Économétrie II. Économétrie II. L3 Économétrie L3 MASS Ch. 5. 9i : E (e i x i ) 6= 0 : Endogénéité. Prof. Philippe Polomé, U. Lyon 2.

Transcription

1 Économétrie Économétrie L3 Économétrie L3 MASS Prof. Philippe Polomé, U. Lyon 2 Année

2 Économétrie Rappel 1. E (e i )=0 8i : Espérance nulle 2. X var (e i )=s 2 8i : Homoscédasticité 3. X cov (e t,e s )=0 8t 6= s : Pas d autocorrélation 4. E (e i x i )=0 8i : Exogénéité 5. X La matrice X est de plein rang : Pas de multicolinéarité 6. Le modèle est correctement spécifié 7. La variable dépendante Y est continue

3 Économétrie Table des matières Définition & conséquences Source 1. Hétérogénéité inobservée Source 2. Erreurs de mesure Source 3. Simultanéité Estimation en présence d endogénéité Tests Applications Source 4. Échantillonnage Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles

4 Économétrie Définition & conséquences Table des matières Définition & conséquences Source 1. Hétérogénéité inobservée Source 2. Erreurs de mesure Source 3. Simultanéité Estimation en présence d endogénéité Tests Applications Source 4. Échantillonnage Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles

5 Économétrie Définition & conséquences Définition Exogénéité : Coupe transv. E (e i X i )=0 Pas de corrélation entre l erreur et chaque régresseur pour un même i On écrit aussi E (e i X i )=0 : espérance conditionnelle nulle Série temp : E (et x t )=0 8t 8x pas de corrélation contemporaine Lorsque E (e t x s )=0s = 1,...,T, x est strictement exogène Rupture de cette hypothèse = endogénéité nterprétation : Un choc aléatoire e induit un choc sur Y et sur X pour un même i Donc difficile de séparer les effets confondants

6 Économétrie Définition & conséquences Conséquence : nconsistance de l estimateur MCO Corrélation positive : à des valeurs élevées (basses) de e correspondent des valeurs élevées (basses) de X e grand : Y > X b et e petit : Y < X b Donc : droite estimée par MCO pente plus forte que la réalité Monte Carlo : fichier tableur en ligne Endogeneite.ods

7 Économétrie Définition & conséquences Pourquoi l endogénéité est-elle un problème? Ne vaut-il pas mieux prédire Y le mieux possible? Trois cas Prédiction : on veut prédire Y conditionnellement à X Si on connait X e inclus, x (e), ce qui n est pas évident, Dans ce cas, l effet de l erreur sur X est inclus, donc prédiction MCO Ŷ correcte Contrôle : on choisit X, quel sera Y? [p.e. effet d une politique] Si on choisit X, l erreur n y est pas, donc prédiction MCO incorrecte Si l on souhaite comprendre la relation entre Y et X il faut traiter l endogénéité Dans les 2 derniers cas : ce n est pas une bonne idée d ajuster une droite au mieux dans le nuage de points

8 Économétrie Définition & conséquences 5 sources de l endogénéité 1. Hétérogénéité inobservée 2. Erreur de mesure 3. Simultanéité 4. Échantillonnage endogène 5. Autocorrélation en séries temporelles

9 Économétrie Source 1. Hétérogénéité inobservée Table des matières Définition & conséquences Source 1. Hétérogénéité inobservée Source 2. Erreurs de mesure Source 3. Simultanéité Estimation en présence d endogénéité Tests Applications Source 4. Échantillonnage Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles

10 Économétrie Source 1. Hétérogénéité inobservée 2 cas d hétérogénéité inobservée Variable omise Coefficients aléatoires

11 Économétrie Source 1. Hétérogénéité inobservée Variable omise Le modèle correctement spécifié est Y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + e Mais le modèle estimé est Y = b 0 + b 1 x 1 + n L effet du régresseur manquant se retrouve dans l erreur du modèle estimée : n = b 2 x 2 + e = hétérogénéité inoberservée : Des facteurs inobservés affectent à la fois la variable expliquée et un régresseur Si le régresseur manquant est corrélé à un régresseur présent Alors le terme d erreur du modèle estimé est corrélé avec au moins un régresseur présent De plus vraisemblablement : Hétéroscédasticité si var (x 2t ) 6= var (x 2s ),t 6= s Autocorrélation si corr (x 2t,x 2s ) 6= 0,t 6= s E (n) 6= 0 l intercept du modèle est biaisé

12 Économétrie Source 1. Hétérogénéité inobservée Que faire en cas de variable omise? 1. gnorer le problème : inconsistance des estimateurs 2. Essayer de trouver un proxy acceptable pour la variable inobservée Proxy = mesure approximative de la variable inoberservée (ci-dessous) 3. Si données de panel et si la variable inobservée ne change pas dans le temps (mais seulement entre les agents) Modèle à effets fixes (programme de M2) 4. Laisser la variable inobservée dans le terme d erreur mais utiliser un estimateur qui reconnait sa présence Estimateur Variable nstrumentale ci-dessous

13 Économétrie Source 1. Hétérogénéité inobservée Proxy Variable inobservée : on sait que le modèle devrait inclure un régresseur, mais on n a pas de donnée Modèle Y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + e x2 pas observée Proxy z pour x 2 : z observée mais pas explicative dans le modèle z corrélée à x2 : x 2 = d 0 + d 1 z + µ On ne peut tester cette corrélation puisque x 2 pas observée P.e. éducation x2 et nombre d années d étude z La proxy n est pas une erreur de mesure Ni un instrument (plus loin)

14 Économétrie Source 1. Hétérogénéité inobservée Utilisation d une proxy La variable proxy est substituée à la variable inobservée dans Y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + e On peut estimer Y = p0 + p 1 x 1 + p 2 z + x Que dit ce modèle sur le précédent? Y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 (d 0 + d 1 z + µ)+e = b 0 + b 2 d 0 + b 1 x 1 + b 2 d 1 z + b 2 µ + e = p 0 + p 1 x 1 + p 2 z + x Donc si µ n est pas corrélé avec x 1, estimer Y = p 0 + p 1 x 1 + p 2 z + x par MCO Sans bias et consistant pour b1 = p 1 Les autres coef. p0 et p 2 n ont pas d interprétation directe

15 Économétrie Source 1. Hétérogénéité inobservée Coefficients aléatoires Autre forme d hétérogénéité inobservée Modèle vrai Y i = b 0 + x 1i x 1i + h i avec x 1i aléatoire t.q. x1i = g 1 + µ 1i g1 pas aléatoire (pourrait dépendre de régresseurs) µ 1i est un bruit blanc On estime Y i = b 0 + b 1 x 1i + e i donc e i = µ 1i x 1i + h i b 1 = g 1 Solution Variable instrumentale (ci-dessous) Modélisation explicite par Maximum de Vraisemblance (on ne voit pas)

16 Économétrie Source 2. Erreurs de mesure Table des matières Définition & conséquences Source 1. Hétérogénéité inobservée Source 2. Erreurs de mesure Source 3. Simultanéité Estimation en présence d endogénéité Tests Applications Source 4. Échantillonnage Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles

17 Économétrie Source 2. Erreurs de mesure Définition & traitement Modèle y = b 0 + b 1 x 1 + e On n observe pas x 1 mais bien x 1 = x 1 + n n est une erreur de mesure Classical Error-in-Variables (CEV) Équation estimée : avec x 1 y = b 0 + b 1 (x 1 + n)+(e b 1n)=b 0 + b 1 x 1 + µ Donc, cov (x1, µ)=cov (x 1 + n,e b 1n)= b 1 s 2 n 6= 0 Pour autant que erreur de mesure n pas corrélée avec x 1 Les erreurs de mesure sont la norme Endogénéité pas toujours préoccupante Solution : variable instrumentale ci-dessous Une erreur de mesure sur y accroît la variance des erreurs mais ne cause pas d endogénéité

18 Économétrie Source 3. Simultanéité Table des matières Définition & conséquences Source 1. Hétérogénéité inobservée Source 2. Erreurs de mesure Source 3. Simultanéité Estimation en présence d endogénéité Tests Applications Source 4. Échantillonnage Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles

19 Économétrie Source 3. Simultanéité Définition & exemples 2 variables sont causales l une de l autre y = b 0 + b 1 x + e (x cause y) et x = g 0 + g 1 y + µ (y cause x) Donc : x (y) mais y (e) donc x (e) Exemples d où corrélation entre x et l erreur dans y = b 0 + b 1 x + e Publicité et vente : La publicité accroît/soutient les ventes Le budget publicité est calculé en proportion aux ventes Fonction de coût C(Q,W ), Q = production, W vecteur des prix d intrants Lemme de Sheppard C/ W = d (Q, W ) : demande d intrants est fonction de la production mais production est fonction des intrants utilisés

20 Économétrie Source 3. Simultanéité Exemple de simultanéité : modèle keynésien Deux équations : forme structurelle = forme économique Consommation C t = b 0 + b 1 Y t + e t avec Y le PB dentité comptable Y t = C t + t avec l investissement, ici exogène Économie fermée sans état La consommation et le revenu sont donc déterminés simultanément C et Y sont deux endogènes

21 Économétrie Source 3. Simultanéité Forme réduite Forme réduite = toutes les endogènes à gauche Ct = 1 1 b 1 [b 0 + b 1 t + e t ]=d 0 + d 1 t + µ t Yt = 1 1 b 1 [b 0 + t + e t ]=g 0 + g 1 t + n t Clairement, Y est corrélé à e DONC : Endogénéité dans le modèle structurel en estimant l équation de consommation, même seule

22 Économétrie Source 3. Simultanéité Moindres Carrés ndirects MCO toujours consistant pour forme réduite dentification : coef. forme structurelle peuvent-ils être récupérés de la forme réduite? ci, en estimant chaque équation de la FR : ˆd 0, ˆd 1,ĝ 0,ĝ 1 On calcule les coef. structurels par b1 = d d 1 ect Si une seule manière de récupérer tous les coef. structurels : système exactement identifié Moindres Carrés ndirects MC = appliquer MCO à la forme réduite & résoudre pour obtenir les coef. structurels Si certains coef. ne peuvent être ainsi retrouvés : sous-identifié Si certains coef. retrouvés de plus d une manière : sur-identifié Bonne manière? Variable nstrumentale

23 Économétrie Estimation en présence d endogénéité Table des matières Définition & conséquences Source 1. Hétérogénéité inobservée Source 2. Erreurs de mesure Source 3. Simultanéité Estimation en présence d endogénéité Tests Applications Source 4. Échantillonnage Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles

24 Économétrie Estimation en présence d endogénéité Méthode des Moments MM nterprétation d inversion de MCO dite méthode des moments Soit A un estimateur de b, alors on peut écrire Y Hypothèse exogénéité E (X e)=0 Stratégie méthode des moments XA = ê Cette condition sur les moments de la population est imposée aux moments de l échantillon 0ê C est-à-dire on veut A tel que X = 0 Donc : X 0 (Y XA)=0 : ce sont les CPO de moindres carrés A =(X 0 X ) 1 X 0 Y = ˆb

25 Économétrie Estimation en présence d endogénéité Variables instrumentales Hypothèse exogénéité E (X e)=0 ne tient plus Supposons qu on puisse trouver un ensemble de variables Z ou instruments telles que Z et X soient de mêmes dimensions E (e Z)=0 Corr (Z,X ) soit élevée Donc Z permet d inverser la relation Y = X b + e via Z 0 Y = Z 0 XA + Z 0 e Si on a Plim Z 0 e = 0 (à la limite Z et e ne sont pas corrélés) Alors : Estimateur Méthodes des Moments ( Variables nstrumentales V) : A t.q. Z 0 (Y XA)=0 A =(Z 0 X ) 1 Z 0 Y = ˆb V

26 Économétrie Estimation en présence d endogénéité Propriétés de ˆb V l s agit d un estimateur alternatif à MCO En général biaisé consistant (si les instruments sont valides, voir ci-dessous) 1 1 On peut démontrer que = s ˆbV e 2 Z 0 X Z 0 Z Z 0 X Cette variance est d autant plus faible que la corrélation entre Z et X est forte À la limite si Z et X non-corrélés, alors Z 0 X! 0 et ˆbV! MCO peut être vu comme V avec Z = X Corr (Z,X )=1 Donc : si pas endogénéité, MCO plus efficient que V 6= remplacer X par Z dans Y = X b + e [cfr. proxy] Si on le faisait, le modèle serait Y = Zg + µ Et l estimateur MCO serait ĝ MCO = Z Z Z Y

27 Économétrie Estimation en présence d endogénéité nstruments & Tests La difficulté fondamentale est de trouver des instruments On verra quelques cas En séries temporelles & panels : valeurs passées (retards) En systèmes d équations : régresseurs dans d autres équations l faut exactement un instrument par variable de X (identification exacte) Les variables non-endogènes sont leurs propres instruments Lorsqu on dispose de plus d un instrument pour une variable, il faut généraliser la méthode Les tests d inférence n ont plus de valeur qu asymptotiquement Le bootstrap reste valide Le R 2 n a plus de sens

28 Économétrie Estimation en présence d endogénéité Validité des instruments Difficile de tester l exogénéité des instruments cov (Z,e)=0 Si Z n est pas exogène, V sera inconsistant (par construction) ) V ne s applique pas en cas d échantillonnage endogène On peut mesurer la corrélation entre Z et X Soit Y = b 0 + b 1 x + e x est endogène, on a un instrument z cov (z,e) Si cov (z,e) 6= 0 on peut montrer que Plim ˆb1V = b 1 + cov (z,x) Donc que si cov (z,e) 6= 0 alors ˆb V est inconsistant De plus Plim ˆb 1V = b 1 + s ecorr (z,e) s x corr (z,x) Donc, si corr (z,e) 6= 0 même faible, alors si corr (z,x) est faible (mauvais instrument), Plim ˆb 1V ne sera pas proche de b 1

29 Économétrie Estimation en présence d endogénéité Devoir #6 : V Reprenez de ma feuille Tableur l exemple avec un régresseur endogène Générez un instrument Valide (= non-corrélé avec le terme d erreur) Bon (= corrélation élevée avec le régresseur endogène) Basez-vous directement sur la façon dont le régresseur a été généré Estimez les coefficients du modèle par V Examinez comment les coefficients estimés varient en fonction de la corrélation de l instrument avec le régresseur llustrez qu un instrument non-valide amène à l inconsistance Examinez le degré d inconsistance en fonction de la corrélation de l instrument avec le régresseur

30 Économétrie Estimation en présence d endogénéité Doubles moindres carrés MC2E (2SLS) Application particulière de V Soit l équation structurelle Y = X b + e Supposons que dans X, x k soit endogène et qu on dispose d un instrument z pour x k La matrice d instruments serait Z, identique à X sauf pour la dernière colonne dans laquelle on a remplacé x k par z Équation d instrumentation x k = d 0 + d 1 x d k 1 x k 1 + d k z + µ = Zd + µ Estimation MCO, valeurs ajustées de xk sont ˆx k = ˆd 0 + ˆd 1 x ˆd k 1 x k 1 + ˆd k z = Z ˆd On voit que ˆxk est un instrument valide pour x k si z est un instrument valide pour x k ˆX la matrice X dans laquelle on a remplacé xk par ˆx k

31 Économétrie Estimation en présence d endogénéité MC2E (2) Estimateur V est ˆb V = ˆX 0 X 1 ˆX 0 Y Meilleur que (Z 0 X ) 1 Z 0 Y car la corrélation entre ˆx k et x k devrait être plus élevée que entre z et x k L estimateur V est équivalent à une estimation MCO en deux étapes (MC2E) : 1. Estimation de l équation d instrumentation x k = Zd + µ 2. Remplace X par ˆX dans l équation structurelle : Y = p ˆX + n (régression de 2nde étape) et on estime par MCO ˆp MC2E = ˆX 0 ˆX 1 ˆX 0 Y : c est ˆX 0 ˆX 1 et pas ˆX 0 X comme dans ˆb V On peut montrer que ˆp MC2E = ˆb V = ˆX X ˆX Y 1

32 Économétrie Estimation en présence d endogénéité Preuve On note qu on peut écrire ˆX = Z 1 Z 0 0 Z Z X Pour la dernière colonne de ˆX, c est Z ˆd Pour les autres, ce sont les colonnes de X (exogènes) 1 ˆp MC2E = ˆX 0 ˆX ˆX 0 Y 1 = X 0 Z Z 0 0 Z Z Z 1 = X 0 Z Z 0 0 Z Z X = ˆX 0 X 1 ˆX 0 Y = ˆb V 1 1 Z 0 0 Z Z X ˆX 0 Y 1 ˆX 0 Y

33 Économétrie Estimation en présence d endogénéité Plusieurs instruments l faut au moins un instrument par variable explicative Les exogènes sont leurs propres instruments Dans certains cas, on dispose de plus d un instrument pour certains régresseurs MC2E : on voit tout de suite comment intégrer ces instruments supplémentaires via la (ou les) équations d instrumentation On peut démontrer que parmi toutes les manières d utiliser/combiner ces différents instruments, MC2E est la plus efficiente

34 Économétrie Estimation en présence d endogénéité Notes MC2E Ne pas faire la régression en 2 étapes explicitement utiliser la commande MC2E (2SLS) sinon à la 2ème étape le logiciel va calculer une matrice de var cov selon la formule MCO et pas V Des estimations robustes à l hétéroscédasticité sont généralement disponibles pour MC2E et V

35 Économétrie Estimation en présence d endogénéité Résumé dentification Exacte : 1! instrument par régresseur endogène Utiliser Variable nstrumentale MM MC2E = + efficient des estimateurs V Sous-identification : manque au moins un instrument Estimation consistante impossible Sur-identificaiton : plus d un instrument pour au moins un régresseur endogène MC2E avec eq d instrumentation à pls instruments = un cas de MM Généralisée : GMM

36 Économétrie Tests Table des matières Définition & conséquences Source 1. Hétérogénéité inobservée Source 2. Erreurs de mesure Source 3. Simultanéité Estimation en présence d endogénéité Tests Applications Source 4. Échantillonnage Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles

37 Économétrie Tests Test 1. Hausman : Endogénéité MCO MC2E consistant consistant Aucun régresseur endogène efficient inefficient Au moins 1 régresseur endogène inconsistant consistant Donc : si endogénéité : MC2E mais sinon : MCO dée du test de Hausman : tester l égalité des deux estimateurs Si égaux, alors pas endogénéité : on préfère MCO Sinon, on prend MC2E Test disponible sur tous les logiciels économétriques Valable entre n importe quelle paire d estimateurs avec un consistant V contre MCGF par exemple Aussi une bonne idée de comparer directement ˆb MCO et ˆb MC2E

38 Économétrie Tests 2 autres tests : Définitions Equation structurelle : y 1 = b 0 + b 1 y 2 + b 2 x 1 + b 3 x 2 + µ 1 x 1 et x 2 sont exogènes On a aussi 2 autres exogènes x 3 et x 4 Qui ne sont pas dans l équation structurelle Qui sont corrélés à y2 On veut tester l endogénéité de y 2 Forme réduite pour y 2 : y 2 = p 0 + p 1 x 1 + p 2 x 2 + p 3 x 3 + p 4 x 4 + n 2

39 Économétrie Tests Test 2. Test de régression / de corrélation des erreurs / Durbin Wu Hausman On veut tester l endogénéité de y 2 Chaque x j est non-corrélé avec µ 1 y2 non-corrélé avec µ 1 ssi n 2 non-corrélé avec µ 1 Estimer y 2 = p 0 + p 1 x 1 + p 2 x 2 + p 3 x 3 + p 4 x 4 + n 2 par MCO (consistant) On obtient ˆn 2 : une approximation à n 2 Estimer y 1 = b 0 + b 1 y 2 + b 2 x 1 + b 3 x 2 + d 1ˆn 2 + erreur par MCO ˆn 2 significatif (t-stat) =) n 2 et µ 1 corrélés, donc y 2 endogène ˆn 2 non-significatif n implique rien

40 Économétrie Tests Test de régression : remarque On peut montrer que ˆbMCO de y 1 = b 0 + b 1 y 2 + b 2 x 1 + b 3 x 2 + d 1ˆn 2 + erreur est identique à ˆbMC2E de y 1 = b 0 + b 1 y 2 + b 2 x 1 + b 3 x 2 + µ 1 C est une 2ème interprétation de MC2E inclure ˆn 2 dans la régression MCO nettoie l endogénéité de y 2 Test sur plusieurs variables endogènes tester conjointement (test F) la significativité des résidus de chaque équation d instrumentation

41 Économétrie Tests Test 3. OverD Restrictions sur-identifiées : Exogénéité de l instrument Si l on a un seul instrument pour un régresseur endogène mpossible de tester l absence de corrélation entre l instrument et le terme d erreur : corr (z,e)=0 Modèle juste / exactement identifié Si l on dispose de plusieurs instruments, Possible de tester l exogénéité d un instrument Le modèle est sur-identifié Dans notre exemple : x 3 et x 4 peuvent servir d instruments pour y 2 dans l équation structurelle y 1 = b 0 + b 1 y 2 + b 2 x 1 + b 3 x 2 + µ 1

42 Économétrie Tests Étapes du test OverD 1. Estimer l équation structurelle par V en utilisant seulement x 3 comme instrument 1.1 Construire résidu empirique ˆµ 1MC2E = y 1 ˆb0 + ˆb 1 y 2 + ˆb 2 x 1 + ˆb 3 x 2 2. Régresser résidu ˆµ 1MC2E sur toutes les variables exogènes du modèle (explicatives + instruments) 2.1 ˆµ 1MC2E = g 0 + g 1 x 1 + g 2 x 2 + g 3 x 3 + g 4 x 4 + x 2.2 Calculer le R 2 de cette régression 3. Sous l hypothèse nulle (exogénéité de x 4 ):nr 2 a c 2 q q : nombre d instruments en excès (nombre d instruments total dans le modèle moins nombre de régresseurs endogènes) Over-identification, ici q = 1 car 2 instruments x 3 et x 4 et un régresseur endogène y 2

43 Économétrie Tests OverD : remarques l faut faire l hypothèse que x 3 est exogène : on ne peut la tester Si nr 2 > cq; on rejette que x 4 est exogène OU que x 3 est exogène Hypothèse de un instrument valide par régresseur endogène Test implémenté directement dans beaucoup de logiciels

44 Économétrie Applications Table des matières Définition & conséquences Source 1. Hétérogénéité inobservée Source 2. Erreurs de mesure Source 3. Simultanéité Estimation en présence d endogénéité Tests Applications Source 4. Échantillonnage Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles

45 Économétrie Applications Equation de salaire 1 Fonction mincérienne de salaire : lnw = b 0 + b 1 educ + b 2 exper + b 3 exper 2 + e w le salaire ; educ nbr années d études ; exper nbr années expérience Les Capacités ntellectuelles ntrinsèques (C) de l individu ( ability ) sont nobservées / inobservables Positivement corrélées avec le niveau d éducation atteint : educ = a 0 + a 1 C + n Positivement corrélées avec le niveau de salaire : ln(w)=d 0 + d 1 C + µ

46 Économétrie Applications Equation de salaire 2 Le rendement de l éducation estimé par lnw = b 0 + b 1 educ + b 2 exper + e Est-il sur- ou sous-estimé? Données card.gdt de Wooldridge nstruments : Education de la mère et du père Equation d instrumentation educ = cst,exper,exper 2,Meduc,Feduc 2SLS : automatisé et à la main en mettant [educ comme régresseur dans l équation de salaire Mêmes coefficients, pas les mêmes t-tests Test d endogénéité : résidu de l équation de d instrumentation dans MCO sur équation de salaire Autre instrument possible proximité à un college4

47 Économétrie Applications Poids à la naissance llustration d un mauvais instrument Données bwght.gdt Wooldridge Poids de l enfant à la naissance (bwght) en log en fonction de consommation de tabac (packs) revenu familial (faminc) prix comme mesure d autres facteurs (accès aux soins,...) On peut rajouter d autres régresseurs La consommation de tabac pourrait être endogène P.e. stress (pas observé) nstrument : cigprice prix des cigarettes Équation d instrumentation : on voit que c est un mauvais instrument

48 Économétrie Source 4. Échantillonnage Table des matières Définition & conséquences Source 1. Hétérogénéité inobservée Source 2. Erreurs de mesure Source 3. Simultanéité Estimation en présence d endogénéité Tests Applications Source 4. Échantillonnage Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles

49 Économétrie Source 4. Échantillonnage 4º source d endogénéité : Échantillonnage Si on n observe pas un échantillon purement aléatoire ( simple ) 3 cas mais plutôt un échantillon sélectionné dans lequel seuls certains individus sont admis ou bien avec des données manquantes Sélection ou attrition purement aléatoire, ou basée sur des variables aléatoires exogènes Pas de problème Sélection basée sur un régresseur x j corrélé à la dépendante y Généralement pas de problème Sélection basée sur dépendante y Un problème d échantillon sélectionné ou troncature se pose

50 Économétrie Source 4. Échantillonnage Sélection basée sur un régresseur x j corrélé à y Exemple : On estime des fonctions de salaires, mais on observe plus d attrition pour les niveaux d éducation faibles Sans que cette attrition soit corrélée au revenu (salaire) par classe d éducation Les statistiques descriptives sont biaisées par exemple, le salaire moyen sera plus élevé que dans la réalité Les MCO restent sans biais et consistants Les estimations contrôlent les dimensions des variables explicatives Pas de problème tant qu il y a assez de variabilité dans les variables explicatives pour identifier les effets mesurés

51 Économétrie Source 4. Échantillonnage Sélection sur y cas 1. Troncature (Truncation) nclusion dans l échantillon est y i apple c i (sélection de troncature) Alors e i apple c i X i b : la sélection de troncature introduit une corrélation contemporaine entre l erreur et les régresseur(s) Notes On n observe aucun yi > c i ni aucun X i correspondant La sélection peut aussi être y i c i

52 Économétrie Source 4. Échantillonnage Sélection sur y cas 2. Troncature accidentelle Modèle bivarié de sélection de l échantillon (MBSE) ( 1 si Y 1 Équation de participation Y 1 = > 0 0 sinon ( Y 2 si Y1 Équation de résultat Y 2 = > 0 sinon Donc : On n observe Y 2 que si Y1 > 0, c est-à-dire que si on observe Y 1 = 1 On suppose que la réalité est Y 1 = X 1b 1 + e 1 Y 2 = X 2b 2 + e 2

53 Économétrie Source 4. Échantillonnage Troncature accidentelle : origine du biais l semble raisonnable de supposer que le terme d erreur e 1 de l équation de participation peut être corrélé au terme d erreur e 2 de l équation de résultat : e 1 (e 2 ) que certains régresseurs au moins soient communs entre X1 et X 2 X 1 \ X 2 = X 21 Le reste X 22 et X 11 On peut écrire l équation de participation comme X 11 b 11 + X 21 b 12 > e 1 (e 2 ) Donc, la troncature accidentelle provoque une corrélation entre X 2 et e 2 : endogénéité dans l équation de résultat

54 Économétrie Source 4. Échantillonnage Autre interprétation : moyenne conditionnelle de Y 2 La moyenne de Y 2 conditionnellement à X 2 dépend de Y1 car si Y1 apple 0, on n observe pas Y 2 Donc On suppose pour simplifier que X2 est non-endogène E (X 2 e 1 )=E (X 2 e 2 )=X 2 E (Y 2 X 2,Y1 > 0) =E (X 2b + e 2 X 1 b 1 + e 1 > 0) = X 2 b 2 + E (e 2 e 1 > X 1 b 1 ) Si e 2 et e 1 sont indépendants, le dernier terme est nul Sinon, il faut corriger la moyenne conditionnelle pour le biais de sélection (ou troncature accidentelle) Et en particulier MCO de Y2 sur X 2 sera biaisé et inconsistant

55 Économétrie Source 4. Échantillonnage Exemple : Equation de salaire Le salaire dépend de caractéristiques comme le niveau d étude, l age, le sexe, le nombre d enfants... On n observe un salaire que pout ceux/celles qui participent au marché du travail La décision de participer au marché du travail dépend certainement de facteurs similaires à ceux expliquant le salaire Donc équation de sélection : participation Équation de résultat : salaire Corrélation entre les deux MCO équation de salaire : biaisé et inconsistant

56 Économétrie Source 4. Échantillonnage Estimation Rappel : Sources 1 (hétérogénéité inobservée), 2 (erreurs de mesure) et 3 (simultanéité) peuvent être adressées par Variable nstrumentale / MC2E Source 4 Sélection d échantillonnage V inutile car V a le même problème d échantillonnage La solution passe par une modélisation du processus de sélection : En résumé Plusieurs estimateurs alternatifs on regardera en M1 Toujours se poser la question de l échantillonnage Pourquoi certaines données sont manquantes

57 Économétrie Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles Table des matières Définition & conséquences Source 1. Hétérogénéité inobservée Source 2. Erreurs de mesure Source 3. Simultanéité Estimation en présence d endogénéité Tests Applications Source 4. Échantillonnage Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles

58 Économétrie Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles 5º source : Autocorrélation en séries temporelles Exogénéité en série temp : E (e t x t )=0 8t 8x pas de corrélation contemporaine On écrit aussi E (et x t )=08t 8x : espérance conditionnelle nulle Ce qui est la même chose Lorsque E (et x s )=0s = 1,...,T on dit que x est strictement exogène e t n est corrélé à aucun régresseur à aucune période En série temp., on ne fait pas l hypothèse d absence d autocorrélation L absence de corrélation contemporaine suffit à ce que MCO soit consistant Pour que MCO soit non-biaisé il faut l exogénéité stricte

59 Économétrie Source 5 : Autocorrélation en séries temporelles mplication de l exogénéité stricte Soit le modèle statique du taux de meurtre en fonction du nombre de policiers / habitant TxMeurtre t = b 0 + b 1 Pol/h t + e t 1. Pol/h ne peut avoir aucun effet retardé sur TxMeurtre 1.1 Sinon, Pol/h t 1 serait dans e t ce qui romperait l exogénéité stricte 2. e t ne peut causer aucun changement futur de Pol/h 2.1 Supposons que la ville ajuste Pol/h sur base des valeurs passées de TxMeurtre, alors Pol/h t+1 est corrélée avec e t Facile que l exogénéité sricte ne tienne pas