Algèbre question 1, Juillet 2007

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1 Algèbre question 1, Juillet 2007 Résoudre dans IR l équation 2 4x+3 + 3(4 x ) 2 1 = 0.

2 Algèbre question 2, Juillet 2007 a) Déterminer les valeurs réelles des paramètres a, b, c pour que le polynôme P (x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + ax + c soit divisible par 1 x 2. b) Pour les valeurs des paramètres trouvées ci-dessus : 1. déterminer le quotient de la division du polynôme P par 1 x ; 2. factoriser P au maximum dans R 3. factoriser P au maximum dans C ; en déduire les racines complexes de ce polynôme et les représenter dans le plan de Gauss.

3 Algèbre question 3, Juillet 2007 Résoudre dans IR 3, en discutant en fonction du paramètre réel m, le système x 2y m z = 1 2x (m + 3)y + 3z = 2m (m R). mx (1 + m)y + (1 2m 2 )z = m Indiquer un résumé final de la discussion de ce système.

4 Algèbre question 4, Juillet 2007 Déterminer toutes les valeurs réelles du paramètre m pour lesquelles la matrice 2m m 1 + m 2 A = 3m m 2 m est inversible. 2m m + 1 m 2 Calculer l inverse de cette matrice dans le cas où m = 1 2.

5 Analyse question 1, Juillet 2007 Soit la fonction f de IR dans IR définie par f(x) = x e x2 et C la courbe d équation y = f(x) (C est le graphe de f ). a) La fonction f est-elle dérivable en 0? Justifier (utiliser la définition de la dérivée). b) Calculer f (x) et f (x) c) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point d abscisse 1 d) Etablir le tableau des variations de f, f et f contenant - les racines de f, f et f - les signes de f (x) et de f (x) - les extrema de f, les domaines de croissance et de décroissance de f - les points d inflexion de f et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de f e) Tracer soigneusement la courbe C d après les résultats du d).

6 Analyse question 1 (suite), Juillet 2007

7 Analyse question 2, Juillet 2007 Soient f et g les fonctions de IR dans IR définies par on note f(x) = e x, g(x) = I = 1 0 f(x)dx, J = e x, 1 0 g(x)dx a) Calculer f(x) + g(x), en déduire I + J (sans calculer I et J ) b) Calculer J et en déduire I c) Démontrer que pour tout x IR + : f(x) g(x) d) Calculer l aire du domaine D := {(x, y) IR 2 0 x 1, f(x) y g(x)}

8 Analyse question 3, Juillet 2007 a) Soit n IN. Calculer n x dx où x est le plus grand entier x. b) Soit t IR +. Calculer Indication : t t < t t 0 x dx

9 Trigonométrie question 1, Juillet 2007 a) Résoudre dans IR l équation 8x 4 8x = 0 b) Résoudre l équation cos 4z = 0 c) Déduire de a) et b) la valeur de cos π 8 et cos 3π 8.

10 Trigonométrie question 2, Juillet 2007 a) Démontrer que pour tout x IR + 0 on a b) Résoudre dans IR + l équation arctgx + arctg ( ) 1 = π x 2 arctgx + arctg(x 1) = π 2

11 Géométrie et Géométrie Analytique : Juillet 2007 Les étudiants sont priés : 1 ) d écrire lisiblement. 2 ) d indiquer leur nom et prénom dans le coin supérieur gauche de chaque feuille. 3 ) d indiquer le numéro de la place qui leur a été assignée dans le coin supérieur DROIT de chaque feuille I Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d origine 0 et d axes X et Y, on donne les points A(2, 0) et B(0, 1). Une droite mobile de coefficient angulaire k coupe l axe X au point P et l axe Y au point Q. 1) déterminer une équation cartésienne du lieu géométrique du point M d intersection des droites AQ et BP ; 2) discuter la nature de ce lieu géométrique en fonction de k ; 3) construire ce lieu pour k = 2 (faire une figure en prenant comme unité 2cm) ; 4) construire ce lieu pour k = 2 (faire une figure en prenant comme unité 2cm). II Dans l espace rapporté à un repère orthonormé d origine 0 et d axes X, Y et Z, on donne le point P (0, 3, 4). 1) établir des équations cartésiennes de la droite d parallèle à OX, passant par P ; 2) établir une équation cartésienne du plan contenant d et l axe OX ; 3) déterminer les coordonnées des sommets P et R du carré OP QR, sachant que Q est sur d et que son abscisse est positive ; 4) établir des équations paramétriques de la perpendiculaire p au plan du carré passant par le centre de celui-ci ; 5) déterminer les coordonnées des points S et S, sommets des pyramides droites dont le carré est la base et dont les hauteurs mesurent cinq unités de longueur ; 6) déterminer le cosinus de l angle aigu des arêtes SO et SP, une équation cartésienne du plan OP S, la longueur de l arête OS ainsi que le volume du polyèdre de sommets OP QRSS. III 1) Déterminer le barycentre de deux points distincts A et B de masses respectives 2 et -1. 2) Déterminer le barycentre G de trois points non alignés, A, B, C, affectés de masses égales et le barycentre G de ces mêmes points affectés de masses respectives 1, 1 et -1. 3) Soit M un point quelconque du plan ABC. Exprimer, en tenant compte des résultats du 2) les sommes vectorielles suivantes : MA + MB + MC et MA + MB MC. 4) Déterminer le lieu des points M tels que les sommes vectorielles considérées au 3) soient des vecteurs orthogonaux.

12 Algèbre question 1, Septembre 2007 Résoudre dans IR le système d inéquations 3x x < 4 12x x 14 2 x 0

13 Algèbre question 2, Septembre 2007 a) Vérifier que 3i est racine du polynôme P (x) = x 4 2x 3 + 7x 2 18(x + 1). b) Enoncer une propriété qui vous permet de déduire du a) une autre racine de P. c) Factoriser P au maximum dans C.

14 Algèbre question 3, Septembre 2007 Factoriser au maximum le déterminant a + b b + c c + a a b b c c a (a, b, c IR). a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2

15 Algèbre question 4, Septembre 2007 Résoudre dans IR 3, en discutant en fonction du paramètre réel m, le système x + (m 2 1)y + m z = m m 2 x + m 2 y (m 3 + 1)z = m 3 (m IR). (1 m 2 )x (2m 2 1)y + m 3 z = 1 m 2 Indiquer un résumé final de la discussion de ce système.

16 Analyse question 1, Septembre 2007 Soit la fonction f de IR dans IR définie par f(x) = 8 x e x2 2 et C la courbe d équation y = f(x) (C est le graphe de f ). a) La fonction f est-elle dérivable en 0? Justifier (utiliser la définition de la dérivéee). b) Calculer f (x) et f (x) c) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point d abscisse 1 d) Etablir le tableau des variations de f, f et f contenant - les racines de f, f et f - les signes de f (x) et de f (x) - les extréma de f, les domaines de croissance et de décroissance de f - les points d inflexion de f et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de f e) Tracer soigneusement la courbe C d après les résultats du d).

17 Analyse question 1 (suite), Septembre 2007

18 Analyse question 2, Septembre 2007 a) Soit la fonction de IR dans IR définie par f(x) = min{ x, x 2 } où min{a, b} est le plus petit des deux nombres réels a et b Tracer le graphe de f Pour a > 0, calculer en discutant suivant les valeurs de a. b) Calculer π 3 π 6 a a f(x)dx ln(tgx)dx Indication. Scinder cette intégrale une différence de deux intégrales et, dans l une d elles, poser u = π 2 x

19 Analyse question 3, Septembre 2007 Dans l espace euclidien IR 3 muni du repère orthonormé Oxyz, soient S la région du plan Oxy définie par { S = (x, y, 0) IR 3 π 2 x π } 2, 0 y cos2 x D le solide engendré par la rotation d un tour complet de S autour de l axe Ox. a) Faire le croquis de S b) Calculer l aire de S c) Calculer le volume de D

20 Trigonométrie question 1, Septembre 2007 Soit un triangle d angles A, B et C et dont les côtés sont de longueurs a, b et c. Démontrer que (a + b) tg A B 2 + (b + c) tg B C 2 + (c + a) tg C A 2 = 0

21 Trigonométrie question 2, Septembre 2007 Résoudre dans IR l équation 2 sin 2 x + 4 sin x cos x 4 cos 2 x = 1

22 Géométrie et Géométrie Analytique : Septembre 2007 Les étudiants sont priés : 1 ) d écrire lisiblement. 2 ) d indiquer leur nom et prénom dans le coin supérieur gauche de chaque feuille. 3 ) d indiquer le numéro de la place qui leur a été assignée dans le coin supérieur DROIT de chaque feuille I On donne un triangle de sommets A, B et C. Soit M le milieu du segment [A, B]. Calculer la longueur de la médiane [C, M] en fonction, uniquement, des longueurs des côtés du triangle. II Dans l espace rapporté à un repère orthonormé d origine 0 et d axes X, Y et Z, on donne les points M(a, 0, 0), N(0, b, 0), P (0, 0, c) et (Q(a, b, c)(a, b et c sont des réels strictement positifs). Soit d la droite qui passe par O et Q et g celle qui passe par N et P. 1) établir une équation cartésienne du plan qui est parallèle à g et qui contient d ; 2) établir une équation cartésienne du plan contenant g et qui est parallèle à d ; 3) montrer que la droite f joignant M au milieu de NP possède un point commun avec la droite d et déterminer les coordonnées de ce point ; 4) déterminer les conditions sur a, b et c pour que la droite f soit perpendiculaire aux droites d et g ; 5) déterminer dans les conditions trouvées au 4), l angle et la distance des droites d et g. III Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d origine 0 et d axes X et Y, on donne le point A(a, 0)(a > 0). 1) déterminer une équation cartésienne de la famille des cercles tangents à l axe X en O ; 2) déterminer une équation cartésienne du lieu du point de contact entre les cercles et leurs tangentes (autres que OX) issues de A ; 3) construire ce lieu pour a = 1 (faire une figure en prenant comme unité 2cm) ;