Lycée Louise Michel. Cours de Mathématiques. pour. les T STG D. Spécialité : Sciences et Techniques de la Gestion (STG)

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1 Lycée Louise Michel Cours de Mathématiques pour les T STG D Spécialité : Sciences et Techniques de la Gestion (STG) Option : Communication et Gestion des Ressources Humaines (CGRH). Olivier LE CADET Année 2007/2008 Notes de cours 1

2 Première partie Taux d évolution, indices. Intro : exercices de révision Regardez vous le foot à la télé. oui non total garcons f illes T otal Sur 206 élèves de TSTG au lycée Corot, on compte 36.4% de filles dont 24% ont déjà leur permis. Combien de filles de TSTG ont déjà leur permis au lycée Corot? Variation absolue et relative pour : Un ipod qui passe de 150 à 120 euros. Un piano qui passe de à euros. Un produit augmente successivement de 8% puis de 12%. Quel est le coefficient multiplicateur correspondant à chaque évolution? Quel est celui de l évolution globale? Soit un carré de côté x cm. On augmente ce bord d un centimètre. De combien, en fonction de x, a augmenté la surface? De quel pourcentage a-t-elle grandi? 1 Taux d évolution Rappels sur le taux d évolution, coefficient multiplicateur. Exo 22 et Evolutions successives. Taux d évolution moyen. 2.1 Taux d évolution global 1+t v 0 1+t 0 1 v1 v2 1+t n v n Définition 2.1 Le taux d évolution global est le taux d évolution entre v 0 et v n. Le coefficient multiplicateur global est 1 + T = (1 + t 1 )(1 + t 2 ) (1 + t n ). Exemple : Le chiffre d affaire de notre entreprise a augmenté de 10% la première année et de 13% l année suivante. Calculez le taux d évolution global. Quel taux d évolution, identique pour les deux années, arriverait au même taux d évolution 2

3 global? Exo Taux d évolution moyen Définition 2.2 Le taux d évolution t M moyen correspondant à n évolutions successives de taux t 1, t 2, t n est le taux qui, répété n fois, fournirait le même taux global T. 2.3 Calcul du taux moyen 1+t v 0 1+t 0 1 v1 v2 1+t n v n 1+t v M 1+t 0 M v1 v2 1+t M v n Pour trouver le taux moyen, il nous faut trouver une équation qui relie ce qu on connaît (les taux d évolution de chaque évolution, ou bien le taux global) à ce qu on cherche (t M ). Or on sait que v n = (1 + t 1 )(1 + t 2 ) (1 + t n )v 0 v n = (1 + T )v 0 v n = (1 + t M )(1 + t M ) (1 + t M )v 0 = (1 + t M ) n v 0 Donc (1 + t M ) n = (1 + t 1 )(1 + t 2 ) (1 + t n ) = (1 + T ) Exo : Le baril de pétrole a augmenté de 17.5% en un an. Quelle équation vérifie le taux moyen mensuel d augmentation du pétrole? Obtenir le taux moyen connaissant le taux global Il faut résoudre (1 + t M ) n = (1 + T ) où T et n sont connus (ce sont les données) et t M est inconnu. Cas n = 2 : on doit résoudre (1 + t M ) 2 = (1 + T ), ce qu on sait faire : (1 + t M ) étant nécessairement positif, il n y a qu une solution : et donc (1 + t M ) = 1 + T, t M = 1 + T 1. Cas général : 3

4 Proposition 2.1 L équation x n = a d inconnue x > 0 possède une et une seule solution (dans ]0, + [) : on la note a 1 n. Remarque 2.1 les fonctions x a x où a > 0 sont bien définies! On les étudiera ultérieurement. les puissances réels peuvent être faites sur la calculatrice, comme pour les exposants entiers, à l aide de la toucheˆ. Les propriétés des exposants entiers s étendent aux exposants réels... Exercices : Tapez à la calculette et mettez le au carré pour retrouver 2. Faites de même avec (à mettre à la puissance 3), (à mettre à la puissance 5), etc... Exo 29+retour sur le pétrole Obtenir le taux moyen connaissant les taux t 1, t 2,, t n On se sert cette fois de : (1 + t M ) n = (1 + t 1 )(1 + t 2 ) (1 + t n ) (On peut aussi d abord calculer le taux global et appliquer ce que l on a vu dans le paragraphe précédent). Définition 2.3 La moyenne géométrique de n réels x 1,, x n positifs est le nombre (x 1 x 2 x n ) 1 n Exemple : 10 et 13 (sol : et 11.5). Calculez les moyennes géométriques et arithmétiques des nombres 1.5, 0.3, 2.2. (sol : et 1.333). Recommencez avec 1020, 3050, 2, (sol : et ) Notez que la moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique. Proposition 2.2 Le coefficient multiplicateur moyen 1 + t M est donc la moyenne géométrique des n coefficients multiplicateurs 1 + t 1, 1 + t 2,, 1 + t M successifs. Attention, ce n est pas la moyenne arithmétique! exo : exo 34. (sol : t M ). 4

5 3 Indice simple en base 100 Dans tout ce paragraphe et y 2 Sont des quantités strictement positives. Lorsque l on observe des évolutions successives, il est souvent préférable de les présenter en rapport avec une quantité de référence (cf les indices boursiers par exemple), ce qui permet de comparer plus facilement plusieurs évolutions (par exemple comparer l évolution de certaines actions en bourse). 3.1 Definition Définition 3.1 On appelle indice simple de y 2 par rapport à le nombre I 2/1 = 100 y 2 On écrira souvent indice au lieu de indice simple. La quantité est la quantité de référence (la base), et correspond à la valeur 100. L indice I 2/1 permet de comparer y 2 à. Exemple : Un produit vaut = 103 euros en 2002, y 2 = 106 euros en 2003, y 3 = 107 euros en 2004, et y 4 = 102 euros en Calculez les indices I 1/1, I 1/2, I 1/3, I 1/4. (sol : 100, , , 99.03). 3.2 Lien avec le taux d évolution de à y 2 { I2/1 = 100 y 2 t = y 2 = y 2 1 Donc 100 t = 100 y = I 2/1 100 Proposition 3.1 L indice I 2/1 de y 2 par rapport à et le taux d évolution t de à y 2 sont reliés par : { I2/1 = 100(1 + t) t = I 2/ Exo : exo 43. (sol : t = 0.047). Distribuer feuille internet sur les indices. 4 Petits taux : approximations Activité : Remplissez le tableau suivant : taux d evolution t 1 taux d evolution t 2 evolution globale evolution reciproque taux moy

6 Que constate-t-on? Quand les taux sont petits, le taux d évolution globale de deux évolutions successives de même taux est à peu près la somme des deux taux d évolution. De même, le taux d évolution réciproque est quasiment l opposé du taux global. 4.1 Approximation du taux d évolution global de deux évolutions successives de même taux t Proposition 4.1 Lorsque t est proche de 0, le taux d évolution global T de deux évolutions successives de même taux t est à peu près égal à 2t. Démonstration : T = (1 + t) 2 1 = (1 + 2t + t 2 ) 1 = (2t + t 2 ) = t(2 + t). Or t étant proche de 0, 2 + t est proche de 2, donc T 2t. 4.2 Approximation du taux d évolution réciproque Proposition 4.2 Lorsque T est proche de 0, le taux t de l évolution réciproque d une évolution de taux T est à peu près égal à T. Démonstration : 1 + t = T 1 = T 1 + T 1 + T = T 1 + T. Or T étant proche de 0, 1 + T est proche de 1, donc t T. Exos : 57 et 60+revenir sur le tableau du haut pour calculer les erreurs commises. 6

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