Direction Générale des Douanes et Droits Indirects. Annales des épreuves

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1 Direction Générale des Douanes et Droits Indirects Annales des épreuves

2 BN3AB09V1 CONCOURS EXTERNE POUR L'EMPLOI DE CONTRÔLEUR DES DOUANES ET DROITS INDIRECTS BRANCHE DE LA SURVEILLANCE SPÉCIALITÉ «SURVEILLANCE ET MAINTENANCE NAVALE» DES 23, 24 ET 25 MARS 2009 ÉPREUVE ÉCRITE D'ADMISSIBILITÉ N 3 (DURÉE : 3 HEURES - COEFFICIENT 3) AU CHOIX DU CANDIDAT, CE CHOIX ÉTANT PRÉCISÉ LORS DE L'INSCRIPTION OPTION A : MATHÉMATIQUES OU OPTION B : ÉLECTRICITÉ ET ÉLECTRONIQUE NAVALE OPTION A : pages 2 à 5 OPTION B : pages 6 à 8 AVERTISSEMENTS IMPORTANTS Vous devez composer dans l option choisie lors de votre inscription et uniquement dans celle-ci. Si vous composez dans une option différente ou dans les deux options, votre copie sera notée zéro. Veillez à bien indiquer sur votre copie l option dans laquelle vous allez composer ainsi que le nombre d intercalaires utilisés (la copie double n'est pas comptée). - Pour l'option A : Mathématiques, l usage de la calculatrice, d'un convertisseur, de tout matériel autre que celui d'écriture et de tout document autre que le support fourni est interdit. - Pour l'option B : Électricité et électrotechnique navale, l'utilisation d'une calculatrice scientifique non programmable, dont les mémoires sont vidées est autorisée. Toute fraude ou tentative de fraude constatée par la commission de surveillance entraînera l exclusion du concours. Le présent document comporte 8 pages numérotées. Il vous est interdit de quitter définitivement la salle d examen avant le terme de la première heure. Page 1 sur 8 Tournez la page S.V.P.

3 OPTION A : MATHÉMATIQUES - L'usage de la calculatrice est interdit. - Tous les exercices et toutes les questions doivent être traités sur la copie prévue à cet effet. - Aucune réponse ne devra être portée sur le sujet lui-même. - Chaque réponse devra être rigoureusement justifiée et devra être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte. ***** Exercice 1 : On considère (u n ) et (v n ), deux suites définies par u o = 9 et pour tout n N par : u n 1 = 1 2 u n 3 et v n = u n 6 a. Calculer les termes suivants : u 1 ; u 2 ; v o ; v 1 ; v 2. b. Montrer que (v n ) est une suite géométrique à termes positifs et préciser sa raison. c. Exprimer S n = v 0 v 1... v n puis S ' n = u 0 u 1... u n en fonction de n. d. Déterminer les limites de (S n ) et (S' n ) quand n. Exercice 2 : On considère la fonction f définie sur R {1} par : f x =x 3 9 x 1 On désigne par (C) sa représentation graphique dans O, i, j. Page 2 sur 8 Tournez la page S.V.P.

4 1/ Déterminer les limites de f en, en et en 1 (à droite et à gauche). 2/ Démontrer que la droite d'équation y=x 3 est une asymptote oblique à (C) en et en. 3/ Calculer la fonction dérivée f ' de f. 4/ En déduire le tableau de variations de f. 5/ Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse x=0. Exercice 3 : On réalise un sondage dans une société de 300 employés. Deux questions ont été posées : - "Etes-vous fumeur? " - "Pratiquez-vous un sport? " Les réponses recueillies ont permis d'établir que : 80 employés ne sont ni fumeurs, ni sportifs ; La moitié de la population sondée est constituée de fumeurs ; 20 % des fumeurs déclarent pratiquer un sport. 1/ Recopiez sur votre copie le tableau ci-dessous et complétez toutes les cases blanches. Nombre de sportifs Nombre de non sportifs Total Nombre de fumeurs Nombre de non fumeurs Total Page 3 sur 8 Tournez la page S.V.P.

5 2/ On choisit un employé au hasard dans cette population. Quelle est alors la probabilité des 4 évènements suivants? (Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles). A = " Il ne fume pas " ; B = " C'est un sportif qui fume " ; C = " Il est soit "sportif non fumeur", soit "fumeur non sportif" " ; D = "Il ne fait pas partie des sportifs qui fument". Exercice 4 : Pour se rendre sur son lieu de travail, Etienne a le choix entre 2 itinéraires : A et B. - La probabilité qu'il choisisse l'itinéraire A est de La probabilité qu'il arrive en retard sachant qu'il emprunte l'itinéraire A est de 2 5, et celle qu'il arrive en retard par l'autre chemin de On considère les 5 cas de figures suivants : (Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles). 1/ Quelle est la probabilité qu'etienne choisisse l'itinéraire B? 2/ Sachant qu'il prend l'itinéraire A, quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure? 3/ Quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure à son travail et qu'il soit venu par l'itinéraire A? 4/ Quelle est la probabilité qu'etienne arrive à l'heure? 5/ Sachant qu'etienne est arrivé à l'heure sur son lieu de travail, quelle est la probabilité qu'il ait emprunté l'itinéraire B? Page 4 sur 8 Tournez la page S.V.P.

6 Exercice 5 : On considère la fonction f définie sur [0, [ par : f ( x) = x 2x + 1 1/ a. Déterminer la dérivée f ' de f. b. Déterminer la limite de f en. c. Dresser le tableau de variations de f sur [0, [. 2/ Une tirelire contient n pièces de 1 euro et n + 1 pièces de 2 euros (n 1). On tire simultanément deux pièces au hasard dans cette tirelire et on considère le montant de la somme S (en euros) obtenu. On estime que tous les tirages sont équiprobables. a. On suppose que n = 7. Déterminer alors la probabilité que le montant de la somme S soit un nombre pair (le résultat sera donné sous forme d'une fraction irréductible). b. n étant un entier naturel quelconque supérieur à 1, déterminer la probabilité P n que le montant de S soit un nombre pair. c. Montrer que l'on a P n < 1 2. d. A partir de quelle valeur de n, a-t-on p n > 0,46? Page 5 sur 8 Tournez la page S.V.P.

7 OPTION B : ÉLECTRICITÉ ET ÉLECTRONIQUE NAVALE - L'utilisation d'une calculatrice scientifique non programmable est autorisée. - Tous les exercices et toutes les questions doivent être traités sur la copie prévue à cet effet. - Aucune réponse ne devra être portée sur le sujet lui-même. - Chaque réponse devra être rigoureusement justifiée et devra être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte. - Tous les schémas et diagrammes à réaliser doivent être accompagnés d'un commentaire expliquant la valeur de leurs symboles. ***** Exercice n 1 Réseau de distribution Un réseau triphasé avec neutre distribué, 380 V entre phases, 50 Hz alimente une installation comprenant : - un moteur M 1 de puissance utile P 1 = 7 kw, de rendement η 1 = 0,95 et de facteur de puissance cos φ = 0,8 ; - un moteur M 2 de puissance utile P 2 = 4 kw, de rendement η 2 = 0,88 et de facteur de puissance cos φ = 0,85 ; lampes de 40 W réparties régulièrement entre phases et neutre de façon à constituer un système équilibré Calculez l'intensité du courant en ligne Calculez le facteur de puissance de l'installation. Pour améliorer le facteur de puissance, trois condensateurs identiques de capacité C sont montés en étoile Calculez la valeur de C pour relever le facteur de puissance à 0, Calculez la nouvelle valeur I de l'intensité du courant de ligne. Page 6 sur 8 Tournez la page S.V.P.

8 Exercice n 2 Transformateur triphasé Une plaque signalétique d'un transformateur porte les indications suivantes : Dy 11 N 440/200V - 50 Hz - 50 kva. 1. Précisez ce que signifient ces inscriptions. 2. Indiquez si ce transformateur peut être couplé avec un transformateur sur lequel il est indiqué Dy 7 N 440V/200V - 50 Hz - 50 kva. Dans l'affirmative, expliquez comment procéder. 3. Présentez le ou les avantage(s) d'un transformateur de type Dy par rapport à un transformateur de type Yy. Exercice n 3 Moteur asynchrone Les valeurs nominales suivantes sont relevés sur la plaque d'un moteur asynchrone triphasé : - puissance utile : 4 kw ; - vitesse : 1446 tr.min -1 ; - rendement : 0,80 ; - cos φ : 0,84 ; - tension d'alimentation : 220 V/380 V ; - fréquence : 50 Hz ; - rapport couple démarrage/couple utile : 2,2. À l'aide de ces indications, calculez : 1.1. le nombre de paire de pôles ; 1.2. le glissement à vitesse nominale ; 1.3. le couple nominal et le couple de démarrage. Page 7 sur 8 Tournez la page S.V.P.

9 La tension d'alimentation est de 380 V, déterminez : 2.1. le couplage des enroulements ; 2.2. la valeur efficace du courant nominal. On suppose qu'entre la vitesse de synchronisme et la vitesse nominale, le couple du moteur est directement proportionnel au glissement. On mesure une vitesse de 1475 tr.min Déterminez le couple développé par le moteur La fréquence du réseau étant maintenant de 60 Hz, calculez la nouvelle vitesse nominale du moteur. 4. Indiquez sur quel type de réseau ce moteur devrait être couplé pour pouvoir utiliser un démarrage étoile triangle : V / 220 V ; V / 380 V ; V / 660 V ; 5. Dessinez sur votre copie, le schéma de commande et de puissance d'un démarrage étoile triangle d'un moteur asynchrone triphasé avec inversion du sens de marche. Un voyant devra s'allumer une fois le moteur couplé en triangle. Page 8 sur 8

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