UF1 : Généralités et électrocinétique des régimes continus (DC Circuit analysis) Electricité I. Fascicule d'exercices de Travaux Dirigés

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1 UF1 : Généralités et électrocinétique des régimes continus (DC Circuit analysis) lectricité I Fascicule d'exercices de Travaux Dirigés Nombre de séances de TD prévues : 9 Contrôle écrit : 1, durée 1h15. Prérequis pour lectricité II. Important : La totalité des exercices ne pourra pas être traité dans le temps imparti : les choix pédagogiques seront faits par l enseignant. Les étudiants sont fortements incités à chercher par ailleurs les applications non couvertes en séance de ce cahier, ou encore sur d autres sources, l essentiel étant qu un réel effort de recherche ait été fourni! Des corrections ou des pistes de recherche seront alors proposés selon les cas à l appréciation de l enseignant. GNLITS Séances 1-2 I - Dimensions 1) Les dimensions en électricité. a) Quelles sont les dimensions d'un champ électrique, d'une tension, d'une résistance? b) La tension aux bornes d'un condensateur de capacité C lors de la décharge dans une résistance est t C donnée par u( t) = U 0 e. Donner les dimensions de C. c) Déterminer les dimensions de L et LC. (L est le coefficient d'auto-induction d'une bobine) 2) Les dimensions dans d autres domaines Mécanique classique : Quelles sont les dimensions d'une force, d'une pression, d'une énergie, d'une puissance? La constante de gravitation G a-t-elle une dimension? Mécanique des fluides : a) Coefficient de viscosité. Pour caractériser la nature de l'écoulement, visqueux ou turbulent, d'un fluide dans une canalisation on définit un nombre appelé nombre de eynolds. D.V. ρ. = η où D est le diamètre de la canalisation V la vitesse du fluide la masse volumique du fluide ρ nombre sans dimension Déduire de l'équation aux dimensions celle du coefficient de viscosité du fluide η. b) nalyse dimensionnelle. L'expérience a montré que la force subie par une sphère immergée dans un fluide en mouvement dépend: - du coefficient de viscosité η du fluide. - du rayon r de la sphère. - de leur vitesse relative v.

2 Trouver l'expression de cette force en la supposant de la forme sans dimension). F x y z = kη r v (k est un coefficient numérique II Unités : Quelques unités pratiques de pression (non traité en TD). a) L'unité pratique couramment utilisée par les techniciens du vide est le torr (abbréviation de TOICLLI) ou mm de mercure. Combien un torr vaut-il de pascal? La masse volumique du mercure est? 3 ρ = 13,6t /m b) n météorologie les pressions sont exprimées en hpa. Combien la pression atmosphérique normale (760 torr) vaut-elle d'hectopascal, de 2 kgf /cm? c) Dans les revues anglaises les pressions sont couramment exprimées en psi ou en même sur les pneumatiques des véhicules et des cycles. 2 1 psi = l bs / in = 1 pound-weight per square inch, 1 pound-weight = 0,453 kgf et 2 1 inch = 2,5410 m. Donner la valeur de la pression atmosphérique en psi. éponses a) 1 torr = 133,3 Pa b) 1013,25 hpa ou 1,033 kgf/cm2 c)14,7 psi III Calculs de variations 1) Calcul de variations : variation de puissance en régime sinusoïdal 2 l bs/in. Il en est de La puissance dissipée par effet Joule dans un dipôle linéaire est donné par la fameuse relation P= 1 UI cos( ϕ) 2, dans laquelle U et I sont les amplitudes de la tension et de l intensité aux bornes de ce dipôle, et ϕ le déphasage entre eux. a) quelle est la puissance dissipée pour un dipôle avec U=2V, I= 100m et ϕ=45? b) Ce même dipôle subit une variation sur U de +20mV, sur I de 5 m et sur ϕ de 3. Utiliser le calcul différentiel pour trouver la variation de puissance consommée. c) Trouvez la relation que doivent respecter du, di et dϕ pour que ces trois variations simultanées (respectivement sur U, I et ϕ) ne modifient pas la puissance consommée par le dipôle. James Joule ( ), physicien anglais,est célèbre pour ses travaux en thermodynamique et en électricité. Cette celèbre loi a été une étape pour la vérification expérimentale de la conservation de l énergie. 2) Sensibilité d'un capteur de position résistif Un système de détection d'angle basé sur un potentiomètre (résistance variable) est présenté ci-après. Une tige entraîne par rotation un curseur qui repéré par un angle α, pris positif dans le cas de la figure. On mesure en permanence la résistance vue entre les points et, qui dépend donc de la position du curseur sur la piste résistive circulaire. La piste circulaire a une résitance totale de valeur 0 et on modélise également la résistance des fils d'amenée par les deux résistances de valeur. a) Montrer que pour la position symétrique du curseur α=0, l'ensemble est électriquement équivalent à 2 résitances en parallèle dont on donnera la valeur commune. b) Déterminer alors la résistance équivalente vue entre et pour une α=0 puis pour une valeur de α quelconque (éviter de développer l'expression obtenue). c) On se place dans le cas où 0>>. Déterminez l'expression de la résistance vue entre et et dire si c'est une loi linéaire en α. Calculer alors la sensibilité du capteur ( quantité ) et montrez qu'il n'est peut-être pas adapté pour les mesures de petits angles. d) Proposer une modification de ce montage si on veut justement s'en servir pour mesurer de petits angles.

3 0 α α [-Π,Π], ci-dessus α>0 Séances 3-4 II ssociations de dipôles résistifs 1. Trois résistances égales sont connectées comme l'indique la figure. Quelle est la résistance mesurée entre et? Circuit 0 "Illusion d'optique" C D 2. Déterminer dans chaque cas la valeur de la résistance équivalente entre les points et 2 0,5 Circuit 1 "les poupées russes" ,5 1 2 Circuit 2 " quoi sert le fil?..." 3 4 Circuit 3 "Made in prépa" C 4 4 G D 6 F 6 H ntraînement : dans le circuit ci-dessus, déterminez également la résistance équivalente vue entre C et D, entre et F (on suppose et déconnectés).

4 Georg Ohm ( ), scientifique allemand, se passionne pour les mathématiques et l électromagnétisme, au point d abandonner son projet de fonder une famille. La loi fondamentale qu il établit à erlin ne lui a même pas permis d obtenir un poste d enseignant titulaire! III Diviseurs de tension (à vide et "chargés"), diviseur de courant Déterminer les grandeurs recherchées en fonction des données du problème. Les symboles utilisés ci-dessous sont courants en électronique (on pourra à chaque fois faire un schéma équivalent afin de mieux comprendre ce symbolisme). Vcc Vcc Vcc I1? 1 1 VS? VS? 10 VS? I I2? I3? 3 xprimer les intensités en fonction de I et des Gi = 1/i. Circuit 1 "La belle théorie" Circuit 2 "Un pont bien chargé" Circuit 3 "Un pont peu chargé" Circuit 4 "Diviseur de courant"

5 Séances 5-6 IV Circuit à une maille 1 I a) Dans le circuit, déterminer l expression de I en fonction des données b) Dans le circuit, c est U que l on recherche c) urait-on pu simplifier les 3 résistances pour les calculs de a)? de b)? Circuit Circuit V tude d un réseau par plusieurs méthodes On considère le réseau linéaire représenté ci-dessous, comprenant 2 générateurs idéaux et 4 dipôles résistifs. a) Déterminer littéralement l intensité I circulant dans la résistance par les méthodes suivantes : 21 Les lois de Kirchhoff Le théorème de superposition Le théorème de Thévenin Le théorème de Norton Le théorème de Millman La méthode de simplification (Thévenin et Norton déguisés ) 21 I 1 I0 Vérifiez bien que le nombre d inconnues est égal aux équations que vous avez écrites, et que tout est bien homogène! b) 1 et I0 varient d une quantité d1 et di0 petite devant leurs valeurs respectives. xprimer la variation di de l intensité correspondante. Gustav Kirchhoff ( ), physicien allemand, a apporté sa plus grande contribution en spectroscopie et non sur les célèbres lois qu il établit pendant ses études à l université de Königsberg. Pour s entraîner : emplacer le générateur de courant par un générateur de tension de fém et déterminez le courant circulant dans la branche de 1. Proposez vous-même un circuit à étudier (on conseille un maximum de 3 inconnues). VI éseau atténuateur V1 e h VS a) Calculer le rapport d atténuation données. Vs α = en fonction des V 1 b) Quelle relation doivent vérifier les dipôles pour que la résistance d entrée (vue entre et ) soit égale à? Cette relation est supposée satisfaite pour la suite.

6 c) N : On choisit le rapport Vs α = à 0,50 ainsi que à 100 Ω. Donner les valeurs de e et h. V 1 h h h VN e V2 e V1 e VS On met bout à bout N cellules précédentes ce qui constitue un réseau atténuateur. Un générateur, idéal ou non, est sensé être connecté sur les bornes libres du réseau et impose donc la tension VN. Les tensions disponibles sont alors VN, VN-1 V1 et VS. Vs d) Déterminer l expression de en fonction de α et N. V N e) Pour un générateur de tension ayant une fém et une résistance interne G, expliciter la chute de tension à ses bornes avant et après connexion à ce réseau, en fonction des données du problème. quelle condition devient-elle négligeable devant? Dépend-t-elle du nombre de cellules? f) Donner les valeurs numériques de tous les éléments pour que le cahier des charges suivant soit respecté : Séances 7+ - les tensions disponibles doivent être de 8,00 4,00 2,00 1,00 Volts (à 1% près) - le générateur a une fém et une résistance interne G = 50Ω. - ce dernier ne doit pas débiter plus de 1 m - le réseau doit être composé d un nombre minimal de dipôles. déterminer : fém du générateur ; N, nombre de cellules ; α,, h et e. VII «double triangle» Soit le réseau passif CD ci-dessous. Calculer la résistance équivalente entre et en essayant de conserver la symétrie du problème. C a b c b a ntraînement : quelle serait la résistance équivalente entre C et D, en supposant les nœuds et déconnectés d un circuit externe? D rthur Kennelly ( ), ingénieur électricien américain, a notamment proposé l utilisation des nombres complexes dans la théorie des régimes sinusoïdaux. Il a également envisagé l existence d une couche atmosphérique ionisée qui expliquerait les reflexions des ondes radio. emarque : les transformations Triangle-étoile ou son inverse interviennent en électronique lors de la conception de filtres analogiques. Dans le domaine de l électricité de puissance, la configuration triangle ou étoile représente la base de l étude des courants triphasés et de leurs applications.

7 VIII - Puissance 1) daptation d impédance (en puissance) Un générateur de f.e.m, de résistance interne r alimente une résistance. Comment varie la puissance dissipée P() dans en fonction de ( et r sont fixés, et est un paramètre que peut choisir l utilisateur)? Faire un graphe P(), en déduire une méthode de mesure de résistance interne pour un générateur. emarque : suivant les applications considérées, on ne cherche pas toujours à réaliser cette condition d'adaptation en puissance. 2) Transport de l électricité Un générateur débite un courant d'intensité I dans un récepteur travaillant sous une tension V' à travers une "ligne" constituée par deux fils de résistance globale r. On définit le rendement η de la ligne par le rapport de la puissance P' disponible aux bornes du récepteur à la puissance P fournie par le générateur. Finalement on désigne par V la ddp aux bornes du générateur. tablir un schéma électrique qui modélise le problème énoncé. valuer le rendement η en fonction de r, P et V. n déduire un principe de transport de l'énergie électrique permettant de rendre maximal ce rendement. IX - tude des réseaux 1) xercice Déterminer pour chaque circuit le générateur de Thévenin et de Norton équivalents entre les bornes et en fonction des données du circuit : G I0 I0 Circuit 1 Circuit 2 Circuit 3 2) xercice libre Proposez vos propres circuits (3 resistances, 2 générateurs maximum) à simplifier. 3) On considère le réseau de conducteurs ci-dessous. I 2 I0 Calculer le courant I parcourant la résistance située entre et en utilisant les méthodes suggérées par votre enseignant. On pourra introduire la méthode des circuits équivalents, qui consiste à simplifier progressivement le réseau en utilisant les transformations générateur de tension générateur de courant, résistance équivalente à des associations de résistances, générateur de courant équivalent à des associations de générateurs jusqu'à l'obtention d'une seule maille dans laquelle le calcul de I est immédiat.

8 Léon Thévenin ( ), ingénieur polytechnicien en télégraphie, établit un moyen de simplifier les réseaux complexes dans le cadre du développement des transmissions télégraphiques à longue distance. dward Norton( ), ingénieur américain, a écrit 3 publications officielles dont aucune ne mentionne le circuit équivalent qui lui est associé. L équivalence de Norton figure dans un mémoire technique de la société T&T dans laquelle il était employé. Jacob Millman ( ), ingénieur américain spécialisé en D puis professeur à l université de Columbia, est reconnu pour la publication de plusieurs ouvrages de référence en électronique et en informatique. X Problème : régulateur à diode Zéner. On considère le montage suivant, mettant en œuvre une diode Zéner 1N5521 de tension zéner UZ de 4,3 Volts et dont les caractéristiques sont jointes ci-après sur sa fiche de données dite «data sheet». Le générateur de tension est supposé idéal et de fém >Uz. La résistance de charge c peut prendre n importe quelle valeur. Valeurs numériques (en valeur absolue) : =8,6 V =1kΩ Z = à déterminer Uz = 4,3 V. U I I c US Zéner UZ U Pente 1 z Pour une fois, il y a un dipôle non linéaire Une des méthodes pour faciliter l analyse du circuit est de simplifier toute la partie «linéaire», en utilisant notamment les théorèmes de Thévenin ou de Norton. 1) emplacer la partie linéaire du réseau comprenant, et C par son générateur équivalent de Thévenin. 2) quelle condition sur C a) la diode est-elle bloquée (bloquée I=0)? b) la diode est en mode «Zéner» (c est-à-dire U > Uz)?.N. 3) On suppose la diode en mode Zéner. a) D après les données du constructeur, donner une évaluation de la valeur de z. b) emplacer la diode par un dipôle linéaire équivalent. c) On suppose que la f.é.m du générateur varie légèrement d une quantité d. valuer tenant compte du fait que et C sont grandes devant Z. d) Justifier alors la dénomination de «régulateur» de tension. du s d en Clarence Melvin Zener ( ), physicien américain qui a décrit le phénomène électrique utilisé par la diode qui porte son nom en reconnaissance des laboratoires ell. Sa plus grande distinction cependant a été la médaille ingham pour sa contribution majeure dans le domaine de la rhéologie (étude des ecoulements de la matière).

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11 XI Problème : modèle dynamique de montage amplificateur à transistor. Dans ce problème une modélisation d un montage à transitor bipolaire est proposée : aucune connaissance particulière de ce composant n est requise. i g p hie hfe.i 1 h oe e 1) emplacer la partie «générateur» comprenant e, g et p par son générateur équivalent de Thévenin. 2) Donner les dimensions de hie, hfe et hoe ( ce sont les paramètres hybrides du transistor qui sont référencés dans les fiches de données constructeur) 3) Déterminez la fém du générateur de Thévenin équivalent du montage global déterminé par les bornes et, en fonction de hie, hoe, e et e avec e = (g//p )+ hie et l hypothèse g<<p. 4) Comment définiriez-vous le gain en tension V de ce montage? Faire l N avec les valeurs typiques du constructeur pour les hxx et en prenant p= 10kΩ, g = 50Ω.

12 nnexe : xtraits d'examen d'électricité xtrait 1 : Théorèmes généraux de l électricité (8 points) On considère le circuit ci-contre comprenant 3 dipôles résistifs, un générateur idéal de tension continue de fém et un générateur idéal de courant continu de courant de court-circuit I cc. 1) Trouver l expression du courant I, en fonction de,i cc et en appliquant les lois de Icc Kirchhoff (calcul direct). 2 2) Déterminez I par une autre méthode que vous expliquerez succinctement. I 3) Calculez I pour =4,50 V, I cc =15m et =1kΩ. 4) Calculer littéralement et numériquement la puissance fournie par le générateur de courant au circuit. xtrait 2