Cahier de vacances - Préparation à la Première S

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1 Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0 ou 5 derniers jours de vacances, histoire de vous remettre dans le bain et de vous entraîner aux calculs qui vont être nombreux et rapides dès la rentrée. Par ailleurs, je m y réfèrerai tout au long de l année de Première pour vous permettre de réviser au début des chapitres. Malgré toute ma bonne volonté, il se peut qu il contienne des erreurs ou des imprécisions. Pour toute question ou correction, vous pouvez me contacter par mail : Bonne vacances! Mme Guy, professeur de mathématiques et professeur principal de S.

2 Table des matières I Calcul numérique 3 Avec des fractions Avec des racines carrées Avec des puissances II Calcul algébrique 4 Forme d une expression Développer, factoriser une expression Équations a Équations de la forme f(x) = k b Résolution graphique c Résolution algébrique Inéquations de la forme f(x) > k a Résolution graphique b Signe d une fonction c Résolution algébrique Choisir la bonne forme III Fonctions Variations Fonctions de référence a Fonctions affines b La fonction carrée c Trinômes du second degré IV Vecteurs 8 Coordonnées Normes et distances Colinéarité

3 I Calcul numérique Avec des fractions Pour tous a, b 0, c, d 0, k : L inverse de a b est b a. a b + c d = ad bd + bc bd k a b = ka b a b c d = ac bd Diviser par un nombre, c est multiplier par son inverse. = ad + bc bd. Calculer : (a) (b) (c) (d) (e) (f) 8 7 ( ) 2 Avec des racines carrées Soit a un nombre. Le nombre a désigne le seul réel positif (ou nul) dont le carré vaut a. Pour tout a 0 : a + b = a + b Attention a + b a + b a b = a b a 2 = a a = a2 = a. Simplifier les écritures suivantes :

4 (a) (b) (c) (d) (e) 5 8 (f) (g) 4 (h) 36 (i) 2 (j) ( 5) 2 (k) 2 9 (l) 3 6 (m) (n) (o) (p) (q) 2 4 ( 3) 2 5 (r) 6( 6 )2 (s) 8 (t) 28 (u) 45 (v) 96 (w) 00 (x) Avec des puissances Soient a et b deux nombres réels non nuls et m, n et p trois entiers relatifs : a 0 = a m a p = a m+p a m a p = am p (a b) n = a n b n ( a b )n = an b n (a m ) p = a mp. Simplifier (a) (b) (c) (d) 3n+ 3 n 4 n (e) (f) 4 n+2 3 n 2n+ 3n+ 2 n II Calcul algébrique Forme d une expression Dans chacun des cas suivants, indiquez la forme de l expression (somme, différence, produit, quotient) :

5 A = (x 5)(x + 8) B = x 2 + x C = 2x + (x 3)(2x + ) D = x(2 + 3x) E = (x + 3)x + 7 F = x 2 (3x + ) 2 G = x x H = 3x + 4 x 2 I = (x + 3)(x 2)x + J = (x 4) 2 2 Développer, factoriser une expression Développer une expression, c est l écrire sous la forme d une somme. Factoriser une expression, c est l écrire sous la forme d un produit. Distributivité Développer k (a + b) = k a + k b Factoriser Double distributivité Développer (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d Factoriser Identités remarquables Développer (a + b) 2 = a a b + b 2 (a b) 2 = a 2 2 a b + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 Factoriser. Développer et réduire les expressions suivantes (2x) (3x) ( 3 a 6)2 (2 + x) (3 + x) (x 2 4) 2 (x 3) 2 2x(x + 3) 3(2x ) 3 6 ( 2x + ) (3(2t )) ( 3 x + ) 2x (2y )2 (y + 2) (x 2 3) 2 ( t + 4) 2 4(t + ) 2

6 2. (a) Développer (x + y) 2 (x y) 2. (b) Sans calculatrice, calculer Parmi les expressions suivantes, reconnaître celles qui sont la différence de deux carrés et les factoriser : A = x 2 6 B = ( + x) 2 (5 2x) 2 C = ( + x) 2 + ( 7 + 2x) 2 D = (3 4x) 2 4 E = (9 5x) 2 2 F = (8x + ) 2 G = (x 5) H = x I = x 2 9 J = (x 4) 2 4. Factoriser 2x(x ) + 3x (x + )(x + 2) + 5(x + 2) x 2 6x 3x 2 + x x 2 + 2x + (2x ) 2 (x 3) 2 x 2 20x (x + ) 2 b 2 3b x (x 2)(x + ) x 2 + 8x 6 6x 2 8 (9x 2 ) 25) + (6x + 0) x 2 4x + 4 (x 2)(7 x) 2(x ) 2 + 3x 3 3x + 4xy 25 (x + ) 2 8 x 2 2x 2 + 7x x x Équations Soient k un nombre réel, f et g deux fonctions définies sur le même domaine D. a Équations de la forme f(x) = k On appelle solution de l équation f(x) = k tout réel a de D vérifiant f(a) = k. Résoudre l équation f(x) = k consiste à déterminer l ensemble S de ses solutions. b Résolution graphique Les solutions de l équation f(x) = k sont les abscisses des points d intersection de la courbe C f et de la droite y = k. Exemple

7 L équation f(x) = admet trois solutions : S = 2; ; 2. L équation f(x) = 2 n a pas de solution : S =. L équation f(x) = 3 admet une infinité de solutions : S = [; 4]. Remarque Résoudre l équation f(x) = k revient à déterminer les antécédents de k par f.. Résoudre par lecture graphique les équations suivantes : (a) f(x) = 4. Solutions : (b) f(x) =. Solutions :

8 O 2. Résoudre par lecture graphique les équations suivantes : (a) f(x) = 3. Solutions : (b) f(x) =. Solutions : O c Résolution algébrique Deux équations (E) et (E ) sont dites équivalentes quand elles ont le même ensemble de solutions. On note (E) (E ). Pour transformer une équation en une équation équivalente, on peut : développer, factoriser, réduire certains termes ; ajouter ou soustraire un même terme à chaque membre de l équation ; multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre non nul. Résoudre algébriquement les équations suivantes. En traçant la fonction correspondante à l écran de votre calculatrice, vérifier le résultat : 5x + = 0 4x 2 = 4 Un produit est nul si et seulement si l un de ces facteurs est nul : (A B = 0) (A = 0 ou B = 0).

9 Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul : ( ) A B = 0 (A = 0 et B 0). Soit f(x) = (x 4) 2 + 2x(x + 5) 7.. Démontrer que pour tout réel x, on a : f(x) = 3x 2 + 2x et f(x) = (3x )(x + ). 2. Quelle est la forme développée de f(x)? Quelle est la forme factorisée de f(x)? 3. Traiter chacune des questions suivantes en choisissant la forme qui vous semble la mieux adaptée : (a) Calculer f(0). (b) Calculer f( ). (c) Résoudre f(x) = 0. (d) Résoudre f(x) =. 4 Inéquations de la forme f(x) > k On appelle solution de l inéquation f(x) > k (respectivement f(x) < k, f(x) k, f(x) k) tout réel a de D vérifiant f(x) > k (respectivement f(x) < k, f(x) k, f(x) k). Résoudre l inéquation f(x) > k consiste à déterminer l ensemble S de ses solutions. a Résolution graphique Les solutions de l inéquation f(x) > k sont les abscisses des points de la courbe C f situés au-dessus de la droite d équation y = k. Exemple L inéquation f(x) > a pour solution S =] 2; [ ]2; 3]. L inéquation f(x) 5 n a pas de solution : S =. Résoudre les inéquations suivantes :

10 . f(x) 0. Solutions : f(x) <. Solutions : O b Signe d une fonction Déterminer le signe d une fonction f revient à comparer la position de la courbe C f par rapport à l axe des abscisses. Exemple x f(x) Dans tous les cas, donnez D f l ensemble de définition de f ; les solutions de f(x) = 0 et complétez le tableau de signe de f.

11 O D f = f(x) = 0 : S = { } x Signe de f(x) O D f = f(x) = 0 : S = { } x Signe de f(x) O D f = f(x) = 0 : S = { }

12 x Signe de f(x) O f : x x + 2 D f = f(x) = 0 : S = { } x Signe de f(x) c Résolution algébrique Deux inéquations sont dites équivalentes quand elles ont le même ensemble de solutions. Pour transformer une inéquation en une inéquation équivalente, on peut : développer, factoriser, réduire certains termes ; ajouter ou soustraire un même terme à chaque membre de l inéquation ; multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre non nul : si ce nombre est positif, on ne change pas le sens de l inégalité, si ce nombre est négatif, on change le signe de l inégalité. Résoudre algébriquement les équations suivantes. En traçant la fonction correspondante à l écran de votre calculatrice, vérifier le résultat : 3x + < 4 5x Choisir la bonne forme

13 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x 2 8x Montrer que : f(x) = (x 4) En déduire une forme factorisée de f(x). 3. Utiliser la forme la plus adaptée de f(x) pour répondre aux questions suivantes : (a) Calculer f( 3). (b) Résoudre l équation f(x) = 0. (c) Calculer f(4). Soit f la fonction définie sur R par :. Développer et réduire f(x). 2. Factoriser f(x). 3. En choisissant la forme ( la ) plus adaptée : (a) Calculer f(0), f, et f( 2). 3 (b) Résoudre l équation f(x) = 0. (c) Résoudre l équation f(x) = 48. f(x) = (3x + ) III Fonctions Soit D une partie (ou un sous-ensemble) de R. Définir une fonction f sur D, c est associer à tout nombre réel x appartenant à D un nombre réel unique noté f(x). On dit que D est l ensemble de définition de f. Le nombre réel f(x) est appelé l image de x par la fonction f. On note cette fonction : Vocabulaire f : D R x f(x) Si f(a) = b, c est-à-dire que b est l image de a par la fonction f, on dit que a est un antécédent de b. M(x; y) C f y = f(x).

14 Soit h la fonction définie sur ]-,5 ; 4] par la représentation graphique suivante :. Quelle est l image de par h? 2. Donner h( ). 3. Quels sont les antécédents de 5 par h? 4. Pour quelles valeurs de x a-t-on h(x) = 0? Ces valeurs sont-elles exactes ou approchées? 5. Quelle est l image de -,5 par h? 2 Variations Une fonction f est croissante sur un intervalle I lorsque, pour tous réels a et b appartenant à I, si a < b alors f(a) f(b) (si on a f(a) < f(b), on dit que f est strictement croissante.) Une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsque, pour tous réels a et b appartenant à I, si a < b alors f(a) f(b) (si on a f(a) > f(b), on dit que f est strictement décroissante.)

15 Une fonction f est constante sur un intervalle I lorsqu il existe un réel k tel que, pour tout réel x appartenant à I, f(x) = k. Soient f une fonction définie sur D, I un intervalle contenu dans D et a un réel de I. f(a) est le maximum de f sur I lorsque pour tout x de I, f(x) f(a). f(a) est le minimum de f sur I lorsque pour tout x de I, f(x) f(a). f est une fonction définie par sa représentation graphique :. Quel est l ensemble de définition de la fonction f? 2. Dresser le tableau de variations de f sur son domaine de définition. 3. Quel est le maximum de f sur son ensemble de définition? Donner une valeur de x pour laquelle il est atteint. 4. Quel est le maximum de f sur [0 ; 3]? Donner une valeur de x pour laquelle il est atteint. Le tableau de variation d une fonction g définie sur [-6 ; 9] est : x π 5 9 g 0 3 0

16 . Quel est le maximum de f sur [-6 ; 9]? 2. Combien 0 a-t-il d antécédents? 3. Compléter le tableau suivant : appartient à C f peut appartenir à C f n appartient pas à C f A(-5 ; 4) B(5 ; ) C(0 ; 9) D(4 ; 2) E(0 ; 2) 4. Dans le repère suivant, tracer une courbe susceptible de représenter la fonction g. 3 Fonctions de référence a Fonctions affines Une fonction affine est une fonction définie sur R par f(x) = ax + b où a (coefficient directeur) et b(ordonnée à l origine) sont deux nombres réels connus. Remarque Si b = 0, f(x) = ax et f est linéaire. Si a = 0, f(x) = b et f est constante. Théorème La représentation graphique d une fonction affine est une droite. Théorème Variations Soit f la fonction affine définie sur R par f(x) = ax + b. Si a > 0, f est strictement croissante sur R. R. Si a = 0, f est constante sur Si a < 0, f est strictement décroissante sur R. O O O

17 Calculer les coefficients directeurs et les ordonnées à l origine des fonctions affines suivantes : (a) O (b) g(5) = 3 et g(8) = 2 (c) O (d) h( 3) = 0 et h(2) =. b La fonction carrée La fonction carrée est la fonction définie sur R par f(x) = x 2. La fonction carrée est : x 0 + strictement décroissante sur ] ; 0] ; strictement croissante sur [0; + [. Variations de f : x x 2 0 C f La courbe représentative de la fonction carré dans un repère orthonormé (O; I, J) est une parabole de sommet O, symétrique par rapport à l axe des ordonnées. O c Trinômes du second degré La courbe représentative C f d une fonction polynôme du second degré f(x) = ax 2 + bx + c est une parabole, de sommet S( b 2a, f( b b ) et est symétrique par rapport à la droite d équation x = 2a 2a.

18 Cas a > 0 La parabole est tournée vers le haut et f admet un minimum y S. b x + 2a Variations de f y S Cas a < 0 La parabole est tournée vers le bas, et f admet un maximum y S. x Variations de f b 2a y S + S O b 2a b 2a O S. Dresser le tableau de variations de la fonction f définie par f(x) = x 2 6 x IV Vecteurs Coordonnées Soient A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points du plan. Les coordonnées du vecteur AB sont ( x B x A ) y B y A. Déterminer les coordonnées du vecteur AB dans chacun des cas suivants : (a) A(3; 6) et B(2; 0) (b) A( 3; 0) et B(5; 2) (c) A(4; x) et B(7; 3)

19 B (d) A Soient u ( ) ( x y et v x ) y deux vecteurs dans un repères orthonormé. ( x+x La somme des vecteurs u et v est le vecteur u + v y+y ). L opposé du vecteur u est le vecteur u ( x y). Relation de Chasles Pour tous points A, B, et C : AC = AB + BC. 2 Normes et distances Soient (x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points du plan. La norme du vecteur AB est la longueur AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2. Déterminer la longueur AB dans chacun des cas suivants : (a) A(3; 6) et B(2; 0) (b) A( 3; 0) et B(5; 2) (c) A(4; x) et B(7; 3) B (d) A 3 Colinéarité On dit que deux vecteurs non nuls AB et CD sont colinéaires s il existe un réel λ tel que CD = λ AB.

20 Les vecteurs AB et CD sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Théorème x Dans un repère, deux vecteurs u et v y colinéaires si et seulement si ils ont des coordonnées proportionnelles, c est à dire si et seulement si xy = x y. x y

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