Partie I - Valeurs propres de AB et BA

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1 SESSION 9 Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES. FILIERE PSI Partie I - Valeurs propres de AB et BA I.A - Cas de la valeur propre. I.A.) Sp(AB) Ker(AB) {} AB / G L n (R) det(ab) =. I.A.) Sp(AB) det(ab) = det(a) det(b) = det(b) det(a) = det(ba) = Sp(BA). I.B - I.B.) Puisque λ et X, ABX = λx. Ensuite, comme ABX, on ne peut avoir BX = et donc BX. I.B.) (BA)(BX) = B(ABX) = B(λX) = λbx et puisque BX, BX est vecteur propre de BA associé à la valeur propre λ. I.B.) D après I.A.) et I.B.), si λ est un réel valeur propre de la matrice AB, alors λ est valeur propre de la matrice BA. En échangeant les rôles de A et B, on a montré que pour tout réel λ, λ est valeur propre de la matrice AB si et seulement si λ est valeur propre de la matrice BA et donc que (A, B) (M n (R)), les matrices AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles. I.C - I.C.) det(a) det(ba xi) = det(a(ba xi)) = det(aba xa) = det((ab xi)a) = det(a) det(ab xi) et puisque det(a), après simplification par det(a), on obtient det(ba xi) = det(ab xi). I.C.) Ainsi, les matrices AB et BA ont même polynôme caractéristique ou encore les matrices AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou complexes avec le même ordre ordre de multiplicité. II.A - Partie II - Valeurs singulières d une matrice II.A.) a) Soit X M n, (R). AX = t A AX = t A t AAX =. b) Soit X M n, (R). t X t AAX = t (AX)AX = AX et donc t AAX = t X t AAX = AX AX =. c) D après les questions a) et b), x R n, x Ker(f) f(x) = g(x) x Ker(g). Par suite, Ker(f) = Ker(g). Mais alors d après le théorème du rang, rg(a) = rg(f) = n dim(ker(f)) = n dim(ker(g)) = rg(g) = rg( t AA). II.A.) t ( t AA) = t A t ( t A) = t AA et donc t AA S n (R). Puis en appliquant ce résultat à la matrice t A, A t A S n (R). II.A.) Les matrices t AA et A t A sont symétriques réelles. D après le théorème spectral, ces matrices sont orthogonalement semblables à une matrice diagonale réelle. De plus, d après la question I.C-, les matrices t AA et A t A ont les mêms valeurs propres réelles avec le même ordre de multiplicité. Par suite, ces matrices sont orthogonalement semblables à une même matrice diagonale réelle. Donc D D n (R), (P, Q) (O n (R)) / t AA = PD t P et A t A = QD t Q. II.A.4) Le nombre de termes diagonaux non nuls de D est le rang de D. Puisque deux matrices semblables ont même rang et d après la question II.A.)c), rg(d) = rg( t AA) = rg(a) = r et donc D possède exactement r termes diagonaux non nuls. II.A.5) a) D = P t AA( t P) = t P t AAP = t (AP)AP et en posant M = AP, A = t MM. b) Soient i, n puis X i un vecteur propre de M associé à la valeur propre λ i. On a t X i DX = λ i t X i X i = λ X i mais aussi t X i DX i = t X i t MMX i = t (MX i )MX i = MX i. Comme X i, X i > et donc λ i = MX i X i. i, n, λ i [, + [. http ://www.maths-france.fr c Jean-Louis Rouget, 9. Tous droits réservés.

2 II.A.) Soient U et V deux matrices orthogonales puis A = UAV. Alors t A A = t V t A t UUAV = V ( t AA)V. Ainsi, les matrices t A A et t AA sont semblables. On en déduit que les matrices t A A et t AA ont la même famille de valeurs propres ou encore que les matrices A et A ont les mêmes valeurs singulières. II.A.7) A est symétrique réelle et donc ses valeurs propres sont toutes réelles. Posons Sp(A) = (µ,..., µ n ). Alors Sp( t AA) = Sp(A ) = (µ,..., µ n) et les valeurs singulières de A sont les µ i = µ i. Les valeurs singulières d une matrice symétrique réelle sont les valeurs absolues de ses valeurs propres. II.B - II.B.) L endomorphisme g est symétrique et d après le théorème spectral, l endomorphisme g est diagonalisable dans une base orthonormée. Soit (e,...,e n ) une base orthonormée de vecteurs propres de g associée à la famille de valeurs propres (λ,..., λ n ) de valeurs propres de g. Pour i, n, on pose X i = (e i ) B où B désigne la base canonique (orthonormée) de R n. Alors, i, ρ, t AAX i = λ i X i, la famille (X ρ+,...,x n ) est une famille orthonormée de Ker(g) = Ker(f) et puisque d autre part, dim(ker(f)) = n ρ = card(x ρ+,...,x n ), la famille (X ρ+,..., X n ) est une base orthonormée de Ker(f). II.B.) D après la question I.B.), i, ρ, AX i et donc AX i est un vecteur non nul de Im(f). Ensuite, soit (i, j), ρ tel que i j. Alors AX i, AX j = t (AX i )AX j = t X i ( t AAX j ) = t X i (λ j X j ) = λ j X i, X j =. Donc, la famille (AX,..., AX ρ ) est une famille orthogonale de vecteurs tous non nuls et en particulier une famille libre de Im(f). Enfin, card(ax,...,ax ρ ) = ρ = dim(im(f)) et on a montré que la famille (AX,...,AX ρ ) est une base orthogonale de Im(f). II.B.) Soit i, ρ. Le calcul de la question précédente fournit AX i = AX i, AX i = λ i X i, X i = λ i X i = λ i et donc AX i = λ i = σ i. i, ρ, AX i = σ i. II.B.4) Pour i, ρ, on pose Y i = σ i AX i. D après ce qui précède, la famille (Y,..., Y ρ ) est une famille orthonormée de R n. On complète cette famille en B = (Y,...,Y n ) base orthonormée de R n. Par construction, si i, ρ, alors AX i = σ i Y i et si i ρ +,..., n, AX i = = σ i Y i. Finalement, B est une base orthonormée de R n telle que i, n, AX i = σ i Y i ou encore telle que Mat B,B (f) = Diag(σ,..., σ n ). II.B.5) Posons P = P B B et P = P B B. Puisque P et P sont deux matrices de passage d une base orthonormée à une autre, P et P sont deux matrices orthogonales et de plus les formules de changement de bases fournissent II.C - A = Mat B (f) = P B B Mat B,B (f) P B B = P Diag(σ,..., σ n )P. II.C.) D après la question II.B.5), si σ,..., σ n sont les valeurs singulières de A, alors il existe deux matrices orthogonales telles que A = Q Diag(σ,..., σ n )Q. Réciproquement, supposons qu il existe deux matrices orthogonales Q et Q telles que A = Q Diag(σ,..., σ n )Q. D après la question II.A.), les valeurs singulières de A sont les valeurs singulières de Diag(σ,..., σ n ) c est-à-dire les σ i = σ i, i n. II.C.) Si (R, R ) (O(n)), A = R BR alors A et B ont les mêmes valeurs singulières d après la question II.A.). Réciproquement, soient A et B deux matrices réelles ayant les mêmes valeurs singulières. On note σ,..., σ n ces valeurs singulières communes. D après la question précédente, il existe des matrices orthogonales P, P, Q et Q telles que A = P Diag(σ,..., σ n )P et B = Q Diag(σ,..., σ n )Q. Mais alors A = P Diag(σ,...,σ n )P = (P t Q )B(Q P ). http ://www.maths-france.fr c Jean-Louis Rouget, 9. Tous droits réservés.

3 Les matrices R = P t Q et R = Q P sont deux matrices orthogonales (en tant que produits de matrices orthogonales) telles que A = R BR. III.A - Partie III - Etude géométrique d un exemple III.A.) Notons L, L et L les lignes de A. La famille (L, L ) est libre et donc rg(a). Mais L est nulle et donc rg(a). Finalement t AA = III.A.) χt AA = X X X rg(a) =. Les valeurs propres de t AA sont λ =, λ = et λ =. Par suite, =. = ( X)( X) +(X )+(X ) = (X )(( X)(X )+) = X(X )(X ). les valeurs singulières de A sont σ =, σ = et σ =. III.A.) Soit X = x y R. X Ker( t AA I) On prend X =. Soit X = x y On prend X = Soit X = x y R. X Ker( t AA I). R. X Ker( t AA) x y + = x = x = x y + = x + y = x + = On prend X = III.A.4) D après la question II.B.4), on peut prendre Y = AX = σ x y + = x y = x = { x = y =. { y = x = x. = { y = x/ = x/ =. puis Y = AX = σ =. Enfin, on peut prendre Y = Y Y = = III.A.5) Ce résultat a été démontré à la question II.B.5). Vérifions le explicitement. http ://www.maths-france.fr c Jean-Louis Rouget, 9. Tous droits réservés.

4 P B B Diag(σ, σ, σ ) t P B B = = = = A. III.B - On pose B = (i, j, k). III.B.) S est contenue dans Im(f) qui est un plan puisque rg(f) =. On sait que les colonnes de la matrice A fournissent une famille génératrice de Im(f). On en déduit que Im(f) Vect(i, j) puis que Im(f) = Vect(i, j) pour des raisons de dimension. Ceci montre qu une base de Im(f) est (i, j) et une équation cartésienne de Im(f) est =. S est contenue dans le plan d équation =. III.B.) Pour tout vecteur colonne X, AX = QD t PX = QDX où X = t PX. Maintenant, la matrice t P est une matrice orthogonale et on sait que l application X t PX est une bijection de la sphère unité sur elle-même. On en déduit que X décrit la sphère unité si et seulement si X décrit la sphère unité et donc que S = {QDX, X R, X = }. III.B.) Si on pose X = ui + vj + wk, (u, v, w) R, u + v + w =, alors QDX = Q( ui + vj) = u Y + vy. Soit Y un vecteur de R de coordonnées (y, y, y ) dans la base B (on prend donc B = B ). Y S (u, v, w) R / y w [, ]/ σ y = y = u y = v y = + y σ = w et u + v + w = (θ, w) [, π] [, ]/ y σ y = + y σ III.B.4) S est l intérieur d une ellipse de demi grand axe et de demi petit axe, frontière comprise. IV.A - Partie IV - Image de la sphère unité y = w σ cos(θ) y = w σ sin(θ) y = IV.A.) Puisque rg(a) =, on a encore rg( t AA) = d après la question II.A.)b) et la matrice t AA est inversible. Par suite, n est pas valeur propre de la matrice t AA. On en déduit que n est pas valeur singulière de A et puisque d autre part, les valeurs singulières de A sont des réels positifs, on a montré que les valeurs singulières de A sont trois réels strictement positifs. IV.A.) On reprend les notations de la question III.B.) et en particulier on reprend B = B. Soit Y = (y, y, y ) B. y = σ u Y S (u, v, w) R / y = σ v et u + v + w = y y = σ w σ + y σ + y σ =. Une équation cartésienne de S dans la base orthonormée B est y σ + y σ + y σ =. http ://www.maths-france.fr 4 c Jean-Louis Rouget, 9. Tous droits réservés.

5 IV.A.) S est un ellipsoïde. IV.B - IV.B.) Puisque rg(a) =, rg( t AA) =. La matrice non inversible t AA admet déjà trois valeurs propres réelles, l une au moins de ces valeurs propres étant nulle. De plus, la matrice t AA étant diagonalisable car symétrique réelle, l ordre de multiplicité de la valeur propre est la dimension du sous-espace propre associé à savoir Ker( t AA). Puisque Ker( t AA) est de dimension, est valeur propre d ordre. Finalement, exactement deux des valeurs propres de la matrice t AA sont nulles et donc A admet trois valeurs singulières σ, σ et σ telles que σ > et σ = σ =. IV.B.) Toujours avec les notations de la question III.B.), en posant Y = (y, y, y ) B y = σ u Y S (u, v, w) R / y = et u + v + w = u [, ]/ y = y = σ u y = y =. S est le segment [MN] où M = ( σ,, ) B et N = (σ,, ) B. En particulier, S est un segment de longueur σ. Partie V - Pseudo-inverse d une matrice V.A - Puisque les matrices t Q et t Q sont inversibles, le rang de A est le rang de Diag,...,,,...,. On en σ σ p déduit que rg(a) = p car le rang d une matrice diagonale est le nombre de ses coefficients diagonaux non nuls. V.B - AA + = Q Diag (σ,...,σ p,,..., )Q t Q Diag,...,,,..., t Q σ σ p = Q Diag (σ,...,σ p,,..., )Diag,...,,,..., t Q = Q Diag,..., σ σ p } {{ },,..., t Q p En particulier, si A est inversible, p = n et donc AA + = Q Diag (,..., ) t Q = Q I t Q = I. Par suite, A + = A. V.C - Posons = Diag, }.{{.., },,...,. p On sait que l on peut prendre pour Q la matrice de passage de la base B à la base B. Puisque P = AA + = Mat B (h), = Q PQ = Mat B (h). Par suite, i, p, h(y i ) = Y i et i > p, h(y i ) =. Puisque la base B est orthonormée, h est la projection orthogonale sur Vect(Y,..., Y p ). Le rang de h est la dimension de Vect(Y,..., Y p ) à savoir p. V.D - Im(h) = Vect(Y,..., Y p ) = Im(f) d après la question II.B.). V.E - Dire que le système AX = Y n a pas de solution équivaut à dire que Y / Im(f). Soit X = A + Y de sorte que AX = AA + Y = PY. On sait que la distance de Y à un élément de Im(f) est supérieure ou égale à la distance de Y à son projeté orthogonal sur Im(f). Ce projeté est PY = AX d après les questions précédentes et donc X R n, Y AX Y AX. Le vecteur X = A + Y est donc un vecteur rendant minimale la norme de Y AX, X R n. http ://www.maths-france.fr 5 c Jean-Louis Rouget, 9. Tous droits réservés.

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