Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP
|
|
- Richard Marcel Gravel
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 1 POLYNÔMES Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 Polynômes 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n N. a K, P(X) = k=0 P (k) (a) (X a) k et en particulier P(X) = k! k=0 P (k) (0) X k. k! Pour tout polynôme P et tout entier naturel k, le coefficient de X k dans P est a k = P(k) (0). k! 2) Racines d un polynôme Ordre de multiplicité d une racine. (Pour a K et k N) a est racine de P d ordre k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X a) k Q et Q(a) 0 (si et seulement si P est divisible par (X a) k et pas par (X a) k+1 ). a est racine de P d ordre au moins k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X a) k Q (si et seulement si P est divisible par (X a) k ). Théorème. Le reste de la division euclidienne de P par (X a) k est k 1 i=0 P (i) (a) (X a) i. i! Théorème (caractérisation de l ordre de multiplicité). a est racine de P d ordre k si et seulement si P(a) = P (a) =... = P (k 1) (a) = 0 et P (k) (a) 0. a est racine de P d ordre au moins k si et seulement si P(a) = P (a) =... = P (k 1) (a) = 0. 3) Structure d anneau de K[X]. Définition. Un idéal de K[X] est une partie I de K[X] telle que : ➀ (I, +) est un sous-groupe de (K[X], +), ➁ P I, Q K[X], PQ I. Définition. Un idéal I de K[X] est prinicipal si et seulement si il est engendré par l un de ses éléments c est-à-dire si et seulement si il est de la forme I = PK[X] = {PQ, Q K[X]}. Théorème. (K[X], +, ) est un anneau principal, c est-à-dire que tout idéal de K[X] est prinicipal. 4) PGCD, PPCM, Bezout, Gauss. Théorème et définition. A et B sont deux polynômes non nuls. L idéal engendré par A et B est A.K[X] + B.K[X] = {AU + BV, (U, V) K[X]}. Le PGCD de A et B est l unique polynôme D unitaire tel que AK[X] + BK[X] = DK[X]. C est un diviseur commun à A et B et tout diviseur de A et B divise D. Les diviseurs communs à A et B sont les diviseurs de D. Théorème de Bézout. Soient A et B deux polynômes non nuls. A et B sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1. Théorème. Deux polynômes non nuls sont premiers entre eux si et seulement si ils sont sans racine commune dans C. Théorème de Gauss. Soient A, B et C trois polynômes non nuls. Si A divise BC et A est premier à B, alors A divise C. Théorème et définition. A et B sont deux polynômes non nuls. AK[X] BK[X] est un idéal de K[X]. Le PPCM de A et B est l unique polynôme M unitaire tel que AK[X] BK[X] = MK[X]. C est un multiple commun à A et B et tout multiple commun à A et B est un multiple de M. Les multiples communs à A et B sont les multiples de M. Théorème. Si A et B sont unitaires, MD = AB. http :// 1 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.
2 2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. 5) Polynômes irreductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles Définition. Un polynôme P de degré au moins 1 est irréductible sur K = R ou K = C si et seulement si il n existe pas un diviseur Q de P tel que 1 < degq < degp. Théorème. Deux polynômes irréductibles distincts sont premiers entre eux. Théorème (décomposition en produit de facteurs irréductibles). Soit P K[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. P s écrit de manière unique à l ordre près des facteurs sous la forme P = dom(p)p α Pα k k, où P 1,..., P k sont des polynômes irréductibles sur K, unitaires et deux à deux distincts et α 1,..., α k sont des entiers naturels non nuls. Théorème (de d Alembert-Gauss). Enoncé 1. Tout élément de C[X] de degré au moins 1 admet au moins une racine dans C. Enoncé 2. Tout élément de C[X] de degré au moins 1 est scindé sur C. Enoncé 3. Tout élément de C[X] de degré au moins 1 se décompose de manière unique sous la forme P = dom(p)(x z 1 ) α 1... (X z k ) α k, où z 1,..., z k sont des complexes deux à deux distincts et α 1,..., α k sont des entiers naturels non nuls. Enoncé 4. Les polynômes irréductibles sur C sont les polynômes de degré 1. Enoncé 5. C est algébriquement clos. Lemme. Soit P R[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. Si z est une racine de P dans C, alors z est racine de P avec même ordre de multiplicité. Théorème (décomposition en produit de facteurs irréductibles dans R). Soit P R[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. P s écrit de manière unique sous la forme P = dom(p)(x x 1 ) α 1... (X x k ) α k (X 2 + a 1 X + b 1 ) β 1...(X 2 + a l X + b l ) β l, où les x i sont des réels deux à deux distincts, les (a j, b j ) sont des couples deux à deux distincts de réels tels que a 2 j 4b j < 0 et les α i et les β j sont des entiers naturels non nuls. Une telle décomposition peut être obtenue en commençant par décomposer sur C puis en regroupant les facteurs conjugués. 2 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. 2.1 Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres Valeur propre. f L(E) et λ K, E de dimension quelconque. λ est valeur propre de f si et seulement si il existe x 0 tel que f( x ) = λ x si et seulement si f λid E n est pas injectif si et seulement si E λ = Ker(f λid) { 0 } f L(E) et λ K, E de dimension finie. λ est valeur propre de f si et seulement si f λid E / G L (E) si et seulement si det(f λid E ) = 0. A M n (K) et λ K. λ est valeur propre de A si et seulement si X M n,1 (K) \ {0}/ AX = λx si et seulement si Ker(A λi n ) {0} si et seulement si A λi n / G L n (K) si et seulement si det(a λi n ) = 0. Si E est un C-espace de dimension finie non nulle, tout endomorphisme admet au moins une valeur propre. Toute matrice carrée admet au moins une valeur propre dans C. Vecteur propre. f L(E) et x E, E de dimension quelconque. x est vecteur propre de f si et seulement si x n est pas nul et il existe λ K tel que f( x ) = λ x. A M n (K) et X M n,1 (K). X est vecteur propre de A si et seulement si X n est pas nul et il existe λ K tel que AX = λx. http :// 2 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.
3 2.2 Sous-espaces stables 2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. Sous-espace propre. Si λ est une valeur propre de f (resp. A), le sous-espace propre associé à λ est E λ = Ker(f λid E ). Il est constitué de 0 et des vecteurs propres associés à la valeur propre λ (resp. E λ = Ker(A λi n )). Si λ n est pas valeur propre E λ = { 0 } et E λ ne s appelle pas sous-espace propre. Théorème. Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Théorème. La somme des sous-espaces propres est directe. 2.2 Sous-espaces stables Définition. Un sous-espace F de E est stable par f si et seulement si f(f) F si et seulement si la restriction de f à F est un endomorphisme de F. Les droites stables sont les droites engendrées par les vecteurs propres. Les sous-espaces propres de f sont stables par f. La restriction de f à E λ est l homothétie de rapport λ. Théorème. Soient f et g deux endomorphismes qui commutent. Alors, g laisse stable Kerf, Imf et les sous-espaces propres de f. 2.3 Polynôme caractéristique Si E est de dimension finie et f L(E), χ f = det(f XId E ). Si A M n (K), χ A = det(a XI n ). Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. L ordre de multiplicité d une valeur propre est son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique. Degré, coefficient dominant. E est de dimension n ou A est de format n. Le polynôme caractéristique est un polynôme de degré n et de coefficient dominant ( 1) n. Coefficients du polynôme caractéristique. Le coefficient de X n 1 est ( 1) n 1 Tr(A) et le coefficient de X 0 est det(a) (det(a) = χ A (0)). Plus généralement, le coefficient de X k est ( 1) k σ n k. Si (λ 1,...,λ n ) est la famille des valeurs propres de A, Tr(A) = λ λ n et det(a) = λ 1... λ n. Théorème. Si λ est valeur propre de A d ordre o(λ), alors 1 dim(e λ ) o(λ) et donc aussi o(λ) dim(e λ ). Théorème. A et t A ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant. Théorème. AB et BA ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant. Théorème. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant (réciproque fausse). 2.4 Diagonalisation Définition. Un endomorphisme de E est diagonalisable si et seulement si il existe une base de E formée de vecteurs propres de f. Si de plus, E est de dimension finie, f est diagonalisable si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale. Une matrice carrée A est diagonalisable si et seulement si A est semblable à une matrice diagonale c est-à-dire P G L n (K), D D n (K)/ A = PDP 1. Théorème. f est diagonalisable si et seulement si χ f est scindé sur K et pour toute valeur propre λ de f, o(λ) = dim(e λ ). Théorème. f est diagonalisable si et seulement si E est somme directe des sous-espaces propres. Théorème. f est diagonalisable si et seulement si dime = dim(e λ ). Théorème. Si dim(e) = n N et f admet n valeurs propres deux à deux distinctes alors f est diagonalisable et les sous-espaces propres de f sont des droites (réciproque fausse). 2.5 Polynômes d endomorphismes 1) Commutant. L ensemble des endomorphismes qui commutent avec f est le commutant de f noté C(f). C est une sous-algèbre de L(E). On rappelle que si g C(f), g laisse stable Ker(f), Im(f) et les éventuels sous-espaces propres de f. 2) Polynômes d endomorphismes. f L (E). Φ : K[X] L (E) P P(f) est un morphisme d algèbre. L image de Φ est K[f], la sous-algèbre des polynômes en f. Deux polynômes en f commutent et en particulier, K[f] C(f). http :// 3 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.
4 2.6 Sous-espaces caractéristiques 3 ESPACES PRÉHILBERTIENS 3) Polynômes annulateurs d un endomorphisme, polynôme minimal. Le noyau de Φ est l ensemble des polynômes annulateurs de f. C est un sous-espace vectoriel de (K[X], +,.) et un idéal de (K[X], +, ). Si E est de dimension finie, Ker(Φ) n est pas réduit à {0} grâce au : Théorème de Cayley-Hamilton. Si dime < +, χ f (f) = 0. Si E est de dimension finie, le générateur unitaire de Ker(Φ) est le polynôme minimal µ f de f. Il engendre l idéal Ker(Φ) ou encore Ker(Φ) = µ f K[X] ou encore les polynômes annulateurs de f sont les multiples de µ f. Théorème. µ f divise χ f. Théorème. Si λ valeur propre de f et P(f) = 0, alors P(λ) = 0, ou encore, les valeurs propres de f sont à choisir parmi les racines d un polynôme annulateur de f. Théorème. Le polynôme minimal µ f divise χ f. Toute valeur propre de f est racine de µ f et toute racine de µ f est valeur propre de f. Théorème de décomposition des noyaux. Soit f L(E) et P 1,..., P k des polynômes deux à deux premiers entre eux. Alors, En particulier, Ker((P 1...P k )(f)) = Ker(P 1 (f))... Ker(P k (f)). si P = P 1...P k est annulateur de f, et si les P i sont deux à deux premiers entre eux, alors E = Ker(P 1 (f))... Ker(P k (f)). Théorème. Si E est de dimension finie non nulle et f L (E), f est diagonalisable si et seulement si il existe un polynôme scindé à racines simples annulateur de f si et seulement si µ f (et non pas χ f ) est scindé à racines simples. 2.6 Sous-espaces caractéristiques Si χ f = ( 1) n (X λ 1 ) α 1... (X λ k ) α k, le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ i est Ker((f λ i Id) α i ). Les sous-espaces caractéristiques sont toujours supplémentaires (grâce aux théorème de décomposition des noyaux). E = Ker((f λ 1 Id) α 1 )...Ker((f λ k iid) α k ). Chaque sous-espace caractéristique contient le sous-espace propre correspondant. Théorème. f est diagonalisable si et seulement si chaque sous-espace caractéristique est égal au sous-espace propre correspondant. La restriction de f à un sous-espace caractéristique est un endomorphisme de ce sous-espace. La restriction de f λ i Id au sous-espace caractéristique Ker((f λ i Id) α i ) est nilpotente. 2.7 Trigonalisation Un endomorphisme f d un C-espace de dimension finie est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire. Une matrice carrée est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire. Théorème. Tout endomorphisme d un C-espace de dimension finie non nulle est triangulable. Toute matrice carrée est triangulable dans C. Conséquence. Si la famille des valeurs propres de f est (λ 1,..., λ n ), alors, pour k N, Sp(f k ) = (λ k 1,...,λk n ) et si f est inversible, pour tout k dans Z, Sp(f k ) = (λ k 1,..., λk n). 3 Espaces préhilbertiens Produit scalaire. Un produit scalaire réel ( ) est une forme bilinéaire symétrique définie positive, c est -à-dire ➀ (x, y) E 2, (x y) = (y x), (( ) est symétrique) ➁ (λ, µ) R 2, (x, y, z) E 3, (x λy + µz) = λ(x y) + µ(x z) (( ) est linéaire par rapport à la deuxième variable et donc bilinéaire), ➂ x E, (x x) 0, (( ) est positive) ➃ x E, ((x x) = 0 x = 0) (( ) est définie). http :// 4 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.
5 4 ESPACES EUCLIDIENS Un produit scalaire complexe est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive, c est -à-dire ➀ (x, y) E 2, (x y) = (y x), (( ) est à symétrie hermitienne) ➁ (λ, µ) C 2, (x, y, z) E 3, (λx + µy z) = λ(x z) + µ(y z) (( ) est linéaire par rapport à la première variable et donc sesquiilinéaire), ➂ x E, (x x) 0, (( ) est positive) ➃ x E, ((x x) = 0 x = 0) (( ) est définie). Inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour (x, y) E 2, (x y) (x x) (y y) avec égalité (x, y) liée. Dans tous les cas x (x x) est une norme sur E appelée norme hilbertienne. Si on dispose d une base orthonormée (e i ) 1 i n, alors pour x = x i e i E et y = y i e i E on a ➀ x i = (x e i ), ➁ (x y) = x i y i, ➂ x = x i 2. Théorème. Le projeté orthogonal d un vecteur x sur un vecteur non nul u est (x u) u 2 u. Théorème de la projection orthogonale. Soit E un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de dimension finie. Alors, E = F F (et on peut alors définir la projection orthogonale sur F). Si (e i ) 1 i n est une base orthonormée de F, alors pour tout vecteur x de E p F (x) = (x e i )e i. et d(x, F) 2 = x p F (x) 2 = x 2 (x e i ) 2. Procédé d orthonormalisation de Schmidt. Soit (ε i ) i I une famille libre de E. Il existe une et une seule famille orthonormale (e i ) i I telle que k I, Vect(ε i ) 0 i k = Vect(e i ) 0 i k, i I, (ε i, e i ) > 0. De plus, e 0 = 1 ε 0 ε 1 0 et k I, e k+1 = e k+1 e k+1 où e k+1 = ε k+1 Inégalité de Bessel. Si (e i ) 1 i n est une famille orthonormale finie, 4 Espaces euclidiens 4.1 Adjoint k (ε k+1 e i )e i. i=0 (x e i ) 2 x 2. (Théorème et) Définition. f est un endomorphisme de l espace euclidien E. L adjoint f de f est l (unique) endomorphisme vérifiant (x, y) E 2, (f(x) y) = (x f (y)). Théorème. Si B est une base orthonormée et M est la matrice de f dans B, alors la matrice de f dans B est t M. Théorème. (λf + µg) = λf + µg, (g f) = f g, (f ) = f. Théorème. rg(f ) = rg(f), et en particulier f G L (E) f G L (E). Dans ce cas, on a (f ) 1 = (f 1 ). Théorème. χ f = χ f, Tr(f ) = Tr(f), det(f ) = det(f). Théorème. (Ker(f ) = (Im(f)) et (Im(f ) = (Ker(f)). http :// 5 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.
6 4.2 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales 5 FORMES QUADRATIQUES 4.2 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales f L(E) est orthogonal si et seulement si x E, f(x) = x si et seulement si (x, y) E 2, (f(x) f(y)) = (x y), si et seulement si f G L (E) et f 1 = f si et seulement si l image par f d une base orthonormée est une base orthonormée. M n (R) t MM = I n M GL n (R) et M 1 = t M. Si B est une base orthonormée et M = mat B (f), alors f est orthogonal si et seulement si M est orthogonale. Le déterminant d un automorphisme orthogonal (ou d une matrice orthogonale vaut ±1. Les automorphismes orthogonaux positifs (resp. négatifs) sont les automorphismes orthogonaux de déterminant 1 (resp. 1). (O(E), ) est un sous-groupe de (G L (E), ). (O + (E), ) est un sous-groupe de (O(E), ) et de (SL(E), ). Théorème. Si f est un automorphisme orthogonal et F est un sous-espace de E stable par f, alors F est stable par f. 4.3 Endomorphismes symétriques (ou auto-adjoints) f L (E) est symétrique si et seulement si (x, y) E 2, (f(x) y) = (x f(y)) si et seulement si f = f si et seulement si f est diagonalisable dans base orthonormée (théorème spectral). A M n (R) est symé trique t A = A A est orthogonalement semblable à une matrice diagonale réelle (théorème spectral). Théorème. Si B est une base orthonormée et si A est la matrice de f dans B, alors f est symétrique si et seulement si A est symétrique. Théorème. Si f est un endomorphisme symétrique et F est un sous-espace de E stable par f, alors F est stable par f. 5 Formes quadratiques 5.1 Définition, forme polaire Soit q une application de l espace préhilbertien E dans R. q est une forme quadratique sur E si et seulement si il existe une forme bilinéaire B sur E telle que x E, q(x) = B(x, x). Dans ce cas, il existe une et une seule forme bilinéaire B 0, symétrique sur E, telle que x E, q(x) = B 0 (x, x). B 0 est la forme polaire de q. Identités de polarisation. (x, y) E 2, B 0 (x, y)) = 1 2 (q(x + y) q(x) q(y)) = 1 2 (q(x) + q(y) q(x y)) = 1 (q(x + y) q(x y)). 4 Si E est euclidien, les formes quadratiques non nulles sur E sont les polynômes homogènes de degré 2 en les coordonnées dans une base donnée. Si f est un endomorphisme symétrique de E, x (f(x) x) est une forme quadratique sur E et sa forme polaire est (x, y) ((f(x) y). Si A est une matrice carrée réelle et symétrique, X t XAX est une forme quadratique sur M n,1 (R) et sa forme polaire est (X, Y) t XAY. 5.2 Réduction en base orthonormée d un espace euclidien Soient q une forme quadratique, M la matrice de q dans une base orthonormée B de E et f l endomorphisme de E de matrice M dans B (f est symétrique). ➀ x E, q(x) = (f(x) x). X M n,1 (R), q(x) = t XAX. ➁ Si (e i ) 1 i n est une base orthonormée de vecteurs propres de f et (λ i ) 1 i n est la famille des valeurs propres associées, x E, q(x) = q( x i e i ) = λ i x 2 i. http :// 6 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.
Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailENSAE - DAKAR BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA
ENSEA - ABIDJAN ENSAE - DAKAR ISSEA - YAOUNDÉ BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA CENTRE D APPUI AUX
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailVI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE
VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailMATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME
Notre cadre de réflexion MATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME La proposition de programme qui suit est bien sûr issue d une demande du Premier Cycle : demande de rénovation des contenus
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailFeuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES
Université Joseph Fourier Licence de Mathématiques Année 2004/2005 Algèbre II Michael Eisermann Feuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES Mode d emploi. Tout énoncé portant un numéro est un exercice, parfois implicite.
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailNOTICE DOUBLE DIPLÔME
NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailLa transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications. Elise Raphael Semestre d automne 2009-2010
La transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications Elise Raphael Semestre d automne 009-010 1 Contents 1 Transformée de Fourier sur un groupe fini 3 1.1 Dual d un groupe
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailRAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction
CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Trois exposés à la semaine «Géométrie algébrique complexe» au CIRM, Luminy, décembre 2003 1. Introduction On étudie dans un premier temps les propriétés internes
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailC1 : Fonctions de plusieurs variables
1er semestre 2012/13 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l adresse http://www.iecn.u-nancy.fr/~bertram/, contiennent les définitions
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailLe théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailCours introductif de M2 Algèbres de Lie semi-simples et leurs représentations
Cours introductif de M2 Algèbres de Lie semi-simples et leurs représentations Jean-François Dat 2013-2014 Résumé Dans ce cours, on étudie la structure des algèbres de Lie et de leurs représentations linéaires,
Plus en détailLicence STS mention Mathématiques Parcours Ingénieur Télécom Bretagne (ITB)
Licence STS mention Mathématiques Parcours Ingénieur Télécom Bretagne (ITB) FICHE D IDENTITE DE LA FORMATION Domaine de formation : Sciences, Technologies, Santé Intitulé : Licence Sciences, Technologies,
Plus en détailspé MP POLYCOPIÉ D EXERCICES 2015-2016
spé MP POLYCOPIÉ D EXERCICES 5-6 POLYNÔMES Soit n IN (a) Montrer qu il existe un polynôme P n tel que : θ IR : P n (cos θ) sin θ = sin(n + )θ On donnera une expression de P n (b) Calculer le degré, le
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailRO04/TI07 - Optimisation non-linéaire
RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire Stéphane Mottelet Université de Technologie de Compiègne Printemps 2003 I Motivations et notions fondamentales 4 I1 Motivations 5 I2 Formes quadratiques 13 I3 Rappels
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailThéorie et codage de l information
Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCalcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3
Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailCours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr
Plus en détail