Programmation Linéaire - Cours 2

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Programmation Linéaire - Cours 2"

Transcription

1 Programmation Linéaire - Cours 2 P. Pesneau Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265

2 Sommaire 1 2 3

3 Retournons dans le yaourt! Reprenons l exemple du 1er cours Forme normale : Forme standard : Max 4x A + 5x B 2x A + x B 800 x A + 2x B 700 x B 300 x A, x B 0 Max z = 4x A + 5x B + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 2x A + x B + s 1 = 800 x A + 2x B + s 2 = 700 x B + s 3 = 300 x A, x B, s 1, s 2, s 3 0

4 Initialisation Max z = 4x A + 5x B + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 2x A + x B + s 1 = 800 x A + 2x B + s 2 = 700 x B + s 3 = 300 x A, x B, s 1, s 2, s 3 0 Reformulons ce système linéaire en écrivant les variables d écarts et la variable objectif en fonction des autres variables. z = 0 + 4x A + 5x B s 1 = 800 2x A x B s 2 = 700 x A 2x B s 3 = 300 x B On garde en mémoire le sens d optimisation (maximisation) ainsi que la non-négativité des variables.

5 Remarques z = 0 s 1 = 800 s 2 = 700 s 3 = 300 Posons x A = x B = 0 : intersection des hyperplans associés aux contraintes x A 0 et x B 0 on obtient pour les variables d écarts s 1 = 800, s 2 = 700 et s 3 = 300 l objectif z vaut 0

6 Choix de l arête de déplacement z = 0 + 4x A + 5x B s 1 = 800 2x A x B s 2 = 700 x A 2x B s 3 = 300 x B Se déplacer sur une arête qui améliore l objectif. Ceci revient à augmenter une variable fixée à 0, ici x A ou x B. Quelle variable choisir? On choisit une variable ayant un impact positif sur l objectif. Prenons par exemple x B qui a le plus grand impact positif.

7 Déplacement sur l arête z = 0 + 4x A + 5x B s 1 = 800 2x A x B s 2 = 700 x A 2x B s 3 = 300 x B Jusqu où peut-on augmenter x B? On regarde l impact de l augmentation de x B sur les variables s 1, s 2 et s 3 (aucun impact sur x A qui reste nulle) s 1 = 800 x B 0 x B 800 s 2 = 700 2x B 0 x B 350 s 3 = 300 x B 0 x B 300 x B augmente de 300 afin que toutes les variables restent 0 La variable s 3 va s annuler et on a x A = s 3 = 0 on se trouve à l intersection des hyperplans formés par les contraintes x A 0 et x B 300.

8 Pivotage z = 0 + 4x A + 5x B s 1 = 800 2x A x B s 2 = 700 x A 2x B s 3 = 300 x B Réécrire le système avec les variables non nulles en fonction des variables fixées à 0. Solution associée? z = x A 5s 3 s 1 = 500 2x A + s 3 s 2 = 100 x A + 2s 3 x B = 300 s 3

9 On continue? z = x A 5s 3 s 1 = 500 2x A + s 3 s 2 = 100 x A + 2s 3 x B = 300 s 3 Peut-on encore améliorer l objectif? Oui car x A a un impact positif sur l objectif Jusqu où peut-on augmenter x A? s 1 = 500 2x A 0 x A 250 s 2 = 100 x A 0 x A 100 x A n a aucun impact sur x B x A augmente de 100 afin que toutes les variables restent 0 La variable s 2 va s annuler et on a s 2 = s 3 = 0 on se trouve à l intersection des hyperplans formés par les contraintes x A +2x B 700 et x B 300.

10 Pivotage z = x A 5s 3 s 1 = 500 2x A + s 3 s 2 = 100 x A + 2s 3 x B = 300 s 3 Réécrire le système avec les variables non nulles en fonction des variables fixées à 0. Solution associée? z = s 2 + 3s 3 s 1 = s 2 3s 3 x A = 100 s 2 + 2s 3 x B = 300 s 3

11 On continue? z = s 2 + 3s 3 s 1 = s 2 3s 3 x A = 100 s 2 + 2s 3 x B = 300 s 3 Peut-on encore améliorer l objectif? Oui car s 3 a un impact positif sur l objectif Jusqu où peut-on augmenter s 3? s 1 = 300 3s 3 0 s On voit que x A augmente quand s 3 augmente. x A reste positif. x B = 300 s 3 0 s s 3 augmente de 100 afin que toutes les variables restent 0 La variable s 1 va s annuler et on a s 1 = s 2 = 0 on se trouve à l intersection des hyperplans formés par les contraintes 2x A +x b 800 et x A +2x B 700.

12 Pivotage z = s 2 + 3s 3 s 1 = s 2 3s 3 x A = 100 s 2 + 2s 3 x B = 300 s 3 Réécrire le système avec les variables non nulles en fonction des variables fixées à 0. Solution associée? z = s 2 s 1 s 3 = s s 1 x A = s s 1 x B = s s 1

13 On continue? z = s 2 s 1 s 3 = s s 1 x A = s s 1 x B = s s 1 Peut-on encore améliorer l objectif? Non car toutes les variables fixées à 0 ont un impact négatif sur l objectif Nous avons la solution optimale x A = 300 et x B = 200 (s 3 = 100 et s 1 = s 2 = 0) pour un objectif de 2200.

14 Problème linéaire sous la forme max j c jx j s.c. j a i,jx j b i x j 0 pour i = 1,..., m pour j = 1,..., n Ajout des variables d écart et d une variable objectif z = n j=1 c jx j x n+i = b i n j=1 a i,jx j pour i = 1,..., m Le problème revient à maximiser z en gardant les variables x j 0 pour j = 1,..., n+m.

15 Dictionnaires A chaque itération, la solution courante est associée à un système d équations qui la définit : z = z+ j N c jx j x i = b i j N āi,jx j pour tout i B Ce système s appelle un dictionnaire. Les variables de gauche sont appelées variables de base et notées x B IR m +. L ensemble des variables en base est appelé base. B représente les indices des variables en base. Les variables qui ne sont pas dans la base, sont appelées variables hors-base et notées x N IR n +. N représente l ensemble des indices des variables hors-base.

16 Dictionnaires z = z+ j N c jx j x i = b i j N āi,jx j pour tout i B B et N forment une partition de l ensemble des indices : B N = {1,..., n, n+1,..., n+m} B N = Chaque dictionaire définit une solution de base que l on obtient en posant x N = 0. un dictionnaire est réalisable si la solution de base associée est telle que x B 0. La solution est elle-même réalisable.

17 Dictionnaire initial z = n j=1 c jx j x n+i = b i n j=1 a i,jx j pour i = 1,..., m Initialement : La base initiale est formée des variables d écart x n+1,..., x n+m, c est-à-dire B = {n+1,..., n+m}. Les variables hors-base sont les variables intiales du problème, N = {1,..., n}. Attention, la base initiale peut ne pas être réalisable. On verra plus tard ce qu il faut faire dans ce cas.

18 Solutions de base / itération Solutions de base Toutes les solutions réalisables ne sont pas associées à une base (ou un dictionnaire). Mais chaque point extrême réalisable est représenté par au moins un dictionnaire. Le simplex considère exclusivement les solutions de base réalisables. Un théorème fondamental de la programmation linéaire dit que si le problème admet une solution optimale, alors, il en existe une en un point extrême. Itération A chaque itération de l algorithme du simplex, une variable hors-base va entrer dans la base, tandis qu une variable en base sortira de la base pivotage. Cette opération revient à se déplacer d un point extrême à un point extrême voisin le long d une arête du polyèdre.

19 Choix de la variable entrante z = z+ j N c jx j x i = b i j N āi,jx j pour tout i B Les coefficients c j, j N sont appelés les coûts réduits. Ils représentent l impact de l augmentation d une variable sur l objectif. Condition d optimalité : La solution de base est optimale si et seulement si tous les coûts réduits sont négatifs ou nuls : c j 0, pour tout j N.

20 Choix de la variable entrante z = z+ j N c jx j x i = b i j N āi,jx j pour tout i B Choix de la variable entrant en base : On choisit une variable dont le coût réduit est positif : choisir x k, k N tel que c k > 0. Règle de pivotage : Il peut y avoir plusieurs variables candidates pour entrer en base. La règle de pivotage permet de choisir, parmi toutes les variables candidates, celle qui va entrer en base. Exemples de règle de pivotage : Choisir la variable de plus grand côut réduit. Choisir la variable d indice le plus petit.

21 Choix de la variable sortante z = z+ j N c jx j x i = b i j N āi,jx j pour tout i B Supposons que la variable x k est choisie pour entrer en base. Le vecteur formé par les coefficient ā i,k, i B indique l impact sur les variables en base de l augmentation de la variable x k. Si ā i,k 0, l augmentation de x k entrainera une augmentation de x i. Si ā i,k > 0, l augmentation de x k entrainera une diminution de x i attention à la positivité de x i. x i = b i ā i,k x k 0 x k b i ā i,k

22 Choix de la variable sortante z = z+ j N c jx j x i = b i j N āi,jx j pour tout i B Choix de la variable sortante : La variable qui sort de la base est la première variable à s annuler lorsque x k (la variable entrante) augmente : { } b i Choisir s B tel que s = argmin i B : ā i,k > 0 ā i,k Il peut y avoir plusieurs variables candidates pour sortir de la base. Si c est le cas, la base suivante sera dégénérée. Problème non-borné : Si ā i,k 0 pour tout i B, il n y a pas de candidat pour sortir de la base et le problème est non-borné.

23 Pivotage z = z+ j N c jx j x i = b i j N āi,jx j pour tout i B Il reste à reconstruire le système d équation ci-dessus pour la nouvelle base. C est le pivotage. Si on considère que B et N n ont pas encore été remis à jour, le nouveau système s obtient par : z = x k = z + c k b s ā s,k b s ā s,k + j N\{k} ( c j c k ā s,j ā s,k )x j c k 1 ā s,k x s j N\{k} ā s,j ā s,k x j 1 ā s,k x s x i = b i ā i,k bs ā s,k j N\{k} (ā i,j ā i,k ā s,j ā s,k )x j +ā i,k 1 ā s,k x s i B \{s}

24 Sommaire Phase I du simplex Bases dégénérées Solutions optimales multiples 1 2 Phase I du simplex Bases dégénérées Solutions optimales multiples 3

25 Phase I du simplex Phase I du simplex Bases dégénérées Solutions optimales multiples Cette phase permet de trouver une solution de base réalisable initiale lorsque la base donnée par les variables d écart n est pas réalisable. D où vient le problème? j a i,jx j b i avec b i < 0. Après ajout de la variable d écart et écriture sous forme de dictionnaire, on obtient : x n+i = b i j a i,jx j. Comme b i < 0 la solution de base n est pas réalisable.

26 Que faire? Phase I du simplex Bases dégénérées Solutions optimales multiples 1 Pour chaque contrainte telle que b i < 0, on ajoute une variable artificielle x n+i avec un coefficient de 1 en plus de la variable d écart : j a i,jx j +x n+i x n+i = b i 2 Remplacer l objectif initial par minimiser i:b i <0 x n+i. 3 Eliminer les variables en base de l objectif en les remplaçant par l expression donnée par le dictionnaire. 4 La base initiale est donnée par les variables artificielles des contraintes avec b i < 0 et les variables d écarts des contraintes avec b i 0.

27 Résultat : Phase I du simplex Bases dégénérées Solutions optimales multiples A la fin de cette résolution : S il existe au moins un i tel que x n+i > 0, alors les variables artificielles sont nécessaires pour avoir une solution réalisable. Alors, il n existe pas de solution réalisable au problème initial. Le problème initial est irréalisable. Si x n+i = 0 pour tout i tel que b i < 0, toutes les variables artificielles sont hors-base. On a une solution de base réalisable pour le problème initial donnée par la base optimale de la Phase I. 1 Supprimer les variables artificielles. 2 Reprendre l objectif initial. 3 Eliminer les variables en base de l objectif en les remplaçant par leur expression donnée par le dictionnaire. 4 Reprendre la résolution normale du simplex.

28 Bases dégénérées Phase I du simplex Bases dégénérées Solutions optimales multiples Quand plusieurs variables sont candidates pour sortir de la base, la nouvelle solution de base aura une (ou plusieurs) variables de base prenant la valeur 0. On dit alors que la solution de base est dégénérée. Exemple : z = 0 + 2x 1 1x 2 + 8x 3 x 4 = 1 + 0x 1 + 0x 2 2x 3 x 5 = 3 2x 1 + 4x 2 6x 3 x 6 = 2 + 1x 1 3x 2 4x 3 Solution : (0,0,0,1,3,2) et z = 0. On fait entrer x 3 en base. x 4, x 5 et x 6 sont candidates pour sortir de la base. Choisissons x 4.

29 Bases dégénérées Phase I du simplex Bases dégénérées Solutions optimales multiples z = 4 + 2x 1 1x 2 4x 4 x 3 = x 1 + 0x x 4 x 5 = 0 2x 1 + 4x 2 + 3x 4 x 6 = 0 + 1x 1 3x 2 + 2x 4 Solution : (0,0, 1 2,0,0,0) et z = 4. x 1 entre en base et x 5 sort. z = 4 1x 5 + 3x 2 1x 4 x 3 = x 5 + 0x x 4 x 1 = x 5 + 2x x 4 x 6 = x 5 1x x 4 Solution : (0,0, 1 2,0,0,0) et z = 4. x 2 entre en base et x 6 sort.

30 Bases dégénérées Phase I du simplex Bases dégénérées Solutions optimales multiples z = x 5 3x x 4 x 3 = x 5 + 0x 6 2 x 4 x 1 = x 5 2x x 4 x 2 = x 7 5 1x x 4 Solution : (0,0, 1 2,0,0,0) et z = 4. x 4 entre en base et x 3 sort. z = x 5 3x 6 19x 3 x 4 = 1 + 0x 5 + 0x 6 2x 3 x 1 = x 5 2x 6 17x 3 x 2 = x 5 1x 6 7x 3 Solution optimale : ( 17 2, 7 2,0,1,0,0) et z = 27 2.

31 Solutions optimales multiples Phase I du simplex Bases dégénérées Solutions optimales multiples Il peut arriver que dans le dictionnaire optimal, des variables hors-bases possèdent des coûts réduits nuls : c i = 0,pour i N En effectuant une itération suplémentaire du simplexe en faisant entrer en base une variable x i telle que c i = 0, on obtient une nouvelle solution optimale de base (avec le même objectif). Si x1 et x 2 sont deux solutions optimales, alors toutes solutions obtenues par une combinaison convexe de x1 et x 2 est également une solution optimale : x = αx1 +(1 α)x 2, α [0,1] est une solution optimale.

32 Terminaison Phase I du simplex Bases dégénérées Solutions optimales multiples Le nombre de dictionnaires possibles est ( ) m n+m En cas de dégénérescence, l algorithme peut revenir sur une solution de base déjà visitée ( cycle). En pratique néanmoins, cela se passe rarement. Il existe des règles de pivotage limitant les risques de cycle : règle de plus petit indice. perturbation des données : ajouter au membres de droites des contraintes des 0 < ǫ << coefficients.

33 Sommaire 1 2 3

34 Notations matricielles En forme standard : avec Max cx s.c. Ax = b x 0 c = (c 1 c 2... c n ) a 1,1 a 1,2... a 1,n 1 b 1 A = a 2,1 a 2,2... a 2,n 1 b = b a m,1 a m,2... a m,n 1 b m x t = (x 1 x 2... x n x n+1... x n+m )

35 Partitionnement des variables On peut partitionner les variables en deux sous-ensemble : Les variables en base : B Les variables hors-base : N Cette partition peut-être efectuée dans chacune des contraintes : n+m j=1 a i,jx j = j B a i,jx j + j N a i,jx j = b i pour i = 1,..., n. D un point de vue matriciel, ce partitionnement revient à partitionner les colonnes de A et les composantes des vecteurs c et x t : ( c O 0 ) = c ( c B c N ) ( A O I ) = A ( A B A N ) = ( B N ) ( x O x E ) = x ( x B x N ) où O = {1,..., n} et E = {n+1,..., n+m}.

36 Dictionnaire au format matriciel Exprimons les variables en base en fonction des variables hors-base : Ax = b A B x B +A N x N = b Bx B +Nx N = b x B = B 1 b B 1 Nx N On remarque que cette réécriture n est possible que si B est une matrice inversible. Maintenant, en remplaçant x B dans l objectif, on a : z = cx = c B x B +c N x N = c B (B 1 b B 1 Nx N )+c N x N = c B B 1 b +(c N c B B 1 N)x N On a : Max z = c B B 1 b +(c N c B B 1 N)x N s.c. x B = B 1 b B 1 Nx N x B, x N 0

37 Solutions de base Toute sous-matrice carrée m m de A inversible (les m colonnes/lignes de B sont linéairement indépendantes et forment une base de IR m ) est appelée matrice de base. A chaque matrice de base B est associé une solution de base définie par un dictionnaire. Max z = c B B 1 b +(c N c B B 1 N)x N s.c. x B = B 1 b B 1 Nx N x B, x N 0 Solution de base : x B = B 1 b z = c B B 1 b Condition de réalisabilité : B 1 b 0 Condition d optimalité : c N c B B 1 N 0

38 matriciel On commence avec une solution de base réalisable donnée par un dictionnaire : Max z = c B B 1 b +(c N c B B 1 N)x N s.c. x B = B 1 b B 1 Nx N x B, x N 0 1 Si c N = c N c B B 1 N 0, alors cette solution est optimale, STOP. 2 choisir une variable entrante k N telle que ( c N ) k > 0. 3 Si (ā i,k ) i=1,...,m = (B 1 N) k 0, le problème est non borné, STOP. 4 Choisir une variable sortante s B telle que { } b s = argmin j j B : ā j,k > 0 ā j,k = B 1 j,. b B 1 j,. N.,k 5 Pivoter : B = (B \{s}) {k} et N = (N \{k}) {s} et retourner en 1.

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 1

Programmation Linéaire - Cours 1 Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.

Plus en détail

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre Recherche opérationnelle Programmation linéaire et recherche opérationnelle Ioan Todinca Ioan.Todinca@univ-orleans.fr tél. 0 38 41 7 93 bureau : en bas à gauche Tentative de définition Ensemble de méthodes

Plus en détail

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique F. Clautiaux francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 Motivation et objectif du cours

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

INTRODUCTION A L OPTIMISATION

INTRODUCTION A L OPTIMISATION INTRODUCTION A L OPTIMISATION Les domaines d application L optimisation est essentiellement un outil d aide à la décision au sein de l entreprise, mais aussi pour des individus. Le terme optimal est souvent

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 4

Programmation Linéaire - Cours 4 Programmation Linéaire - Cours 4 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire Dualité 1 Dualité 2 3 Primal / Dual Dualité Les PL vont toujours par paires

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE Algorithme du simplexe Phase I 1 Introduction Algorithme du simplexe : Soit x 0 une solution de base admissible Comment déterminer x 0? Comment déterminer

Plus en détail

1 Programmation linéaire

1 Programmation linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2012 2013 Master d économie Cours de M. Desgraupes Méthodes Numériques Document 4 : Corrigé des exercices d optimisation linéaire

Plus en détail

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe À tout tableau est associée non seulement une base du problème initial (primal) mais également une base du problème dual. Les valeurs des variables

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire NICOD JEAN-MARC Master 2 Informatique Université de Franche-Comté UFR des Sciences et Techniques septembre 2008 NICOD JEAN-MARC Rappels sur les graphes 1 / 47 Sommaire 1 Exemple

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51 Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech Paris-UPMC - p. /5 Rappels mathématiques s Propriétés - p. 2/5 Rappels mathématiques Soit à résoudre le système linéaire Ax = b. Rappels mathématiques

Plus en détail

LES ÉTAPES DE L ALGORITHME DU SIMPLEXE

LES ÉTAPES DE L ALGORITHME DU SIMPLEXE LES ÉTAPES DE L ALGORITHME DU SIMPLEXE Sommaire 1. Introduction... 1 2. Variables d écart et d excédent... 2 3. Variables de base et variables hors base... 2 4. Solutions admissibles... 3 5. Résolution

Plus en détail

Algorithme du simplexe

Algorithme du simplexe Algorithme du simplexe Une solution à la programmation linéaire Hugues Talbot Laboratoire A2SI 18 mars 2008 Plan Algèbre linéaire Algorithme du simplexe Formulation et forme standard Notations Recherche

Plus en détail

Ax = b iff (B + N) x N

Ax = b iff (B + N) x N Chapitre 3 Algorithme du simplexe 3.1 Solution de base admissible P en forme standard. A = (a 1,...,a n ) Hypothèse : n m (plus de variables que d équations) et rg(a)=m (pas d équation inutile). Donc après

Plus en détail

Recherche opérationnelle

Recherche opérationnelle Université dulittoral Côte d Opale Master 2 en Sciences Economiques et de Gestion Recherche opérationnelle Daniel DE WOLF Dunkerque, Septembre 2006 Table des matières 1 Laprogrammation linéaire. 7 1.1

Plus en détail

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction Zoltán Szigeti Ensimag April 4, 2015 Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 1 / 16 Forme Générale Définition

Plus en détail

Simplexe. Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L. Sébastien Verel

Simplexe. Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L. Sébastien Verel Simplexe Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L Sébastien Verel verel@lisic.univ-littoral.fr http://www-lisic.univ-littoral.fr/~verel Université du Littoral Côte d Opale Laboratoire LISIC

Plus en détail

Solutions optimales multiples. 3D.1 Unicité de la solution optimale du modèle (FRB)

Solutions optimales multiples. 3D.1 Unicité de la solution optimale du modèle (FRB) 3D Solutions optimales multiples 3D.1 Unicité de la solution optimale du modèle (FRB) Le modèle (FRB) admet une solution optimale unique. En effet (voir page 182), l'algorithme du simplexe se termine par

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 5

Programmation Linéaire - Cours 5 Programmation Linéaire - Cours 5 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire Algorithme du simplex dual 1 Algorithme du simplex dual 2 3 4 Changement

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Problèmes de transport et transbordement

Problèmes de transport et transbordement Problèmes de transport et transbordement Résolution Hugues Talbot Laboratoire A2SI 9 avril 2009 Plan Introduction Introduction Solution des problèmes de transport Solution de base initiale Le simplexe

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE Algorithme du simplexe 1 Rappel Si un problème de programmation linéaire en forme standard possède une solution optimale, alors il existe une solution

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref)

Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref) Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines Tahar Z. BOULMEZAOUD boulmeza@math.uvsq.fr Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref) On appelle programme linéaire un problème d optimisation

Plus en détail

se trouve en un sommet de l ensemble convexe des solutions admissibles K = {x 0 Ax =

se trouve en un sommet de l ensemble convexe des solutions admissibles K = {x 0 Ax = Chapitre 3 Méthode du simplexe Comme toujours, on suppose que A une matrice de format m n et b R m. On notera les colonnes de A par [a 1, a 2,..., a n ]. Aussi, on fera l hypothèse que le rang de la matrice

Plus en détail

Chapitre 1 : Programmation linéaire

Chapitre 1 : Programmation linéaire Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 1 : Programmation linéaire J.-F. Scheid 1 I. Introduction 1) Modélisation En Recherche Opérationnelle (RO), modéliser un problème consiste à identifier: les variables

Plus en détail

Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths, année 2012 1 Rappel de l épisode précédent

Plus en détail

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES O. Lader 2014/2015 Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 1 / 51 Systèmes linéaires Deux exemples de systèmes linéaires à deux équations et deux

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan Exo7 Systèmes linéaires Vidéo partie 1. Introduction aux systèmes d'équations linéaires Vidéo partie 2. Théorie des systèmes linéaires Vidéo partie 3. Résolution par la méthode du pivot de Gauss 1. Introduction

Plus en détail

Programmation linéaire. Méthode du simplexe.

Programmation linéaire. Méthode du simplexe. Programmation linéaire. Méthode du simplexe. S. EL BERNOUSSI 25 octobre 2010 Table des matières 1 Introduction. 2 2 Notion de programme linéaire. 2 2.1 Exemple................................ 2 2.2 Forme

Plus en détail

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Cours Diagonalisation

Cours Diagonalisation Cours Diagonalisation par Pierre Veuillez 1 Objectif Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1. Interprètation : Quelle relation reconnaît-on?

Plus en détail

Optimisation en nombres entiers

Optimisation en nombres entiers Optimisation en nombres entiers p. 1/83 Optimisation en nombres entiers Michel Bierlaire michel.bierlaire@epfl.ch EPFL - Laboratoire Transport et Mobilité - ENAC Optimisation en nombres entiers p. 2/83

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Méthode du simplexe Analyse algébrique

Méthode du simplexe Analyse algébrique Analyse algébrique Illustration des théorèmes On reprend l exemple des ceintures de cuir, c- à-d maximiser z, avec : z = 4x + 3x 2 x + x 2 + s = 40 2x + x 2 + s 2 = 60 x, x 2, s, s 2 0 Solution optimale

Plus en détail

Introduction à la programmation en variables entières Cours 3

Introduction à la programmation en variables entières Cours 3 Introduction à la programmation en variables entières Cours 3 F. Clautiaux francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 272 Sommaire Notion d heuristique Les algorithmes gloutons

Plus en détail

I) Le temps des matrices. A- A propos des matrices. Quang-Thai NGO Ch 01. Difficulté ** Importance **** Objectifs

I) Le temps des matrices. A- A propos des matrices. Quang-Thai NGO Ch 01. Difficulté ** Importance **** Objectifs Ch01 : Matrice Les matrices ont été introduites récemment au programme des lycées. Il s agit d outils puissants au service de la résolution de problèmes spécifiques à nos classes, en particulier les problèmes

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

IFT2505. Programmation Linéaire

IFT2505. Programmation Linéaire IFT 2505 Programmation Linéaire DIRO Université de Montréal http://www.iro.umontreal.ca/~bastin/ift2505.php Automne 2013 Solutions de base min c T x x s.c. Ax = b, x 0. Supposons m n et rang(a) = m. Sans

Plus en détail

Chapitre 6. Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI. 6.1.1 Approximation de la PLI

Chapitre 6. Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI. 6.1.1 Approximation de la PLI Chapitre 6 Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI (P) problème de PL. On restreint les variables à être entières : on a un problème de PLI (ILP en anglais). On restreint certaines variables à

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe

Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe ENSIIE - Module de Recherche Opérationnelle (dimitri.watel@ensiie.fr) 2016-2017 Objectif Résoudre un programme linéaire quelconque de la forme

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Chapitre 6 Méthodes de Krylov 611 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Dans le cas où la matrice A n est pas symétrique, comment peut-on retrouver une matrice de corrélation

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Cours 4: Programmation linéaire

Cours 4: Programmation linéaire Cours 4: Programmation linéaire Position du problème Algorithme du simplexe générique Dualité. Dégénérescence et terminaison de l algorithme 1-1 Cours 4: Programmation linéaire Position du problème Algorithme

Plus en détail

Le problème des multiplications matricielles enchaînées peut être énoncé comme suit : étant

Le problème des multiplications matricielles enchaînées peut être énoncé comme suit : étant Licence informatique - L Année 0/0 Conception d algorithmes et applications (LI) COURS Résumé. Dans cette cinquième séance, nous continuons l exploration des algorithmes de type Programmation Dynamique.

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

Cours de mathématiques fondamentales 1 année, DUT GEA. Mourad Abouzaïd

Cours de mathématiques fondamentales 1 année, DUT GEA. Mourad Abouzaïd Cours de mathématiques fondamentales 1 année, DUT GEA Mourad Abouzaïd 9 décembre 2008 2 Table des matières Introduction 7 0 Rappels d algèbre élémentaire 9 0.1 Calcul algébrique................................

Plus en détail

Calcul matriciel ... Il est impossible de faire la somme de 2 matrices de tailles différentes.

Calcul matriciel ... Il est impossible de faire la somme de 2 matrices de tailles différentes. Chapitre : Calcul matriciel Spé Maths - Matrices carrées, matrices-colonnes : opérations. - Matrice inverse d une matrice carrée. - Exemples de calcul de la puissance n-ième d une matrice carrée d ordre

Plus en détail

Algorithme du Simplexe

Algorithme du Simplexe MATH-F-306 Optimisation chapitre 3 Algorithme du Simplexe 20 avril 2007 Optimisation MATH-F-306 MATH-F-306 3. Algorithme du Simplexe RAPPEL au TABLEAU : Algorithme du Simplexe TODO step 0 : step 1 : step

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Sujet 2 : Programmation linéaire: applications et propriétés

Sujet 2 : Programmation linéaire: applications et propriétés Sujet 2 : Programmation linéaire: applications et propriétés MHT 423 : Modèles et méthodes d optimisation Andrew J. Miller Dernière mise à jour: March 10, 2010 Dans ce sujet... 1 Application : problème

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Cours 1 Optimisation linéaire L optimisation linéaire est un domaine de la recherche opérationnelle. Elle consiste à modéliser des problèmes de recherche opérationnelle à l aide d inégalités linéaires

Plus en détail

Matrices. 1. Définition. Exo7. 1.1. Définition

Matrices. 1. Définition. Exo7. 1.1. Définition Exo7 Matrices Vidéo partie 1 Définition Vidéo partie 2 Multiplication de matrices Vidéo partie 3 Inverse d'une matrice : définition Vidéo partie 4 Inverse d'une matrice : calcul Vidéo partie 5 Inverse

Plus en détail

Mathématique pour l informatique Examen durée : 3 heures. Question 1. Mettre ce problème en forme standard en introduisant des variables d écarts.

Mathématique pour l informatique Examen durée : 3 heures. Question 1. Mettre ce problème en forme standard en introduisant des variables d écarts. Mathématique pour l informatique Examen durée : 3 heures. Université de Provence Licence Informatique Année 2001-2002 Exercice 1 (Simplexe : 10 points) On donne le problème de programmation linéaire (P)

Plus en détail

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

Introduction. Première partie. 1 Aide à la décision et modèles mathématiques

Introduction. Première partie. 1 Aide à la décision et modèles mathématiques Première partie Introduction Aide à la décision et modèles mathématiques Un premier problème Exemple (Achat de billets d avion). Un homme d affaires doit effectuer 5 voyages entre Fayetteville (FYV) à

Plus en détail

Les matrices. 1 Définitions. 1.1 Matrice

Les matrices. 1 Définitions. 1.1 Matrice Les matrices 2012-2013 1 Définitions 11 Matrice Définition 1 Une matrice m n est un tableau de nombres à m lignes et n colonnes Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice

Plus en détail

TP - Modélisation et optimisation des systèmes complexes

TP - Modélisation et optimisation des systèmes complexes Master Informatique 1ere année (M1) Année 2010-2011 TP - Modélisation et optimisation des systèmes complexes Résolution du problème d'aectation généralisé par relaxation lagrangienne 1 Introduction Le

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Premier Exemple. Premier Exemple - Slack variables. Optimiser? Un peu de maths préliminaires La géométrie des PL

Premier Exemple. Premier Exemple - Slack variables. Optimiser? Un peu de maths préliminaires La géométrie des PL 1 Intro, Optimisation, Problème Linéaire 2 1 Intro, Optimisation, Problème Linéaire Optimiser? Problème Linéaire Un peu de maths préliminaires La géométrie des PL 2 Laure Gonnord (Lyon1 / ENS Lyon) Optimisation

Plus en détail

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire Université de Paris X Nanterre UFR Segmi Année 7-8 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II Chapitre Algèbre linéaire Table des matières Espaces vectoriels Espaces et sous-espaces

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

(i) Le nombre de travailleurs commencant leur service est positif ou nul : x i 0 i = 1,...,7

(i) Le nombre de travailleurs commencant leur service est positif ou nul : x i 0 i = 1,...,7 Chapitre 1 Modelisation 11 Exemples de Problèmes 111 La Cafétaria Cafétaria ouverte toute la semaine Statistique sur le personnel requis : Jour Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche Nombre

Plus en détail

Formation CNAM 1. Plan du chapitre 4 Principes de base de la PL. 1. Introduction à la Programmation Linéaire. Exemple d un modèle de PL

Formation CNAM 1. Plan du chapitre 4 Principes de base de la PL. 1. Introduction à la Programmation Linéaire. Exemple d un modèle de PL Optimisation en Informatique RCP04 Cours 3 Principes de base de la Programmation Linéaire (PL) Plan du chapitre 4 Principes de base de la PL. Introduction à la programmation linéaire. Modélisation de problèmes

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

Cours de mathématiques : Equation du second degré

Cours de mathématiques : Equation du second degré Cours de mathématiques : Equation du second degré I ) Formes de l'équation du second degré. L'équation du deuxiéme degré à une inconnue est celle où l'inconnue est élévé à la puissance de 2, sans y etre

Plus en détail

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Optimisation Linéaire

Optimisation Linéaire Optimisation Linéaire Cours 2 : algorithme du simplexe Adrien Goëffon Bureau H207 / adrien.goeffon@univ-angers.fr Algorithme du simplexe On souhaite résoudre le programme linéaire suivant (ici sous forme

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Bases mathématiques pour l économie et la gestion

Bases mathématiques pour l économie et la gestion Bases mathématiques pour l économie et la gestion Bases mathématiques Pour l économie et la gestion - Table des matières PREMIERE PARTIE : QUELQUES OUTILS Chapitre : Traitement de systèmes d'équations..

Plus en détail