OPTIMISATION MULTICRITERE STOCHASTIQUE

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1 OPTIMISATION MULTICRITERE STOCHASTIQUE Michel DUMAS, Gilles ARNAUD, Fabrice GAUDIER CEA/DEN/DMS/SFME/LETR

2 Introduction L optimisation multicritère stochastique

3 Optimisation monocritère Problème d optimisation : D R min x D ( x) = min x D min ( x) Optimisation continue : Optimisation combinatoire : D est un ensemble ini : D 0, n D R { } n n, D N, D S 3

4 Optimisation multicritère Problème d optimisation multicritère : D R p min ( x) = min x D { ( x), ( x),..., ( ) } x p La notion d optimum global : x D min ( x) n a plus de sens! n'est pas une relation d'ordre totale dans R p 4

5 5 Exemple, 0.5, y x y x ), ( ) ( ) ( ), ( + + = + + = y x y x y x y x

6 Relation de dominance On déinit une relation de dominance entre solutions : x A.. j j domine {, p} x A j( x) ssi : j( x) {, p} j 0( x) < j 0( ) 0 x Si une des conditions est violée x ne domine pas x 6

7 Relation de dominance 7

8 Pareto-optimalité Optimalité au sens de Pareto Si une solution n est dominée par aucune autre elle est optimale au sens de Pareto. L ensemble des solutions non dominées i.d. celles qui dominent les autres mais ne se dominent pas entre elles sont Pareto-optimales. Elles orment Z : la zone de Pareto L image de Z dans l espace des critères R p est le ront de Pareto Z A n R 8

9 Pareto-optimalité 9

10 0 Exemple, 0.5, y x y x ), ( ) ( ) ( ), ( + + = + + = y x y x y x y x

11 Nouvelles méthodes A nouveaux problèmes, nouvelles solutions Les métaheuristiques : Recuit simulé, recherche tabou, colonies de ourmis, les algorithmes évolutionnaires (génétiques), etc s attaquent aux problèmes «diiciles» - évitent le piège des minima locaux - ournissent des ensembles de solutions - présentent un caractère stochastique

12 Les Algorithmes «évolutionnaires» Métaphore biologique : L évolution d une population d individus Au cours des générations : Sélection «naturelle» => «adaptation» des individus Mesure de l adaptation : La «itness» => les objectis de l optimisation Propriétés : - déinir une relation d ordre partiel entre individus - être évaluable.

13 Les Algorithmes «évolutionnaires» Les opérateurs génétiques : La mutation On altère aléatoirement une partie du chromosome => Permet d éviter les mimima locaux. Le croisement On combine les chromosomes de deux parents => Permet de partager l inormation La sélection des parents : Stratégie élitiste 3

14 Optimisation multicritère : D R p, D R n min x D ( x) où : ( x) = { ( ), ( ),..., ( )} x x p x La «itness» de x : rang de x = nombre d éléments qui dominent x dans la population courante Zone de Pareto = { x de rang 0} 4

15 Population pareto-optimale 5

16 Convergence de la population 6

17 Convergence de la population 7

18 Autre exemple 8

19 Optimisation stochastique Optimisation en présence d incertitudes : a = : D R avec : min x D ( x) où, D ( x) = ( a, x) { paramètres incertains } R n Les paramètres incertains a sont modélisés comme des variables aléatoires A de distribution de probabilité connue 9

20 Optimisation stochastique Le critère (a,x) => une variable aléatoire Y A (x)!! min Y A (x) n a plus de sens!! 0

21 Optimisation stochastique On se ramène à un problème d optimisation bien posé :. Problème déterministe associé : min ( a, x). Problème monocritère : On choisit un des critères caractérisant la densité de probabilité de Y A (x) ( Y (x)) Moyenne Ε A Variance Var( Y ( x)) A Pr ob( y A ( x) y ) lim

22 Optimisation stochastique 3. Problème multicritère On choisit : - Plusieurs des critères caractérisant la densité de probabilité de Y A (x) - Plusieurs des critères caractérisant la densité de probabilité de plusieurs objectis (variables aléatoires) caractérisant les perormances du système. 4. Problème de satisaction de contraintes : Trouvez 5. etc... { x D Pr ob( Y ( x) ε ) α } A

23 Optimisation stochastique Exemple d application: Calibration d un modèle Source de l incertitude : les mesures expérimentales On mesure 6 grandeurs physiques a = {a, a,..., a 6 } permettant d évaluer y(a) («valeur mesurée») en chacun des Ness ( = 48 ) points expérimentaux : => On les modélise par 6 variables aléatoires. Les paramètres (phénoménologiques) x = {x, x } du modèle sont les variables de décision à déterminer. 3

24 Optimisation stochastique En chaque point expérimental, l écart : e(a i,x) = valeur calculée y * (A i,x) - valeur mesurée y(a i ) est une variable aléatoire. Toutes onctions de ces variables aléatoires mesurant les écarts sur les 48 points expérimentaux sont des variables aléatoires. En particulier, les normes L et L que nous avons choisi d étudier : F ( A, F ( A, A A,...,,..., A A Ness Ness, x) =, x) = Ness Ness i i=, Ness ( e i=, Ness e ( A, x) i i ( A, x)) i 4

25 Optimisation stochastique Méthode de résolution : «External Sampling Method» On construit un échantillon de taille N respectant les distributions de probabilité des 6 variables aléatoires en chacun des 48 points expérimentaux. Pour tout couple {x, x } des paramètres du modèle on peut calculer les réalisations de e(a,x) et obtenir les distributions empiriques de F ( A, A,..., ANess, x) et F ( A, A,..., ANess, x) 5

26 Optimisation stochastique Les diérents problèmes traités : Minimisation de la norme L min E[ F ( A, A,..., A minvar[ F ( A, A,..., A Minimisation de la norme L Ness, x)] Ness, x)] Ensemble des points qui vériient : Pr ob( F ( A, A Pr ob( F ( A, A,...,,..., A A Ness Ness, x) ε ), x) ε ) α α 6

27 Optimisation stochastique 7

28 Optimisation stochastique 8

29 Diicultés Bonne représentation de la zone et du ront de Pareto Bonne répartition des points Population de taille suisante => Nombreuses évaluations des critères > Approximation Réseaux de neurones > Distribution des calculs CCRT, Clusters de PC 9

30 Conclusion Les métaheuristiques : nouvelles méthodes population solution => nouveaux problèmes satisaction de contraintes optimisation multicritère => nouvelle approche : - solution à ε près - optimisation stochastique 30

31 Réérences Notre implémentation des A.G. : VIZIR : AG diploïde à codage réel Bibliothèque de onctions C et de scripts Python. G. G. Arnaud et M. Dumas SFME/LETR/RT/04-03/A Mise en œuvre de la distribution G. Arnaud SFME/LETR/RT/07-034/A Présentation du multicritère et des AG : M. Dumas SFME/LETR/RT/0-07/A Une application : l optimisation stochastique M. Dumas et F. Gaudier SFME/LETR/RT/03-00/A Deux exemples de calage de codes G. Arnaud et al. SFME/LETR/RT/05-047/A 3

32 Réérences Quelques sites web sur l optimisation multicritère et les métaheuristiques : Site web sur l optimisation stochastique 3

33 Réérences Optimisation multiobjecti Yann COLLETTE et Patrick SIARRY, Eyrolles 00 Métaheuristiques pour l optimisation diicile Johann DREO, Alain PETROWSKI, Patrick SIARRY, Eric TAILLARD, Eyrolles 003 Multi-objective Optimization using Evolutionary Algorithms Kalyanmoy DEB, Wiley 00 33

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