Partie I Le consommateur et la demande

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1 Partie I Le consommateur et la demande Chapitre 1 La fonction d utilité 1

2 Plan du cours 1. Le consommateur. 2. La notion d utilité. 3. Les courbes d indifférence. 4. L optimum du consommateur. 5. Exercices. 2

3 1. Le consommateur a/ Quelques notions élémentaires Le consommateur est un agent économique dont la caractéristique dans l économie est l acquisition et la consommation de biens et services grâce à un revenu donné. Il est relié aux entreprises par: 1. son travail; un travail qui lui procure un salaire (rémunération). 2. l achat de biens et services produits/offerts par l entreprise. Le consommateur peut être : une personne seule / un foyer / un ménage avec ou sans enfants / une communauté. Le consommateur utilise son revenu pour acheter des biens en certaines quantités qui lui procurent une certaine satisfaction. Quelles quantités il faut consommer pour maximiser cette satisfaction compte tenu de son budget? 3

4 Qu est-ce qu un bien économique? Deux définitions des biens économiques: 1. s il peut faire l objet d une transaction. Cette définition ne tient pas compte des biens qui ne peuvent pas être échangés (les biens libres disponibles en quantité illimitée comme l air et l eau de mer). 2. S ils peuvent faire l objet d une production en série. Cette définition exclut les biens non reproductibles tels que les œuvres d art. Dans ce cours les biens considérés sont des biens non libres et reproductibles. Ils remplissent ainsi les deux définitions. Nous distinguons plusieurs types de biens : * les biens de consommation/production. * les biens durables/non durables. * les biens substituables/complémentaires. 4

5 Qu est-ce qu un panier de consommation? Le consommateur fait son choix de consommation parmi toutes les options qui lui sont ouvertes. Ces options correspondent à toutes les combinaisons possibles de quantités de biens de consommation. Chaque combinaison est appelée un panier de consommation. Hypothèse : il existe une infinité de paniers à la disposition des consommateurs. On considère une économie à n biens, un panier de consommation P i est donné par : P i =(x 1i,x 2i,,x ni ) où x i j est la quantité consommée du bien j (j=1 n) contenue dans le panier i. 5

6 Qu est ce qu un ensemble de consommation? L ensemble des paniers de consommation disponible dans une économie constitue l ensemble de consommation. Pour simplifier notre analyse, nous supposons que : 1. Cet ensemble n est pas limité. 2. Il contient tous les paniers composés de quantités positives ou nulles des différents biens disponibles. 3. Le consommateur évolue dans un univers de concurrence pure et parfaite, son poids sur le marché est négligeable. 4. Chaque consommateur a une consommation minimale dite de réserve; une consommation vitale. 6

7 b/ La relation de préférence du consommateur La relation de préférence : - Selon cette relation le consommateur classe tous les paniers de consommations par ordre de préférence. - Soit A et B deux paniers de consommation. - On distingue 1- la relation de préférence stricte Le panier A est strictement préféré au panier B : 2- la relation d indifférence Le consommateur est indifférent entre la consommation du panier A ou B quand ils lui procurent la même satisfaction : 3- La relation préféré ou indifférent : Les relations (1) et (2) peuvent être combinées en une seule relation : Le panier A est au moins aussi désiré que le panier B. 7

8 Le préordre complet L analyse microéconomique impose des contraintes particulières à la relation de préférence Tout consommateur dont le comportement satisfait les 3 axiomes suivants est supposé rationnel : 1- Axiome de totalité Tout consommateur est capable de comparer tout panier de biens à un autre de l ensemble de consommation. Il n y a pas de panier inclassable par le consommateur. Le consommateur doit pouvoir comparer les 2 paniers A et B : 2- Axiome de réflexivité Tout panier est indifférent à lui-même: Cet axiome présente un intérêt purement mathématique. 3- Axiome de transitivité La relation de préférence est transitive ce qui pourrait conduire à des situations de préférences : 8

9 2. La notion d utilité La fonction d utilité U associe à chaque panier de biens un indice d utilité ou encore un degré d utilité qui mesure la satisfaction du consommateur. Cette fonction reflète les préférences du consommateur. Elle dépend des quantités de biens consommés dans le panier : U=U(x 1, x 2, x 3, x n ) Cette fonction a deux interprétations/versions: a/ Une version cardinale b/ Une version ordinale (la plus contemporaine, retenue dans ce cours) 9

10 a- La version cardinale de l utilité Parmi, les partisans de cette approche Jevons, Menger et Walras. Selon cette approche, l utilité correspond à une mesure quantitative de la satisfaction retirée de la consommation de biens. Le consommateur associe à chaque panier un degré d utilité absolu. Il peut donc déterminer pour chaque panier de biens le degré d utilité correspondant. Il peut ainsi comparer la satisfaction associée à la consommation de deux paniers distincts et de déduire le panier qu il préfère. Si l utilité du premier panier est le double de celle du second, il préfère deux fois plus le premier panier au second. Les limites de cette approche Le consommateur ne peut pas mesurer avec précision l utilité de chaque panier dans l ensemble de consommation. L objectif du consommateur est de déterminer le panier préféré à tous les autres et non de mesurer les écarts d utilité entre les paniers de biens. 10

11 b- La version ordinale de l utilité L approche ordinale traduit algébriquement les préférences du consommateur. Comme la fonction d utilité cardinale, la fonction d utilité ordinale affecte à chaque panier de bien un indice d utilité. Elle s écrit comme suit : U=U(x 1, x 2, x 3, x n ) L indice donné par cette fonction est relatif et non absolu. Exemple: Si seulement si U(A)>U(B) Si seulement si U(A)=U(B) Si A:=(x 1A, x 2A, x na ) et B:=(x 1B, x 2B, x nb ). Cela revient à: 11

12 Plusieurs fonctions d utilité peuvent représenter le même ordre de préférence. Exemple : Soit la fonction U telle que U(A)>U(B). Soit la fonction V telle que V(P)=U(P)+1. nous déduisons que V(A)>V(B). De manière générale, un même ordre de préférence peut être représenté par une infinité de fonctions d utilité. Règle : Une fonction d utilité est définie à une transformation monotone croissante près. Soit f une transformation monotone croissante, U une fonction d utilité quelconque et deux paniers de biens A et B tels que : f(u(a))>f(u(b)) U(A) >U(B) On peut vérifier que f(u(a))>f(u(b)) 12

13 c- L utilité marginale et TMS Définition L utilité marginale d un bien est le supplément d utilité procurée par la consommation d une unité supplémentaire de ce bien, toutes choses étant égale par ailleurs. L utilité marginale U xi du bien i est donné par : Quand tend vers 0, cette utilité peut s écrire : 13

14 L utilité marginale est décroissante : C est Gossen qui a énoncé ce principe en Il établit que l utilité procurée par la dernière unité consommée décroit au fur et à mesure que le consommateur augmente sa consommation de ce bien. Exemple : Un voyageur dans le désert qui a soif. Le premier verre d eau lui procure une grande utilité. Le deuxième verre lui procure une moindre utilité... Le n éme verre lui procure une satisfaction très faible voire négative (s il ne peut plus boire). Cet exemple montre que l utilité marginale de l eau est décroissante. 14

15 Le taux marginal de substitution TMS Définition : C est le taux auquel le consommateur est disposé à échanger une quantité de bien contre une quantité d un autre bien tout en conservant le même niveau de satisfaction (le même degré d utilité). En raisonnant sur 2 biens, le TMS mesure le nombre d unités supplémentaires de bien 2 qu il faut donner au consommateur pour qu il accepte de renoncer à la consommation d une unité du bien 1. Comment calculer le TMS? Soit la fonction d utilité suivante U:=U(x 1,x 2 ). Le TMS est donné par le rapport des utilités marginales; Pour un même niveau d utilité, le différentiel du(x 1,x 2 )=0. Or du(x 1,x 2 )=U x1 dx 1 + U x2 dx 2 =0 Nous en déduisons que : 15

16 3. Les courbes d indifférence (CI) Qu est-ce qu une CI? Si la fonction d utilité dépend de deux biens de consommation, on peut la représenter graphiquement. Une CI représente tous les paniers de consommation qui ont le même niveau d utilité. Si la fonction d utilité dépend de n 3 biens, il n est pas possible de représenter les CI. Soit la fonction U qui dépend de 2 biens 1 et 2 : U(x 1, x 2 représenter dans un plan à 3 dimensions. U U(x 1, x 2 ) x 2 ). On peut la U 1 U 2 U 1 U 2 x 1 16

17 Comment varie l utilité si x 1 et x 2 varient dans un plan à 2 dimensions? x 2 U 2 U 1 x 1 Les CI satisfont quelques conditions pour mieux représenter les préférences du consommateur. 17

18 Quelques hypothèses sur les préférences a/ La monotonicité Le consommateur est insatiable. Aucune quantité d aucun bien ne peut assouvir son besoin: toute quantité supplémentaire d un bien présente pour lui une utilité supplémentaire positive. Il ne peut jamais parvenir à une situation de saturation. La monotonicité implique : * Plus la CI est éloignée de l origine, plus l utilité associée est élevée. * La pente des CI est nécessairement négative. * Deux CI ne peuvent jamais se couper. L objectif du consommateur est d atteindre la CI la plus éloignée de l origine. Toutefois, il est contraint financièrement. 18

19 b/ La convexité des préférences Selon cette hypothèse, le consommateur aime la diversification. En considérant 2 paniers A et B situés sur la même CI, le consommateur préfère tous les paniers intermédiaires composés à partir d une moyenne pondérée des deux paniers. Graphiquement : x 2 A C U 2 B U 1 Le panier C est préférable aux paniers A et B. x 1 19

20 c/ La substituabilité des biens Si les biens sont complémentaires (comme le sucre et le café), nous obtenons des CI en angle droit. Le panier A apporte une utilité U 1 Si la quantité d un seul bien des deux biens augmente par rapport aux quantités du panier A, comme le panier B, l utilité n augmente pas. x 2 B A C U 1 U 2 Pour que l utilité augmente, il faut accroître simultanément les quantités consommés des deux biens (panier C). Exemple : U(x, y)=min{5x, 4y} pas de TMS x 1 20

21 4. L optimum du consommateur La contrainte de revenu ou contrainte budgétaire (CB) Le consommateur est contraint par son revenu R : R est une variable exogène. Soit D la valeur des biens consommés : elle est donnée par la somme des prix multipliés par les quantités de biens. D=p 1 x 1 + p 2 x p n x n Dans une économie à 2 biens, D= p 1 x 1 + p 2 x 2 Le consommateur ne peut pas dépenser plus que son revenu dans l achat des biens de consommation. R D R p 1 x 1 +p 2 x 2 Les paniers de biens (x 1, x 2 ) qui satisfont cette condition sont accessibles au consommateur. Pour maximiser son utilité, il va dépenser la totalité de son revenu dans l achat des biens : R= p 1 x 1 +p 2 x 2 21

22 Il est possible de représenter graphiquement ces paniers dans le plan (x 1, x 2 ) : R= p 1 x 1 +p 2 x 2 x 2 =(R/p 2 )-(p 1 /p 2 )x 1 C est une droite dont la pente est égal à -(p 1 /p 2 ). (R/p 1 ) et (R/p 2 ) représentent les quantités maximales que peut se procurer le consommateur respectivement des biens 1 et 2. Graphiquement : Tous les paniers situés en dessous de la CB sont accessibles au consommateur. x 2 R/p 2 R/p 1 x 1 22

23 Par contre, le consommateur n a pas les moyens d acquérir les paniers situés en dessus de la CB. Le problème du consommateur est de choisir parmi les paniers qui lui sont accessibles celui/ceux qui lui permettent de maximiser son utilité. Il existe 2 méthodes pour résoudre le problème du consommateur : 1/ la méthode graphique Techniquement, les représentations graphiques de la CB et des CI permettront de donner une première intuition sur le choix optimal du consommateur. x 2 R/p 2 X* 2 A C B U 3 U 1 U 2 x 1 x * 1 R/p 1 23

24 L objectif du consommateur est de maximiser son utilité tout en tenant compte de sa contrainte de revenu. Il va choisir le panier de biens qui appartient à la CI la plus éloignée de l origine mais qui appartient à l ensemble de ses consommations possibles. On sait que le consommateur sature sa contrainte de revenu. Le panier optimal est donné par le point de tangence entre la CI U 2 et la CB. Les coordonnées du point C représentent les quantités optimales consommées des biens 1 et 2 : x * 1 et x * 2. 24

25 2/ Résolution algébrique Le programme de l entrepreneur est le suivant : Deux méthodes algébriques permettent de résoudre ce programme : La méthode de substitution On considère l équation de la CB saturée : x 2 =(R/p 2 )-(p 1 /p 2 )x 1 = x 2 (x 1 ) Nous substituons x 2 par son expression dans la fonction d utilité telle que: U(x 1, x 2 )= U(x 1, x 2 (x 1 ) )=U(x 1, (R/p 2 )-(p 1 /p 2 )x 1 ) La condition de premier ordre permet de déduire x * 1 du(x 1, (R/p 2 )-(p 1 /p 2 )x 1 )/dx 1 =0 Après quelques étapes de calculs, nous montrons que: U x1 /U x2 =p 1 /p 2 25

26 A l optimum du consommateur le rapport des utilités marginales doit être égal au rapport des prix. Attention, il faut aussi vérifier la condition de second ordre : Cette condition permet de s assurer que la solution x * 1 un minimum de la fonction U(x 1, x 2 (x 1 ) ). La méthode du Lagrangien A partir du problème du consommateur : est un maximum et non On définit la fonction du Lagrange (ou Lagrangien) : L(x 1, x 2, λ)=u(x 1, x 2 )+λ(r-p 1 x 1 p 2 x 2 ) Les conditions de premier ordre du Lagrangien : 26

27 Les équations (1) et (2) permettent de déduire que : U x1 /U x2 =p 1 /p 2 L équation (3) permet de s assurer que la CB est saturée. A l optimum, la pente de la CI donnée par - U x1 /U x2 doit être identique à celle de la CB donnée par p 1 /p 2. La condition de second ordre doit satisfaire: 27

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