par Ph. Bois, Ch. Obled et I. Zin

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1 Insttut Natonal Polytechnque de Grenoble ENS d'hydraulque et Mécanque de Grenoble ENSHMG INTRODUCTION au TRAITEMENT de DONNEES en HYDROLOGIE par Ph Bos, Ch Obled et I Zn Professeurs et Maître de Conférences à l'enshmg 7ème édton revue et complétée Janver 007 L Edton du Mllénare COURS POLYCOPIE Transmettre vos remarques à Isabella Zn, Maître de Conférences à l ENSHMG, responsable de ce cours depus 004: IsabellaZn@hmgnpgfr Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page sur 65

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3 "TRAITEMENT de DONNEES en HYDROLOGIE" AVERTISSEMENT AU LECTEUR Cet ensemble d'opuscules rassemblés en un document polycopé n'est pas un Traté de Statstques! Ce n'est qu'une ntroducton, destnée plus précsément au Applcatons de la Statstque en Hydrologe Cec s'adresse prncpalement à des étudants de ème cycle, du nveau ème année d'ecole d'ingéneurs, ans qu'à des formatons professonnalsées du type DESS ou formaton contnue Mas d'abord: Pourquo utlse-t-on, (- et de manère assez ntensve! -), les statstques en Hydrologe? Réponse: Parce que l'hydrologe dot apporter des éléments de décson (dmensonnement d'ouvrages par eemple) qu concernent le futur, et donc un avenr ncertan Que ce sot pour antcper les apports qu vendront remplr un réservor, pour chosr le débt à évacuer par un ouvrage de sécurté en cas de crue "etrême", ou pour décder de ce que peut être une sècheresse sévère et s'en prémunr, les démarches employées s'appueront toujours sur les données observées dans le passé, et en treront des conclusons pour le futur L'objectf de ces documents est donc de présenter, parfos succnctement, les concepts élémentares de quelques méthodes statstques les plus couramment utlsées en Hydrologe Ce cours est conçu pour venr après des cours d'ntaton au Probabltés et au Statstques, souvent placés en premère année de second cycle Mas à l'ssue de ce premer contact, l apparaît que les étudants ont encore peu de pratque ou d'epérence, (- par eemple sur ce que recouvre la noton de fluctuatons d'échantllonnage-), et même parfos un début d'allerge vs à vs de ces matères! Par alleurs, un pett nombre d'entre eu aborde en fat la statstque drectement par le bas de l'hydrologe On trouvera donc auss quelques rappels de notons théorques, présentées parfos d'une manère "ntutve" qu dot parfos fare frémr certans de nos collègues mathématcens Les méthodes décrtes c seront utlsées par les élèves sur des eemples concrets, tratés essentellement à la man, afn que l outl nformatque n occulte pas le concept à acquérr Cependant, on utlsera parfos auss des logcels adaptés, ou on sgnalera leur estence Outre ceu développés en nterne à l'ecole d Hydraulque, on ctera notamment SAFARHY (Logcel de calculs statstques et d'analyse fréquentelle adapté à l'évaluaton du rsque en Hydrologe) dstrbué par les Edtons de l'ird (Insttut de Recherche en Développement, e-orstom), ans que des logcels commercau comme STATISTICA (marque protégée), avec lequel la plupart des graphques de ce document ont été tracés Néanmons, leur évoluton est tellement rapde qu l faudra toujours refare une pette étude de marché au moment d en chosr un Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 3 sur 65

4 Sur un plan plus méthodologque, vore pédagogque, on fera assez souvent appel à la "smulaton stochastque"; c'est à dre qu'un certan nombre d'eemples s appueront sur des échantllons synthétques, générés aléatorement, mas provenant de los de probabltés ben défnes, choses et mposées a pror, donc connues Cec permettra par eemple d nter le lecteur au problèmes de tests (une lo donnée est-elle acceptable pour représenter cet échantllon?) et d échantllonnage Notre objectf est qu'à la fn de cette courte formaton, l'élève at acqus une autonome suffsante pour comprendre et acquérr par lu-même d'autres méthodes ou approfondr celles qu'l aura apprses Ce document d " Introducton au Tratement de Données en Hydrologe" est donc lon d'être ehaustf, et on y trouvera surtout les quelques méthodes statstques les plus utlsées, notamment pour l'hydrologe de Projet Il a été écrt conçu ntalement pour les élèves des flères "Ressources en Eau et Aménagements" et "Géne Hydraulque et Ouvrages" du Département GENIE de l'environnement à l'ecole d Hydraulque de Grenoble (INPG- ENSHMG), et pour le DESS "Eau Souterranes" de l Unversté Joseph FOURIER Il a été utlsé auss en Maîtrse de Géologe, de Mécanque, ans que pour la flère Hydraulque de l'entpe Il est en voe d être complété par un autre fasccule, nttulé "Hydrologe Opératonnelle", dans lequel ces notons élémentares de tratement de données sont largement utlsées pour les problèmes notamment de crues de projet Cependant, les hydrologues confrmés utlsent auss d'autres technques d'analyse statstque, encore plus élaborées Certanes sont présentées à l'enshmg au cours de la 3 ème année, dans la flère "Ressources en Eau", et dans le DEA "Géophysque et Envronnement" Ce sont par eemple l'analyse des séres temporelles, l'analyse de données multdmensonnelles, ou la géostatstque des processus spatau On se réfèrera au documents correspondants de MM Duband, Bos et Obled Enfn, ce document est le résultat d'un traval collectf De nombreu emprunts ont été fats, sot à des ouvrages ctés en référence, sot à des documents de traval ou des rapports d'études fats par des collègues que nous tenons à remercer c et que nous cterons au fl du tete En dépt des efforts d'homogénésaton fats par les rédacteurs, nul doute qu'l reste quelques dfférences de style ou ncohérences de notatons, sans compter quelques erreurs sur lesquelles pourra s'eercer la sagacté du lecteur Merc de nous les sgnaler Donc à tous, bon courage, et bonne lecture! Les auteurs-composteurs Ph BOIS et Ch OBLED Note : Par rapport au édtons antéreures, on a ajouté le chaptre sur la corrélaton multple et le chaptre sur la crtque des données Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 4 sur 65

5 PLAN GENERAL "TRAITEMENT de DONNEES en HYDROLOGIE" ère Parte: MODELES PROBABILISTES 7 Chap I: DESCRIPTION D'UN ECHANTILLON 7 Chap II: MODELES PROBABILISTES LES PLUS COURANTS 35 Chap III: ESTIMATION ET TECHNIQUES D'AJUSTEMENT A UN ECHANTILLON 85 ème Parte: LIAISONS STOCHASTIQUES ENTRE VARIABLES 9 Chap IV: CORRELATION LINEAIRE SIMPLE 3 Chap V: CORRELATION LINEAIRE MULTIPLE 73 3 ème Parte: CRITIQUE DE DONNEES 03 Chap VI: QUELQUES METHODES SIMPLES 05 Chap VII: LA METHODE DU CUMUL DES RESIDUS 37 4 ème Parte: Annees Tables de Student et du Ch 63 Note Importante (*): Dans les chaptres qu suvent, certans paragraphes sont marqués d'un astérsque (*) Cela sgnfe qu'ls comportent des développements ou des démonstratons qu peuvent être gnorés en premère lecture Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 5 sur 65

6 Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 6 sur 65

7 ére Parte: MODELES PROBABILISTES CHAPITRE I : DESCRIPTION D'UN ECHANTILLON I) Rappel sur les Varables Aléatores: 9 I-) Eemples et Défntons: 9 I-) Rappels sur les Los de Probablté: 9 I-3) Moments d'une Lo de Probablté: I-4) Analyse d'un échantllon: 3 II) Descrpton numérque d'un échantllon : 4 II-) Paramètres de Poston: 4 II-) Paramètres de Dsperson : 5 II-3) Paramètres d' Asymétre : 8 II-4) Paramètres d' Aplatssement : 8 III) Descrpton graphque : 3 III-) Hstogramme des fréquences emprques : 3 III-) Courbe des fréquences cumulées Foncton de répartton emprque: 6 IV) Compléments théorques : 9 IV-) Noton de Pérode de retour 9 IV-) Changements de varables 3 Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 7 sur 65

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9 ère Parte - CHAPITRE I : DESCRIPTION D'UN ECHANTILLON I) RAPPEL sur les VARIABLES ALEATOIRES: I-) EXEMPLES et DEFINITIONS: Les varables que l'on manpule en hydrologe (précptatons, débts, températures, mas auss nveau de nappe phréatque, hauteur d'ennegement, durée d'nsolaton, etc), vont être consdérées comme des Varables Aléatores La Varable Aléatore, parfos notée VA, est une varable formelle, notée en majuscule, par eemple X: X "Précptaton annuelle à la staton de Grenoble" Cette varable prendra une valeur k à chaque "trage aléatore", à chaque réalsaton k Cela peut choquer certans de consdérer comme aléatore quelque chose que l'on peut (avec les moyens adéquats), mesurer eactement Par eemple, en 988, la varable X a prs la valeur mm Il n'en reste pas mons que, s l'on veut dmensonner un barrage pour compenser le manque d'eau nécessare à certanes cultures, l faudra s'ntéresser au années futures (- par eemple de 994, fn de la constructon de l'ouvrage, à 044, fn de la pérode d'amortssement -) Or on ne savat pas en 994 ce que seraent les réalsatons de la varable aléatore X en 995, 96 etc, c'est à dre 95, 96, 97 etc On se trouve alors en avenr ncertan: aucune approche détermnste, aucune mesure ou méthode déductve ne peut nous dre eactement, en 994, ce que sera la réalsaton 98 de X en 998 Tout au plus pourra-t-on supposer que les phénomènes générateurs de la plue seront les mêmes que dans le passé récent, et on fera l'hypothèse que les réalsatons futures de la varable aléatore X auront les mêmes caractérstques, la même dstrbuton statstque que par le passé (Autrement dt, on suppose que le Deu de la Plue trera toujours dans la même urne pour décder de la plue de l'année suvante) Naturellement, cette hypothèse ne s applquera qu à un futur relatvement proche : sur une durée un peu supéreure à la durée d amortssement de l ouvrage, ou encore de l ordre de grandeur de sa durée de ve utle, c est à dre sur quelques dzanes d années Un autre type de problème courant en hydrologe condut à utlser les mêmes outls : l ne concerne plus le futur, mas concerne l'échantllonnage dans l'espace Par eemple, s on consdère la conductvté hydraulque à saturaton d'un sol, on conçot qu'l s'agt d'un paramètre détermnste, que l'on peut mesurer en tout pont avec un nfltromètre Mas on conçot auss que pour un bassn versant, ou une parcelle agrcole de talle mportante, l sot économquement mpossble de fare ces essas partout On les réalsera donc en quelques ponts seulement, supposés représentatfs du domane On constatera que les valeurs mesurées varent, de manère dffcle à prévor, mas dans une gamme de valeurs assez stables (même s on augmente l'échantllon) On fera alors l'hypothèse que, en un ou des ponts non mesurés, la varable aléatore X Conductvté hydraulque à saturaton, prend des valeurs nconnues, dffcles vore mpossbles à prédre eactement, mas qu auront les mêmes caractérstques, la même dstrbuton statstque que l'échantllon des valeurs effectvement mesurées en quelques ponts I-) RAPPELS sur les LOIS de PROBABILITE: On va donc chercher bentôt à décrre et à résumer un échantllon, consdéré comme un sous-ensemble d'une populaton qu sera souvent nfne Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 9 sur 65

10 Sur cette populaton, on peut défnr une lo de probablté: F() où correspond à une valeur numérque Cette lo de probablté, ou foncton de répartton, eprme la : "Probablté que la Varable Aléatore X reste nféreure ou égale à la valeur Numérque " F( ) Pr( X ) Eemple: Probablté que la Varable Aléatore "Plue Journalère à Grenoble" reste nféreure à la valeur numérque 0 mm: c'est ben une foncton de, car s au leu de 0 mm, on met 5 mm, la probablté change Cette probablté est même plus grande, car on a plus de chance d'être en dessous de 5 que de 0 mm Evdemment, cette lo dépend auss de la populaton consdérée, par une forme analytque et des valeurs de coeffcents partculers, propres à cette populaton Rappelons cependant quelques proprétés générales d une lo de probablté: + la foncton de répartton de la varable aléatore X est une foncton monotone non décrossante de la varable réelle (cf eemple cf fgure ) En effet, s 5 et + d 7, l est évdent (mas l faut s'en convancre!) que: F( ) F( 5) Pr( X 5 ) est plus pett que F( + d) F( 7) Pr( X 7 ) Mas par contre, on ne peut avor: (cf contre-eemple fgure -b c-contre) F( 5) Pr( X 5 ) plus grand que F( 7) Pr( X 7 ) On donne c après quelques eemples de formes possbles pour la foncton de répartton : Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 0 sur 65

11 Fgure I + La probablté que X tombe dans l'ntervalle: est évdemment (- mas là auss l faut s'en convancre! -): < X + d Pr( < X + d ) Pr( X + d ) - Pr( X ) F( + d) - F( ) Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page sur 65

12 + On voudrat d'alleurs connaître auss la probablté que X sot strctement égal à Mas parm l'nfnté des valeurs possbles, cette probablté Pr ( X ) est quas nulle s la varable est contnue (on verra plus lon le cas des varables dscrètes) Par contre, s on se donne un peu plus de lattude, par eemple s on se donne un ntervalle d et que l'on veut : Pr ( < X +d) alors cette probablté dépend : - de la longueur de d : (plus d augmente, plus on a de chance de tomber dans l'ntervalle [, + d]) - mas auss de la poston de : Il y a des valeurs de autour desquelles la densté d'ndvdus, (- ou encore : de réalsatons de la VA X) est plus grande qu'alleurs On eprme cela en écrvant que: Pr ( X +d) f( )d et on appelle la foncton f() la densté de probablté de X + Mas alors, qu'est-ce que f()? On a défn f(), pour d pett comme: Pr ( X +d) f( ) d Mas on peut vérfer (- ben réfléchr à nouveau -) que: Pr( X + d ) F( + d) - F( ) on obtent donc : f ( F( - ou encore f ( F( + d) d d F - F( ) ) + ) ( ) ) d et s on rédut l'ntervalle consdéré (d 0) alors: f ( ) F'() et la densté de probablté est la dérvée premère de la foncton de répartton I-3) MOMENTS d'une LOI de PROBABILITE: On consdèrera auss que certanes caractérstques de cette lo, et donc de cette populaton, sont contenues dans les moments de la lo F() On démontre même que s tous les moments de la lo sont connus, la lo est connue complètement ( cf par eemple VIALAR 986) Mas défnssons d abord les moments, par eemple la moyenne µ et l'écart-type σ de la populaton On appelle moment d'ordre l'ntégrale: + µ - f ( ) d que l'on appellera encore smplement µ Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page sur 65

13 C'est l espérance mathématque ou encore la moyenne de la populaton, que l on peut vor de deu manères équvalentes comme : - la somme de toutes les trages possbles, même s certanes valeurs sortent pluseurs fos, ( dvsée par le nombre de trages possble) - ou la somme de toutes les valeurs possbles, mas chacune étant pondérée par son nombre d apparton ( dvsé par le nombre de trages possble), donc pondérée par sa probablté d'apparaître! + - Le moment d'ordre s'écrt: µ f ( ) d mas à partr de l'ordre, on préfère utlser les moments centrés, c'est à dre : + - µ ( ) f ( ) d encore appelé Varance et noté σ ² µ de même on calculerat le moment d'ordre 3 : + 3 µ 3 ( ) f ( ) d, 4,,, etc µ µ µ p Et on verra plus lon que l'on dépasse rarement l'ordre 4! - *** Notatons Dans tout ce document, nous noterons : et en lettres grecques les caractérstques de la populaton, par eemple µ et σ en lettres latnes les caractérstques d'un échantllon, par eemple m et s I-4) ANALYSE d'un ECHANTILLON: A défaut de pouvor appréhender toute la populaton qu nous ntéresse, on dspose souvent d'un échantllon de n valeurs d'une varable X Eemple: les températures moyennes mensuelles de Févrer à Grenoble de 900 à 990, sot 9 valeurs Mas dés que n est grand ( quelques dzanes), la lecture du tableau n'est pas asée, et l n'est pas utle de le transmettre entèrement pour permettre à un nterlocuteur de s'en fare une dée C'est pourquo l est ntéressant d'effectuer une synthèse de ce tableau: + synthèse numérque (on le résume en quelques chffres) + synthèse graphque (on le résume en une courbe) + synthèse analytque (on le résume par une foncton analytque, un modèle cf chaptre II) Certes on perdra de l'nformaton mas on y gagnera en clarté C'est ce que nous allons vor dans le paragraphe et les chaptres suvants Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 3 sur 65

14 II- DESCRIPTION NUMERIQUE D'UN ECHANTILLON: Sot, ( de à n), les n valeurs de l'échantllon On va chercher à trer de ce tableau quelques repères numérques, représentatfs non seulement de l'échantllon, mas s possble auss de la populaton dont l est etrat Pour éclarer ces notons smples, on utlsera la "smulaton stochastque", c'est à dre un moyen "smple" pour "fabrquer" des échantllons ssus d'une même populaton (e trés de la même urne de caractérstques mposées) Ans l'on pourra travaller sur un grand nombre d'échantllons tous dfférents mas dont on sat, pour les avor fabrqués, qu ls provennent de la même populaton de caractérstques connues II-) Paramètres de POSITION: Ce sont des paramètres qu précsent à peu près l'ordre de grandeur le plus courant de X On utlse couramment: a) Moyenne arthmétque : On la défnt (- en lettres latnes car elle est estmée sur un échantllon -) par: ou m n C'est un descrpteur smple, qu a les avantages d être : n + Robuste : ne vare pas trop d'un échantllon à l'autre (on aura des précsons dans la sute du cours pour certanes populatons) + Convergent : s n tend vers l'nfn, la moyenne ans défne tend vers la moyenne de la populaton (ce qu aurat été également le cas s on avat dvsé par n- au leu de n) + Non basé : s on fat le calcul pour un grand nombre d'échantllons dfférents de talle n, la moyenne de ces moyennes est une bonne estmaton, n plutôt par ecès n plutôt par défaut de la moyenne de la populaton (ce qu n'aurat pas été le cas s on avat dvsé par n- au leu de n) mas qu présente des défauts: - Ne donne aucune dée des varatons de autour de cette valeur - Pour certanes dstrbutons (notamment asymétrques ou multmodales), la moyenne n'est pas toujours une valeur très probable Eemple: A Grenoble, la moyenne de l'nsolaton journalère en Févrer est de 4 heures; mas en fat, peu de journées ont autour de 4 heures d'nsolaton: schématquement, ou ben l fat beau, et l y a 8 heures d'nsolaton, ou ben l fat mauvas, et l n'y pas d'nsolaton du tout (Pour l'anecdote, la méconnassance de cette observaton élémentare a amené certans constructeurs d'nstallatons solares à mal dmensonner ces nstallatons) Mas on peut penser à d'autres paramètres de poston: b) la Médane : C'est la valeur Med ou 50% telle que : X a 50% de chance d'être supéreure à Med mas auss 50% de chance de lu être nféreure Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 4 sur 65

15 c) le Mode : C'est la valeur Mod autour de laquelle on trouve le plus de valeurs, celle qu est la plus fréquente, ou la plus probable Eemple: S on consdère une varable aléatore comme le salare des salarés déclaré lors du recensement de la populaton de 99, on constate que le salare moyen est vosn de 9000 FF (car l nclue notamment quelques "gros salares", qu apparassent épsodquement dans un journal satrque parassant le Mercred) Par contre le salare Médan est plutôt vosn de 8500 FF ( la moté des franças gagnent mons et l'autre gagne plus) Enfn le salare le plus fréquent est encore le SMIC, vosn de 5000 FF ( Pour le lecteur souceu d être à jour, on rappelle qu un Euro 6,55957 FF ) Complément: On notera auss que d'un pont de vue analytque, le mode correspond au mamum de la densté de probablté f() et donc vérfe que sa dérvée f '( Mod ) 0 II-) Paramètres de DISPERSION: Après avor "postonné" la gamme de valeurs de X, on cherche à donner une dée de la fluctuaton des dans l échantllon a) Etrêmes ( étendue) Une façon smple consste à précser mnmum et mamum de l échantllon Smples à détermner sur un échantllon, ls ont le défaut d'être peu robustes, c'est à dre de varer consdérablement d'un échantllon à l'autre d'une même populaton (sauf évdemment pour des populatons bornées comme l'nsolaton) Il en est de même de l'étendue Ma Mn b) Varance et écart type : On le défnt sur l'échantllon par : n ( m) V n s Sot µ σ² la valeur de ce terme dans la populaton nfne σ² On conçot que s n tend vers l'nfn, V tend vers σ, c'est à dre que s est un estmateur convergent de Mas s pour n donné, on effectue ce calcul pour un grand nombre d'échantllons (en utlsant pour centrer chaque échantllon la moyenne emprque m de cet échantllon), on va trouver que la moyenne des V est en général nféreure à σ V est donc un estmateur convergent mas basé de σ Il est alors ntéressant de le débaser, d'où les défntons: Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 5 sur 65

16 Varance Carré de l'écart type σ ², sera estmée par: s ou m est calculé sur l'échantllon Par contre: s s n{ - n ( m ) n n ( ) µ s on connaît µ la vrae moyenne de la populaton (Ce deuème cas est pratquement nconnu en Hydrologe!) On défnt auss: c) Coeffcent de varaton CV : CV σ s estmé par ou µ m s qu compare donc la fluctuaton à la valeur moyenne C'est une grandeur admensonnelle, qu ne dépend pas des untés, s est une mesure, mas qu dépend de l'orgne chose pour la varable X (-Attenton par eemple au températures eprmées en untés ordnares Celsus ou Fahrenhet! le coeffcent de varaton de la température eprmée en degré Kelvn est beaucoup plus fable que celu de la température en Celsus! Et ce coeffcent de varaton est même absurde, en Celsus, pour une staton de montagne comme le grand Sant Bernard où la moyenne est proche de 0 C, car l devent quas nfn!) Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 6 sur 65

17 Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 7 sur 65

18 d) Paramètres de dstrbuton : médane et quantles On a déjà vu la médane, qu est le quantle 50% Plus généralement, on dra que Qk% est le "quantle k %" de l'échantllon s k% des valeurs observées sont nféreures ou égales à Qk% Les plus utlsés sont : Premer décle : Valeur non dépassée dans 0 % des cas Derner décle : Valeur non dépassée dans 90 % des cas (ou non attente dans 0 % des cas) Médane : Valeur non dépassée dans 50 % des cas Ces paramètres sont relatvement robustes ( plus que les etrêmes!) On parlera parfos, pour caractérser la dsperson, d'ntervalles nterquantles : X 90 - X 0 nterdécle X 75 - X 5 nterquartle II-3) Paramètres d'asymetrie : On défnt le coeffcent d'asymétre CS (Coeffcent of Skewness) sur la populaton par: µ 3 m 3 CS estmé sur l'échantllon par CS 3 s µ 3 où µ σ et µ3 sont respectvement les Moments centrés d'ordre et 3 On a vu que le premer état estmé par: quand à µ 3, moment d'ordre 3, on l'estme par: s n n ( m ) n n n n 3 n 3 + ( n )( n ) n m 3 CS est un paramètre peu robuste s n est pett (e lmté à quelques dzanes) 3 II-4) Paramètres d'aplatissement : Déjà mons utlsés, ls caractérsent s, pour une même valeur des paramètres précédents, la dstrbuton est plus ou mons aplate ou au contrare concentrée en pc autour de l'ae Ce paramètre (appelé kurtoss en anglas) dépend du moment d'ordre 4 de la populaton; l s'écrt: µ 4 4 σ Là encore, s l'échantllon est pett, l est peu robuste et surtout très sensble au valeurs etrêmes(on l'utlse peu en hydrologe) Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 8 sur 65

19 Eemples sur données smulées: On a tré d'une lo de Gauss, (lo de probablté smple et assez répandue - cf Chap II), de moyenne théorque 000 et d'écart type théorque 00, 0 échantllons dfférents (0 de talle 0 et 0 de talle 00) On verra dans un chaptre ultéreur comment on génère des données smulées Pour chaque échantllon, on a calculé la moyenne, les etrêmes, l'écart type, la médane (que l'on a prs comme moyenne des 5 et 6 valeurs dans l'ordre crossant pour les échantllons de talle 0, et moyenne des 50 et 5 valeurs dans l'ordre crossant pour les échantllons de talle 00 Le tableau I décrt ces valeurs Echantllon Moy Mn Ma Médane 9 s N N déc déc n n TABLEAU I : Echantllons générés aléatorement Note : on a noté déc et 9 déc premer et derner décle; ceu c n'ont pas été détermnés pour les échantllons à 0 de talle 0 Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 9 sur 65

20 On constate : - la robustesse des moyennes et des médanes - la grande varablté des etrêmes d'un échantllon à l'autre En outre, on pourrat retrouver que la précson d'estmaton (écart entre la valeur dans la populaton et dans l'échantllon) est foncton de la racne carrée de la talle; c'est à dre que les paramètres calculés sur les échantllons de talle 00 ne sont pas 0 fos plus précs que ceu calculés sur les échantllons de talle 0 mas plutôt 3 fos plus précs Résumé: Pour décrre numérquement et smplement un échantllon, on donnera en général: - la moyenne arthmétque - l'écart type - la médane - les décles nféreurs et supéreurs Eemple sur données réelles : On donne, c-contre, un tableau de valeurs de débts de la Romanche à Roupérou Il est dffcle en la scrutant de s en fare une dée rapde Mas comme on peut le vor c dessous, le pett résumé des valeurs précédemment défnes rensegne rapdement sur les valeurs de la fluctuaton des débts: Moy: s : d Méd: d Mn Ma Tableau récaptulatf des valeurs numérques les plus sgnfcatves des débts de la Romanche à Roupérou d : décle (valeur non attente dans 0% des cas) Médane : Valeur non attente dans 50% des cas 9 d : 9 décle (valeur non attente dans 90% des cas Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 0 sur 65

21 Débts mensuels (en m 3 /s) de la Romanche à Roupérou de 907 à 948 AN J F M A M J J A S O N D Ann Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page sur 65

22 Fgure 3 Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page sur 65

23 III) DESCRIPTION GRAPHIQUE : Objectfs : Présenter sur un graphque les caractérstques essentelles de l'échantllon III-) HISTOGRAMME des FREQUENCES EMPIRIQUES: C'est une dée smple: on se fe des classes Ck défnes par leurs bornes [a k, a k+ ] on compte le nombre de valeurs de l'échantllon dans chaque classe Avantages : Facle à comprendre Défaut : Le nombre de classes et le cho des classes est lassé à l'ntatve de l'ndvdu S ben que pour un même échantllon, surtout s'l est de talle assez rédute (qq dzanes d'éléments), les aspects de ces hstogrammes peuvent être assez dfférents selon le cho effectué Les fgures 3 c-contre llustrent cette varablté de tracés d'un cho à l'autre C'est pourquo ce mode de descrpton n'est pas très utlsé surtout s l'échantllon est de talle assez rédute Une règle emprque consste à prendre: Nc nombre de classes + 4/3 Log(N) (avec N talle de l'échantllon et le log est Népéren) Eemple : Pour N 30, on fera envron 5 classes, pour N 50, 6 classes et pour N 00, 7 classes Le tracé de l'hstogramme, surtout avec un échantllon ben fourn, permet de supputer la forme de la densté de probablté f() (symétrque ou non, un- ou multmodale etc) et de chosr un ou des modèles possbles Ceu c seront ensute testés et valdés, mas plutôt sur la foncton de répartton Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 3 sur 65

24 *** Complément d'nterprétaton (sur l'hstogramme): Pour ader à la compréhenson, on peut donner une pette analoge "mécanque" à la moyenne: quand on construt l'hstogramme, on donne un pods de à chaque ndvdu S on consdère l'ae des comme le bras d'une balance, on peut alors chercher le pont pvot de cet ae tel que le moment des forces qu s'eercent à drote et à gauche se compensent C'est le barycentre, ou encore la moyenne On comprend alors que, s on ajoute ne serat-ce qu'un seul pont mas très écarté de la dstrbuton, son bras de lever est tel qu'l faut sensblement déplacer le pvot pour compenser son effet et rétablr l'équlbre Fgure 4 Par contre, ce pont ne modfera pas beaucoup la médane, telle que 50% des ponts sont à gauche et 50% à drote, (mas peu mporte leur élognement sur l'ae!): La médane est donc plus robuste que la moyenne De même on peut penser décrre la dsperson autour de la moyenne comme le font les mécancens pour décrre l'nerte à la rotaton d'un corps autour d'un ae S on prend un ae vertcal passant par la moyenne m, et que l'on fat tourner l'hstogramme autour de cet ae, le moment d'nerte des ponts d'abscsse et de masse sur une drote serat: n ( ) et on pourrat en prendre la moyenne par ndvdu: (cf Théorème de Huyghens: le moment d'nerte d'ordre par rapport à un ae est mnmum s cet ae est stué au centre de gravté) Ic encore, l'adjoncton d'un ndvdu élogné de l'ae augmente sensblement l'nerte de rotaton, et donc la varance emprque (qu sera mons robuste qu'un ntervalle nterdécle) Enfn, plus on consdère des moments d'ordre élevé, plus un ndvdu "etrême", un horsan, aura de pods dans le calcul de ce moment (d'où une sensblté crossante des moments à l'échantllonnage quand leur ordre augmente) On remarquera auss que des échantllons (ou des populatons) plus "étalés" ou dspersés ont évdemment une varance plus grande, et donc qu'l faut "mécanquement" plus d'énerge pour les mettre en rotaton autour de leur ae Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 4 sur 65

25 Note: Ces consdératons "mécanstes" n'ont pas pour seul but d'ader les personnes de formaton mécancenne à se raccrocher à des notons connues Elles seront souvent à la base des rasonnements utlsés en statstque multdmensonnelle (analyse en composantes prncpales, analyse dscrmnante, etc) Fgure 5 Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 5 sur 65

26 III-) COURBE des FREQUENCES CUMULEES FONCTION DE REPARTITION EMPIRIQUE Objectfs : Trouver une représentaton graphque assez complète pour décrre l'échantllon Cette fos on va chercher : - à utlser toute l'nformaton donnée par l'ensemble des valeurs (ce que l'on ne fasat pas quand on regroupat en classes avec l'hstogramme des fréquences relatves) - à antcper sur les méthodes d'ajustements probablstes (cf Chap II ) La premère dée est de tracer la courbe en escaler : F*( ) Proporton des valeurs de l'échantllon nféreures ou égales à Fréquence emprque, observée, des valeurs nféreures ou égales à est la talle de l'échantllon) Le défaut est que l'on ne donne pas la même mportance au mnmum qu'au mamum, pusque: F*(Mn) D'où l'dée des statstcens : N et F*(Ma) N (où N - s l'échantllon est tré d'une lo de probablté défne par sa foncton de répartton F() Probablté qu'une valeur X trée au hasard de la populaton sot nféreure ou égale à, - essayons de tracer à partr de l'échantllon une courbe la plus vosne de F() (en général nconnue) Cec permettra non seulement une descrpton de l'échantllon mas peut être une ade à la recherche de F() Pour cela classons les n valeurs dans l'ordre crossant d'où un échantllon de N valeurs classées On montre qu'une bonne estmaton assez smple de F(j) Pr (X j) est fourne par : F*() a N + b où a et b ont un optmum qu dépendent de la lo dont sont ssus les échantllons Il faudrat donc la connaître a pror pour ben chosr la façon de ponter les valeurs observées, alors que l on fat ce ponté justement pour essayer de détermner la lo la plus plausble On fera donc des pars et des comproms Eemples: Lo Normale (Gauss) a 0375 b 05 (cf défntons de ces los dans le chaptre II) Lo de Gumbel a 0 b Nous prendrons souvent: a 05 et b 05 ou a 05 et b 0 d'où les formules d'estmaton de la probablté emprque Pr(X ) N + ou N avec le rang de la valeur Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 6 sur 65

27 Attenton: Le cho de cette façon d'estmer la probablté et de la ponter sur un dagramme ("plottng poston" en anglas) n'est pas tout à fat neutre et a reçu une grande attenton de la part de certans auteurs (cf Yevjevtch V 97 ou Haan ChT 977, p 35 ou, plus récemment, et pour une lo partculère, l artcle de Nophadol et Nguyen 989) On verra dans l'analyse des valeurs etrêmes que cela a une certane mportance On trace ensute les ponts sur un dagramme Mas en dagramme arthmétque, où les aes O et Oy sont gradués lnéarement, les courbes obtenues ont souvent la forme d'un S (sgmoïdes) et l est dffcle d'en dédure une forme de lo et de les dstnguer C'est pourquo on utlse souvent des papers où l'échelle des F* est dstordue (paper de Gauss, paper de Gumbel) L'ntérêt de ces dagrammes fonctonnels, dts de probablté, - melleure lecture pour certanes probabltés (les etrêmes par eemple pour Gumbel) - tracé plus asé de certanes los (drote pour une lo de Gauss sur paper de Gauss) Les tableau et la fgure 5 de la page suvante llustrent cette descrpton Le paper utlsé est un paper de Gauss dont on verra la constructon par la sute Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 7 sur 65

28 Fgure 5 Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 8 sur 65

29 IV ) COMPLEMENTS THEORIQUES IV-) NOTION de PERIODE DE RETOUR: a) Varables aléatores en Hydrologe Pérode de retour, Durée de retour Quand on défnt une varable aléatore, l est fréquent qu'on lu assoce un ntervalle de temps: X Total de la plue du mos d'octobre X débt moyen annuel X3 durée d'nsolaton des mos d'été, etc X4 Plue mamale journalère de chaque année On défnt donc mplctement: - Une noton d'évènement, ou de "trage" aléatore dans l'espace des évènements - souvent assocée, dans le cas où les varables sont en fat des processus temporels se déroulant dans le temps, à un ntervalle de temps Eemples: Pour X, c'est le "mos d'octobre" (Il n'y en a qu'un par an et on consdère que les autres mos, le total pluvométrque a un comportement dfférent) Pour X, c'est l'année (On consdère que deu années successves, ben qu'aboutées, correspondent à trages "ndépendants" de la varable) Pour X3, c'est la "sason d'été" (Il n'y en a qu'une par an, car on consdère là auss que l'nsolaton a un comportement dfférent sur les autres sasons) Pour X4, c'est l'année, dans laquelle on va chercher quel est le total pluvométrque journaler le plus fort etc Quand ensute, on dt que : Pr(X α) 90%, cela sgnfe que: - s on fat un trage ndépendant de la varable X - l y a 9 chances sur 0 d'être nféreur ou égal à α Statstquement, s on fasat pluseurs fos ( par eemple K fos) des paquets de N trages ndépendants, on trouverat que, en moyenne sur les K fos, sur les N trages d un paquet, 00N dépassent α (même s pour un paquet donné de N trages, on peut avor un résultat dfférent de 00N) On dra alors que la valeur α est dépassée en moyenne fos tous les 0 trages Par abus de langage, on dt que la valeur α "revent" en moyenne tous les 0 trages et donc qu'elle a une "pérode" de retour moyenne de T 0, en fat de fos tous les 0 trages Quand en plus, chaque "trage" est assocé lu-même à un ntervalle de temps, par eemple s on ne fat que un trage par an, on dra que la valeur α, qu "revent" en moyenne tous les 0 trages, a une durée de retour moyenne de T 0 ans (eprmée dans la même unté que l'ntervalle nter-trages), et que la valeur α est décennale S, au leu de prendre un seul partculer F(α) 09, on prend un seul quelconque F( F ) F fée, avec F prse de manère quelconque [0,], alors la pérode de retour est: T F Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 9 sur 65

30 et ans: F 09 T 09 T 0 F 095 T 095 T 0 etc Eemples: S Pr (X >50 m3/s) 0, on dra que le débt moyen annuel de 50 m3/s est dépassé en moyenne trage sur 0, donc année sur 0 en moyenne, donc a une "pérode de retour" décennale De même s Pr ( X < 00 mm) 09, on dra que la valeur 00 mm est dépassée en moyenne trage sur 0, donc mos d'octobre sur 0, et donc a une pérode de retour décennale (car l n'y a qu'un mos d'octobre et donc qu'un trage possble par an) De même pour X3 b) Complément sur les probabltés emprques (et les ajustements graphques) On a vu dans l'analyse des échantllons qu'l fallat assocer à chaque valeur de rang une probablté emprque au non dépassement La plus smple consste à prendre: F*( ) Pr (X ) S pour llustrer, on prend N 00, on vot que: N F( ) 00 mas que F( N )! Cec est gênant pusqu'alors Pr (X > N ) 0! or on a toute rason de penser que s on augmente l'échantllon on trouvera des valeurs supéreures à N 0 5 P N C'est pourquo on a "brcolé" des formules de la forme:, on vot que ( avec N 00): P(X ) 0005 et P(X< N ) 0995 ou P(X> N ) 0005 Dans le cas de Sot encore, en terme de pérode de retour: on consdère, et on mpose, par cette formule que les valeurs et 00, mn et ma d'un échantllon de 00 valeurs, revennent en moyenne fos tous les 00 trages Dans le cas où on chost une formule, tout auss symétrque entre mn et ma: P N + on vot que ( avec N 00 ) cela revent à consdérer que: P(X ) 00 et P(X> N ) 00 a P N + b sot encore que, en terme de pérode de retour, l revennent tous les 00 trages, sot deu fos plus souvent qu'avec la formule précédente Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 30 sur 65

31 Par contre la probablté de l'évènement médan, 50, reste dans les deu formules très proche de 50% et la pérode de retour correspondante proche de Conclusons: Il faut donc consdérer que :la probablté emprque est proche de la probablté réelle, (- ou au mons est estmée de façon stable -), dans la parte centrale de l'échantllon, mas certanement pas dans les queues de la dstrbuton à gauche et à drote En conséquence, dans les ajustements graphques, l faudrat pondérer plus fablement les ponts etrêmes, car on leur a attrbué une probablté emprque parfos élognée de la réalté, et surtout trop dépendante de la formule d'estmaton retenue Notons cependant que la formule fréquents, et donc va dans le sens d'une certane sécurté P tend à consdérer les évènements etrêmes comme plus N + Ces notons de durée de retour seront largement utlsées en Hydrologe de Projet Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 3 sur 65

32 IV-) CHANGEMENTS de VARIABLES: ( * ) Sot une varable aléatore X dont la densté de probablté est f() On va souvent chercher à savor quelle est la forme de la dstrbuton de la varable aléatore U, obtenue par une transformaton U g(x) On appellera cette nouvelle dstrbuton, e la densté de probablté de U, h(u) On montre alors, (cf Benjamn and Cornell 970) que: sot encore: hu f d du ( ) ( ) g avec ( u) et g'( g ( u)) du d hu ( ) f g ( u) g' g ( u) Eemple: (tré de T Haan) Sot une varable X varant entre 0 et 5 et de densté de probablté f ( ) 3 5 On vérfe que: t t F( ) f ( t) dt dt et donc que F(0) 0 et F(5) On consdère mantenant la varable U X² avec cette fos 0 U 5 alors: U g( X ) X X g ( U ) U de plus: du g'( X) X g' g ( U) d U S on reporte dans : hu ( ) f g ( u) g' g ( u) alors f g ( u) hu ( ) g' g ( u) 3( u) 5 u 3 u 5 On peut même vérfer que h(u) est ben une densté de probablté Par eemple: u5 u0 h ( u) du 5 u5 u0 3 u du 5 u Utlsaton: Il arrvera fréquemment que, après transformaton de la varable d'ntérêt, la varable transformée suve une lo "smple" et pratque à manpuler On fera donc référence en quelques occasons à ce paragraphe Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 3 sur 65

33 BIBLIOGRAPHIE: BENJAMIN JR and CORNELL CA (970) Probablty, Statstcs and Decson for Cvl Engneers Mac Graw Hll Pub Comp 684 p Groupe CHADULE (974) Intaton au méthodes statstques en Géographe (Ouvrage collectf) Masson et Ce ed 9 p (Ouvrage probablement épusé mas dsponble en bblothèque) HAAN Ch T (977) Statstcal Methods n Hydrology Iowa state Unversty Press ème ed 979, 378 p KOTTEGODA NT and R ROSSO (997) Probablty, Statstcs and Relablty for Cvl Engneers and Envronmental Engneers The Mac Graw Hll Pub Comp Inc 735 p MORLAT G (954) Les méthodes statstques Conférences fates par G Morlat du Avrl au 9 Jun 95 rassemblées dans un ouvrage Drecton des Etudes et Recherches d'edf -( Pour les bblophles : dsponble en photocope auprès du servce de documentaton d'edf) NOPHADOL IN-NA and VAN-THANH- VAN NGUYEN (989) An unbased plottng poston formula for the general etreme value dstrbuton Journal of Hydrology, vol 06, p VIALAR 986 Probabltés et Statstques (5 fasccules) Cours de l'ecole Natonale de la Météorologe YEVJEVICH V (97) Probablty and Statstcs n Hydrology Water Ressources Publcatons Ed Fort Collns Co USA 30 p (Ouvrage très complet sur les modèles probablstes- le Pr Yevjevch est sort de l'ens d' Hydraulque de Grenoble en 939) Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 33 sur 65

34 Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 34 sur 65

35 ère Parte : MODELES PROBABILISTES CHAPITRE II MODELES PROBABILISTES LES PLUS COURANTS 35 I-) GENERALITES sur les LOIS de PROBABILITE 37 I-) Objectfs du chaptre 37 I-) Los de probablté paramétrées 37 I-3) Aperçu sur le calage des paramètres 39 II- FAMILLE DES LOIS NORMALES et DERIVEES: 4 II-) Lo de Gauss (dte également Lo Normale): 4 II-) Lo Lognormale (dte également Lo de GALTON) 5 II-3) Aperçu sur d'autres los dérvées 56 III- FAMILLE DES LOIS GAMMA et DERIVEES: 59 III-) Lo Gamma à paramètres (ou lo de Pearson) 59 III-) Calcul des Moments (en foncton des paramètres) 6 III-3) Tables de la lo Gamma 63 III-4) Aperçu sur les los Bêta 65 IV- FAMILLE DES LOIS EXPONENTIELLES ET VALEURS EXTRÊMES 67 IV-) Lo eponentelle 67 IV-) Etenson de la lo Eponentelle (Somme d'eponentelles) 69 IV-3) Lo de Gumbel 7 IV-4) Aperçu sur d'autres los de valeurs etrêmes (Webull et GEV) 74 V-) QUELQUES LOIS de VARIABLES DISCRETES: 77 V-) Lo de Posson 77 V-) Lo Bnomale 79 VI-) LOIS UTILISEES DANS LES TESTS d'hypotheses: 8 VI-) Lo du Ch 8 VI-) Lo de Student 8 VI-3) Lo de Fsher-Snedecor 83 Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 35 sur 65

36 Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 36 sur 65

37 ère Parte - CHAPITRE II : MODELES PROBABILISTES LES PLUS COURANTS I-) GENERALITES sur les LOIS de PROBABILITE I-) OBJECTIFS de ce CHAPITRE: Dans le chaptre I, nous avons montré quelques présentatons numérques ou graphques de séres de données, sans fare aucune hypothèse probablste sur la populaton d'orgne Dans certans cas, on peut penser que ces données peuvent être décrtes par une ou pluseurs los de probablté courantes et smples d'emplo, au mons dans une certane gamme de probablté Il est alors ntéressant de chercher à ajuster sur ces données une, ou des los pour faclter l'utlsaton numérque et parfos, sous certanes réserves, pour en trer des nformatons de type probablste Eemple : Pour dmensonner une protecton contre les crues à Grenoble, on envsage de construre des dgues Plus les dgues sont hautes, plus on est protégé, mas plus leur coût est élevé Il est donc mportant de savor calculer la probablté d'être nondé pour une hauteur de dgues donnée, afn de résoudre ensute le problème du cho de leur hauteur en termes économques Eemple : On sat, par epérence, que les plues annuelles en France sont ben décrtes par des los de Gauss (appelée lo Normale par la sute) dont les moyennes et écarts types varent consdérablement d'un endrot à l'autre La smple nformaton qu'à Grenoble la moyenne est de 00 mm et l'écart type de 300 mm permet, après consultaton d'une table de Gauss (ou utlsaton d'une calculette comportant les fonctons statstques), de calculer qu'l y a une chance sur d pour que l'an prochan, l tombe mons de 66 mm Le même type de calcul sur les plues mensuelles ou sasonnères ntéressera évdemment les agrculteurs pendant la pérode de crossance ou de récolte! Après les analyses eploratores du Chaptre I, notamment la forme de l'hstogramme, on peut déjà se fare une dée de la forme de lo de probablté adaptée à la représentaton de l'échantllon dont on dspose On va ensute chercher, parm les los que l'on connaît, s une (ou pluseurs) présente une forme analogue, susceptble d'être ajustée à l'échantllon Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 37 sur 65

38 Le but de ce chaptre II va donc être de décrre les los les plus couramment utlsées, avec pour objectf de dsposer d'une boîte à outls, plus ou mons rche et complète, plus ou mons adaptée à une grande varété de stuatons Eemple: Un mécancen peut souhater dsposer de toute la gamme des clés plates, des clés à anneau, etc, mas reconnaître auss qu'une bonne clé à mollette répond déjà "parcmoneusement" à beaucoup de stuatons!) Ensute, ayant décrt les outls dsponbles et découvert leur proprétés, l va fallor s'en servr et les ajuster au meu sur les données dsponbles: ce sera l'objet du Chaptre III Ces deu chaptres, ndssocables en pratque, ne l'ont été que pour la clarté de l'eposé I-) FONCTIONS PARAMETREES Nous ne décrrons que quelques los: les plus couramment utlsées en Hydrologe, ans que quelques autres d'ntérêt général (utlsées par eemple dans les tests d'hypothèses) Une foncton paramétrée est en fat une famlle de courbes qu se résume par une équaton unque de la varable, mas comportant des coeffcents, des paramètres, qu peuvent prendre une nfnté de valeurs Par eemple les paraboles se résument en un polynôme du second degré en : y (, a, b, c) a + b + c mas selon les valeurs que l'on donnera au paramètres a,b,c, on aura une nfnté de courbes possbles De même la plupart des los de probablté s'eprmeront sous la forme: f(, α, α,, α p ) : Densté de probablté c'est à dre que la probablté de trer au hasard une valeur de la varable aléatore X entre - d/ et +d/ est égale à f(, α, α,, α p )d De même on utlsera auss: F(, α, α,, α p ) : Foncton de répartton c'est à dre que la probablté de trer au hasard X< est F(, α, α,, α p ) Plutôt qu'une foncton partculère, ce seront donc des famlles, ou des classes de fonctons de la varable et d'un certan nombre de paramètres α k Ces fonctons théorques correspondront en quelque sorte au fonctons emprques que sont l'hstogramme de fréquences relatves (Densté de probablté) et le dagramme des fréquences cumulées (Foncton de répartton) vues au chaptre I Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 38 sur 65

39 I-3) APERCU sur le CALAGE des PARAMETRES: Pour détermner les paramètres α k, pluseurs méthodes seront utlsées; nous décrrons les plus classques dans le chaptre III, en détallant le calcul pour certanes los Dans ce chaptre, nous nssterons donc parfos sur certanes proprétés mathématques des los: c'est parce qu'elles sont utles ensute dans la mse en oeuvre des technques d'ajustement Sgnalons donc smplement, parm ces technques: a)-méthode des Moments : Sot f(, α, α,α p ) la famlle de los (-une epresson théorque paramétrée-), et sot un échantllon de n valeurs de la varable X Dans cette famlle de los, on chosra la lo spécfque (-donc on chosra les valeurs spécfques des paramètres α, α,α p -) telle que: p Moments théorques de cette lo f(,) soent égau au : p Moments emprques correspondants, calculés sur les D'où un système plus ou mons complqué de p équatons à p nconnues (- les α k -), qu nécesste d'eplcter les relatons entre les paramètres et l'epresson théorque de ces moments Cette méthode donne pour de nombreuses los des résultats smples, auss est-elle couramment utlsée Mas elle donne beaucoup de pods au valeurs etrêmes, ce qu peut être problématque b)- Méthode du Mamum de Vrasemblance : La probablté d'avor eu dans l'échantllon une valeur comprse entre + d/ et - d/ est, selon la lo défne par sa foncton densté : f(, α,, α p )d Pr ( - d/ < X < + d/) S les valeurs sont ndépendantes, la probablté d'avor tré (dans n'mporte quel ordre) les n valeurs,,, n (à plus ou mons d/) est le produt de ces n probabltés; c'est donc une foncton des p paramètres pour les n valeurs données La méthode du mamum de vrasemblance consste à mamser cette probablté, c'est à dre chosr les valeurs des p paramètres qu rendent cet échantllon le plus probable possble, au vu d'une lo chose préalablement La résoluton analytque de cette mamsaton est plus ou mons smple selon les los c) Méthode graphque Elle consste à trouver un dagramme fonctonnel tel que: - s l'échantllon sut rasonnablement la lo pour laquelle ce dagramme a été conçu, - alors cela se tradura par un algnement, selon une drote, facle à apprécer à l'oel Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 39 sur 65

40 S la pratque en est asée, la concepton du dagramme dot être ben comprse et repose sur une bonne compréhenson des proprétés de la lo chose On vot donc que ces méthodes nécesstent auss une bonne connassance analytque des dfférentes los et de leurs moments, ce que nous allons étuder c-après Nous présenterons d'abord quelques famlles de los couramment utlsées en Hydrologe pour des varables réelles, pus quelques los approprées à des varables dscrètes (- prenant seulement des valeurs entères-) Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 40 sur 65

41 II- FAMILLE DES LOIS NORMALES et DERIVEES: II--) LOI de GAUSS (dte également Lo Normale): a) Forme analytque: C'est une lo à paramètres α et β La densté de probablté s'écrt: f (, α, β ) e α π β α et la Foncton de répartton, que l on écrra souvent ( α, β ) paramètres α, β : et Prob( X ) F(,α, β) F (, α, β ) e α π N pour lo Normale de tβ α dt N( β, α) S on effectue sur la transformaton lnéare : u β, on peut montrer que la α nouvelle varable u sut encore une lo de Gauss (- on le démontrera et on l'utlsera pluseurs fos c-après -) Donc toutes les los de Gauss peuvent se ramener à la même lo normale centrée rédute N(0,) dte lo standard, calculée l y a un sècle! De même on peut revenr de N(0,) à N ( α, β ) En effet, nous allons vor que les paramètres sont tels que β est la moyenne et α l'écart type Caractérstques essentelles de cette lo : - symétrque (d'où Moyenne Médane ), et la moyenne correspond auss à la probablté de 50% au non dépassement) - unmodale (la foncton densté n'a qu'un mamum: Mode Moyenne β µ) - non bornée à drote comme à gauche Intérêt de cette lo : On démontre que, sous certanes restrctons: - s X est la somme de k varables aléatores ndépendantes, trées dans des los quelconques - mas d ordres de grandeur vosns en moyenne et écart-type, - alors, s le nombre k tend vers l'nfn, X sut une lo de Gauss (En fat l sufft que k dépasse une dzane pour que cela consttue déjà une bonne appromaton) Ph Bos, Ch Obled Verson /0/007 Page 4 sur 65