Thermodynamique des installations industrielles
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- Marc St-Arnaud
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1 BLAISE PASCAL PT TD 10 Thermodynamique industrielle Thermodynamique des installations industrielles Flasher ce code pour accéder aux corrigés Révisions de PTSI Exercice 1 : Rafraîchir sa cuisine en ouvrant son frigo [ ] Un réfrigérateur est une machine thermique à écoulement, dans laquelle un fluide subit une série de transformations thermodynamiques cycliques À chaque cycle le fluide extrait de l intérieur de l intérieur du frigo un transfert thermique Q int, cède un transfert thermique Q ext à la pièce dans laquelle se trouve le frigo et reçoit un travail W fourni par un moteur électrique On fait l hypothèse que l intérieur du réfrigérateur et l air ambiant constituent deux thermostats aux températures respectives T int = 268 K et T ext = 293 K et qu en dehors des échanges avec ces thermostats les transformations sont adiabatiques 1 - Quel est le signe des énergies échangées? 2 - Lorsqu il fait très chaud en été, est-ce une bonne idée d ouvrir la porte de son frigo pour refroidir sa cuisine? 3 - Pourquoi cela est-il possible avec un climatiseur? Exercice 2 : Moteur à quatre temps [oral CCP PSI, ] On étudie le fonctionnement d un moteur à quatre temps dont le schéma représentatif est donné ci-dessous, de même que la représentation du cycle dans un diagramme de Watt P, V Le mélange de gaz subissant le cycle sera assimilé à un gaz parfait d indice adiabatique γ = c P /c V 1 - Identifier les différentes transformations du cycle réel sur le diagramme P, V 2 - Modéliser le cycle réel par un cycle théorique comprenant six transformations, en utilisant des transformations isochores, isobares et adiabatiques réversibles Déterminer les équations P = f(v ) correspondant à chaque transformation dans le diagramme 3 - Comparer le cycle réel et le cycle modèle, segment par segment, en explicitant les phénomènes négligés dans le cycle modèle 4 - A quoi l aire du cycle correspond-elle? 5 - Définir le rendement thermodynamique du moteur L exprimer, pour le cycle théorique établi question précédemment, en fonction des chaleurs reçues aux cours des phases isochores 6 - Calculer le rendement du cycle théorique L exprimer d abord en fonction des températures aux différents points 1/8 Étienne Thibierge, 27 octobre 2018, wwwetienne-thibiergefr
2 du cycle, puis en fonction du rapport de compression α = V 2 /V 1 et de γ Comment choisir α pour optimiser le rendement? Exercice 3 : Mélangeur de douche Exercices [ ] On s intéresse à un mélangeur de douche supposé parfaitement calorifugé L écoulement d eau chaude, de débit volumique D 1, provient d un chauffe-eau à température T 1 = 65 C Celui d eau froide, de débit D 2, est à la température T 2 = 12 C La pression est identique dans les deux canalisations et vaut P = 3 bar Déterminer les débits d eau chaude et d eau froide pour que l eau sorte du pommeau de douche à la température T = 40 C et avec un débit total D = 0,20 L s 1 Exercice 4 : Compresseurs étagés [ ] Les compresseurs mono-étagés présentent deux inconvénients majeurs : d une part, si l on souhaite obtenir des rapports de compression β élevés, la température du fluide en fin de compression est très élevée et peut dépasser la température maximale (de l ordre de 200 C) au delà de laquelle certains éléments du compresseur risquent de se déteriorer, en particulier les soupapes d ouverture et de fermeture ; d autre part, ils manquent de rentabilité Le but de cet exercice est de montrer que le travail de transvasement qui permet de faire fonctionner un compresseur étagé est, pour le même rapport de compression β, plus faible que celui d un compresseur mono-étagé On considère un fluide gazeux, modélisé par un gaz parfait, dont les capacités thermiques massiques à pression et volume constants sont respectivement c P = γ r γ 1 = 1,0 kj K 1 kg 1 et c V = r γ 1 = 0,714 kj K 1 kg 1 où r = R/M, M étant la masse molaire du gaz Partant de conditions initiales (P 0 = 1 bar, T 0 = 273 K), le fluide est comprimé jusqu à la pression P 2 = 25 bar en utilisant un compresseur à deux étages BP P 0, T 0 échangeur P 1, T 1 P 1, T 0 HP P 2, T 2 Dans l étage basse pression (BP), le fluide est comprimé de façon isentropique jusqu à la pression P 1 On note β 1 = P 1 /P 0 le taux de compression correspondant Dans l étage haute pression (HP), le fluide est comprimé de façon isentropique jusqu à la pression P 2 On note β 2 = P 2 /P 1 le taux de compression correspondant Entre les deux étages, le fluide subit un refroidissament isobare dans un échangeur thermique jusqu à retrouver sa température initiale T On définit le travail de transvasement d un compresseur comme le travail indiqué réversible réalisé en l absence de variations d énergie cinétique et potentielle du fluide Montrer que le travail de transvasement du gaz considéré dans un des compresseurs, par exemple celui de l étage BP, vaut γ w t,bp = r γ 1 (T 1 T 0 ) 2 - En déduire que le travail de transvasement total w t que doit exercer un opérateur pour «transvaser» le fluide depuis son état thermodynamique initial ET 0 jusqu à son état thermodynamique final ET 2 vaut 3 - Exprimer ce travail en fonction de T 0, β 1 et β 2 γ w t = r γ 1 (T 1 + T 2 2T 0 ) On amdet que ce travail de transvasement est minimal si la pression de l étage intermédiaire vérifie P 1 = P 0 P Calculer littéralement et numériquement β 1 et β 2 lorsque cette condition est satisfaite 5 - Calculer numériquement T 1 et T 2 dans le cas du compresseur optimisé Comparer à la température finale obtenue dans un compresseur mono-étagé fonctionnant entre les mêmes pressions P 0 et P 2 Conclure 6 - Calculer numériquement le travail de transvasement du compresseur étagé optimisé, et comparer au travail dépensé pour un compresseur mono-étagé Conclure 2/8 Étienne Thibierge, 27 octobre 2018, wwwetienne-thibiergefr
3 Exercice 5 : Turboalternateur d une centrale thermique [ ] On s intéresse à l installation représentée figure 1, qui peut modéliser n importe quelle centrale thermique (nucléaire, gaz ou charbon) De l eau liquide est chauffée par une chaudière thermique dans un générateur de vapeur, qui débite de la vapeur d eau à 550 C et 100 bar (état 1) Cette vapeur subit une détente adiabatique réversible dans une première turbine dite haute pression, d où elle sort à la pression de 10 bar (état 2) Un surchauffeur isobare, lui aussi relié à la chaudière, ramène la vapeur à la température initiale (état 3) La vapeur passe ensuite dans la seconde turbine, dite basse pression, d où sort de l eau à la température de 40 C (état 4) Cette eau est envoyée dans un condenseur d où elle sort à l état de liquide juste saturant (état 5), puis elle est pompée et renvoyée en entrée du générateur de vapeur Les arbres des deux turbines sont liés entre eux générateur de vapeur 1 surchauffeur alternateur 2 3 pompe 5 condenseur 4 Figure 1 Turbine à vapeur étagée Figure 2 Diagramme entropique de l eau 3/8 Étienne Thibierge, 27 octobre 2018, wwwetienne-thibiergefr
4 1 - Tracer le cycle parcouru par l eau dans le diagramme entropique de la figure 2 Commenter son sens de parcours 2 - En déduire la température de l eau dans l état 2 et l état de l eau dans l état Déterminer les enthalpies massiques de l eau aux cinq points du cycle 4 - Déterminer le travail massique disponible sur l arbre des turbines 5 - Si on considère que l alternateur a un rendement électromécanique de 90 %, déterminer le débit d eau à imposer pour obtenir une puissance électrique de 400 MW 6 - Quelle est la quantité de chaleur massique dépensée au surchauffeur? 7 - Calculer le rendement de ce turboalternateur en tenant compte de la production de vapeur à partir de l eau sortie du condenseur Exercice 6 : Tuyère calorifugée Annales de concours [oral banque PT, ] Une tuyère est une simple conduite de section variable, dans laquelle un gaz se détend tout en étant accéléré On étudie l écoulement d un gaz parfait dans une tuyère calorifugée On suppose négligeable la vitesse d entrée du fluide par rapport à sa vitesse de sortie Les grandeurs d entrée de la tuyère sont indicées 0 P 0, ρ 0, v 0 v s v 0 x Figure 3 Tuyère calorifugée 1 - Montrer que h(x) v(x)2 = cte, avec h l enthalpie massique du gaz et v la vitesse d écoulement dans la tuyère 2 - En déduire que avec γ le coefficient isentropique du gaz v(x) = 2γ γ 1 ( P0 P (x) ) ρ 0 ρ(x) 3 - Dans l hypothèse d un écoulement réversible, établir alors la loi de Barré de Saint Venant, [ v(x) = 2γ ( ) ] P 0 P (x) γ 1 γ 1 γ 1 ρ 0 P 0 Exercice 7 : Turbine à gaz [oral banque PT, ] De la vapeur d eau assimilée à un gaz parfait évolue dans une turbine horizontale, de section constante Σ = 1 m 2, munie d une hélice À l extérieur, la température est constante égale à T 0 = 35 C La vapeur est admise dans la turbine à la température T 1 = 400 C et pression P 1 = 6,0 bar, et ressort à la température T 2 = 100 C sous pression P 2 = 1,0 bar Le débit au travers de la turbine vaut D = 1 kg s 1 On donne l expression de l entropie molaire d un gaz parfait : S m (T, P ) = γr γ 1 ln T T 1 R ln P P 1 + S m (T 1, P 1 ) Données : masse molaire de l eau M = 18 g mol 1, coefficient isentropique γ = C P,m /C V,m = 1,3 1 - Rappeler l expression des deux principes pour un fluide en écoulement stationnaire 2 - On néglige les variations d énergie cinétique Que dire des échanges de chaleur entre le gaz et l extérieur? Montrer que la puissance cédée à la turbine est maximale dans l hypothèse d un écoulement adiabatique 3 - Calculer la variation d entropie entre l entrée et la sortie Est-ce en contradiction avec l hypothèse d un écoulement adiabatique? 4 - Calculer la puissance cédée à la turbine 5 - Calculer la vitesse du fluide à l entrée et à la sortie de la turbine Peut-on vraiment négliger la variation d énergie cinétique? 4/8 Étienne Thibierge, 27 octobre 2018, wwwetienne-thibiergefr
5 TD 10 : Thermodynamique des installations industrielles Blaise Pascal, PT Exercice 8 : Cycle réfrigérant au CO2 [oral banque PT, ] Le CO2 (R744) est un fluide frigorigène qui est de plus en plus utilisé car il est considéré comme un fluide écologique : son impact sur la couche d ozone est nul et son impact sur l effet de serre est faible 1 Ses caractéristiques thermodynamiques sont excellentes et permettent d envisager un bel avenir pour ce fluide, malgré les pressions de service beaucoup plus élevées que celles des HFC qui peuvent poser des problèmes de sécurité On s intéresse à un cycle réfrigérant, parcouru par du CO2, selon les étapes suivantes : une compression adiabatique réversible d un état 1 (P1 = 35 bar, vapeur saturante sèche) jusqu à P2 = 90 bar ; un refroidissement isobare jusqu à T3 = 40 C ; une détente adiabatique jusqu à la pression P4 = P1 ; une transformation isobare jusqu à retrouver l état de départ Le diagramme des frigoristes du CO2 est représenté figure 4 Figure 4 Diagramme des frigoristes du CO2 1 - Justifier l allure des courbes isothermes en utilisant les cas limites 2 - Dessiner le cycle sur le diagramme 3 - On utilise cette machine en fonctionnement frigorifique Dans quel sens le cycle est-il parcouru? 4 - Calculer la chaleur échangée avec la source froide 5 - Calculer l efficacité du cycle Comment l améliorer? Exercice 9 : Climatisation d une voiture [écrit ATS 2012, ] La quasi-totalité des véhicules neufs sont aujourd hui équipés d une climatisation Pour refroidir l air intérieur du véhicule, un fluide frigorigène, l hydrofluorocarbone HFC désigné par le code R134a, effectue en continu des transferts énergétiques entre l intérieur, l extérieur du véhicule et le compresseur, voir figure Les chlorofluorocarbures ou CFC, comme le fréon, sont des fluides frigorigènes qui ont été très longtemps utilisés Pourquoi ces fluides ont-ils été abandonnés? Sur le diagramme des frigoristes (P, h) figure 6 de l hydrofluorocarbone HFC, de masse molaire M = 32 g mol 1, sont représentés : la courbe de saturation de l équilibre liquide-vapeur de l hydrofluorocarbone HFC (en trait fort) ; 1 Historiquement, les fluides massivement utilisés étaient des chlorofluorocarbures CFC, au très fort potentiel d effet de serre et à fort impact sur la couche d ozone Ils ont été remplacés à partir des années 1980 par les hydrofluorocarbures HFC, sans impact sur la couche d ozone mais dont le potentiel de réchauffement global à 100 ans (qui quantifie leur impact de long terme sur le réchauffement climatique) est plusieurs centaines voire milliers de fois supérieur à celui du CO2, d où la nécessité de leur trouver des alternatives 5/8 Étienne Thibierge, 27 octobre 2018, wwwetienne-thibiergefr
6 Figure 5 Structure d un climatiseur de voiture les isothermes pour des températures comprises entre 40 C et 160 C par pas de 10 C ; les isentropes pour des entropies massiques comprises entre 1,70 kj K 1 kg 1 et 2,25 kj K 1 kg 1 par pas de 0,05 kj K 1 kg 1 ; les isotitres en vapeur sous la courbe de saturation pour des titres massiques en vapeur x V variant de 0 à 1 par pas de 0,1 La pression est en bar et l enthalpie massique en kj kg 1 Lors de l exploitation du diagramme, les résultats seront donnés avec les incertitudes suivantes : h = ±5 kj kg 1, s = ±50 J K 1 kg 1, x = ±0,05, T = ±5 C, p = ±5 % 2 - Indiquer sur le diagramme les domaines liquide, vapeur et équilibre liquide-vapeur du fluide 3 - Dans quel domaine du diagramme le fluide à l état gazeux peut-il être considéré comme un gaz parfait? On étudie dans la suite l évolution du fluide au cours d un cycle en régime permanent Le débit massique vaut D m = 0,1 kg s 1 On rappelle l expression du premier principe appliqué à un système ouvert (par exemple le compresseur) en régime permanent, D m (h s h e ) = P w + P q D m est le débit massique de fluide au travers du système ouvert ; P w est la puissance mécanique algébriquement reçue de l extérieur par le fluide en mouvement au niveau des parties mobiles du système ouvert ; P q est la puissance thermique algébriquement reçue de l extérieur par le fluide en mouvement à travers la paroi entourant le système ouvert ; h s et h e sont les enthalpies massiques respectivement en entrée et en sortie du système ouvert La puissance thermique P e reçue par le fluide dans l évaporateur permet la vaporisation isobare complète du fluide venant de (4) et conduit au point (1) à de la vapeur à température T 1 = 5 C et pression P 1 = 3 bar Aucune puissance mécanique n est fournie au fluide dans l évaporateur 4 - Placer le point (1) sur le diagramme figure 6 Relever la valeur de l enthalpie massique h 1 et de l entropie massique s 1 du fluide au point (1) Le compresseur aspire la vapeur (1) et la comprime de façon adiabatique et isentropique avec un taux de compression r = P 2 /P 1 = Déterminer P 2 Placer le point (2) sur le diagramme Relever la valeur de la température T 2 et celle de l enthalpie massique h 2 en sortie du compresseur 6 - Déterminer la valeur de la puissance mécanique P m reçue par le fluide lors de son passage dans le compresseur Commenter le signe de P m Le fluide sortant du compresseur entre dans le condenseur dans lequel il est refroidi de manière isobare jusqu à la température T 3 = 60 C 7 - Placer le point (3) sur le diagramme Relever la valeur de l enthalpie massique h 3 en sortie du condenseur Le fluide sortant du condenseur est détendu dans le détendeur supposé adiabatique jusqu à la pression de l évaporateur P 1, ce qui constitue l état (4) Un détendeur ne contient pas de parties mobiles, si bien que le fluide n y reçoit aucun travail mécanique 8 - Montrer que la transformation dans le détendeur est isenthalpique 9 - Placer le point (4) sur le diagramme et tracer le cycle complet Relever la valeur de la température T 4 et le titre en vapeur x 4 en sortie du détendeur 10 - En déduire la puissance thermique P e échangée par le fluide lors de son passage à travers l évaporateur entre (4) 6/8 Étienne Thibierge, 27 octobre 2018, wwwetienne-thibiergefr
7 Figure 6 Diagramme des frigoristes du R134a 7/8 Étienne Thibierge, 27 octobre 2018, wwwetienne-thibiergefr
8 et (1) L air intérieur du véhicule est-il refroidi? 11 - Définir l efficacité e, ou coefficient de performance, du climatiseur Calculer sa valeur 12 - Comparer cette valeur à celle d un climatiseur de Carnot fonctionnant entre la température de l évaporateur et la température de liquéfaction du fluide sous la pression P 2 Commenter le résultat obtenu 8/8 Étienne Thibierge, 27 octobre 2018, wwwetienne-thibiergefr
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