Notions de base pour l analyse d un tableau de contingence

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1 Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Notios de base pour l aalyse d u tableau de cotigece Marie Chavet machave/ Notatios et défiitios U tableau de cotigece est ue matrice K de dimesio q m obteue e croisat deux variables qualitatives X et X 2 (ayat respectivemet q et m modalités) observées sur u échatillo idividus s m i is i q s = Table Matrice de cotigece K, effectifs margiaux O ote : i ue modalité de X s ue modalité de X 2 q le ombre de modalités de X m le ombre de modalités de X 2 is le ombre d idividus de l échatillo qui possèdet les modalités i et s i = m s= is est le ombre d idividus qui possèdet la modalité i s = q i= is est le ombre d idividus qui possèdet la modalité s = q m i= s= is est le ombre totel d idividus das l échatillo Exemple O cosidère u tableau de cotigece obteu e vetilat 592 femmes suivat la couleur de leurs yeux et la couleur de leurs cheveux K <- readtable("couleurstxt") K ## bru chatai roux blod ## marro ## oisette ## vert ## bleu sum(k) ## [] 592

2 O e déduit la matrice des fréqueces F avec : f is = is le terme gééral de F f i = m s= f is = i les masses des liges f s = q i= f is = s les masses des coloes s m i f is f i q f s f = Table 2 Matrice des fréqueces F, fréqueces margiales O otera par la suite : r = (f,, f i,, f q ) t le vecteur des poids des liges (row) c = (f,, f s,, f m ) t le vecteur des poids des coloes et D r =diag(r) la matrice diagoale de dimesio q q des poids des liges D c =diag(c) la matrice diagoale de dimesio m m des poids des coloes Exemple # Calcul de la matrice des frequeces F F <- K/sum(K) roud(f*00,digit=2) ## bru chatai roux blod ## marro ## oisette ## vert ## bleu # Vecteurs r et c des poids des liges et des coloes (distributios margiales) r <- apply(f,,sum) roud(r,digit=2) ## marro oisette vert bleu ## c <- apply(f,2,sum) roud(c,digit=2) ## bru chatai roux blod ## barplot(r,cexames=2) 2

3 marro oisette vert bleu barplot(c,cexames=2) bru chatai roux blod 2 Matrice des profils liges La matrice des profils liges L est obteue e divisat chaque lige i de F par so poids f i s m i f is /f i q Table 3 Matrice des profils liges L O ote : l is = f is /f i = is / i le terme gééral de L, l i = (l i,, l im ) t le vecteur de R m décrivat la modalité i de X (ue lige de L), et o a : L = D r F Les q modalités de X sot aisi décrites par leurs profils liges et ils formet u uage de q vecteurs de R m podérés par les f i O motre alors que le profil lige moye, cetre de gravité de ce uage, est c le vecteur des poids des liges Preuve 3

4 Exemple # Matrice des profils-liges L (distributios coditioelles e lige) L <- sweep(f,,stat=r,fun="/") roud(l,digits=2) ## bru chatai roux blod ## marro ## oisette ## vert ## bleu profil lige yeux marros bru chatai roux blod profil lige yeux oisette bru chatai roux blod profil lige yeux vert bru chatai roux blod profil lige yeux bleu bru chatai roux blod profil lige moye bru chatai roux blod O peut alors cetrer L et le terme gééral de la matrice L cetrée est : f is /f i f s = f is f i f s f i 4

5 O a alors la matrice L cetrée qui vaut : L = D r (F rc t ) 3 Matrice des profils coloe La matrice des profils coloe C est obteue e divisat chaque coloe s de F par so poids f s s m i f is /f s q Table 4 Matrice des profils coloe C O ote : c is = f is /f s = is / s le terme gééral de C, c s = (c s,, c qs ) t le vecteur de R q décrivat la modalité s de X 2 (ue coloe de C), et o a : C = FD c O cosidère maiteat que les m modalités de X 2 sot décrites par leurs profils coloe et qu elles formet u uage de m vecteurs de R q podérés par les f s O motre alors que le profil coloe moye, cetre de gravité de ce uage, est r le vecteur des poids des liges O peut alors cetrer C et le terme gééral de la matrice C cetrée est : O a alors la matrice C cetrée qui vaut : f is /f s f i = f is f i f s f s C = (F rc t )D c Exemple # Matrice des profils-liges L (distributios coditioelles e lige) L <- sweep(f,,stat=r,fun="/") roud(l,digits=2) ## bru chatai roux blod ## marro ## oisette ## vert ## bleu

6 profil coloe cheveux bru marro oisette vert bleu profil coloe cheveux chatai marro oisette vert bleu profil coloe cheveux roux marro oisette vert bleu profil coloe cheveux blod marro oisette vert bleu profil coloe moye marro oisette vert bleu 4 Comparer les modalités d ue même variable L u des objectifs de l aalyse descriptive d u tableau de cotigece est d aalyser les ressemblaces etre les modalités d ue même variable Pour cela, o utilise ue distace etre profils lige pour comparer les modalités de X et ue distace etre profils coloes pour comparer les modalités de X 2 : o utilise la métrique D c pour comparer deux profils liges de R m, o utilise la métrique D r pour comparer deux profils coloes de R q 6

7 La distace etre deux profils liges l i et l i de L est doc : d(l i, l i ) = (l i l i ) t D c (l i l i ) = m ( f is fi s ) 2 f s f i s= Il s agit de la distace Euclidiee etre deux liges de L, poderée par l iverse des poids des coloes f s La distace etre deux profils coloes c s et c s de C est de maière similaire : f i d(c s, c s ) = (c s c s ) t D r (c s c s ) = q ( f is fis ) 2 f i f s f s i= Il s agit de la distace Euclidiee etre deux coloes de C, poderée par l iverse des poids des liges f i Ces distaces sot appellées distaces du χ 2 car l iertie du uage des profils lige et l iertie du uage des profils coloe, calculée avec cette distace, est égale à / près, au χ 2 etre les variables X et X 2 (cf sectio 6) Exemple # distace du chi2 etre les profils liges sum((l[,]-l[2,])^2/c) #carre de la distace etre marro et oisette ## [] sum((l[,]-l[4,])^2/c) #carre de la distace etre marro et bleu ## [] 0843 sum((l[,]-c)^2/c) #carre de la distace etre marro et moyee ## [] Liaiso etre ue modalité de X et ue modalité de X 2 E cas d idépedace etre X et X 2 o a : f is = f i f s is = i s () { fi f avec s = fréquece théorique, = effectif théorique i s O se sert de ce résultat pour défiir ue mesure locale de liaiso etre ue modalité i de X et ue modalité s de X 2 O dira que : si f is f i f s alors il y a idépedace etre i et s, 7

8 si f is > f i f s alors les modalités i et s s attiret (car f is f i si f is < f i f s alors les modalités i et s se repousset (car f is f i Cela se mesure avec le taux de liaiso : t is = f is f i f s f i f s > f s et f is f s > f i ), < f s et f is f s < f i ) Exemple # Matrice des taux de liaisos : T <- (F-r%*%t(c))/(r%*%t(c)) roud(t,digit=2) ## bru chatai roux blod ## marro ## oisette ## vert ## bleu Sur cet exemple : La fréquece des brus aux yeux marro est 69,4 au dessus de ce qu elle serait s il y avait idépedace etre les deux variables couleurs des yeux et De plus ces deux modalités s attiret (le vérifier sur les tableaux de profils lige et coloe) La fréquece des blods aux yeux marro est 85,2 au dessous de ce qu elle serait s il y avait idépedace etre les deux variables E plus ces deux modalités se repousset (le vérifier sur les tableaux de profils lige et coloe) 6 Iertie et liaiso etre X et X 2 O se sert aussi de () pour défiir ue mesure globale de liaiso etre X et X 2 : χ 2 = q i= m s= ( is i s )2 i s q m (f is f i f s ) 2 = f i= s= i f s } {{ } Φ 2 Remarques : E cas d idépedace, o a χ 2 = Φ 2 = 0 Si o podère chaque taux de liaiso t is par f i f s o a t = i Var(t) = i,s f if s t 2 is = χ2 = Φ2 Théorème : O a : χ 2 s f if s t is = 0 et doc = I(L) = I(C) où I(L) est l iertie du uage des profils liges et où I(C) est l iertie du uage des profils coloes calculées avec la distace du χ 2 Preuve Il faut utiliser la défiitio de l iertie d ue uage de poits podérés 8

9 Exemple # Chi2 et iertie chisqtest(k)$statistic ## X-squared ## distsq <- fuctio(x) #foctio pour calculer le carre de la distace du chi2 au profil lige moye { sum((x-c)^2/c) } distsq(l[,]) #carre de la distace du chi2 e profil yeux marro et profil moye ## [] sum((l[,]-c)^2/c) #carre de la distace etre marro et moyee ## [] apply(l,,distsq) #vecteur des carres des ecarts ## marro oisette vert bleu ## sum(apply(l,,distsq)*r)#somme des carres des ecarts poderes ## [] sum(apply(l,,distsq))*sum(k) #chi2 ## []

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