Spé PC* pour le 14 Septembre 2018 DM DE PHYSIQUE N 1

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1 Spé PC* pour le 14 Septembre 2018 DM DE PHYSQUE N 1. THERMOMÉTRE OPTQUE PAR RESSTANCE La température est après le temps, la deuxième grandeur physique la plus fréquemment mesurée. Pour des températures supérieures à 660 C, on utilise les relations entre la température d un corps et le rayonnement (infrarouge ou visible) que ce corps émet. Cette méthode, utilisée par exemple dans les pyromètres optiques ou les bolomètres dans le domaine de l imagerie thermique, présente l avantage de déterminer sans contact la température d un corps, celui-ci pouvant être alors situé à grande distance ou dans un environnement hostile. On notera T une température exprimée en Kelvin et θ cette même température exprimée en degré Celsius. On rappelle que T (en K) = θ (en C) 273. D une façon générale, la valeur d une résistance dépend de sa température T. On caractérise cette dépendance par le coefficient de température, noté α R défini comme : α R =.1. Étude d une thermistance. 1 R(T ) dr(t ) dt. On considère une thermistance, dont la résistance est fonction de la température suivant la loi : = R 0.exp B 1 T 1 T 0, où B est considéré comme constant dans le domaine de températures envisagé. On a représenté sur la figure 1 ci-dessous en échelle semi-logarithmique la variation de R en fonction de 1/T. 10 MΩ 1 MΩ 100 kω 10 kω 1 kω 100 Ω T (K) 10 Ω T Figure 1

2 1. Préciser la dimension de B et calculer sa valeur avec 2 chiffres significatifs. 2. Exprimer le coefficient de température de la thermistance et le calculer à 25 C. 3. L ordre de grandeur du coefficient de température des résistances métalliques autour de 25 C est typiquement de 0,5 % / C. aut-il mieux utiliser une résistance métallique ou la thermistance précédente pour réaliser un capteur de température résistif?.2. Linéarisation du capteur. La thermistance est alimentée par un courant et on mesure la tension à ses bornes : la caractéristique de ce capteur est fortement non linéaire. On cherche à linéariser la réponse () en plaçant en parallèle sur la thermistance un résistor passif de résistance R P. On note R // la résistance équivalente du dipôle ainsi formé (figure 2). 4. Montrer que la linéarisation au voisinage d une température T 1 correspond mathématiquement à l existence d un point d inflexion de la fonction R // (T ) pour la température T 1 (soit d 2 R / /(T ) = 0). dt 2 T=T 1 5. Donner l expression de R //. En déduire que la valeur de la résistance R P permettant cette linéarisation s écrit : R P = R(T 1 ) B 2T 1. Une telle linéarisation est-elle réalisable autour de θ 1 = 25 C, avec la thermistance B 2T 1 étudiée? 6. Exprimer le coefficient de température α thl (T 1 ) du dipôle linéarisé en fonction de α R (T 1 ), R(T 1 ) et R P. Quel inconvénient la linéarisation ainsi effectuée présente-t-elle? Calculer α thl (T 1 )..3. Le système de mesure. La thermistance linéarisée précédente, notée THL, dont la résistance peut s écrire sous la forme : R thl (T) = R(T 1 )[1 α thl.(t T 1 )] est montée dans un pont de Wheatstone (fig 3) avec trois résistances fixes de valeur = R(T 1 ). On prendra : R(T 1 ) = Ω. α thl = 1, K 1 Le pont est alimenté par une source de courant continu idéale 0, de valeur fixée 0 = 1 ma. thermistance Figure 2 R p thermistance linéarisée (THL) 7. Exprimer la tension de mesure u mes = D C en fonction de R thl (T ), et 0. R1 0 3umes En déduire que l on a : R thl (T ) =. R1 0 umes 8. Montrer, en effectuant un développement limité au premier ordre, que u mes peut s écrire sous la forme : u mes = β(t T 1 ), où β est une constante qu on exprimera en fonction de α thl, et 0. Calculer numériquement β. On conservera dans la suite du problème cette expression linéarisée de u mes. On place l ensemble du pont précédent dans une enceinte thermostatée à la température T e = T Quelle valeur de la tension de mesure pourrait-on attendre en raisonnant de façon trop simpliste? On mesure en fait une tension de déséquilibre du pont u mes = 3 m. 10. Calculer la résistance du dipôle THL et en déduire son échauffement δθ = T T e. Les questions 11 à 15 ne seront traitées que par les 5/2. Le résultat de la question 15 est utilisé pour la suite

3 On interprète l auto échauffement de THL en prenant en compte d une part la puissance P J dissipée par effet Joule et d autre part la puissance thermique dissipée par convection avec l enceinte, proportionnelle à l écart δθ. On notera K a le coefficient de proportionnalité, exprimé en W.K 1. Soit m la masse du dipôle THL et c sa capacité thermique massique, supposée constante. 11. Le capteur a la forme d une plaquette carrée de coté de longueur L et d épaisseur e, de conductivité thermique λ, supposée constante. On considère que les transferts thermiques, conductifs et convectifs se font suivant la direction perpendiculaire à la face carrée, la conduction obéissant à la loi de Fourier. Former deux durées caractéristiques d évolution de la température du capteur, l une relative à la conduction seule, l autre à la convection seule et montrer que le transfert par conduction peut être négligé si on a : e << λl2 sera supposée réalisée dans la suite. Ka, hypothèse qui 12. A partir d un bilan thermique appliqué au dipôle THL, et en justifiant les signes des différents termes, établir l équation différentielle en δθ. 13. Exprimer, en fonction des paramètres m, c et K a un ordre de grandeur de la durée τ du régime transitoire. Lequel de ces paramètres est-il le plus facilement ajustable pour diminuer cette durée? Exprimer en régime stationnaire, la relation liant P J, K a et δθ. 14. Établir l expression de la puissance P J dissipée par effet Joule dans le dipôle THL en fonction de 0, et R thl (T ). Faire l application numérique pour la valeur θ e = 25 C de la température de l enceinte. En déduire la valeur du coefficient K a. Compte tenu du domaine de températures envisagées, on constate que la puissance dissipée par effet Joule P J et l auto échauffement de THL sont pratiquement constants, qu on fixera à leurs valeurs moyennes : PJ = 1,25 mw et δθ = 0,16 C. 15. La thermistance linéarisée absorbe par rayonnement la puissance thermique φ a. Montrer qu en régime stationnaire, l échauffement total ΔT de THL s écrit : ΔT = δθ φa En vue de traiter le signal, on souhaite obtenir une tension, qu on notera u S, directement proportionnelle à la puissance φ a absorbée par la thermistance. On considère pour cela le montage décrit sur la figure 4. Les amplificateurs opérationnels (A.O.) sont supposés idéaux et fonctionnent en régime linéaire (leur fonctionnement est décrit en annexe en fin d énoncé). Un générateur idéal de tension continue réglable délivre la tension U 0. Figure 4 C (2) U 2 A.O.2 - S 2 Ka. R thl (T) 0 x.r 0 R 0 R 0 S S A.O.3 S 3 u S D (1) U 1 - A.O.1 S 1 U 0

4 Le signal de mesure u DC = U 2 U 1, faible, est transmis à un système de détection chargé d éliminer les «bruits» présents (continus ou alternatifs). On suppose en pratique qu existe un même signal parasite sur les fils de liaison de résistance nulle, notés (1) et (2). Une résistance variable, notée x.r 0 est placée entre les entrées inverseuses des amplificateurs opérationnels A.O.1 et A.O Exprimer la tension S2 S1 en fonction de U 2 U 1 et x. Exprimer la tension u s en fonction de U 0 et S2 S En donnant à U 0 une valeur particulière qu on exprimera en fonction de β, x et δθ, montrer que le montage de la figure 4 permet d avoir u s = G. φ a. On donnera G en fonction de β, x et K a. 18. Application numérique : on veut G = 24.W 1. Calculer x et U 0. Annexe : L amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. L amplificateur opérationnel (A.O ou A.L.) représenté ci-dessous est un composant électronique permettant d amplifier la différence de potentiel entre les entrées (entrée non inverseuse) et (entrée inverseuse). i i - s(t) Un A.O (ou A.L.) idéal vérifie les propriétés suivantes : 1. les courants d entrée i et i sont nuls ; 2. lorsque l A.O idéal fonctionne en régime linéaire on a = et s (t) < sat 12.

5 . MULTPLCATEUR DE SCHENKLE Nous étudions dans cette partie le bloc représenté ci-dessous (schéma 1) appelé multiplicateur de Schenkle. l est constitué d'une association de cellules élémentaires (schéma 2). Le fonctionnement des diodes est le suivant: diode bloquée: i = 0 et u < 0 diode passante: i > 0 et u > 0 avec i fonction croissante de u. L'intensité i (sens conventionnel donné par le symbole de la diode) et la tension u aux bornes de la diode sont prises en convention récepteur. Pour (i = 0, u = 0) une diode est à la limite de devenir passante ou de se bloquer. On donne : C 4 = C 5 = C 6 = C 7 = C 8 = C 9 = C = 0,1 µf. On commence par étudier une cellule élémentaire du multiplicateur représentée ci-dessous (voir schéma 2). On considère qu'en sortie de l étage précédant le bloc, en N, on obtient un courant constant = 15 ma dont le sens varie périodiquement. N C 4 A C 5 C 6 N v C4 C4 A D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 U NM D1 D2 B E C 7 F C 8 C 9 = 13, 5 v PM P B E = 13, 5 v C7 C7 F v FM Schéma 1 7 : multiplicateur : de de Schenkle Schéma 2 8 : cellule : élémentaire 1 ) Phase 1. On considère qu'à t = 0, les condensateurs C 4 et C 7 sont déchargés et U NM = E = 13,5. a) Déterminer à t = 0 l'état des diodes D 1 et D 2. b) En déduire, en s'aidant d'un schéma équivalent, le fonctionnement de la cellule jusqu'à l'instant t 1, au bout duquel v C4 atteint sa valeur limite. Exprimer et calculer t 1. 2 ) Phase 2. On considère qu'à t > t 1, U NM bascule à la valeur E = 13,5. On choisit t 1 comme nouvelle origine du temps. a) Déterminer à la date t l'état des diodes D 1 et D 2. b) En déduire, en s'aidant d'un schéma équivalent, le fonctionnement de la cellule jusqu'à l'instant t 2 où la diode D 2 se bloque. Exprimer et calculer t 2. Les phases suivantes ne sont pas étudiées. 3 ) On montre que v C7 tend vers 2E. a) Quelle est la valeur limite de v FM? b) On cherche la valeur limite de v PM. Rechercher la valeur commune de la tension aux bornes des condensateurs pour laquelle le multiplicateur de Schenkle n'évolue plus quelle que soit la valeur de U NM ( E ou E). En déduire la valeur limite de v PM. Justifier le nom de multiplicateur attribué au montage.