Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP

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1 1 POLYNÔMES Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 Polynômes 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n N. a K, P(X) = k=0 P (k) (a) (X a) k et en particulier P(X) = k! k=0 P (k) (0) X k. k! Pour tout polynôme P et tout entier naturel k, le coefficient de X k dans P est a k = P(k) (0). k! 2) Racines d un polynôme Ordre de multiplicité d une racine. (Pour a K et k N) a est racine de P d ordre k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X a) k Q et Q(a) 0 (si et seulement si P est divisible par (X a) k et pas par (X a) k+1 ). a est racine de P d ordre au moins k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X a) k Q (si et seulement si P est divisible par (X a) k ). Théorème. Le reste de la division euclidienne de P par (X a) k est k 1 i=0 P (i) (a) (X a) i. i! Théorème (caractérisation de l ordre de multiplicité). a est racine de P d ordre k si et seulement si P(a) = P (a) =... = P (k 1) (a) = 0 et P (k) (a) 0. a est racine de P d ordre au moins k si et seulement si P(a) = P (a) =... = P (k 1) (a) = 0. 3) Structure d anneau de K[X]. Définition. Un idéal de K[X] est une partie I de K[X] telle que : ➀ (I, +) est un sous-groupe de (K[X], +), ➁ P I, Q K[X], PQ I. Définition. Un idéal I de K[X] est prinicipal si et seulement si il est engendré par l un de ses éléments c est-à-dire si et seulement si il est de la forme I = PK[X] = {PQ, Q K[X]}. Théorème. (K[X], +, ) est un anneau principal, c est-à-dire que tout idéal de K[X] est prinicipal. 4) PGCD, PPCM, Bezout, Gauss. Théorème et définition. A et B sont deux polynômes non nuls. L idéal engendré par A et B est A.K[X] + B.K[X] = {AU + BV, (U, V) K[X]}. Le PGCD de A et B est l unique polynôme D unitaire tel que AK[X] + BK[X] = DK[X]. C est un diviseur commun à A et B et tout diviseur de A et B divise D. Les diviseurs communs à A et B sont les diviseurs de D. Théorème de Bézout. Soient A et B deux polynômes non nuls. A et B sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1. Théorème. Deux polynômes non nuls sont premiers entre eux si et seulement si ils sont sans racine commune dans C. Théorème de Gauss. Soient A, B et C trois polynômes non nuls. Si A divise BC et A est premier à B, alors A divise C. Théorème et définition. A et B sont deux polynômes non nuls. AK[X] BK[X] est un idéal de K[X]. Le PPCM de A et B est l unique polynôme M unitaire tel que AK[X] BK[X] = MK[X]. C est un multiple commun à A et B et tout multiple commun à A et B est un multiple de M. Les multiples communs à A et B sont les multiples de M. Théorème. Si A et B sont unitaires, MD = AB. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

2 2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. 5) Polynômes irreductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles Définition. Un polynôme P de degré au moins 1 est irréductible sur K = R ou K = C si et seulement si il n existe pas un diviseur Q de P tel que 1 < degq < degp. Théorème. Deux polynômes irréductibles distincts sont premiers entre eux. Théorème (décomposition en produit de facteurs irréductibles). Soit P K[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. P s écrit de manière unique à l ordre près des facteurs sous la forme P = dom(p)p α Pα k k, où P 1,..., P k sont des polynômes irréductibles sur K, unitaires et deux à deux distincts et α 1,..., α k sont des entiers naturels non nuls. Théorème (de d Alembert-Gauss). Enoncé 1. Tout élément de C[X] de degré au moins 1 admet au moins une racine dans C. Enoncé 2. Tout élément de C[X] de degré au moins 1 est scindé sur C. Enoncé 3. Tout élément de C[X] de degré au moins 1 se décompose de manière unique sous la forme P = dom(p)(x z 1 ) α 1... (X z k ) α k, où z 1,..., z k sont des complexes deux à deux distincts et α 1,..., α k sont des entiers naturels non nuls. Enoncé 4. Les polynômes irréductibles sur C sont les polynômes de degré 1. Enoncé 5. C est algébriquement clos. Lemme. Soit P R[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. Si z est une racine de P dans C, alors z est racine de P avec même ordre de multiplicité. Théorème (décomposition en produit de facteurs irréductibles dans R). Soit P R[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. P s écrit de manière unique sous la forme P = dom(p)(x x 1 ) α 1... (X x k ) α k (X 2 + a 1 X + b 1 ) β 1...(X 2 + a l X + b l ) β l, où les x i sont des réels deux à deux distincts, les (a j, b j ) sont des couples deux à deux distincts de réels tels que a 2 j 4b j < 0 et les α i et les β j sont des entiers naturels non nuls. Une telle décomposition peut être obtenue en commençant par décomposer sur C puis en regroupant les facteurs conjugués. 2 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. 2.1 Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres Valeur propre. f L(E) et λ K, E de dimension quelconque. λ est valeur propre de f si et seulement si il existe x 0 tel que f( x ) = λ x si et seulement si f λid E n est pas injectif si et seulement si E λ = Ker(f λid) { 0 } f L(E) et λ K, E de dimension finie. λ est valeur propre de f si et seulement si f λid E / G L (E) si et seulement si det(f λid E ) = 0. A M n (K) et λ K. λ est valeur propre de A si et seulement si X M n,1 (K) \ {0}/ AX = λx si et seulement si Ker(A λi n ) {0} si et seulement si A λi n / G L n (K) si et seulement si det(a λi n ) = 0. Si E est un C-espace de dimension finie non nulle, tout endomorphisme admet au moins une valeur propre. Toute matrice carrée admet au moins une valeur propre dans C. Vecteur propre. f L(E) et x E, E de dimension quelconque. x est vecteur propre de f si et seulement si x n est pas nul et il existe λ K tel que f( x ) = λ x. A M n (K) et X M n,1 (K). X est vecteur propre de A si et seulement si X n est pas nul et il existe λ K tel que AX = λx. http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

3 2.2 Sous-espaces stables 2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. Sous-espace propre. Si λ est une valeur propre de f (resp. A), le sous-espace propre associé à λ est E λ = Ker(f λid E ). Il est constitué de 0 et des vecteurs propres associés à la valeur propre λ (resp. E λ = Ker(A λi n )). Si λ n est pas valeur propre E λ = { 0 } et E λ ne s appelle pas sous-espace propre. Théorème. Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Théorème. La somme des sous-espaces propres est directe. 2.2 Sous-espaces stables Définition. Un sous-espace F de E est stable par f si et seulement si f(f) F si et seulement si la restriction de f à F est un endomorphisme de F. Les droites stables sont les droites engendrées par les vecteurs propres. Les sous-espaces propres de f sont stables par f. La restriction de f à E λ est l homothétie de rapport λ. Théorème. Soient f et g deux endomorphismes qui commutent. Alors, g laisse stable Kerf, Imf et les sous-espaces propres de f. 2.3 Polynôme caractéristique Si E est de dimension finie et f L(E), χ f = det(f XId E ). Si A M n (K), χ A = det(a XI n ). Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. L ordre de multiplicité d une valeur propre est son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique. Degré, coefficient dominant. E est de dimension n ou A est de format n. Le polynôme caractéristique est un polynôme de degré n et de coefficient dominant ( 1) n. Coefficients du polynôme caractéristique. Le coefficient de X n 1 est ( 1) n 1 Tr(A) et le coefficient de X 0 est det(a) (det(a) = χ A (0)). Plus généralement, le coefficient de X k est ( 1) k σ n k. Si (λ 1,...,λ n ) est la famille des valeurs propres de A, Tr(A) = λ λ n et det(a) = λ 1... λ n. Théorème. Si λ est valeur propre de A d ordre o(λ), alors 1 dim(e λ ) o(λ) et donc aussi o(λ) dim(e λ ). Théorème. A et t A ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant. Théorème. AB et BA ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant. Théorème. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant (réciproque fausse). 2.4 Diagonalisation Définition. Un endomorphisme de E est diagonalisable si et seulement si il existe une base de E formée de vecteurs propres de f. Si de plus, E est de dimension finie, f est diagonalisable si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale. Une matrice carrée A est diagonalisable si et seulement si A est semblable à une matrice diagonale c est-à-dire P G L n (K), D D n (K)/ A = PDP 1. Théorème. f est diagonalisable si et seulement si χ f est scindé sur K et pour toute valeur propre λ de f, o(λ) = dim(e λ ). Théorème. f est diagonalisable si et seulement si E est somme directe des sous-espaces propres. Théorème. f est diagonalisable si et seulement si dime = dim(e λ ). Théorème. Si dim(e) = n N et f admet n valeurs propres deux à deux distinctes alors f est diagonalisable et les sous-espaces propres de f sont des droites (réciproque fausse). 2.5 Polynômes d endomorphismes 1) Commutant. L ensemble des endomorphismes qui commutent avec f est le commutant de f noté C(f). C est une sous-algèbre de L(E). On rappelle que si g C(f), g laisse stable Ker(f), Im(f) et les éventuels sous-espaces propres de f. 2) Polynômes d endomorphismes. f L (E). Φ : K[X] L (E) P P(f) est un morphisme d algèbre. L image de Φ est K[f], la sous-algèbre des polynômes en f. Deux polynômes en f commutent et en particulier, K[f] C(f). http ://www.maths-france.fr 3 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

4 2.6 Sous-espaces caractéristiques 3 ESPACES PRÉHILBERTIENS 3) Polynômes annulateurs d un endomorphisme, polynôme minimal. Le noyau de Φ est l ensemble des polynômes annulateurs de f. C est un sous-espace vectoriel de (K[X], +,.) et un idéal de (K[X], +, ). Si E est de dimension finie, Ker(Φ) n est pas réduit à {0} grâce au : Théorème de Cayley-Hamilton. Si dime < +, χ f (f) = 0. Si E est de dimension finie, le générateur unitaire de Ker(Φ) est le polynôme minimal µ f de f. Il engendre l idéal Ker(Φ) ou encore Ker(Φ) = µ f K[X] ou encore les polynômes annulateurs de f sont les multiples de µ f. Théorème. µ f divise χ f. Théorème. Si λ valeur propre de f et P(f) = 0, alors P(λ) = 0, ou encore, les valeurs propres de f sont à choisir parmi les racines d un polynôme annulateur de f. Théorème. Le polynôme minimal µ f divise χ f. Toute valeur propre de f est racine de µ f et toute racine de µ f est valeur propre de f. Théorème de décomposition des noyaux. Soit f L(E) et P 1,..., P k des polynômes deux à deux premiers entre eux. Alors, En particulier, Ker((P 1...P k )(f)) = Ker(P 1 (f))... Ker(P k (f)). si P = P 1...P k est annulateur de f, et si les P i sont deux à deux premiers entre eux, alors E = Ker(P 1 (f))... Ker(P k (f)). Théorème. Si E est de dimension finie non nulle et f L (E), f est diagonalisable si et seulement si il existe un polynôme scindé à racines simples annulateur de f si et seulement si µ f (et non pas χ f ) est scindé à racines simples. 2.6 Sous-espaces caractéristiques Si χ f = ( 1) n (X λ 1 ) α 1... (X λ k ) α k, le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ i est Ker((f λ i Id) α i ). Les sous-espaces caractéristiques sont toujours supplémentaires (grâce aux théorème de décomposition des noyaux). E = Ker((f λ 1 Id) α 1 )...Ker((f λ k iid) α k ). Chaque sous-espace caractéristique contient le sous-espace propre correspondant. Théorème. f est diagonalisable si et seulement si chaque sous-espace caractéristique est égal au sous-espace propre correspondant. La restriction de f à un sous-espace caractéristique est un endomorphisme de ce sous-espace. La restriction de f λ i Id au sous-espace caractéristique Ker((f λ i Id) α i ) est nilpotente. 2.7 Trigonalisation Un endomorphisme f d un C-espace de dimension finie est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire. Une matrice carrée est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire. Théorème. Tout endomorphisme d un C-espace de dimension finie non nulle est triangulable. Toute matrice carrée est triangulable dans C. Conséquence. Si la famille des valeurs propres de f est (λ 1,..., λ n ), alors, pour k N, Sp(f k ) = (λ k 1,...,λk n ) et si f est inversible, pour tout k dans Z, Sp(f k ) = (λ k 1,..., λk n). 3 Espaces préhilbertiens Produit scalaire. Un produit scalaire réel ( ) est une forme bilinéaire symétrique définie positive, c est -à-dire ➀ (x, y) E 2, (x y) = (y x), (( ) est symétrique) ➁ (λ, µ) R 2, (x, y, z) E 3, (x λy + µz) = λ(x y) + µ(x z) (( ) est linéaire par rapport à la deuxième variable et donc bilinéaire), ➂ x E, (x x) 0, (( ) est positive) ➃ x E, ((x x) = 0 x = 0) (( ) est définie). http ://www.maths-france.fr 4 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

5 4 ESPACES EUCLIDIENS Un produit scalaire complexe est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive, c est -à-dire ➀ (x, y) E 2, (x y) = (y x), (( ) est à symétrie hermitienne) ➁ (λ, µ) C 2, (x, y, z) E 3, (λx + µy z) = λ(x z) + µ(y z) (( ) est linéaire par rapport à la première variable et donc sesquiilinéaire), ➂ x E, (x x) 0, (( ) est positive) ➃ x E, ((x x) = 0 x = 0) (( ) est définie). Inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour (x, y) E 2, (x y) (x x) (y y) avec égalité (x, y) liée. Dans tous les cas x (x x) est une norme sur E appelée norme hilbertienne. Si on dispose d une base orthonormée (e i ) 1 i n, alors pour x = x i e i E et y = y i e i E on a ➀ x i = (x e i ), ➁ (x y) = x i y i, ➂ x = x i 2. Théorème. Le projeté orthogonal d un vecteur x sur un vecteur non nul u est (x u) u 2 u. Théorème de la projection orthogonale. Soit E un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de dimension finie. Alors, E = F F (et on peut alors définir la projection orthogonale sur F). Si (e i ) 1 i n est une base orthonormée de F, alors pour tout vecteur x de E p F (x) = (x e i )e i. et d(x, F) 2 = x p F (x) 2 = x 2 (x e i ) 2. Procédé d orthonormalisation de Schmidt. Soit (ε i ) i I une famille libre de E. Il existe une et une seule famille orthonormale (e i ) i I telle que k I, Vect(ε i ) 0 i k = Vect(e i ) 0 i k, i I, (ε i, e i ) > 0. De plus, e 0 = 1 ε 0 ε 1 0 et k I, e k+1 = e k+1 e k+1 où e k+1 = ε k+1 Inégalité de Bessel. Si (e i ) 1 i n est une famille orthonormale finie, 4 Espaces euclidiens 4.1 Adjoint k (ε k+1 e i )e i. i=0 (x e i ) 2 x 2. (Théorème et) Définition. f est un endomorphisme de l espace euclidien E. L adjoint f de f est l (unique) endomorphisme vérifiant (x, y) E 2, (f(x) y) = (x f (y)). Théorème. Si B est une base orthonormée et M est la matrice de f dans B, alors la matrice de f dans B est t M. Théorème. (λf + µg) = λf + µg, (g f) = f g, (f ) = f. Théorème. rg(f ) = rg(f), et en particulier f G L (E) f G L (E). Dans ce cas, on a (f ) 1 = (f 1 ). Théorème. χ f = χ f, Tr(f ) = Tr(f), det(f ) = det(f). Théorème. (Ker(f ) = (Im(f)) et (Im(f ) = (Ker(f)). http ://www.maths-france.fr 5 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

6 4.2 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales 5 FORMES QUADRATIQUES 4.2 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales f L(E) est orthogonal si et seulement si x E, f(x) = x si et seulement si (x, y) E 2, (f(x) f(y)) = (x y), si et seulement si f G L (E) et f 1 = f si et seulement si l image par f d une base orthonormée est une base orthonormée. M n (R) t MM = I n M GL n (R) et M 1 = t M. Si B est une base orthonormée et M = mat B (f), alors f est orthogonal si et seulement si M est orthogonale. Le déterminant d un automorphisme orthogonal (ou d une matrice orthogonale vaut ±1. Les automorphismes orthogonaux positifs (resp. négatifs) sont les automorphismes orthogonaux de déterminant 1 (resp. 1). (O(E), ) est un sous-groupe de (G L (E), ). (O + (E), ) est un sous-groupe de (O(E), ) et de (SL(E), ). Théorème. Si f est un automorphisme orthogonal et F est un sous-espace de E stable par f, alors F est stable par f. 4.3 Endomorphismes symétriques (ou auto-adjoints) f L (E) est symétrique si et seulement si (x, y) E 2, (f(x) y) = (x f(y)) si et seulement si f = f si et seulement si f est diagonalisable dans base orthonormée (théorème spectral). A M n (R) est symé trique t A = A A est orthogonalement semblable à une matrice diagonale réelle (théorème spectral). Théorème. Si B est une base orthonormée et si A est la matrice de f dans B, alors f est symétrique si et seulement si A est symétrique. Théorème. Si f est un endomorphisme symétrique et F est un sous-espace de E stable par f, alors F est stable par f. 5 Formes quadratiques 5.1 Définition, forme polaire Soit q une application de l espace préhilbertien E dans R. q est une forme quadratique sur E si et seulement si il existe une forme bilinéaire B sur E telle que x E, q(x) = B(x, x). Dans ce cas, il existe une et une seule forme bilinéaire B 0, symétrique sur E, telle que x E, q(x) = B 0 (x, x). B 0 est la forme polaire de q. Identités de polarisation. (x, y) E 2, B 0 (x, y)) = 1 2 (q(x + y) q(x) q(y)) = 1 2 (q(x) + q(y) q(x y)) = 1 (q(x + y) q(x y)). 4 Si E est euclidien, les formes quadratiques non nulles sur E sont les polynômes homogènes de degré 2 en les coordonnées dans une base donnée. Si f est un endomorphisme symétrique de E, x (f(x) x) est une forme quadratique sur E et sa forme polaire est (x, y) ((f(x) y). Si A est une matrice carrée réelle et symétrique, X t XAX est une forme quadratique sur M n,1 (R) et sa forme polaire est (X, Y) t XAY. 5.2 Réduction en base orthonormée d un espace euclidien Soient q une forme quadratique, M la matrice de q dans une base orthonormée B de E et f l endomorphisme de E de matrice M dans B (f est symétrique). ➀ x E, q(x) = (f(x) x). X M n,1 (R), q(x) = t XAX. ➁ Si (e i ) 1 i n est une base orthonormée de vecteurs propres de f et (λ i ) 1 i n est la famille des valeurs propres associées, x E, q(x) = q( x i e i ) = λ i x 2 i. http ://www.maths-france.fr 6 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

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