par l Etat (OAT, BTAN et BTF en France. Il agit de la courbe dite an rique dan le pay du G7 dan la meure où le Etat de ce pay ont cené ne jamai faire défaut. Le Etat de ce pay ont noté AAA par le agence de rating, i.e. dipoent de la meilleure notation poible.

7 Introduction (5 La courbe interbancaire comme on nom l indique réulte d opération financière entre banque. Elle et contruite à partir de taux de dépôt, de future et de wap. Il ne agit pa d une courbe an rique puique le banque ne jouient pa du meilleur rating de agence de notation. Leur rating moyen e itue entre A et AA pour S&P et A et Aa pour Moody. Le courbe «corporate» ont le courbe qui caractérient le entreprie du ecteur privé. Il y en a de multiple qui dépendent du rating de entreprie et de leur ecteur économique. On peut par exemple tracer: - la courbe de taux zéro-coupon de entreprie dipoant du rating A

8 Introduction (6 - la courbe de taux zéro-coupon de entreprie du ecteur Télécom dipoant du rating BB - la courbe de taux zéro-coupon de France Telecom Chacune de ce courbe et contruite en utiliant le obligation de entreprie concernée. On verra qu il et courant de contruire la courbe de pread «corporate». Elle et obtenue en outrayant la courbe Tréor ou interbancaire à la courbe «corporate».

9 Introduction (7 Rappel de l échelle de rating Moody et S&P Notation Moody' Signification Aaa Meilleure qualité de ignature Aa, Aa, Aa3 Haute qualité A, A, A3 Qualité upérieure obligation moyenne catégorie Baa, Baa, Baa3 Qualité moyenne Ba, Ba, Ba3 Préence de facteur péculatif B, B, B3 Abence de facteur propice à l'invetiement Caa Qualité médiocre Ca Hautement péculatif C Pa propice à l'invetiement on Standard and Poor' AAA AA A BBB BB et B CCC, CC, C D Capacité à rembourer extrêmement forte Capacité à rembourer trè forte Forte capacité à rembourer mai enibilité aux aléa économique Capacité uffiante mai grande enibilité aux aléa économique Caractère péculatif et incertitude du paiement Créance douteue Défaut de paiement

10 Introduction (8 Rappel et notation Définition du taux zéro-coupon Il et implicitement défini dan la relation uivante: où: B(0, t [ R(0, t ] t - B(0,t: prix de marché à la date 0 d une obligation zérocoupon délivrant euro à la date t. On appelle aui B(0,t, le facteur d actualiation en 0 pour la maturité t. - R(0,t: taux de rendement en 0 de l obligation zéro-coupon délivrant euro en t. R(0,t et aui le taux zéro-coupon en 0 de maturité t.

11 Introduction (9 Rappel et notation Evaluation d obligation à flux connu Le prix V de l obligation à la date t écrit donc plu jutement V i ( t m i t F( i [ R( t, i t ] m i t i t F( i B( t, i Exemple : Soit l obligation de montant nominal 00$, de maturité 3 an et de taux de coupon 0%. Le taux zéro-coupon à an, an et 3 an ont de 7%, 9% et 0%. Le prix P de l obligation et égal à 0 P 7% 0 0 ( 9% ( 0% $

12 La courbe d Etat Sélection de titre Elle et contruite à partir d obligation d Etat. Il et important de faire une élection rigoureue de titre qui ervent à la recontitution. Il faut éliminer: - le titre qui préentent de claue optionnelle car la préence d option rend le prix de ce titre non homogène avec ceux qui n en contiennent pa. - le titre qui préentent de erreur de prix, typiquement due à de erreur de aiie. - le titre qui ont oit illiquide, oit urliquide, et préentent donc de prix qui ne ont pa dan le marché. Il ne faut pa tracer la courbe de taux ur de egment de maturité où l on ne dipoe pa de titre. Par exemple, ne pa tracer la courbe ur le egment [0-30 an] i l on ne dipoe pa de titre de maturité upérieure à 0 an dan le panier.

13 La courbe d Etat La méthode théorique de recontitution Elle permettent de déduire directement le taux zéro-coupon de obligation à coupon. Elle requièrent le deux condition uivante: - elle ont le même date de tombée de coupon - elle ont de maturité multiple de la fréquence de tombée de coupon. Cette méthode n et que théorique car dan la pratique il et trè rare de pouvoir trouver un échantillon d obligation ayant ce deux caractéritique.

14 La courbe d Etat La méthode théorique de recontitution ( Notation et réolution P t (P t, P t,..., P tn T le vecteur de prix à l intant t de n obligation à coupon du panier F (F ti (j i,...,n, j,...,n la matrice n x n correpondant aux flux de n titre. Le date de tombée de flux ont identique pour tou le titre. B t (B(t,t, B(t,t,,..., B(t,t n T le vecteur de facteur d actualiation Par AOA, on obtient le vecteur de facteur d actualiation P t F. B t oit B t F -. P t car F et inverible

15 La courbe d Etat La méthode théorique de recontitution (3 On extrait le vecteur de taux zéro-coupon à l aide de la relation Si l on ouhaite utilier de taux continu, on utilie alor (, ( ln, ( i i i t t B t t t t t R, (, ( t t i i i t t B t t t R

16 La courbe d Etat La méthode théorique de recontitution (4 Exemple Coupon Maturité (année Prix Titre 5 0 Titre Titre Titre On obtient le ytème d équation uivant: 0 05 B(0, B(0, 05.5 B(0, 99 5 B(0, 5 B(0, 05 B(0, B(0, 6 B(0, 6 B(0,3 06 B(0,4 oit B(0,0.969, B(0,0.99, B(0, , B(0, et R(0,3.96%, R(0,4.77%, R(0,35,47%, R(0,46,03%

17 La courbe d Etat La méthode du boottrap Il agit d une procédure en pluieur étape qui permet de recontituer une courbe zéro-coupon au comptant «pa à pa» i.e. egment par egment de maturité. - Pour le egment de la courbe inférieur à an: Extraction de taux zéro-coupon grâce aux prix de titre zérocoupon coté ur le marché pui obtention d une courbe continue par interpolation linéaire ou cubique (voir plu loin.

18 La courbe d Etat La méthode du boottrap ( - Pour le egment de la courbe allant de an à an: Parmi le obligation de maturité comprie entre an et an, on choiit l obligation à l échéance la plu rapprochée. Ce titre vere deux flux. Le facteur d actualiation du premier flux et connu grâce à l étape. Le facteur d actualiation du econd flux et olution de l équation non linéaire P C B(0, t (00 C B(0, t avec t < et < t < On obtient alor un premier point de courbe ur ce egment. On réitère alor le même procédé avec l obligation de maturité immédiatement upérieure mai toujour inférieure à an.

19 La courbe d Etat La méthode du boottrap (3 3- Pour le egment de la courbe allant de an à 3 an: On réitère l opération précédente à partir de titre ayant une maturité comprie entre an et 3 an....etc...

20 La courbe d Etat La méthode du boottrap (4 Exemple de Boottrap Maturité ZC Overnight 4.40% moi 4.50% moi 4.60% 3 moi 4.70% 6 moi 4.90% 9 moi 5.00% an 5.0% Taux à an et moi oit 5.4% Taux à an et 9 moi oit 5.69% Coupon Maturité (année Prix Titre 5% an et moi 03.7 Titre 6% an et 9 moi 0 Titre % an % 05 ( x 03.7 / 6 / 6 ( 6 ( 5% 6 ( x 0 9 / 9 /

21 La courbe d Etat La méthode du boottrap (5 Exemple de Boottrap ( Taux à an oit 5.79% ( 5.% 05.5 ( x Taux à 3 an oit 5.9% ( 5.% 5 ( 5.79% 05 ( x% 3 On obtient le tracé de courbe uivant pour le maturité comprie entre jour et 3 an, en uppoant que l on raccorde linéairement l enemble de point.

22 La courbe d Etat La méthode du boottrap (6 6.0% 6.00% 5.80% 5.60% Zero-Coupon Rate 5.40% 5.0% 5.00% 4.80% 4.60% 4.40% 4.0% 4.00% Maturity

23 La courbe d Etat Le différent type d interpolation Quand on utilie la méthode théorique directe ou le boottrap, il et néceaire de choiir une méthode d interpolation entre deux point. Deux ont particulièrement utiliée: le interpolation linéaire et cubique. Interpolation linéaire: On connaît le taux zero-coupon de maturité t et t. On ouhaite interpoler le taux de maturité t avec t < t <t R(0, t ( t t R(0, t ( t t ( t t R(0, t Exemple: R(0,3 5.5% et R(0,46% % 0.75x6% R( 0, %

24 La courbe d Etat Le différent type d interpolation ( Interpolation cubique: On procède à une interpolation cubique par egment de courbe. On définit un premier egment entre t et t 4 où l on dipoe de 4 taux R(0, t, R(0, t, R(0, t 3, R(0, t 4. Le taux R(0, t de maturité t et défini par 3 R (0, t at bt ct d ou la contrainte que la courbe pae par le quatre point de marché R(0, t, R(0, t, R(0, t 3, R(0, t 4. D où le ytème à réoudre: 3 R(0, t at bt ct d 3 R(0, t at bt ct d 3 R(0, t3 at3 bt3 ct3 d 3 R(0, t4 at4 bt4 ct4 d

25 Exemple La courbe d Etat Le différent type d interpolation (3 On e donne le taux uivant : R(0, t 4%, R(0, t 5%, R(0, t 3 5.5% et R(0, t 4 6% Calculer le taux de maturité.5 an? R(0,.5 a x.5 3 b x.5 c x.5 d % avec a b c d % 5% 5.5% 6%

26 La courbe d Etat Le différent type d interpolation (4 Comparaion de deux interpolation 6.50% 6.00% Linéaire Cubique 5.50% Taux 5.00% 4.50% 4.00% 3.50% 3.00% Maturité

27 La courbe d Etat Le méthode indirecte Ce ont le méthode le plu utiliée en pratique Principe: Pour un panier d obligation à coupon, il agit de la minimiation de l écart au carré entre le prix de marché et le prix recontitué à l aide d une forme a priori pécifiée de taux zéro-coupon ou de la fonction d actualiation. Soit un panier contitué de n titre. On note à la date t: j P t j P t j F : prix de marché du j-ème titre. : prix théorique du j-ème titre : flux futur du j-ème titre tombant à la date ( > t

28 La courbe d Etat Le méthode indirecte ( L idée conite à trouver le vecteur de paramètre tel que On ditingue deux grande clae de modèle: - le modèle type Nelon et Siegel fondé ur une modéliation de taux zéro-coupon (cf MP 8 à 34. Le prix théorique écrit: g et la fonctionnelle de taux zéro-coupon. Le prix de l obligation et une fonction non linéaire de paramètre d etimation. La réolution d un tel problème effectue à l aide d un algorithme de Newton modifié (cf MP p. 7 à 75. β n j j t j P t P Min β t g t j j j t e F t B F P ; (. (., ( β

29 La courbe d Etat Le méthode indirecte (3 - le modèle à pline fondé ur une modéliation de la fonction d actualiation. j t P F B( t, F f ( t; β j j f et une fonction linéaire de paramètre d etimation. Par conéquent, le prix de l obligation et également une fonction linéaire de paramètre d etimation La réolution d un tel problème et donc matricielle. Cf MP p. 9 à 8 et p. 67 à 7

30 La courbe d Etat Le méthode indirecte (4 Le modèle de Nelon et Siegel (987 La fonctionnelle imaginée par Nelon et Siegel écrit : C R C R ( 0, θ exp( θ τ exp( θ τ ( 0, θ β0 β β exp( θ τ θ τ θ τ : taux zéro-coupon de maturité θ β 0 : facteur de niveau; il agit du taux long. β : facteur de rotation; il agit de l écart entre le taux tre le taux court et le taux long : paramètre d échelle detiné à reter fixe au cour detiné à reter fixe au cour du temp

31 La courbe d Etat Le méthode indirecte (5 Le modèle de Nelon et Siegel ( ( 0, θ Il et aié d exprimer le dérivée partielle de par rapport à chacun de paramètre béta, ce que l on appelle le enibilité de taux zéro-coupon aux paramètre béta (cf graphique uivant. R C Ce enibilité ont trè proche de celle que l on obtient hitoriquement en appliquant la méthode de l ACP aux taux zéro-coupon. On retrouve bien le facteur de niveau, pente et courbure.

32 La courbe d Etat Le méthode indirecte (6. Senibilité de taux béta 0 béta béta Maturité de taux

33 La courbe d Etat Le méthode indirecte (7 Effet de pente et courbure dan le modèle de Nelon et Siegel Pour illutrer le effet de pente et courbure, nou allon d abord tracer une courbe croiante claique en retenant le choix de paramètre uivant: β 0 7% β -% β % τ 3.33 Pui nou allon faire varier iolément chacun de paramètre β et β entre -6% et 6%.

34 La courbe de départ La courbe d Etat Le méthode indirecte ( Zero-Coupon Rate Maturity

35 La courbe d Etat Le méthode indirecte (9 Effet de pente dan le modèle de Nelon et Siegel 3.00%.00% 9.00% Zero-Coupon Rate 7.00% 5.00% 3.00%.00% Maturity

36 La courbe d Etat Le méthode indirecte (0 Effet de courbure dan le modèle de Nelon et Siegel 8.50% 8.00% 7.50% 7.00% Zero-Coupon Rate 6.50% 6.00% 5.50% 5.00% 4.50% 4.00% Maturity

37 La courbe d Etat Le méthode indirecte ( Le forme de courbe poible dan le modèle de Nelon et Siegel Zero-coupon rate Maturity

38 La courbe d Etat Le méthode indirecte ( Exemple d évolution de paramètre dan le modèle de Nelon et Siegel (France et Value of the Parameter /0/999 7/04/999 9/07/999 09//999 0/0/000 0/06/000 3/09/000 5// béta 0 béta béta

39 La courbe d Etat Le méthode indirecte (3 Inconvénient du modèle de Nelon et Siegel Le modèle de Nelon et Siegel ne permet pa de recontituer toute le forme de courbe de taux que l on peut rencontrer ur le marché, en particulier le forme à une boe et un creux (voir lide uivante. En outre, il manque de ouplee d ajutement pour le maturité upérieure à 7 an i bien que le obligation de telle maturité ont parfoi mal évaluée par le modèle. Le premier inconvénient peut être levé en utiliant le modèle de Svenon ou modèle de Nelon-Siegel augmenté.

40 La courbe d Etat Le méthode indirecte (4 Forme de courbe à une boe et un creux Zero-coupon rate Maturity

41 La courbe d Etat Le méthode indirecte (5 Le modèle de Nelon et Siegel augmenté La fonctionnelle écrit maintenant : β 3 : paramètre de courbure upplémentaire qui a urtout une influence ur la partie courte de la courbe τ : paramètre d échelle Cette extenion donne plu de flexibilité à la courbe ur le ecteur court terme. exp( exp( exp( exp( exp( (0, 3 0 τ θ τ θ τ θ β τ θ τ θ τ θ β τ θ τ θ β β θ C R

42 La courbe d Etat Le méthode indirecte (6 Effet de courbure donné par β % 7.00% 6.50% 6.00% Zero-Coupon Rate 5.50% 5.00% 4.50% 4.00% 3.50% 3.00% Maturity

43 La courbe d Etat Le méthode indirecte (7 Le autre modèle - La fonctionnelle de taux zéro-coupon dan le modèle tochatique de Vaicek (977: Elle et obtenue en modéliant le taux court ou la forme (voir éance uivante pour une decription complète du modèle - Vaicek augmenté (trè proche de Nelon et Siegel ( θ θ σ θ θ θ a a a a a r R R R C 4 exp( exp( ( (0, 0 [ ] ( ( ( t dw dt t r b a t dr σ ( θ θ γ θ θ θ a a a a r R R R C 4 exp( exp( ( (0, 0 0

44 La courbe d Etat Le méthode indirecte (8 Le autre modèle ( 3- Vaicek augmenté (trè proche de Nelon-Siegel augmenté 4- Fonctionnelle CIR et bien d autre encore ( ( θ θ κ θ θ γ θ θ θ b b a a a a r R R R C 4 exp( 4 exp( exp( ( (0, 0 0 0

45 La courbe d Etat Le méthode indirecte (9 Exemple de recontitution Voir polycopié intitulé «Séance - Illutration» page 6 à

46 La courbe d Etat Le méthode indirecte (0 Concluion ur le modèle de type Nelon et Siegel Le reproche ouvent formulé à l encontre de cette clae de modèle et leur inuffiante flexibilité. En revanche le variable de ce modèle ont interprétable financièrement. Cette clae de modèle et en pratique le plu ouvent utiliée pour l analye et la couverture du rique de taux de portefeuille à flux connu (cf éance. Nou allon à préent aborder le modèle à pline qui ont beaucoup plu flexible mai préentent au contraire de paramètre qui ne ont pa interprétable d un point de vue financier.

47 La courbe d Etat Le méthode indirecte ( Le modèle à pline Il ont fondé ur une modéliation de la fonction d actualiation. Le plu célèbre ont le pline polynomiaux (cf Mc Culloch (97,975 et le pline exponentielle (cf Vaicek et Fong (98. Leur avantage tient à leur grande flexibilité qui leur permet de recontruire toute le forme de courbe rencontrée ur le marché. Il ont utilié pour l analye «rich and cheap».

48 La courbe d Etat Le méthode indirecte ( Principe de modèle à pline Il faut d abord faire le choix d une forme pécifique pour la fonction d actualiation f(-t;ß. La méthode conite à etimer le paramètre en minimiant l écart au carré entre prix de marché et prix recontitué. Rappelon que le prix théorique de la j-ème obligation écrit: où B(t,t contitue la contrainte de la minimiation A une date t, on écrit: P j où et la partie réiduelle non expliquée par le modèle. ε j j t j P P F B( t, F f ( t; β j ε j j

49 La courbe d Etat Le méthode indirecte (3 Principe de modèle à pline ( Le réidu vérifient le condition uivante: E( ε j 0 - en moyenne, il ont nul: - il ont non corrélé entre eux: Cov( ε j, εk 0 - il y a deux hypothèe poible pour la variance * oit on la uppoe contante auquel ca le réidu ont homocédatique V( ε σ j * oit elle varie pour chaque titre auquel ca le réidu ont hétérocédatique V ( ε j σ ωj

50 La courbe d Etat Le méthode indirecte (4 Principe de modèle à pline (3 Quand on fait la première hypothèe, on contate que la partie courte de la courbe et mal etimée. Dan ce ca, le vecteur de paramètre β et obtenu par la méthode de MCO ou contrainte. L idée et donc de retenir la deuxième hypothèe en donnant plu de poid dan la minimiation aux obligation de maturité courte. Une façon de procéder et de choiir un poid égal à la duration de l obligation: ω Dur j j

51 La courbe d Etat Le méthode indirecte (5 Principe de modèle à pline (4 Ce choix revient à réoudre le problème uivant: Min β n j P t j w j t j t P Dan ce ca, le vecteur de paramètre et obtenu par la méthode de MCG ou contrainte ou MCO pondéré ou contrainte. Ce choix et rationnel: il revient à dire que plu une obligation a une maturité longue, plu difficile et on prix à etimer. β

52 La courbe d Etat Le méthode indirecte (6 Le pline polynomiaux - Modéliation tandard Il et commun de conidérer l écriture tandard comme dan l exemple qui uit: La fonction d actualiation compte ici paramètre. On rajoute de contrainte de régularité ur cette fonction qui garantient la continuité, la continuité de la dérivée première et de la dérivée econde de cette fonction aux point de raccord 5 et 0. [ ] [ ] [ ] 0,0, ( 5,0, ( 0,5, ( (0, a b c d B a b c d B a b c d B B

53 La courbe d Etat Le méthode indirecte (7 Le pline polynomiaux ( Pour i 0, et : Et la contrainte qui porte ur le facteur d actualiation: En utiliant l enemble de ce 7 contrainte, le nombre de paramètre à etimer tombe à 5: (0 (0 (5 (5 ( 5 ( 0 ( 5 ( 0 i i i i B B B B (0 B 0 [ ] [ ] [ ] 0,0, 0 ( ] 0 ( 5 [( ] 5 ( [ ( 5,0, 5 ( ] 5 ( [ ( 0,5, ( (0, a a a b c B a a b c B a b c d B B

54 La courbe d Etat Le méthode indirecte (8 Le pline polynomiaux (3 Le ytème précédent peut être écrit ou la forme uivante: B 3 (0, c0 b0 ( a a0.( 3 ( a a.( 0 pour [ 0,0] [ Max( (,0] 3 ( θ θ 5 où et la fonction dite bornée de puiance. 3 Il y a une autre écriture de cette équation dan la bae de B- pline. Cette écriture et devenu extrêmement claique.

55 La courbe d Etat Le méthode indirecte (9 Le pline polynomiaux (4 - Expreion dan la bae de B-pline Le B-pline ont de fonction linéaire de fonction bornée de puiance. On écrit alor: où le coefficient lambda ont défini comme uit: et ( ( (0, l l l j j l j i l i j i l l l l c B c B λ λ λ ( 3 B l λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ < < < < < < < < < (0 (0 (0, l l l l l l B c B c B

56 La courbe d Etat Le méthode indirecte (30 Le pline exponentielle Le pline exponentielle ont été introduite par Vaicek et Fong (98: En utiliant le même contrainte de régularité, on ramène le problème à 7 paramètre à etimer ou la contrainte lié au facteur d actualiation (cf MP p Le paramètre alpha et un paramètre d ajutement upplémentaire qui rend le problème non linéaire. L idée conite à réoudre le problème comme il était fixé, pui à chercher a valeur optimale. [ ] [ ] [ ] 0,0, ( 5,0, ( 0,5, ( (0, e a e b e c d B e a b e e c d B e a e b e c d B B α α α α α α α α α

57 La courbe d Etat Le méthode indirecte (3 Le choix du nombre de pline Le nombre de pline influe ur la qualité de réidu et le liage de la courbe. Plu il y a de pline et meilleur ont le réidu. La courbe devient toutefoi moin lie, et peut paer par de point aberrant. Moin il y a de pline et plu on lie la courbe. Mai le écart de prix peuvent devenir important ce qui laie à pener que la courbe et mal rendue. Pour choiir au mieux ce nombre de pline, on peut utilier la règle uivante.

58 La courbe d Etat Le méthode indirecte (3 Le choix du nombre de pline ( On contitue deux panier. Le premier panier dit de minimiation contient le titre qui ont permi d obtenir le paramètre d etimation. Le deuxième panier dit de vérification contient de titre qui n ont ervi lor de la minimiation. Dan la meure du poible, il faut que ce deux panier oient homogène, i.e contiennent à peu prè le même nombre de titre, et le même type de maturité (court, moyen et long. Pour chacun de ce deux panier, l idée conite à calculer l écart de prix moyen: E j n j ( P j j t Pt n

59 La courbe d Etat Le méthode indirecte (33 Le choix du nombre de pline (3 Ce deux écart ont noté et. E min La règle et la uivante: - On calcule ce deux écart et on aure qu il ont inférieur à la moyenne de fourchette «bid-ak» (environ 0 centime de prix. S il ne le ont pa, on augmente le nombre de pline juqu à temp qu il le deviennent. E verif - On calcule la différence entre ce deux écart: * i elle et faible, le nombre de pline et bien pécifié. * i elle et forte, le nombre de pline et probablement trop élevé. Il faut donc en retirer juqu à temp que cette différence devienne faible.

60 La courbe d Etat Le méthode indirecte (34 La localiation de point de raccord La règle la plu logique conite à localier ce point de telle façon que chaque pline contienne à peu prè le même nombre de titre. Par exemple, ur le marché françai, on définit 5 pline: [0- an] : uper court (BTF ou Monétaire BTAN [-3 an] : court terme (BTAN [3-7 an] : moyen terme (BTAN OAT [7-0 an] : long terme (OAT [0-30 an] : trè long terme (OAT

61 La courbe d Etat Le méthode indirecte (35 Exemple de recontitution Voir polycopié intitulé «Séance - Illutration» page à 5 et 3-4

62 La courbe interbancaire Sélection de titre Elle et contruite à partir d un panier d intrument comprenant: - le taux du marché monétaire, typiquement le taux Euribor en zone Euro. Il ont généralement utilié pour le maturité allant de jour à 6 moi. Ce ont de taux linéaire exprimé en bae Exact/ le contrat future ur taux d intérêt, typiquement le future ur Euribor 3 moi en zone Euro. Il ervent pour recontituer la courbe de taux ur le egment allant de 6 moi à ou 3 an. - le wap tandard typiquement le wap tandard Euribor 3 moi ou 6 moi en zone Euro. Il ervent à recontituer la courbe pour le maturité upérieure à ou 3 an. Il et néceaire dan un premier temp de déduire le taux zéro-coupon de prix de ce intrument (cf exemple uivant.

63 La courbe interbancaire Exemple de recontitution Le donnée de marché au 04/05/000 Taux monétaire Nombre de jour Overnight % W % M % 3M % 6M % Contrat future Taux de wap Maturité Nombre de jour Taux de wap Y 365 Y % 3Y % 4Y % 5Y % 6Y % 7Y % 8Y % 9Y % 0Y % Fin contrat Début période d'intérêt Prix de future Mid rate 9/06/00 /06/ % 8/09/00 0/09/ % 8//00 0// % 9/03/0 /03/ % 8/06/0 0/06/ % 7/09/0 9/09/ %

64 La courbe interbancaire Exemple de recontitution ( - Le taux Euribor ont de taux monétaire en bae Exact/360, à convertir en taux zéro-coupon en bae Exact / 365 Exemple: ZC(j 4.05% 360 ( 365 / 4.767% ZC(7 j 4.0% ( 365 / % Maturité Jour Taux Taux ZC Overnight 4.05% 4.77% W % 4.49% M % 4.59% 3M % 4.44% 6M % 4.585%

65 La courbe interbancaire Exemple de recontitution (3 - Calcul de taux zéro-coupon implicite à partir de contrat future ur Euribor 3 moi Le prix du contrat Euribor 3 moi et égal à 00 moin le taux à terme 3 moi ou-jacent. Il agit préciément du taux à terme calculé à la date de recontitution, démarrant à échéance du contrat et finiant 3 moi plu tard. Dan notre exemple, le premier contrat arrive à échéance dan 46 jour. Le taux zéro-coupon interpolé linéairement pour cette maturité vaut %. On en déduit alor le taux zéro-coupon de maturité 38 jour par la formule uivante (il y a 9 jour entre le 9/06/00 et le 9/09/00 46 jour 38 jour ZC(38 j ZC(38 j 4.484% ( ( % 46 / 4.45% (365 /38

66 La courbe interbancaire Exemple de recontitution (4 Pour l enemble de contrat future, on obtient: Fin contrat Echéance taux ZC Prix de future Mid rate Taux ZC 9/06/00 9/09/ % 4.484% 8/09/00 8// % % 8//00 8/03/ % % 9/03/0 9/06/ % % 8/06/0 8/09/ % % 7/09/0 7// % % On obtient aini une érie de taux zéro-coupon d échéance le date de fin de contrat 3 M. On calcule le taux ZC(365j à partir de taux ZC(38j qui correpond à l échéance 8/03/0, et ZC(4j qui correpond à l échéance 9/06/0.

67 La courbe interbancaire Exemple de recontitution (5 3- Calcul de taux zéro-coupon implicite à partir de taux de wap Pour le wap tandard, le taux de wap ont de taux de rendement au pair. Cela provient directement de la formule d évaluation d un wap. Si R(0,t déigne le taux zéro coupon de maturité t, le taux de wap TS(n de maturité n et calculé comme uit: TS( n R(0, TS( n TS( n ( R(0, ( R(0, n n 00 d où TS ( n 00 n ( R (0, n i i ( R (0, i n

68 La courbe interbancaire Exemple de recontitution (6 L idée conite donc à déterminer de proche en proche le taux zéro-coupon. Connaiant le taux zéro-coupon à an, on en déduit le taux zéro-coupon à an à partir du taux de wap an. Pui, le taux zéro-coupon à 3 an à partir du taux de wap 3 an... On e retrouve donc avec une érie de taux zéro-coupon pour le maturité correpondant aux maturité de intrument du panier. Il faut enuite raccorder ce point pour obtenir une véritable courbe continue. Le méthode d interpolation claique (linéaire et cubique peuvent être utiliée. Il exite une méthode donnant de meilleure réultat qui conite à écrire le taux zéro-coupon ou forme de omme de B-pline cubique.

69 La courbe interbancaire Recontitution à partir de B-pline On dipoe de N taux zéro-coupon noté R(0, déduit de prix de intrument de marché. L idée conite à écrire le taux zéro-coupon théorique ou la forme de omme de B-pline cubique: Pui on minimie la omme de écart au carré entre le taux théorique et le taux zéro-coupon iu de prix de marché: ( l l l j j l j i l i j i l l l l a B a R ( 0, ( λ λ λ (0, (0, N i i i a R R Min l θ θ

70 La courbe interbancaire Recontitution à partir de B-pline ( Il exite une autre façon de procéder en tranformant le prix de intrument de marché (taux de dépôt, contrat future et wap en équivalent prix d une obligation, pui à écrire claiquement la fonction d actualiation ou forme de B- pline cubique (comme nou l avon fait pour la courbe d Etat. Le réultat en terme de recontitution de cette méthode ont trè proche de ceux obtenu avec la méthode précédente. Nou traçon le 9/0/000 la courbe interbancaire elon le deux méthode (voir lide uivante à l aide de B-pline cubique et de pline uivante: [0,/], [/,], [,], [,3], [3,4], [4,5], [5,6], [6,8] et [8,0]. cf MP page 76 à 78

71 La courbe interbancaire Recontitution à partir de B-pline - Exemple Interbank Curve - Cubic B-Spline Leat Squared Method Baed on Rate DATE 9/0/000 Sum of quared pread.397e-07 Average pread 0.0% Rate or Intrument Maturity Market Theoretical Spread ZC Rate ZC Rate Procedure of minimization -week Euribor 6/0/00 4.9% 4.90% 0.00% -month Euribor 0// % 5.007% 0.009% -month Euribor 9// % 5.0% % 3-month Euribor 9/0/0 5.98% 5.67% 0.03% Euribor future contract dec 00 9/03/0 5.8% 5.3% % Euribor future contract march 0 8/06/0 5.63% 5.66% % Euribor future contract june 0 7/09/0 5.80% 5.79% 0.00% Euribor future contract ept 0 7//0 5.87% 5.83% 0.004% -year wap /0/0 5.3% 5.3% 0.000% 3-year wap 0/0/ % 5.384% 0.000% 4-year wap 9/0/ % 5.465% 0.000% 5-year wap 9/0/ % 5.55% 0.000% 6-year wap 9/0/ % 5.648% 0.000% 7-year wap 9/0/ % 5.733% 0.000% 8-year wap 0/0/ % 5.803% 0.000% 9-year wap 9/0/ % 5.86% 0.000% 0-year wap 9/0/ % 5.935% 0.000%

72 La courbe interbancaire Recontitution à partir de B-pline - Exemple ( Interbank Curve - Cubic B-Spline Leat Squared Method Baed on Price DATE 9/0/000 Sum of quared pread Average pread Rate or Intrument Maturity Coupon Market Theoretical Spread Price Price Procedure of minimization -week Euribor 6/0/00 0% month Euribor 0//00 0% month Euribor 9//00 0% month Euribor 9/0/0 0% Euribor future contract dec 00 9/03/0 0% Euribor future contract march 0 8/06/0 0% Euribor future contract june 0 7/09/0 0% Euribor future contract ept 0 7//0 0% year wap /0/0 5.3% year wap 0/0/ % year wap 9/0/ % year wap 9/0/ % year wap 9/0/06 5.6% year wap 9/0/ % year wap 0/0/ % year wap 9/0/09 5.8% year wap 9/0/0 5.86%

73 La courbe interbancaire Recontitution à partir de B-pline - Exemple (3 6.00% 5.70% Zero-Coupon Rate 5.40% 5.0% 4.80% Maturity of Rate Quoted Interbank Zero-Coupon Yield Curve Fitted Interbank Zero-Coupon Yield Curve Uing Rate Fitted Interbank Zero-Coupon Yield Curve Uing Price

74 Le courbe «corporate» Nou nou intéreon au ca d une courbe «corporate» qui correpond à un rating particulier ou à un rating et un ecteur économique particulier. Il et fréquent de tracer la tructure par terme de pread zérocoupon. Cette courbe fournit l écart en terme de taux zérocoupon entre la courbe «corporate» et la courbe de référence qui peut être oit la courbe d Etat, oit la courbe interbancaire. Il exite deux façon de procéder pour obtenir la courbe de pread zéro-coupon: - la méthode dijointe qui conite à etimer éparément la courbe «corporate» et la courbe de référence, pui à en faire la différence pour obtenir la courbe de pread. - la méthode jointe qui conite à générer la courbe de référence et la courbe de pread à partir d une procédure en une étape.

75 Le courbe «corporate» La méthode dijointe Pour mettre en place cette méthode, il uffit de contituer: - la courbe de référence (Etat ou interbancaire; - et la courbe «corporate» déirée en utiliant un panier d obligation appartenant au ecteur économique et au rating auquel on intéree. Le méthode utiliée pour tracer la courbe «corporate» ont identique à celle que l on utilie pour tracer la courbe d Etat.

76 Le courbe «corporate» La méthode jointe On uppoe que l on ouhaite générer en une eule étape la courbe de référence (Etat ou interbancaire et le courbe de pread pour n clae de rique différente. On définit à la date t de recontitution: J i j i P t j i P t j i F : nombre d obligation de la i-ème clae de rique. : prix de marché du j-ème titre de la i-ème clae de rique : prix théorique du j-ème titre de la i-ème clae de rique : flux futur tombant à la date ( > t pour le j-ème titre de la i-ème clae

77 Le courbe «corporate» La méthode jointe ( Soient: ( t, : prix du facteur d actualiation en t d échéance pour la i-ème clae de rique. B i : prix du facteur d actualiation en t d échéance pour la B clae 0( t, de référence (Etat ou interbancaire. Il y a deux façon de décompoer le facteur d actualiation: - de façon additive: où S0 ( t, 0 B - de façon multiplicative: où T ( t, 0 ( t, B0 ( t, S ( t, i B ( t, B0 ( t, T ( t, i i i

78 Le courbe «corporate» La méthode jointe (3 Le premier ca et particulièrement avantageux car on écrit le fonction d actualiation ou forme de fonction linéaire de paramètre à etimer. Le deuxième ca et beaucoup plu intuitif dan la meure où il e implifie en: R C C i ( t, R0 ( t, t ( t, i bien que le taux zéro-coupon riqué apparaît comme la omme du taux zéro-coupon de référence (Etat ou interbancaire et d un pread. L idée conite alor à écrire le fonction d actualiation ou forme de fonction pline, et à minimier la omme de écart au carré entre le prix de marché et le prix théorique de obligation. C i

79 Le courbe «corporate» La méthode jointe (4 On obtient aini en une eule procédure l enemble de paramètre pour le différente fonction d actualiation, et par conéquent la courbe de référence et le i courbe de pread. L exemple ci-deou reprend le méthode dijointe et jointe. Nou conidéron une eule clae riquée, en l occurrence une élection de banque de la zone Euro de rating A. La courbe de référence et la courbe interbancaire (de meilleur rating moyen que la clae riquée. La fonction d actualiation et décompoée ou forme additive. Le fonction d actualiation ont modéliée ou forme de B-pline cubique. Nou retenon le pline [0,], [,5] et [5,0] pour la fonction d actualiation correpondant à la courbe interbancaire, et le pline [0,3] et [3,0] pour la fonction d actualiation de la clae riquée.

80 Le courbe «corporate» Exemple de recontitution Dijoint Method - Cubic B-Spline DATE 3/05/000 Sum of quared pread Average pread 0.46 Rate or Intrument Maturity Market Theoretical Spread Price Price Procedure of minimization -week Euribor 07/06/ month Euribor 30/06/ month Euribor 3/07/ month Euribor 3/08/ month derived from Euribor future contract 30// month derived from Euribor future contract 8/0/ year derived from Euribor future contract 3/05/ year wap 3/05/ year wap 30/05/ year wap 3/05/ year wap 3/05/ year wap 3/05/ year wap 3/05/ year wap 30/05/ year wap 9/05/ year wap 3/05/ BNP PARIBAS 6 07/06/0 07/06/ CREDIT NATIONAL 9.5 0/0/0 0/0/ CREDIT NATIONAL /4/03 4/05/ SNS BANK //04 /09/ CREDIT NATIONAL 6 //04 // BNP PARIBAS 6.5 /03/04 03// BNP PARIBAS /06/07 06/08/ ING BANK NV 6 0/0/07 0/0/ ING BANK NV /0/08 0/03/ COMMERZBANK AG //09 /04/ BSCH ISSUANCES /06/09 06/07/ BANK OF SCOTLAND /7/09 7/07/

81 Le courbe «corporate» Exemple de recontitution ( Joint Method - Cubic B-Spline DATE 3/05/000 Sum of quared pread.88 Average pread 0.55 Rate or Intrument Maturity Market Theoretical Spread Price Price Procedure of minimization -week Euribor 07/06/ month Euribor 30/06/ month Euribor 3/07/ month Euribor 3/08/ month derived from Euribor future contract 30// month derived from Euribor future contract 8/0/ year derived from Euribor future contract 3/05/ year wap 3/05/ year wap 30/05/ year wap 3/05/ year wap 3/05/ year wap 3/05/ year wap 3/05/ year wap 30/05/ year wap 9/05/ year wap 3/05/ BNP PARIBAS 6 07/06/0 07/06/ CREDIT NATIONAL 9.5 0/0/0 0/0/ CREDIT NATIONAL /4/03 4/05/ SNS BANK //04 /09/ CREDIT NATIONAL 6 //04 // BNP PARIBAS 6.5 /03/04 03// BNP PARIBAS /06/07 06/08/ ING BANK NV 6 0/0/07 0/0/ ING BANK NV /0/08 0/03/ COMMERZBANK AG //09 /04/ BSCH ISSUANCES /06/09 06/07/ BANK OF SCOTLAND /7/09 7/07/

82 Le courbe «corporate» Exemple de recontitution (3 Euro Bank Sector A-Swap 0 Coupon Spread Spread (in bp Maturity Dijoint Etimation Method Joint Etimation Method

83 Rich/cheap analyi Bond picking trategie

84 The bond relative value analyi The goal of that analyi i to detect rich and cheap ecuritie that hitorically preent abnormal yield to maturity, taking a reference a theoretical zero-coupon yield curve fitted with bond price. The method can be developed both for Treaury and corporate bond. We take here the example of the French Treaury bond market. We build a trategy that belong to alternative fixed-income trategie, and back-tet it from 995 to 00.

85 How it work? Bond rich-cheap analyi proceed in five tep - We contruct the adequate current zero-coupon yield curve with a pline model uing data for aet with the ame characteritic in term of liquidity and rik. - Then compute a theoretical price for each aet to obtain the pread between the market yield to maturity and the theoretical yield to maturity. 3- For each aet, we implement a Z-core analyi o a to ditinguih actual inefficiencie from abnormal yield. Thi tatitical analyi provide ignal of hort or long poition to take in the market. 4- Short and long poition are unwound according to a criterion that i defined a priori.

86 Z-core analyi At date t and for a given bond, we ue the hitorical of the 60 lat pread. - We define the value Min uch that x% of the pread are below that value, and the value Max uch that x% of the pread are above that value. i the value of the pread at date t. S t S t Min - When converge to or exceed, the bond i conidered cheap. Max Min On the other hand, when thi ratio converge to zero or become negative, the bond i conidered expenive. For other value of thi ratio, we conclude that the bond i fairly priced.

87 Example of Z-core analyi Suppoe that we obtain the following hitorical ditribution for the pread of a given bond over the lat 60 working day Hitorical Ditribution Fréqu % -0.08% -0.06% -0.04% -0.0% 0.00% 0.0% 0.04% 0.06% 0.08% Clae For x 5, Min % and Max %. One day later, the new pread i % o that the ratio i equal to.063. The bond i cheap.

88 When to unwind the poition? The iue lie in the deciion timing to revere the poition in the market. Many choice are poible. We expoe here two of them: - it can be the firt time when the poition generate a profit net of tranaction cot - another idea i to define new value Min (Max uch that y% of the pread are below thi value. For example, if the ignal i detected for x, the poition can be revered in the market for y 5, which mean that the pread ha now a more normal level.

89 Back-tet of a ytematic method on the French market - We boot the performance of a monetary fund of Eur 50 million by benefiting of arbitrage opportunitie detected by our model. - Two different fund are created: one i defenive with a leverage coefficient of a the other one i offenive with a leverage coefficient of 4. - The Z-core analyi i performed over a 00-day period. The value x, which provide the ignal to enter the poition i equal to 3%. The fixed level, which i choen to revere the poition i equal to 5%. - Short and long poition are financed by mean of the repo market. The repo rate raie by 50bp when the bond i cheap and decreae by 50bp when the bond i expenive.

90 Back-tet of a ytematic method on the French market ( - An arbitrage opportunity i a pair of bond which meet the three following rule: * one bond cheap and one bond expenive * the difference of maturity between the two bond i inferior to year. * we buy a nominal of Eur 50 million of the cheap bond and ell the expenive bond for a nominal amount N uch that the global poition i $duration neutral. - We applicate a top-time of 30 calendar day on each poition.

91 Graph reult Evolution of the Net Aet Value from 3/05/95 to 3// Defenive Fund Offenive Fund Monetary Fund /05/95 6/03/96 0/0/97 6//97 /09/98 09/07/99 04/05/00 8/0/0 5//0

92 Regular performance nb of month with poitive performance for the defenive fund: 84 (00% mean of monthly total return: 0.48% higher total return: 3.47% (ept. 95 lower total return: 0.04% (oct. 95 4,00% 3,50% 3,00%,50%,00%,50%,00% 0,50% 0,00% mai-95 ept-95 janv-96 mai-96 ept-96 janv-97 mai-97 ept-97 janv-98 mai-98 ept-98 janv-99 mai-99 ept-99 janv-00 mai-00 ept-00 janv-0 mai-0 ept-0 janv-0

93 An uncorrelated trategy / An attractive Sharpe ratio Money Market French govt 0Y MSCI Euro corporate MSCI Euro Debt SP 500 CAC 40 Defenive Fund Money Market,00 0,34 0,39 0,33-0,06-0, 0, French govt 0Y,00 0,87 0,94 0,00 0,03-0,06 MSCI Euro corporate,00 0,80 0,06 0,04 0, MSCI Euro Debt,00 0, 0,3-0,0 SP 500,00 0,68 0,08 CAC 40,00-0, Defenive Fund,00 Money French govt MSCI Euro MSCI Euro market 0Y corporate Debt SP 500 CAC 40 Def. Fund rik 0,9%,96% 3,0% 3,66% 6,09% 0,3%,73% return 3,85% 6,54% 6,7% 7,93%,4% 3,33% 5,75% Sharpe 0,9 0,758,5 0,460 0,467,097

94 Rik meaure Skewne 3.84 Kurtoi 7.58 Downide deviation 0.8% Upide deviation 0.46% Maximum drawdown 0.97% Sortino ratio 3.08

95 Leverage coefficient for the defenive fund Max PON Min PON Moyenne PON Max POA Moyenne POA Min POV Moyenne POV PON: Difference between bond bought and bond old a a multiple of the initial value of the fund (Eur 50 million POA: Total of bond bought a a multiple of the initial value of the fund (Eur 50 million POV: Total of bond old a a multiple of the initial value of the fund (Eur 50 million Leverage coefficient are multiplied by for the offenive fund.

96 Statitic on arbitrage 7 arbitrage opportunitie from 3/05/95 to 3//0 average length of an arbitrage: week - Total of tranaction cot: Eur 7.5 million - Total of repo cot: Eur -0.7 million 3- Total of gain: Eur 7.6 million 4- Total of gain for poitive arbitrage: Eur 9 million 5- Total of loe for negative arbitrage: Eur.4 million 6- Maximum gain for one arbitrage: Eur Maximum lo for one arbitrage: Eur -3845

97 Concluion At the moment, the number of arbitrage opportunitie detected by the market i about 5 in a year. To be really competitive, thi method need to be implemented on all the T-Bond market of the Eurozone. The model i alo robut to conider arbitrage opportunitie on invetment grade market.