2 ème Partie Cinématique: Déplacement, vitesse, accélération

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1 ème Parie Cinémaique: Déplacemen, viesse, accéléraion Inroducion Noes de cours de Licence de A. Colin de Verdière Un obje es en mouvemen si sa posiion mesurée par rappor à un aure obje change. Si cee posiion relaive ne change pas, le premier obje es au repos par rappor au second. Mouvemen e repos son des conceps relaifs : on a besoin d une référence. Vous êes au repos sur vore chaise prise comme référence, elle-même au repos sur le sol de la pièce, mais il ne faudrai pas oublier que vous faies un our en 4 heure sur la erre e cee roaion dans l espace es vore mouvemen vu du soleil pris comme corps de référence. Pour décrire le mouvemen, il fau un repère c'es-à-dire un sysème d aes fies par rappor à un obje pris comme référence. Pour repérer un obje on s aperçoi que la géomérie euclidienne es appropriée e qu éan donnée une règle (une unié de longueur), on peu déjà siuer un obje sur une droie. D aure par avec une monre, on peu le siuer dans le emps. Supposons que l on observe que la posiion de l obje (foncion du emps ) obéisse à : = v (1) Quel es le changemen de posiion enre deu insans e + Δ? (Δ es un pei accroissemen que l on fera endre vers 0 ulérieuremen). La disance parcourue Δ : Δ = v( + Δ) - v = v Δ En divisan par Δ on voi que Δ/Δ = v. La viesse es donc v le au de changemen de divisé par l inervalle de emps. Ici c es une consane indépendane du emps e de l inervalle comme quand vous êes sur régulaeur e que l indicaion du compeur de vore voiure ne bouge pas. Mécanique Physique (S) ème parie page 1

2 Lorsque Galilée a fai ses premières epériences de Mécanique en laissan rouler des boules sur des plans inclinés, il a obenu que la posiion de la boule sur le plan incliné obéissai à une loi de la forme : L accroissemen de enre e + Δ es cee fois : Soi en développan le carré : = ½ A ² () Δ = ½ A( + Δ) ½ A Δ = A Δ + ½ A (Δ) e en divisan par Δ :! = A + ½ A Δ! Il y a deu différences par rappor au cas précéden car le résula dépend de e d un ème erme proporionnel à Δ. Pour se libérer de l arbiraire du Δ, pourquoi ne pas le faire endre vers zéro? Cee idée géniale de Newon e Leibniz défini alors la viesse insananée, comme la dérivée de par rappor à. Leibniz la noe d/d e Newon l appelle «fluion» e la noe &. L appellaion de Newon n a pas éé conservée (mais sa noaion & es encore en usage de par sa simplicié). L avanage de la noaion de Leibniz es de coller à la définiion de la dérivée. On écri : d v= & = =lim d! lorsque Δ 0, soi v= A! Cee quanié défini ce que l on appelle la viesse insananée. Insananée car elle dépend de l insan : ici elle es nulle à = 0 puis augmene proporionnellemen au emps (mais dans l eemple précéden elle éai consane). On peu recommencer l opéraion e chercher l accroissemen de viesse pour un pei inervalle de emps rendu aussi pei que l on veu. Cee opéraion, la dérivée seconde de (), défini ce que l on appelle l accéléraion ; c'es aussi la variaion de la variaion de posiion par rappor au emps. Pour l eemple (1) on voi que l accéléraion es nulle. Pour l eemple () on voi que : d & = d = A (Noe : Enregisrer la noaion de Leibniz pour la dérivée seconde). Ainsi les boules qui roulen sur les plans inclinés de Galilée on une accéléraion consane. La grande difficulé des lois de la Mécanique, (qui fai qu il a fallu aendre 1686, dae de la paruion des «Principia» de Newon,) vien de ce que les lois du mouvemen relien les forces e la dérivée seconde de la posiion. Absolumen rien d inuiif à cela e le calcul di «infiniésimal» (le passage a la limie avec le Δ qui end vers zéro) a éé invené pour relier les observaions de posiion du mouvemen des corps e les lois de la Mécanique qui fon inervenir les dérivées secondes de la posiion. Si les lois relien accéléraion e force, vous voyez ou de suie que Mécanique Physique (S) ème parie page

3 pour remoner à la posiion if faudra «inégrer» ( fois) les équaions du mouvemen, opéraion don vous savez qu elle es en général plus compliquée que de dériver. Imaginez que vous ayez enregisré le mouvemen d une voiure qui démarre, roule puis s arrêe sur une roue reciligne, quelque chose comme : & & & Alors voilà commen évolue respecivemen la viesse (au milieu) e l accéléraion (en bas) en foncion du emps. Noez qu il n y a pas de raison pour que viesse e accéléraion aien le même signe. Finalemen le dernier dessin vous donne les forces (horizonales si la roue l es) que subi la voiure au cours de son déplacemen. La force es d abord posiive pour accélérer puis négaive pour décélérer. La seule origine possible pour ces forces vien des forces de conac (froemen) mécanique enre roue e les pneus. Bon il y a aussi la résisance de l air mais c es rès compliqué e on en parlera plus ard. Déplacemen, viesse e accéléraion vus comme veceurs Pour l insan on a analysé déplacemen, viesse e accéléraion sur une droie e ces quaniés son des scalaires avec respecivemen des uniés SI, m, m s -1, m s -. Si on s inéresse au mouvemen dans l espace (D ou 3D), on va voir que leur vraie naure es de fai vecorielle. Même en 1D on peu ransformer un scalaire en veceur de la façon suivane. On choisi un ae oriené dans la direcion e un veceur uniaire e selon l ae : O e M Le veceur OM va caracériser la posiion du poin M par : OM = e où es l abscisse du poin M e peu donc êre > 0 ou < 0 selon que es à droie ou à gauche de O. Comme e es un veceur indépendan du emps e donc consan, la viesse e l accéléraion s écriven vecoriellemen comme : d v = e d d e a = d e On dira que, d/d e d /d son les composanes respecivemen du veceur posiion OM, du veceur viesse v e du veceur accéléraion a. Généralisons au cas D. Mécanique Physique (S) ème parie page 3

4 P r 1 r O Un obje se déplace dans le plan sur la rajecoire bleue. Sa posiion es repérée par le veceur posiion r 1 à (le poin P sur la rajecoire) e par r à + dans un repère d origine O. Enre ces deu insans son déplacemen es le veceur différence en rouge r= r -r 1. On peu alors définir le veceur viesse moyenne v moy = r/ enre ces deu insans. Si mainenan on fai endre vers zéro, r end vers r 1 e la viesse insananée va s aligner sur la angene à la rajecoire au poin P, en ver sur la figure. La viesse moyenne end vers la viesse insananée don les composanes son : v = dr d = d d i + dy d j! y Δy Δs 1 Δ s() : posiion de la paricule sur la rajecoire On a dessiné à nouveau deu posiions successives de l obje séparées par un pei inervalle de emps Δ. Alors le changemen de posiion sur chacun des aes es : Δ v Δ e Δy v y Δ où signifie approimaivemen égal e v = d/d e v y =dy/d. La disance parcourue par l obje de la posiion 1 à es approimaivemen: Δs (Δ + Δy ) 1/ Mécanique Physique (S) ème parie page 4

5 où «s» es la disance mesurée sur la rajecoire. Si on défini une orienaion sur la rajecoire, «s» s appelle l abscisse curviligne. Si on divise par Δ e que l on fai endre Δ vers 0, on obien: "s v = lim "#0 " &, d ) $ * ' $ % + d (, dy ) # * '! + d (!" 1/ soi encore : v = + = ( v + v ) 1/ y! E alors on voi que v es le module du veceur v de composanes v e v y. On peu ainsi écrire ce module v comme : ds v = d En anglais on appelle speed ce module pour le différencier de velociy le veceur viesse. Mainenan le veceur viesse v es bien enendu angen à la rajecoire e si on inrodui un veceur uniaire angen à la rajecoire e en un poin donné, on peu écrire le veceur viesse v comme : ds v = e (3) d Noe : 1) Aenion dans cee dernière epression, e es lié à la rajecoire e varie sur la rajecoire. ) On a ainsi deu moyens d eprimer le veceur viesse, soi par ses composanes d i /d dans un sysème d aes fies choisis, soi par sa représenaion (die inrinsèque) liée à la rajecoire (3). La représenaion de l accéléraion par ses composanes selon 3 aes O, Oy,Oz es similaire à celle de la viesse. L accéléraion moyenne enre deu insans es a moy = v/ e l accéléraion insananée es définie par ses composanes : a = dv d = dv i + dv y j d d a = d d i + d y d j On verra plus loin la représenaion inrinsèque de l accéléraion (c es plus difficile car e dans (3) ne garde pas la même direcion lorsque la paricule se déplace sur sa rajecoire).! Noez que ou ceci se généralise direcemen au cas 3D. Applicaion : Mouvemen d un projecile C es le momen d appliquer ces noions au cas hisoriquemen fondamenal de la chue des pommes e courammen uilisée sur les sades de foo du mouvemen du ballon dans le champ Mécanique Physique (S) ème parie page 5

6 de gravié. On es dans la siuaion où le corps, le ballon, a une masse faible par rappor à un aure (ici la erre) e où le déplacemen es pei devan la rayon de la erre. Tou se passe alors comme si le pei obje avai une accéléraion esseniellemen consane (égale à g) fournie par le gros obje 1. On a donc : a = g e g es un veceur de module e de direcion (supposés) consans. On va inegrer cee relaion en resan dans le domaine vecoriel. Le veceur viesse v obéi à : dv = g (4) d Sachan que dv e d représenen des variaions infiniésimales de v e de, cee epression peu se réécrire : e en inégran des deu côés : dv = g d v! dv =! g d = g v0 0! 0 d où v = v 0 à = 0. On obien : v v 0 = g (5) Noe : 1) On voi ou de suie que la viesse e l accéléraion n auron les mêmes direcions que si v 0 // g ou si v 0 = 0 (le cas de la pomme à l auomne). ) Le veceur v es dans le plan formé par les deu veceurs v 0 e g e comme v es angen à la rajecoire, celle-ci sera donc plane e conenue dans ce plan (v 0, g) Pour avoir la posiion du ballon on écri : dl d = v (6) e on inègre : dl = v d! l " dl = " v o d + g" d l 0 0 soi : l = l 0 + v 0 + 1/g (7)! 0 1 Le cas général sera raié dans la 7 ème parie consacrée à la graviaion universelle où vous serez conen d apprendre que la rajecoire du ballon es la même que celle des planèes auour du soleil! Mécanique Physique (S) ème parie page 6

7 Cee inégraion vecorielle es rès direce e on l a fai pour vous monrer la puissance de l approche vecorielle mais on ne voi pas bien la rajecoire. Pour cela il fau réinroduire un sysème d aes y dans le plan (v 0, g). y Les composanes de v 0 son : g v 0 & v0 cos ' v 0 =! # $ % v0 sin ' " O α avec v 0 module de la viesse. & 0 # " De même g = $! e le déplacemen l = $ % ' dans ce sysème d aes. On peu choisir la %' g " # y& posiion iniiale à l origine e (7) s écri en ermes des composanes : & # & 0# & v0 cos ( # & 0 # $! = $! + $! + 1/ $! % y" % 0" % v0 sin ( " %' g " # = + v "! y = + v 0 0 cos% sin% $ 1/ g (8) (9) La rajecoire es die alors sous forme paramérique (), y() où es le paramère. On voi que le mouvemen selon conserve sa viesse iniiale (il n y a pas d accéléraion selon ). Si on élimine dans (9) on obien l équaion d une parabole uilisable pour jouer au foo ou se aper dessus (boule) : 1 g y = " + an! v cos! 0 Le repère lié à la rajecoire, le mouvemen circulaire Composanes de l accéléraion On va s inéresser à l accéléraion d une paricule qui se déplace sur une rajecoire courbe. Si la rajecoire es reciligne, l accéléraion es nécessairemen le long de la rajecoire mais si elle présene des virages, on voi ou de suie que la viesse change de direcion e donc qu il eise nécessairemen une composane de l accéléraion dans la direcion normale à la rajecoire. C es elle que nous voulons calculer. Mécanique Physique (S) ème parie page 7

8 C r dφ e de A e e e n e A φ dφ On inrodui e le veceur uniaire angen en A à la rajecoire e e n le veceur normal uniaire dirigé vers C, le cenre de courbure de la rajecoire. Celle ci es oujours assimilable localemen à un cercle de cenre C e de rayon r (si la rajecoire n es pas un cercle, C e r changen ou le emps). Si v es le module de la viesse, le veceur v s écri : v = v e e donc pour avoir le veceur accéléraion, on dérive par rappor au emps : dv d a = e + v e d d Le premier erme représene la variaion du module de la viesse e es une accéléraion angenielle. Le deuième es plus délica e correspond à un changemen de direcion de la rajecoire. On voi qu à chaque posiion s sur la rajecoire (occupée à différens ) correspond l angle φ enre e e une direcion choisie e fie. Voir sur la figure les direcions de e e e à insans successifs e. Si, on peu se rendre compe que e e es dans la direcion de e n (vers l inérieur de la rajecoire) e sa longueur es celle de l arc d angle dφ (voir figure) e donc : de = dφ e n soi encore : d d! e = en d d L angle es foncion de s (l abscisse curviligne) φ(s) e s() de sore que la dérivaion d une foncion composée donne : d! d! ds d! = = v d ds d ds Mais ds es l arc AA (lorsque ) e donc ds =r dφ : d v e = en d r Les composanes angenielle e normale (on di aussi cenripèe c'es-à-dire vers le cenre de courbure C) de a s en déduisen : dv a =, an = d v r Mécanique Physique (S) ème parie page 8

9 La démonsraion de la composane normale de l accéléraion a n es peu êre plus facile à suivre en coordonnées carésiennes. Imaginons une paricule se déplaçan sur un cercle de rayon r à viesse v consane. y θ θ La viesse en rouge es indiquée sur la figure au poin M de coordonnées = r cosθ e y=r sinθ $ "vsin#' (avec θ l angle enre OM e O). Elle a pour composanes v = & ) e on peu écrire : % vcos# ( v = "v y r i + v r j! a = " v r v y i + v r v j a = " v r (cos#i + sin#j) On rerouve que l accéléraion v /r es cenripèe, dirigée vers le cenre du cercle O. Voici démonrée la formule imporane donnan l accéléraion normale/cenripèe mais don la difficulé de démonsraion! correspond bien au emps écoulé pour en aendre l écriure par Newon. Finalemen, rese à inroduire la viesse e l accéléraion angulaire. La viesse angulaire es : d! ω = d avec des uniés de radians/sec. L accéléraion angulaire α n es pas aure chose que : d " d! # = = d d dv e alors a T = = r α e an = d v r = ω r Dans un mouvemen circulaire di uniforme a T = 0 (puisque ω es consan). Mécanique Physique (S) ème parie page 9

10 Noes : 1) Si r, a n 0 e la rajecoire es effecivemen reciligne. ) Vérifiez que a n a bien les dimensions d une accéléraion. 3) La formule es générale e le cas du mouvemen circulaire n en es qu un cas pariculier r =cse (que nous allons eaminer). Mouvemen circulaire Ce cas pariculier es imporan pour bien des applicaions depuis la découvere de la roue, de l observaion des orbies des éoiles vues par un observaeur erresre e plus récemmen de la muliplicaion des rond-poins dans les villes. CA = R es une consane. On repère la posiion d une paricule A sur le cercle soi par l angle φ enre O, une direcion arbiraire e le rayon veceur CA, soi par l abscisse curviligne s le long de la rajecoire. Par définiion : C R φ A s O d! s = R φ e donc v = R d d! où es la viesse angulaire ω (unié rad s -1 ) : d v = Rω. On parlera de mouvemen circulaire uniforme si ω = cse. Le emps mis pour faire une révoluion (π) es alors la période T die de révoluion e donc : ω = π/t La fréquence ν es le nombre de ours effecué par unié de emps e donc ν = 1/T. L unié consacrée pour s -1 es le Herz (Hz) mais dans l indusrie on parle souven en rpm le nombre de roaions par minue (eemple du compe-our de voiure). Noes : On peu rendre vecorielle la définiion de ω. La direcion de ω es au plan de la rajecoire avec le sens donné par le pouce lorsque les doigs de la main droie son courbés dans le sens de roaion de la rajecoire. Pour les mouvemens plans que l on considère dans cee inroducion, une seule composane es donc non nulle. Mécanique Physique (S) ème parie page 10

11 Applicaion : la roaion de la erre A la laiude θ = 48 19, 9 N, se rouve la bouée des Fillees à l enrée du goule de Bres, cee bouée décri dans l espace un cercle de rayon R = r cos θ où r es le rayon de la erre approimaivemen 6370 km. (Un poin sur ce cercle Γ es repéré sur la erre par l angle longiude φ). Comme la erre ourne d Oues en Es, le veceur ω es dirigé comme sur la figure. Mainenan la viesse de cee bouée es v = ωr. Pour l esimer il fau connaîre ω ou la période T. Vous diriez 4 heures soi s. Vous auriez or mais un pei peu seulemen. En effe la erre ourne aussi en même emps (e dans le même sens) auour du soleil de sore que sa période propre de roaion es un peu plus faible d environ 40 s. Γ ω R r θ v Bres Faies le calcul e vous rouverez que comme la bouée vous effecuez ous les jours dans l espace un cercle de 4 35 km à la viesse de 308 m s -1 ou km hr -1! Noez que finalemen ce v peu s écrire : v = ω r sin α où α = π/ - θ es l angle enre ω e r (le veceur enre le cenre de la erre e le poin de la surface) e vous voyez sur le dessin que le veceur v es au plan de la feuille repéré par ω e r (je l ai indiqué par, une flèche qui renre dans la feuille). Tou cela fini par ressembler furieusemen à un produi vecoriel e effecivemen on peu écrire : v = ω r Epression que vous voudrez bien vérifier en foncion des propriéés du produi vecoriel vues au chapire Saique. Mécanique Physique (S) ème parie page 11

12 Mouvemen relaif Transformaion galiléenne La noion de posiion absolue n a pas de sens en physique mais on a mis pas mal de emps à s en rendre compe. Philosophie e religion on obscurci les débas e avaien endance au fil des époques à idenifier des poins de significaion pariculière, le cenre de la erre (anhropocenrisme - erre au cenre du monde), le cenre du Soleil (héliocenrisme soleil au cenre du monde). Mais il n y a jamais eu d évidence epérimenale qu un poin soi à privilégier par rappor à un aure de sore que les lois physiques ne fon inervenir que les posiions relaives des corps en ineracions. La noion de mouvemen es elle aussi relaive car elle dépend du corps choisi comme référence par l observaeur comme l eemple ci dessous le monre : B au repos A en mouvemen A au repos B en mouvemen A B Pour l observaeur immobile dans la rue, B es une voiure bleue garée dans la rue e A se déplace vers la droie. Pour l observaeur au repos dans la voiure rouge A, B se déplace vers la gauche. A B P La quesion posée sur la figure ci dessus vise à observer le mouvemen de la voiure P selon que l observaeur es immobile sur le rooir en A ou dans la voiure B qui se déplace à viesse consane par rappor à A. On écri : AP = AB + BP Mécanique Physique (S) ème parie page 1

13 Mainenan si la mesure du emps es la même en A, B e P (le emps es absolu), on dérive la relaion ci dessus pour obenir : V(P/A) = V(B/A) + V(P/B) Cee formule de composiion des viesses indique que la viesse de P par rappor à A es égale à la viesse de B par rappor à A plus la viesse de P par rappor à B. Si V(B/A) es consan, alors en dérivan une nouvelle fois : a(p/a) = a(p/b) Les observaeurs en A e B à viesse relaive consane enre eu observen la même accéléraion de P. Ce qui es inrodui en une dimension se généralise direcemen en ou 3 dimensions ci dessous : Considérons deu objes A e B en mouvemen e un observaeur siué sur un référeniel avec un repère Oyz : z A V A r BA V A O r A r B y B V B V BA VB Ean donné une règle e une horloge, l observaeur O peu définir la posiion r a de l obje A en foncion du emps e donc calculer sa viesse : d V A = ra d d e idem pour B : v B = rb d La posiion de B par rappor à A es le veceur AB que l on va écrire r BA (pour faire penser à la posiion de B par rappor à A). D après la sousracion des veceurs : r BA = r B r A Mais si on dérive cela par rappor à, on obien la viesse de B par rappor à A, c'es-à-dire la viesse de B mesurée par un observaeur en A : V BA = V B V A ou V B = V A + V BA Le plus simple es de se rappeller la consrucion du diagramme des viesses à droie dans la figure ci dessus. Si on dérive encore encore une fois par rappor à, l accéléraion relaive de B par rappor à A, soi a BA : a BA = a B a A Mécanique Physique (S) ème parie page 13

14 Commen ransformer les composanes de la posiion, viesse e accéléraion d un obje A A y pour deu observaeurs en ranslaion y r uniforme (c'es-à-dire à viesse consane) l un r par rappor à l aure? On a un repère yz e un aure y z qui se déplace à la viesse u par O O rappor au premier dans la direcion (par eemple). z z Les aes // enre eu von reser parallèle puisque le mouvemen es une ranslaion OO. Supposons que O soi en O à = 0 e donc que : OO = u Comme précédemmen on voi que dans le riangle formé par les poins O, O e A : OA = OO + O A soi : r = r u (10) où u = & u# $! $ 0!. Les composanes de O A son alors reliées à celle de OA par : $! % 0" = u y = y z = z e = La ransformaion ci-dessus es appelée ransformaion galiléenne du nom du précurseur de Newon, Galilée ( ). La dernière ligne = vien du fai que l on a uilisé impliciemen le même emps pour mesurer les variaions de posiion de A dans les deu repères yz e y z. Ceci n es pas correc comme Einsein l a monré en 1905 e n es qu une approimaion : la remise en cause d un emps absolu valable dans ou les réfereniels par Einsein a condui à abandonner cee ransformaion qui rese valable lorsque la viesse relaive u es peie par rappor à la viesse de la lumière c = m s -1 e elle rese donc une rès bonne approimaion dans la plupar des applicaions praiques erresres. Mainenan si on dérive (10) par rappor au emps (les observaeurs O e O uilisen encore les mêmes Δ pour calculer les variaions de posiion Δr e Δr ) alors : v = v u (11) Mécanique Physique (S) ème parie page 14

15 soi : v = v u v y = v y v z = v z e si on re-dérive (11) encore une fois : a = a Deu observaeurs en ranslaion reciligne uniforme l un par rappor à l aure mesuren la même accéléraion de l obje A. On dira que l accéléraion es un invarian lorsque l on passe d un référeniel à un aure par une ransformaion Galiléenne. Noe : Lorsque l on observe le mouvemen des corps à parir de la erre qui ourne, on voi ou de suie que l accéléraion d un obje mesurée par un observaeur erresre va êre différene de celle vue par un observaeur eérieur (lié à une éoile fie par e.). On se penchera sur ce problème difficile dans la dernière parie de ce cours e on se borne à ne considérer pour l insan que des cas où les effes de la roaion de la erre son négligeables sans rop savoir commen en juger pour l insan Applicaions: 1/ Ces changemens de référeniels se posen courammen en navigaion aérienne ou mariime des lors que les milieu air ou mer on un mouvemen propre par rappor à la erre e les considéraions ci dessus fournissen direcemen la soluion de ces problèmes de navigaion. B Ven θ y A Commen aller de l aéropor A à l aéropor B avec un ven raversier de viesse V=50 km/h à AB? L avion P a une viesse propre u=00km/h par rappor à l air environnan e le piloe doi rouver la direcion à prendre. S il se dirige direcemen sur B, le ven (en bleu) va le balayer à droie e il doi donc corriger cee dérive. On regarde la consrucion sur la figure e on écri : ce qui donne la viesse V(P/air) en noir : V (P/sol) = V(air/sol) + V(P/air) V(P/air) = V (P/sol) - V(air/sol) Mainenan la viesse par rappor au sol (en rouge) doi êre selon AB. En projean selon les aes e y, on a: -u sinθ + V = 0, u cosθ = V PS e donc u = V +V PS, ce qui n es aure que le Mécanique Physique (S) ème parie page 15

16 héorème de Pyhagore dans le riangle à droie ci dessus On obien V PS =193 km/h e θ=14 o,5. De là on obien le emps de vol un peu rallongé par rappor au cas sans ven. / Une vache regarde passer un rain. Imaginons un rain qui se déplace horizonalemen à une viesse consane u = 150 km/h. Un voyageur au repos dans le rain laisse omber une boueille en chue libre. Que voi la vache? Elle voi la rajecoire de la boueille par le prisme d une ransformaion galiléenne. Dans le référeniel prime du rain (O horizonal dans le sens du mouvemen du rain, O y oriené vericalemen vers le hau), on a une simple chue libre e donc la rajecoire es : = 0, y = - 1/g, z =0. La ransformaion galiléenne précédene (10) donne les coordonnées de la boueille pour la vache dans son champ : =u, y=-1/g, z=0 La forme de la rajecoire apparaî en éliminan : y = " g u Supposons que la boueille soi lâchée par la fenêre à l origine e ombe d une haueur h=4m. La disance où elle ouche le sol es =u (h/g) 1/, soi 37.5 m. La parabole es donc rès éirée horizonalemen car sur la disance! vericale h, le emps de chue n es que de 0.9 sec e le gain de viesse vericale (8.8 m/s) rese pei devan la viesse du rain (41.6 m/s). La rajecoire de la boueille es en rouge pour un observaeur du rain, en bleu pour la vache. Mécanique Physique (S) ème parie page 16