Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP"

Transcription

1 1 POLYNÔMES Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 Polynômes 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n N. a K, P(X) = k=0 P (k) (a) (X a) k et en particulier P(X) = k! k=0 P (k) (0) X k. k! Pour tout polynôme P et tout entier naturel k, le coefficient de X k dans P est a k = P(k) (0). k! 2) Racines d un polynôme Ordre de multiplicité d une racine. (Pour a K et k N) a est racine de P d ordre k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X a) k Q et Q(a) 0 (si et seulement si P est divisible par (X a) k et pas par (X a) k+1 ). a est racine de P d ordre au moins k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X a) k Q (si et seulement si P est divisible par (X a) k ). Théorème. Le reste de la division euclidienne de P par (X a) k est k 1 i=0 P (i) (a) (X a) i. i! Théorème (caractérisation de l ordre de multiplicité). a est racine de P d ordre k si et seulement si P(a) = P (a) =... = P (k 1) (a) = 0 et P (k) (a) 0. a est racine de P d ordre au moins k si et seulement si P(a) = P (a) =... = P (k 1) (a) = 0. 3) Structure d anneau de K[X]. Définition. Un idéal de K[X] est une partie I de K[X] telle que : ➀ (I, +) est un sous-groupe de (K[X], +), ➁ P I, Q K[X], PQ I. Définition. Un idéal I de K[X] est prinicipal si et seulement si il est engendré par l un de ses éléments c est-à-dire si et seulement si il est de la forme I = PK[X] = {PQ, Q K[X]}. Théorème. (K[X], +, ) est un anneau principal, c est-à-dire que tout idéal de K[X] est prinicipal. 4) PGCD, PPCM, Bezout, Gauss. Théorème et définition. A et B sont deux polynômes non nuls. L idéal engendré par A et B est A.K[X] + B.K[X] = {AU + BV, (U, V) K[X]}. Le PGCD de A et B est l unique polynôme D unitaire tel que AK[X] + BK[X] = DK[X]. C est un diviseur commun à A et B et tout diviseur de A et B divise D. Les diviseurs communs à A et B sont les diviseurs de D. Théorème de Bézout. Soient A et B deux polynômes non nuls. A et B sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1. Théorème. Deux polynômes non nuls sont premiers entre eux si et seulement si ils sont sans racine commune dans C. Théorème de Gauss. Soient A, B et C trois polynômes non nuls. Si A divise BC et A est premier à B, alors A divise C. Théorème et définition. A et B sont deux polynômes non nuls. AK[X] BK[X] est un idéal de K[X]. Le PPCM de A et B est l unique polynôme M unitaire tel que AK[X] BK[X] = MK[X]. C est un multiple commun à A et B et tout multiple commun à A et B est un multiple de M. Les multiples communs à A et B sont les multiples de M. Théorème. Si A et B sont unitaires, MD = AB. http :// 1 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

2 2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. 5) Polynômes irreductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles Définition. Un polynôme P de degré au moins 1 est irréductible sur K = R ou K = C si et seulement si il n existe pas un diviseur Q de P tel que 1 < degq < degp. Théorème. Deux polynômes irréductibles distincts sont premiers entre eux. Théorème (décomposition en produit de facteurs irréductibles). Soit P K[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. P s écrit de manière unique à l ordre près des facteurs sous la forme P = dom(p)p α Pα k k, où P 1,..., P k sont des polynômes irréductibles sur K, unitaires et deux à deux distincts et α 1,..., α k sont des entiers naturels non nuls. Théorème (de d Alembert-Gauss). Enoncé 1. Tout élément de C[X] de degré au moins 1 admet au moins une racine dans C. Enoncé 2. Tout élément de C[X] de degré au moins 1 est scindé sur C. Enoncé 3. Tout élément de C[X] de degré au moins 1 se décompose de manière unique sous la forme P = dom(p)(x z 1 ) α 1... (X z k ) α k, où z 1,..., z k sont des complexes deux à deux distincts et α 1,..., α k sont des entiers naturels non nuls. Enoncé 4. Les polynômes irréductibles sur C sont les polynômes de degré 1. Enoncé 5. C est algébriquement clos. Lemme. Soit P R[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. Si z est une racine de P dans C, alors z est racine de P avec même ordre de multiplicité. Théorème (décomposition en produit de facteurs irréductibles dans R). Soit P R[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. P s écrit de manière unique sous la forme P = dom(p)(x x 1 ) α 1... (X x k ) α k (X 2 + a 1 X + b 1 ) β 1...(X 2 + a l X + b l ) β l, où les x i sont des réels deux à deux distincts, les (a j, b j ) sont des couples deux à deux distincts de réels tels que a 2 j 4b j < 0 et les α i et les β j sont des entiers naturels non nuls. Une telle décomposition peut être obtenue en commençant par décomposer sur C puis en regroupant les facteurs conjugués. 2 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. 2.1 Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres Valeur propre. f L(E) et λ K, E de dimension quelconque. λ est valeur propre de f si et seulement si il existe x 0 tel que f( x ) = λ x si et seulement si f λid E n est pas injectif si et seulement si E λ = Ker(f λid) { 0 } f L(E) et λ K, E de dimension finie. λ est valeur propre de f si et seulement si f λid E / G L (E) si et seulement si det(f λid E ) = 0. A M n (K) et λ K. λ est valeur propre de A si et seulement si X M n,1 (K) \ {0}/ AX = λx si et seulement si Ker(A λi n ) {0} si et seulement si A λi n / G L n (K) si et seulement si det(a λi n ) = 0. Si E est un C-espace de dimension finie non nulle, tout endomorphisme admet au moins une valeur propre. Toute matrice carrée admet au moins une valeur propre dans C. Vecteur propre. f L(E) et x E, E de dimension quelconque. x est vecteur propre de f si et seulement si x n est pas nul et il existe λ K tel que f( x ) = λ x. A M n (K) et X M n,1 (K). X est vecteur propre de A si et seulement si X n est pas nul et il existe λ K tel que AX = λx. http :// 2 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

3 2.2 Sous-espaces stables 2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. Sous-espace propre. Si λ est une valeur propre de f (resp. A), le sous-espace propre associé à λ est E λ = Ker(f λid E ). Il est constitué de 0 et des vecteurs propres associés à la valeur propre λ (resp. E λ = Ker(A λi n )). Si λ n est pas valeur propre E λ = { 0 } et E λ ne s appelle pas sous-espace propre. Théorème. Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Théorème. La somme des sous-espaces propres est directe. 2.2 Sous-espaces stables Définition. Un sous-espace F de E est stable par f si et seulement si f(f) F si et seulement si la restriction de f à F est un endomorphisme de F. Les droites stables sont les droites engendrées par les vecteurs propres. Les sous-espaces propres de f sont stables par f. La restriction de f à E λ est l homothétie de rapport λ. Théorème. Soient f et g deux endomorphismes qui commutent. Alors, g laisse stable Kerf, Imf et les sous-espaces propres de f. 2.3 Polynôme caractéristique Si E est de dimension finie et f L(E), χ f = det(f XId E ). Si A M n (K), χ A = det(a XI n ). Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. L ordre de multiplicité d une valeur propre est son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique. Degré, coefficient dominant. E est de dimension n ou A est de format n. Le polynôme caractéristique est un polynôme de degré n et de coefficient dominant ( 1) n. Coefficients du polynôme caractéristique. Le coefficient de X n 1 est ( 1) n 1 Tr(A) et le coefficient de X 0 est det(a) (det(a) = χ A (0)). Plus généralement, le coefficient de X k est ( 1) k σ n k. Si (λ 1,...,λ n ) est la famille des valeurs propres de A, Tr(A) = λ λ n et det(a) = λ 1... λ n. Théorème. Si λ est valeur propre de A d ordre o(λ), alors 1 dim(e λ ) o(λ) et donc aussi o(λ) dim(e λ ). Théorème. A et t A ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant. Théorème. AB et BA ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant. Théorème. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant (réciproque fausse). 2.4 Diagonalisation Définition. Un endomorphisme de E est diagonalisable si et seulement si il existe une base de E formée de vecteurs propres de f. Si de plus, E est de dimension finie, f est diagonalisable si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale. Une matrice carrée A est diagonalisable si et seulement si A est semblable à une matrice diagonale c est-à-dire P G L n (K), D D n (K)/ A = PDP 1. Théorème. f est diagonalisable si et seulement si χ f est scindé sur K et pour toute valeur propre λ de f, o(λ) = dim(e λ ). Théorème. f est diagonalisable si et seulement si E est somme directe des sous-espaces propres. Théorème. f est diagonalisable si et seulement si dime = dim(e λ ). Théorème. Si dim(e) = n N et f admet n valeurs propres deux à deux distinctes alors f est diagonalisable et les sous-espaces propres de f sont des droites (réciproque fausse). 2.5 Polynômes d endomorphismes 1) Commutant. L ensemble des endomorphismes qui commutent avec f est le commutant de f noté C(f). C est une sous-algèbre de L(E). On rappelle que si g C(f), g laisse stable Ker(f), Im(f) et les éventuels sous-espaces propres de f. 2) Polynômes d endomorphismes. f L (E). Φ : K[X] L (E) P P(f) est un morphisme d algèbre. L image de Φ est K[f], la sous-algèbre des polynômes en f. Deux polynômes en f commutent et en particulier, K[f] C(f). http :// 3 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

4 2.6 Sous-espaces caractéristiques 3 ESPACES PRÉHILBERTIENS 3) Polynômes annulateurs d un endomorphisme, polynôme minimal. Le noyau de Φ est l ensemble des polynômes annulateurs de f. C est un sous-espace vectoriel de (K[X], +,.) et un idéal de (K[X], +, ). Si E est de dimension finie, Ker(Φ) n est pas réduit à {0} grâce au : Théorème de Cayley-Hamilton. Si dime < +, χ f (f) = 0. Si E est de dimension finie, le générateur unitaire de Ker(Φ) est le polynôme minimal µ f de f. Il engendre l idéal Ker(Φ) ou encore Ker(Φ) = µ f K[X] ou encore les polynômes annulateurs de f sont les multiples de µ f. Théorème. µ f divise χ f. Théorème. Si λ valeur propre de f et P(f) = 0, alors P(λ) = 0, ou encore, les valeurs propres de f sont à choisir parmi les racines d un polynôme annulateur de f. Théorème. Le polynôme minimal µ f divise χ f. Toute valeur propre de f est racine de µ f et toute racine de µ f est valeur propre de f. Théorème de décomposition des noyaux. Soit f L(E) et P 1,..., P k des polynômes deux à deux premiers entre eux. Alors, En particulier, Ker((P 1...P k )(f)) = Ker(P 1 (f))... Ker(P k (f)). si P = P 1...P k est annulateur de f, et si les P i sont deux à deux premiers entre eux, alors E = Ker(P 1 (f))... Ker(P k (f)). Théorème. Si E est de dimension finie non nulle et f L (E), f est diagonalisable si et seulement si il existe un polynôme scindé à racines simples annulateur de f si et seulement si µ f (et non pas χ f ) est scindé à racines simples. 2.6 Sous-espaces caractéristiques Si χ f = ( 1) n (X λ 1 ) α 1... (X λ k ) α k, le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ i est Ker((f λ i Id) α i ). Les sous-espaces caractéristiques sont toujours supplémentaires (grâce aux théorème de décomposition des noyaux). E = Ker((f λ 1 Id) α 1 )...Ker((f λ k iid) α k ). Chaque sous-espace caractéristique contient le sous-espace propre correspondant. Théorème. f est diagonalisable si et seulement si chaque sous-espace caractéristique est égal au sous-espace propre correspondant. La restriction de f à un sous-espace caractéristique est un endomorphisme de ce sous-espace. La restriction de f λ i Id au sous-espace caractéristique Ker((f λ i Id) α i ) est nilpotente. 2.7 Trigonalisation Un endomorphisme f d un C-espace de dimension finie est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire. Une matrice carrée est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire. Théorème. Tout endomorphisme d un C-espace de dimension finie non nulle est triangulable. Toute matrice carrée est triangulable dans C. Conséquence. Si la famille des valeurs propres de f est (λ 1,..., λ n ), alors, pour k N, Sp(f k ) = (λ k 1,...,λk n ) et si f est inversible, pour tout k dans Z, Sp(f k ) = (λ k 1,..., λk n). 3 Espaces préhilbertiens Produit scalaire. Un produit scalaire réel ( ) est une forme bilinéaire symétrique définie positive, c est -à-dire ➀ (x, y) E 2, (x y) = (y x), (( ) est symétrique) ➁ (λ, µ) R 2, (x, y, z) E 3, (x λy + µz) = λ(x y) + µ(x z) (( ) est linéaire par rapport à la deuxième variable et donc bilinéaire), ➂ x E, (x x) 0, (( ) est positive) ➃ x E, ((x x) = 0 x = 0) (( ) est définie). http :// 4 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

5 4 ESPACES EUCLIDIENS Un produit scalaire complexe est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive, c est -à-dire ➀ (x, y) E 2, (x y) = (y x), (( ) est à symétrie hermitienne) ➁ (λ, µ) C 2, (x, y, z) E 3, (λx + µy z) = λ(x z) + µ(y z) (( ) est linéaire par rapport à la première variable et donc sesquiilinéaire), ➂ x E, (x x) 0, (( ) est positive) ➃ x E, ((x x) = 0 x = 0) (( ) est définie). Inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour (x, y) E 2, (x y) (x x) (y y) avec égalité (x, y) liée. Dans tous les cas x (x x) est une norme sur E appelée norme hilbertienne. Si on dispose d une base orthonormée (e i ) 1 i n, alors pour x = x i e i E et y = y i e i E on a ➀ x i = (x e i ), ➁ (x y) = x i y i, ➂ x = x i 2. Théorème. Le projeté orthogonal d un vecteur x sur un vecteur non nul u est (x u) u 2 u. Théorème de la projection orthogonale. Soit E un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de dimension finie. Alors, E = F F (et on peut alors définir la projection orthogonale sur F). Si (e i ) 1 i n est une base orthonormée de F, alors pour tout vecteur x de E p F (x) = (x e i )e i. et d(x, F) 2 = x p F (x) 2 = x 2 (x e i ) 2. Procédé d orthonormalisation de Schmidt. Soit (ε i ) i I une famille libre de E. Il existe une et une seule famille orthonormale (e i ) i I telle que k I, Vect(ε i ) 0 i k = Vect(e i ) 0 i k, i I, (ε i, e i ) > 0. De plus, e 0 = 1 ε 0 ε 1 0 et k I, e k+1 = e k+1 e k+1 où e k+1 = ε k+1 Inégalité de Bessel. Si (e i ) 1 i n est une famille orthonormale finie, 4 Espaces euclidiens 4.1 Adjoint k (ε k+1 e i )e i. i=0 (x e i ) 2 x 2. (Théorème et) Définition. f est un endomorphisme de l espace euclidien E. L adjoint f de f est l (unique) endomorphisme vérifiant (x, y) E 2, (f(x) y) = (x f (y)). Théorème. Si B est une base orthonormée et M est la matrice de f dans B, alors la matrice de f dans B est t M. Théorème. (λf + µg) = λf + µg, (g f) = f g, (f ) = f. Théorème. rg(f ) = rg(f), et en particulier f G L (E) f G L (E). Dans ce cas, on a (f ) 1 = (f 1 ). Théorème. χ f = χ f, Tr(f ) = Tr(f), det(f ) = det(f). Théorème. (Ker(f ) = (Im(f)) et (Im(f ) = (Ker(f)). http :// 5 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

6 4.2 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales 5 FORMES QUADRATIQUES 4.2 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales f L(E) est orthogonal si et seulement si x E, f(x) = x si et seulement si (x, y) E 2, (f(x) f(y)) = (x y), si et seulement si f G L (E) et f 1 = f si et seulement si l image par f d une base orthonormée est une base orthonormée. M n (R) t MM = I n M GL n (R) et M 1 = t M. Si B est une base orthonormée et M = mat B (f), alors f est orthogonal si et seulement si M est orthogonale. Le déterminant d un automorphisme orthogonal (ou d une matrice orthogonale vaut ±1. Les automorphismes orthogonaux positifs (resp. négatifs) sont les automorphismes orthogonaux de déterminant 1 (resp. 1). (O(E), ) est un sous-groupe de (G L (E), ). (O + (E), ) est un sous-groupe de (O(E), ) et de (SL(E), ). Théorème. Si f est un automorphisme orthogonal et F est un sous-espace de E stable par f, alors F est stable par f. 4.3 Endomorphismes symétriques (ou auto-adjoints) f L (E) est symétrique si et seulement si (x, y) E 2, (f(x) y) = (x f(y)) si et seulement si f = f si et seulement si f est diagonalisable dans base orthonormée (théorème spectral). A M n (R) est symé trique t A = A A est orthogonalement semblable à une matrice diagonale réelle (théorème spectral). Théorème. Si B est une base orthonormée et si A est la matrice de f dans B, alors f est symétrique si et seulement si A est symétrique. Théorème. Si f est un endomorphisme symétrique et F est un sous-espace de E stable par f, alors F est stable par f. 5 Formes quadratiques 5.1 Définition, forme polaire Soit q une application de l espace préhilbertien E dans R. q est une forme quadratique sur E si et seulement si il existe une forme bilinéaire B sur E telle que x E, q(x) = B(x, x). Dans ce cas, il existe une et une seule forme bilinéaire B 0, symétrique sur E, telle que x E, q(x) = B 0 (x, x). B 0 est la forme polaire de q. Identités de polarisation. (x, y) E 2, B 0 (x, y)) = 1 2 (q(x + y) q(x) q(y)) = 1 2 (q(x) + q(y) q(x y)) = 1 (q(x + y) q(x y)). 4 Si E est euclidien, les formes quadratiques non nulles sur E sont les polynômes homogènes de degré 2 en les coordonnées dans une base donnée. Si f est un endomorphisme symétrique de E, x (f(x) x) est une forme quadratique sur E et sa forme polaire est (x, y) ((f(x) y). Si A est une matrice carrée réelle et symétrique, X t XAX est une forme quadratique sur M n,1 (R) et sa forme polaire est (X, Y) t XAY. 5.2 Réduction en base orthonormée d un espace euclidien Soient q une forme quadratique, M la matrice de q dans une base orthonormée B de E et f l endomorphisme de E de matrice M dans B (f est symétrique). ➀ x E, q(x) = (f(x) x). X M n,1 (R), q(x) = t XAX. ➁ Si (e i ) 1 i n est une base orthonormée de vecteurs propres de f et (λ i ) 1 i n est la famille des valeurs propres associées, x E, q(x) = q( x i e i ) = λ i x 2 i. http :// 6 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1 [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Programme de la classe de première année MPSI

Programme de la classe de première année MPSI Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

ENSAE - DAKAR BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA

ENSAE - DAKAR BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA ENSEA - ABIDJAN ENSAE - DAKAR ISSEA - YAOUNDÉ BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA CENTRE D APPUI AUX

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr

Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition

Plus en détail

Mathématiques Algèbre et géométrie

Mathématiques Algèbre et géométrie Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2 33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1 UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

MATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME

MATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME Notre cadre de réflexion MATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME La proposition de programme qui suit est bien sûr issue d une demande du Premier Cycle : demande de rénovation des contenus

Plus en détail

Logique. Plan du chapitre

Logique. Plan du chapitre Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels

Plus en détail

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie

Plus en détail

Chapitre VI - Méthodes de factorisation

Chapitre VI - Méthodes de factorisation Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Feuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES

Feuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES Université Joseph Fourier Licence de Mathématiques Année 2004/2005 Algèbre II Michael Eisermann Feuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES Mode d emploi. Tout énoncé portant un numéro est un exercice, parfois implicite.

Plus en détail

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Déterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3

Déterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3 Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières

Plus en détail

NOTICE DOUBLE DIPLÔME

NOTICE DOUBLE DIPLÔME NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

La transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications. Elise Raphael Semestre d automne 2009-2010

La transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications. Elise Raphael Semestre d automne 2009-2010 La transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications Elise Raphael Semestre d automne 009-010 1 Contents 1 Transformée de Fourier sur un groupe fini 3 1.1 Dual d un groupe

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

RAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction

RAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Trois exposés à la semaine «Géométrie algébrique complexe» au CIRM, Luminy, décembre 2003 1. Introduction On étudie dans un premier temps les propriétés internes

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

C1 : Fonctions de plusieurs variables

C1 : Fonctions de plusieurs variables 1er semestre 2012/13 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l adresse http://www.iecn.u-nancy.fr/~bertram/, contiennent les définitions

Plus en détail

Cours d arithmétique Première partie

Cours d arithmétique Première partie Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Cours introductif de M2 Algèbres de Lie semi-simples et leurs représentations

Cours introductif de M2 Algèbres de Lie semi-simples et leurs représentations Cours introductif de M2 Algèbres de Lie semi-simples et leurs représentations Jean-François Dat 2013-2014 Résumé Dans ce cours, on étudie la structure des algèbres de Lie et de leurs représentations linéaires,

Plus en détail

Licence STS mention Mathématiques Parcours Ingénieur Télécom Bretagne (ITB)

Licence STS mention Mathématiques Parcours Ingénieur Télécom Bretagne (ITB) Licence STS mention Mathématiques Parcours Ingénieur Télécom Bretagne (ITB) FICHE D IDENTITE DE LA FORMATION Domaine de formation : Sciences, Technologies, Santé Intitulé : Licence Sciences, Technologies,

Plus en détail

spé MP POLYCOPIÉ D EXERCICES 2015-2016

spé MP POLYCOPIÉ D EXERCICES 2015-2016 spé MP POLYCOPIÉ D EXERCICES 5-6 POLYNÔMES Soit n IN (a) Montrer qu il existe un polynôme P n tel que : θ IR : P n (cos θ) sin θ = sin(n + )θ On donnera une expression de P n (b) Calculer le degré, le

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par

Plus en détail

Quelques tests de primalité

Quelques tests de primalité Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire

RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire Stéphane Mottelet Université de Technologie de Compiègne Printemps 2003 I Motivations et notions fondamentales 4 I1 Motivations 5 I2 Formes quadratiques 13 I3 Rappels

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Calcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3

Calcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3 Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr

Plus en détail