MATH Travailler en confiance

Transcription

1 NUVEU PRGRMME Sous la direction de ndré ntibi MTH Travailler en confiance ndré ntibi avec orinne roc Marie-Françoise Lallemand Serge Nogarède Jean-Paul Roumilhac Livre du professeur Nathan 00

2 SMMIRE Généralités sur les fonctions ons Epressions algébriques Équations Fonctions de référence 7 Inéquations oordonnées d un point Droites 8 6 onfigurations Trigonométrie rie 9 7 Vecteurs 6 8 Géométrie dans l espace 70 9 Statistiques 78 0 Simulations Échantillonnage 86 Probabilités 9

3 HPITRE Généralité sur les fonctions LES EXERIES Sur les capacités c Trouver une formule a) S() = b) S(0) = 00 La somme due est 00 euros a) V = 00(0 ) b) V = 00 pour = Le théorème de Thalès appliqué dans le triangle D nous donne : DI D = DJ D = IJ, d où a = IJ = DJ a avec = a (en effet, = D + D, d où = a ) n en déduit que IJ = et DJ = Le théorème de Pthagore appliqué dans le triangle rectangle isocèle DHI nous donne la relation suivante : DH + IJ = DI D où DH = = = DH = a) DH = a pour = a b) a est la longueur de D Pour que DH soit égale à la demi-diagonale, il faut donc que H soit le centre du carré et que = a Pour t =, gt, M a parcouru, m après secondes a) = gt, d où t = 6 g b) Pour = 00, t = 6600 g soit environ 8 secondes a) Le volume en litres au bout de t secondes est : V = t = ,0t 600 b) n cherche V tel que V = t = 0 0 soit t =, (en heures) Soit environ 9 jours et 6 heures c Ensemble de définition 6 D f = { ; } ; D g = [ ; + ] ; D h = 7 D f = D ; D g = D ; D h = D 8 D f = D ; D g = D ; D h = D ; D i = D 9 D f = D ; D g = D ; D h = D ; D i = D 0 Fonction : oui ou non? a) La courbe dessinée n est pas une représentation de fonction : la droite d d équation = par eemple rencontre deu fois cette courbe a deu images, ce qui est impossible par une fonction b) La courbe dessinée est représentative d une fonction D = [ ; ] a) f() = ; b) f(0) = ; c) f( ) = f(0) = 0 a) L image de par la fonction f est nulle b) L image de par la fonction f est c) L image de 0 par la fonction g est a) f(0) = 0 ; b) f( ) = a) L ensemble de définition est constitué des trente élèves de la classe b) ucun élève de la classe n est associé à une taille de m a) D f = b) f(0) = 0 ; f( ) = 8 6 a) D f = {k / k }

4 7 f () = + ; f () = + ; f () = + ; f () = 7 ( ) 8 f() = + 00 a) min = min = 00 ma = ma = 60 De en sur l ae des abscisses De 80 en 80 sur l ae des ordonnées b) 0 + f 00 9 a) Vrai b) Fau c) Fau d) Vrai e) Vrai f) Vrai Justifications : a) La courbe passe par l origine b) est compris dans D f c) f() = 0 d) La courbe passe par le point ( ; ) e) f() = 0 f) 0 et, par eemple, ont la même image par f c Image d un nombre 0 f() = + + f() = ; f(0) = ; f( ) = 7 ; f() = + f() = + a) f( ) = ; f(0) = ; f() = ; f() = b) f(t) = f t = + t = + t ; f t = t t + + t = + t ; f() = ( ) ( + )( ) a) D = ; b) f() = 0 ; f(0) = ; f( ) = 6 ; f() = g( ) = 0 ; g( ) = 0 ; g() = 0 ; g() = 0 f() = sa courbe représentative car f( ) = 0 et non ; car f() = car f(0) = ; D car f() = et non f() = sa courbe représentative + car f(0) = ; car f( ) = et non car f() = ; D car f( ) = et non f() = + sa courbe représentative car f() = et donc car f() car f = 7 ( + ) a) D f = ; f() = b) 0 f() a) D f = * ; f() = + b) f( ) = 0 ; f = 0 ; f = 8 9 a) f() = + ; f(0) = 7 ; f() = 6 ; f() = ; f = b) g() = g() = ( + )() Vérification à la calculatrice 8 = + 6 ; g(0) = 0 00 = 6 8 ; g() = ; g = 7 9 c ntécédents d un nombre 0 a), et sont les antécédents de par f b) et sont les antécédents de 0 par f c) est l antécédent de par f ; = 6 a) f( ) = ; f( ) = ; f() = b),9 et sont les antécédents de par f et sont les antécédents de par f c) Tous les réels strictement inférieurs à n admettent aucun antécédent par f insi que tous les réels strictement supérieurs à 0 est un antécédent de par f est un antécédent de par f est un antécédent de 0 par f a) D f = [0 ; + [ b) f(0) = ; f() = + ; f() = 0 est un antécédent de par f est un antécédent de par f 0 n admet pas d antécédent par f car l équation + = 0 n admet pas de solution 0 est un antécédent de par f est un antécédent de par f est un antécédent de par f a) Tous les réels strictement supérieurs à ont eactement deu antécédents par f b) est le seul réel qui admet un et un seul antécédent par f

5 c) Tous les réels strictement inférieurs à n admettent aucun antécédent par f a) b) et sont les antécédents de par f est l antécédent de par f 0 et sont les antécédents de 0 par f c) Tous les réels strictement supérieurs à ou strictement inférieurs à 0 n ont aucun antécédent par f 0 c Lecture graphique 6 f est croissante sur [ ; 0] et décroissante sur [0 ; ] 0 0 f 7 0 f 8 f est décroissante sur [ ; 0] [ ; ] f est croissante sur [0 ; ] [ ; ] 0 f 0 Le maimum de f est 0 Le minimum de f est 9 La courbe représentative de f est la ➃ La courbe représentative de g est la ➁ La courbe représentative de h est la ➂ La courbe représentative de k est la ➀ c6 D un tableau à une courbe a) Puisque f est croissante sur [ ; + [, et >, on doit avoir f() > f() Il est impossible d avoir f() = b) Puisque f est croissante sur ] ; ], et 0 <, on doit avoir f(0) < f() Il est impossible d avoir f(0) = 0 c7 omparaison d images 0 6 f est croissante sur [ 0 ; 0], on a donc f( ) < f(0) < f() 7 f est croissante sur [ ; 0], on a donc f( ) > f(0) > f() 8 f est croissante sur [ ; ], on a donc f( ) < f(0) < f() hapitre Généralité sur les fonctions

6 9 f est croissante sur [0 ; ], on a donc f(0) < f() f est décroissante sur [ ; 0], on a donc f( ) > f(0) f( ) et f() ne peuvent en revanche être comparées 0 f est croissante sur [ ; 0], on a donc f( ) < f(,) f est décroissante sur [0 ; ], on a donc f(0,) > f() f() < et f(7) =, donc f() < f(7) f( ) = et f() > 0, donc f( ) < f() f() > f() car f est décroissante sur [0 ; ] f(8) < f(0) car f est décroissante sur [ ; 0] f() < f() car f() < 0 et f() > 0 a) u 0 janvier, la température était négative car f est décroissante sur [ ; 0] et f() = 0 b) u janvier, la température était positive car f est décroissante sur [0 ; ] et f() = c) n ne peut pas comparer les températures des et 9 janvier n pourrait avoir : le : 6 ; le 9 : ou le : ; le 9 : a) Vrai car < et f croissante sur [ ; ] b) Fau car < et f croissante sur [ ; ] c) Fau car < 0 et f croissante sur [ ; ] d) Vrai car < et f décroissante sur [ ; 6] e) n ne peut pas savoir f) Fau car < et f croissante sur [ ; ] a) Vrai car, < et f croissante sur [ ; ] b) Vrai car f(,) < f( ) avec f( ) = 0 et f() = c) Vrai car est le minimum de f sur [ ; ] d) n ne peut pas savoir e) n ne peut pas savoir f) Vrai car f() > et f(0) = g) Vrai car le maimum de f sur [ ; 0] est 0 c8 Ensemble des tels que f() k a) [ ; ] ; b) [ ; 0[ ]0; ] a) [ ; ] ; b) ] ; [ 6 a) [ 0 ; 8] ; b) [ 0 ; [ ] ; 8] a) [ 0 ; 8] ; b) ] 0 ; 8[ 7 a) [0; 0] ; b) [0; 0[ a) [0; 0] ; b) [0; 0[ a) ]0; 0] ; b) ]0; 0[ 8 a) [ ; ] b) { } [ ; ] c) ] ; [ d) 9 a) Fau b) Vrai c) Vrai d) Vrai ]0 ; [ 60 a) ] ; [ ] ; 6] b) [ 6 ; ] 6 * a) 0, b) ] 0, ; 0,[ ], ; ] c) = Trouvez l erreur, 0 6 Si f(u) < f(v), alors on a f(u) f(v) Donc f est croissante sur I 6 f() = est donc solution de f() LES EXERIES Problèmes 6 a) D f = [ ; ] b) f( ) = ; f() = ; f(0) = ; f() = c) admet deu antécédents par f, et admet antécédent par f admet antécédent par f d) ucun réel admet trois antécédents par f e) 0 f() 6 Pour les mariages (courbe violette) f() Pour les pacs (courbe rouge) g() 89 6

7 Les mariages ont augmenté de 999 à 00 et de 00 à 00 Ils ont diminué de 00 à 00 et de 00 à 008 Les pacs ont augmenté de 999 à 000 et de 00 à 008 Ils ont diminué de 000 à 00 a) f() + g() b) Graphique tracé à l aide du tableau précédent a) f(a) = (0 a) a b) D = ]0 ; 0[ c) f() = et f(9) = 6, donc f n est pas croissante sur D f() = et f() =, donc f n est pas décroissante sur D 69 a) T N(T) 00, 7, 00,6,9 6,8 8,8 7 0 N(T) (en hertz) année c) Le total des mariages et des pacs a augmenté de 999 à 000, puis diminué jusqu en 00, puis augmenté jusqu en 00, diminué de 00 à 00, augmenté de 00 à 00, diminué de 00 à 006 et augmenté de 006 à a) 00 kg ; 000 kg ; 00 kg b) Environ, m c) (00 000) + (0 00) = (kg) 67, a) et b) T (en newtons) b) f est croissante sur [0; 800] 0 a pour antécédent, graphiquement, 8 Par le calcul, 0T = 0 pour T =, c est-à-dire T = = 8 0T = pour T = 7,, donc on ne peut pas obtenir «do» 0T = 98 pour T = 9, donc on peut obtenir «sol» 0T = 97 pour T = 88, donc on ne peut pas obtenir «ré» Graphiquement : N(0) 8 ; N(70) 7 < 8, donc on ne peut pas obtenir «do» 8 < 98 < 97, donc on peut obtenir «sol» 7 < 97, donc on ne peut pas obtenir «ré»,7,6,, 0,9 0,8 productivité (en t ha an ) 70 a) D f = {0 ; ; ; ; ; ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} b) f(6) = 0,8 ; f(0) = 0 ; f(9) = 0, c) est l antécédent de 0,60 par f 7 est l antécédent de 0,77 par f 0 est l antécédent de 0 par f a) ourbe 0, 0, Intensité I (en ampères) pluviosité (en mm) Unités conseillées : cm en abscisse pour 0 mm et cm pour t ha an en ordonnée c) = 0,0 0, a), ; b),6 Remarque : Il s agit d une solution possible n peut, bien sûr, proposer d autres droites 0, 0, 0, Tension (en volts) b) Les points semblent alignés c) U = RI, d où I = U R hapitre Généralité sur les fonctions

8 Il a proportionnalité entre I et U, ce qui est cohérent avec le b) Ici, R,6 Ω 7 a) Le avril 007, il faisait 7 environ Le avril 009, il faisait 0 environ b) Le avril 007, il faisait 8 environ Le avril 009, il faisait 0, environ c) Le 0 avril 007, il faisait environ Le 0 avril 009, il faisait environ Il faisait la même température le 8 avril en 007 et en 009 Le avril l écart de température a été le plus grand 7 a) Jours Entrées Entrées 6 7 Jours 7 f() a) b) a) Le poids moen d un enfant de ans et demi est d environ kg, d un enfant de mois est de 6 kg, et de 9 mois est d environ 8, kg, b) L âge d un enfant de kg est d environ ans et demi 7 a) Dorothée a parlé en premier b) nouk a parlé en dernier a) Dorothée parla pendant 6 secondes d une voi normale nouk lui a répondu pendant secondes en parlant de plus en plus fort Pendant secondes, elles parlèrent en même temps sur un ton au-dessus de la normale nouk continua à parler seule pendant secondes de plus en plus fort nouk continua à parler de plus en plus fort pendant secondes Dorothée parla elle aussi en même temps de plus en plus fort Puis pendant 7 secondes, elles parlèrent toutes les deu de moins en moins fort nouk parla encore, seule, d une voi normale pendant secondes b) Entre la 0 e et la e seconde, Dorothée a parlé le plus fort, puis c est nouk qui a parlé le plus fort pendant les 0 secondes suivantes 7 a) La droite verticale passant par smbolise le cœur de l œil du cclone La smétrie des courbes, et montre que les effets du cclone sont ressentis de la même façon lorsqu on se déplace sur des cercles centrés sur l œil du cclone b) La pression atmosphérique diminue régulièrement plus on s approche de l œil du cclone La température à 000 m augmente régulièrement plus on s approche de l œil du cclone La vitesse des vents au niveau des sols augmente plus on approche de l œil du cclone et diminue dès qu on entre dans celui-ci c) Distance au centre (en km) Pression atmosphérique (en hpa) Température à 000 m (en ) Vitesse des vents (en km/h) < Poids (en kg) 76 a) Âge (en mois) Deu fonctions possibles n = 6

9 b) a) Pour =, 98 b) = + 0π 98, 78 a) n = ucune fonction car nécessairement f() = 0 et on ne peut donc pas réaliser f(6) = 0 c) sin 0 0, 0,866 0, sin 0, 0,866 0,866 0 b) P est vraie P est fausse Le maimum de la fonction sinus est n = Deu fonctions possibles d) 0,,6,8 6 n = ucune fonction car nécessairement f(,8) = 0 et on ne peut pas réaliser f(6) = 0 Lorsque n est impair, on ne peut pas avoir n segments et f(6) = 0 : la fonction n eiste pas Lorsque n est pair, [0 ; 6] est partagé en n intervalles ; sur chaque intervalle le coefficient directeur du segment est + ou (valeurs alternées pour obtenir des segments différents) il a donc deu fonctions possibles 77 = + π ourbe tracée sur la calculatrice = + π 79 Si est situé avant l origine, M a une abscisse négative Le résultat du calcul de l aire est le même qu avec une abscisse égale à Les ordonnées des points M d abscisse et M d abscisse sont les mêmes n a isocèle en et k = 60 est donc équilatéral = L aire de est et () = M a pour abscisse, c est-à-dire et pour ordonnée () L équation de la courbe décrite par M dans la partie est donc = 80 Les points M d abscisse ou M d abscisse ont même ordonnée p La courbe décrite par M est smétrique par rapport à l ae des ordonnées Posons = p = si est situé après, c est-à-dire si M a pour abscisse p = si est situé avant, c est-à-dire si M a pour abscisse LES EXERIES lgorithmique pour tous 8 a) Dans l algorithme précédent, on prend pour f la fonction ; on prend a =, b = Ensuite, on prend successivement N =, N = puis N = b) n peut vérifier que pour N =, on obtient la courbe indiquée dans l énoncé Graphique : 8 Tracé, dans un repère orthonormé, de la droite d équation = +, et tracé par points de la courbe représentative de la fonction F() = +, sur l intervalle [ ; ] (N = 0, soit points) 0 hapitre Généralité sur les fonctions 7

10 8 orrigé dans le manuel 8 a) Notons α l abscisse du point «le plus bas» de la courbe À partir du tracé obtenu pour N =, on conjecture que c < α < d, où c = + 8(8/),7 et d = + 9(8/) =,8 ; de plus : f(α) < f(c),9 D après tracé obtenu pour N = 0, α devrait être légèrement supérieure à + (8/0) =, ; de plus f(α) < f(,) =, Le tracé obtenu pour N = confirme que α est très peu différente de + (8/) =,8 ; de plus : f(α) < f(,8), Remarque : le point «le plus bas» a pour coordonnées eactes (, ;,), ce qui valide les conjectures précédentes Tracé par points de la courbe représentative de la fonction F() = +, sur l intervalle [ ; 6] (N =, soit 6 points) Graphique : 0 8 orrigé dans le manuel 87 Programme en lgoo Tracé par points de la courbe représentative de la fonction F() = sur l intervalle [ ; ] (avec «doublement» du nombre d abscisse à chaque étape, jusqu à 8 + abscisses) ode de l algorithme VRILES a EST_DU_TYPE NMRE b EST_DU_TYPE NMRE N EST_DU_TYPE NMRE h EST_DU_TYPE NMRE k EST_DU_TYPE NMRE j EST_DU_TYPE NMRE DEUT_LGRITHME LIRE a LIRE b LIRE N h PREND_L_VLEUR b-a PUR k LLNT_DE N DEUT_PUR h PREND_L_VLEUR h/ PUR J LLNT_DE 0 à pour (k) DEUT_PUR TRER_PINT (a+j hf(a+j h)) FIN_PUR PUSE FIN_PUR FIN_LGRITHME K = ( + = 7 points) 86 Remarque initiale : + = ( ) + 0 sur [0 ; ] a) Tracé par points de la courbe représentative de la fonction F() = sqrt( ) (racine carrée de + ), sur l intervalle [0 ; ] (N = 00, soit 0 points) Graphique : 0 K = ( + = points) 0 0 Ω b) La courbe obtenue est le demi-cercle () de centre Ω( ; 0), de raon, situé du côté des 0 c) M( ; ) () ΩM = et 0 ΩM = et 0 ( ) + = et 0 = + et 0 = 9 + K = N = 8 (8 + = 7 points) 8

11 0 Les points tracés avant de rencontrer pour la première fois l instruction «Pause» ont pour abscisses a =, a + (b a)/ = 0 et b = près chaque «Pause», et reprise de l eécution de l algorithme par «ontinuer», les nouveau points tracés ont, semble-t-il, pour abscisses les milieu des abscisses des points déjà tracés Initialement h a pour valeur b a Lorsque le compteur k de la boucle «Pour» etérieure a pour valeur p( p N) : la valeur de h, à l entrée de la boucle «Pour» intérieure, est égale à (b a)/ p (puisque h a été divisé p fois par ) la boucle «Pour» intérieure fait tracer les points de la courbe d abscisses j = a + jh = a + j(b a)/ p, pour j variant de 0 à p (points que l on peut visualiser grâce à l instruction «Pause» avant de passer à la valeur suivante de k) Quand k prend la valeur p +, ces abscisses deviennent : a + jh/ = a + j(b a)/ p +, pour j variant de 0 à p + ; elles sont donc constituées des abscisses précédentes j et de leurs milieu Si l on supprime l instruction «Pause» : a) En lgoo, la rapidité d eécution du programme a pour conséquence que l on ne visualise que les points tracés pour k = N (d abscisses a + j(b a)/ N, variant de 0 à N ) b) Sur calculatrice, l eécution plus lente du programme laisse le temps de visualiser, certes de manière furtive, les tracés des points pour chaque valeur de k Programmes sans «Pause» sur calculatrice TI asio lrdraw lrgraph Prompt «=»? Prompt «=»? Prompt N «N=»? N H H For (K,, n) For K To N H/ H H/ H For (J, 0, ^k) For J To, ^k + J*H X + J*H X Pt-n (X, Y) Plot X, Y End Net End Net Voir note page du manuel b) Plus généralement, en algorithme, l instruction «Pause» permet d interrompre provisoirement l eécution d un programme pour prendre connaissance de résultats intermédiaires L instruction «ontinuer» fait repartir l eécution du programme LES EXERIES Pour aller plus loin** 88 Soit u et v deu réels tels que u < v f(u) f(v) = u + (u + ) = u v f(u) f(v) = (u + v)(u v) avec u v < 0 a) Si u et v sont des réels positifs ou nuls, u + v est positif ou nul, f(u) f(v) est alors négatif ou nul, ce qui signifie que f est croissante sur + b) Si u et v sont des réels négatifs ou nuls, u + v est négatif ou nul f(u) f(v) est alors positif ou nul, ce qui signifie que f est décroissante sur 89 a) (u v)(u + uv + v ) = u v b) Soit u et v deu réels tels que u < v, c est-à-dire u v < 0 : si u et v sont positifs : f(u) f(v) = u v = (u v)(u + uv + v ) avec u v < 0 ; u > 0 ; uv > 0 et v > 0 et donc f(u) f(v) < 0 f est croissante si u et v sont négatifs : u v < 0 ; u > 0 ; uv > 0 ; v > 0 et donc f(u) f(v) < 0 f est croissante si u < 0 et v > 0, on a : u < 0 et v > 0 et donc u v < 0 f est croissante onclusion : f est croissante sur 90 La fonction n est pas croissante sur E En effet, si l on pose a = et b =, on a f(a) = f() = et f(b) = f() = Donc a b et f(a) f(b) La fonction n est pas croissante sur E En effet, si l on pose a = 0 et b =, on a f(a) = et f(b) =, donc f(a) f(b) Donc a b et f(a) f(b) Donc la fonction n est pas décroissante sur E Remarque : en réalité, la fonction f est décroissante sur chacun des intervalles ] ; [ et ] ; + [, mais elle n est ni croissante, ni décroissante sur la réunion E de ces intervalles 9 Il n eiste pas de fonction affine f non constante telle qu il eiste un réel > 0 tel que, pour tout nombre, f() hapitre Généralité sur les fonctions 9

12 Supposons f croissante f() = a + b avec a > 0 Posons l antécedent de avec = b a Pour tout >, f() > f( ) et donc f() > Supposons f décroissante Posons l antécedent de avec = b a Pour tout >, f() < f( ) et donc f() < Dans les deu cas, on peut trouver un réel tel que f() ou f() 9 La propriété (P) est vraie Démonstration : soit u et v deu réels tels que u < v f est une fonction croissante sur Étudions le signe de «(f(u) + u) (f(v) + v) (f(u) + u) (f(v) + v) = f(u) f(v) + u v f(u) f(v) < 0 car f est croissante sur et u v < 0 car u < v n déduit (f(u) + u) (f(v) + v) < 0 et donc f() + strictement croissante sur 9 La propriété (P) est fausse : un contre eemple : f() = f est une fonction croissante sur I = ]0; + [ Soit u et v deu réels positifs tels que u < v f(u) f(v) = u v = v u u v avec v u > 0 et uv > 0 f(u) f(v) > 0 et donc décroissante sur ]0; + [ f 9 a) Fau car f() = b) Fau car f() = mais ] ; [ c) Vrai = 7 d) Fau car [ ; ] et f( ) = r [0 ; ] e) Fau car f() = et ] ; 7] Protocole n crée un point sur l ae des n crée le cercle de centre et de raon, c est-àdire l abscisse de, () Soit a, l aire de ce cercle et b son périmètre n construit le point M d abscisse (), et d ordonnée a π n construit le point N d abscisse () et d ordonnée b π n active les tracés des points M et N et on fait bouger le point sur l ae des pour faire varier () Problèmes ouverts 96 Prenons f définie sur par f() = + et g définie sur par g() = f est strictement croissante sur et g est strictement décroissante sur f() + g() = f + g est une fonction strictement croissante sur 97 Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par : f() = n pour [n ; n + ] n f() = + n + [n + ; n + ] ette fonction est croissante sur [n ; n + ] et décroissante sur [n + ; n + ] et ne sera jamais monotone sur [ ; + [ 9 Remarque : Pour la figure de l énoncé, il faut faire apparaître les demi-droites d équation = et = 0 0

13 HPITRE Epressions algébriques Équations LES EXERIES Sur les capacités c ssocier à un problème une epression algébrique Pour que R soit rectangle en, il faut et il suffit (Pthagore et sa réciproque) que vérifie la relation suivante : R = R + soit =, =,66 L aire de la partie colorée est : = ( + ) = + et doivent vérifier + = 00 Le volume V de cette pièce est : V = + ( + ) = doit donc vérifier : = soit = 0 Soit le nombre total de sièges : = = Le volume V de chocolat mangé par le professeur après chaque heure est : V = π + où est le côté du cube V = π + Pour que V soit égal à 6 cm, il faut que vérifie la relation : π + = 6, soit =,7 cm 8 π a) Pour marches : 0 cubes Pour marches : cubes Pour 6 marches : cubes b) Le nombre de caisses nécessaires pour construire n marches est : S = n + (n ) + (n ) + + soit aussi : S = + () + () + () + + (n) n a donc S = (n + ) + (n + ) + (n + ) + + (n + ) S = n (n + ) n (n + ) S = c hoisir la forme la plus adaptée d une écriture 7 ( )( + ) = + = + a) (0) = avec () b) () = ( ) = 0 avec () c) () = 0 = ou = avec () 8 a) ( + ) = + + = + + b) ( + ) = ( + )( + + ) = ( + )( + ) a) () = 0 = ou = avec () b) () = + = 0 = 0 ou = avec () c) () = ( + ) = 0 = avec () d) () = 8 ( + ) 8 = 0 = ou = avec () 9 a) ( + )( + ) = = + + b) ( + ) = = + + () = = + avec () = 0 avec () 0 ( + )( ) = + = + a) f() = 0 = avec la forme factorisée b) f() = + = 0 ( ) = 0 = 0 ou =

14 D = {} Pour tout de D, = ( )( + ) = + c Développer, factoriser 9 Forme factorisée :, D Forme développée :, 0 = G ; = F ; = E ; D = H = ; = = ; = + a) D = { } b) Pour tout de D : + = ( )( + )( + ) + c) g() = 0 = = ( )( + ) ( + )( + ) = a) f(0) = avec la forme développée b) f() = 0 ( + )( + ) = 0 = f() 0 ( + )( + ) D où f coupe () au point d abscisse, au-dessus de pour et est au-dessous sinon f() = + f() = ( + )( ) a) f(0) = avec la forme développée f() = 0 et f( ) = 0 avec la forme factorisée f( ) = avec la forme initiale f() = avec la forme développée b) f() = 0 ( + )( ) = 0 = ou = f() = 9 + = ( + )( ) a) ( + )( ) = 0 = ou = b) ( + ) 9 = 9 ( + ) = 0 = c) 9 + = ( + ) = 0 = 0 ou = 6 a) Non b) f() = ( + ) c) () = ( )( + ) d) S = { ; } 7 a) () = ( + ) 9 = ( + )( ) b) S = { ; } 8 a) Pour dans *, n n + = n + n n(n + ) = n(n + ) b) n(n + ) = n n + = n + = + 0 ; = = + ; = + 6 = + ; = = + + ; = = ; = = ; = + 9 = 8 ; = 0 = (a + b) c = a + ab + b c ; = (a + c) b = a + ac + c b = + + z + + z + z ; = + + z + z z = ; = + = ( + )( + ) + ( + ) = ( + )( + ) ; = ( )( + ) ( )( + ) = ( ) = ( )( + ) + ( ) = ( )( + ) ; = ( )( ) ( ) = ( )( ) = + = ( + ) ; = ( + ) + ( + )( ) = ( + )( + ) = ( + )( ) 6 = ( )( ) + ( ) = ( )( + ) ; = ( )( ) + ( ) = ( )( 8) 7 = ( )( + ) ; = ( )( + ) 8 = ( )( + ) ; = ( 7)( + 7) 9 = ( )( + 6) ; = (7 )( ) 0 = ( )( + ) = ( )( + )( + ) ; = (9 )(9 + ) = ( )( + )(9 + ) = ( + ) ; = ( ) = ( + ) ; = ( + ) = ( + ) ; = ( )

15 = ( ) = ( ) ( + ) ; = ( + ) = ( ) ( ) = ( )( 8) ; = ( )( ) 6 = ( ) ( ) = ( )( 7) ; = ( )( + ) + ( )( ) = ( )( 7) 7 = ( + ) ( + )( ) = ( + )( + ) = ( + )( + ) ; = ( )( + ) + ( + ) = ( + )( + ) = ( + )( + ) 8 = ( + ) + ( + ) = ( + )( + ) ; = ( ) + = ( )( + ) 9 D f = {} f() = ; D g = * g() = 0 D f = { ; } f() = ; D g = 0 ; g() = ( ) D f = { ; 0 ; } f() = + ( ) D g = { ; } g() = D f = ; 7 + f() = 9 = ; D g = {; ; } g() = ( )( )( ) c Mettre un problème en équation Soit, + et + les trois naturels cherchés e sont les mesures des côtés du triangle rectangle + est la mesure de l hpoténuse ( + ) = + ( + ) () ( + ) = ( + + )( + ) = ( + ) L équation devient ( + ) = ( + ) soit encore ( + )( ) = 0 () S = { ; } Seule, la solution convient car Les trois entiers cherchés sont, et Soit l entier naturel cherché L équation à résoudre est = 6 7 est le nombre cherché Soit n et n + les deu entiers naturels pairs cherchés n cherche n tel que n + n + = 00 n trouve n = 0 Les nombres cherchés sont 00 et 006 ; 6 Soit n +, n + et n + les nombres entiers naturels impairs cherchés n cherche n tel que n + + n + + n + = 0 n trouve 6n + 9 = 0 Il n a pas de solution entière n ne peut donc trouver de tels entiers 7 Soit la mesure du côté cherché L équation à résoudre est ( + ) = + La mesure du côté est cm 8 Soit la largeur du rectangle L équation à résoudre est = 700 La solution est 0 Les dimensions du rectangle sont 0 m et 90 m c Résolution d équations 9 a) = ( + )( ) ; S = { ; } b) 9 = ( + )( ) ; S = ; 60 a) ( + )( ) = 0 = ou = b) ( )( ) = 0 = ou = 6 a) ( 7) = 0 = 0 ou = 7 b) ( )( + ) = 0 = ou = 6 (9 ) = 0 = 0 ou = ou = 7 ( ) = 0 = 0 ou = ou = 6 a) [( + ) ( ) ] = 0 ( + 0 ) = = = 0 ( ) = 0 = 0 ou = ou = b) ( )( + ) = 0 = ou = 6 f() = = ( + )( + ) (0 ; ) a) f() = 0 ( + )( + )= 0 = ou = b) f() = + 6 = 0 = 6 ou = 0 6 a) f() = b) f() = 0 si, et seulement, si =, c est-à-dire si, et seulement, si = S = {} 66 a) S = { } ; b) S = {} 67 a) ; S = 68 a) et ; S = { } 69 ; S = {} 70 0 ; S = { ; } b) ; S = { } hapitre Epressions algébriques Équations

16 7 et ; S = {0} 7 a) ; S = b) et ; S = 7 a) 0 ; S = { } b) 0 ; S = {} 7 a) 0 et ; S = { ; } b) et ; S = ; LES EXERIES Problèmes 7 b) L,6,077 n veut montrer que L = L ( : longueur ; L : la largeur) Soit encore que L L = c est-à-dire encore L L = 0 r on sait par hpothèse que : L = L +, c est-à-dire que L L = 0 L onclusion : le nouveau rectangle est un rectangle d or a) L = L + L L = + L = + et > 0 b) = + = + = 0 c) ( ) = = d) = 0 + = 0 = ou = + e) Le nombre d or est un réel positif et il est solution de l équation précédente, d où il est égal à : +,68 Le e rectangle dessiné dans le tete a un rapport L très voisin du nombre d or Il avait été qualifié d harmonieu 76 a) = πa : Vraie b) = πa : Vraie 77 Le volume V du trou doit être tel que : 7700 V 700 V = 0,00 Soit V = 0,00000 (en m ) n cherche h, sa hauteur en mètres tel que : π (0,00) h = 0,00000 Soit h = 0,0 (en m) π 78 a) () = π + π 8 = π, ]0; 8[ b) [IJ] privé de I et de J, avec I(0 ; π) et J(8 ; π) a) S() = π() + π π 8 = π b) S() + S(7) = 6π ; S() + S(6) = 6π ; S() + S() = 6π Remarque : 6π est l aire du disque limité par c) S() = 8π pour = (M est le milieu de []) d) S(7) est l aire de la portion du disque limité par qui n est pas rose, pour = La réunion des parties d aires S() et S(7) est donc le disque tout entier : S() + S(7) = 6π Plus généralement, S() + S(8 ) = 6π S() = 8π lorsque M est le milieu de [] (S() = S(8 ) dans ce cas) 79 L aire de la partie colorée est π herchons tel que π = π n trouve = Soit environ 0, cm 8 80 n lit b 7 a = c = E = H = avec H = et D = 8, d où b = DE = D E = 7 8,88 Utilisons le théorème de Thalès dans H n obtient M = K H De même dans, on obtient M = MN D où K H = MN Pour que MNPQ soit un carré, il faut avoir MN = MQ = n a donc la relation suivante donne = 8 =,87 n retrouve la conjecture faite au =, ce qui nous 8 onjecture : pour que () soit minimale :, (),87 ( ) ire de MQ : = + ( ) ire de NM : = + () = D MQ NM = = + 6 = () () est minimale pour = () vaut alors 8 n retrouve les résultats du

17 8 onjecture : pour que l aire de MN soit égale à l aire de MN, on doit avoir, L aire sera alors environ égale à, () = = ( + ) () = h avec h la hauteur de MN d où h = = () = ( ) ( ) () = () ( ) = = = soit =, Dans ce cas, on a () = 8 () = 8 e résultat est cohérent avec la conjecture établie au LES EXERIES lgorithmique pour tous 8 orrigé dans le manuel 8 a),8 < r <,7 b) r =, 86 a) 0,679 < r < 0,688 b) 0 L encadrement de r obtenu en a) semble en accord avec le tracé de la courbe d équation = + 87 Dans le programme en lgoo, on remplace pow(0, ) par pow(0, ) Dans les programmes asio et TI, on remplace 0^( ) par 0^( ) a) r = 8/, c), < r <, orrigé dans le manuel 89 Premier passage dans la boucle u début, la valeur de est celle qui a été saisie ; c est avec cette valeur qu est calculée l epression +, c est-à-dire f(), c est-à-dire n affiche ensuite et la valeur de Second passage dans la boucle u début, a pour valeur et donc + a pour valeur +, c est-à-dire f( ), c est-à-dire n affiche ensuite et la valeur de 0,7 P e passage dans la boucle : p est calculé ; p et p sont affichés À la fin de la boucle : n est calculé ; n et n sont affichés a) i =, = 8 b) i =, = c) i =, =, Programmes en lgoo et sur calculatrice asio : lgoo asio est un réel donné, «=»? et u un entier donné «N=»? N alcul des termes de la suite : H (0) = For I To N (p) = 0, (p ) +, p =,,,, n ode de l algorithme + I Net VRILES EST_DU_TYPE NMRE n EST_DU_TYPE NMRE i EST_DU_TYPE NMRE DEUT_LGRITHME LIRE LIRE n PUR i LLNT_DE n DEUT_PUR PREND_L_VLEUR 0,*+ FFIHER i FFIHER «,» FFIHER FIN_PUR FIN_LGRITHME Les résultats numériques ci-dessous sont ceu fournis par le programme en lgoo a) =, =, a) 9 =, , 0 =, , 9 =, , 0 =, b) La suite de nombres,,, semble se rapprocher de («converger» vers ) En effectuant de nombreu essais avec des valeurs quelconques de, on constate chaque fois cette «convergence» de la suite,,, vers n conjecture que, quelle que soit la valeur de, la suite,,, «converge» vers ) hapitre Epressions algébriques Équations

18 LES EXERIES Pour aller plus loin** 90 ( h ; 0) utiliser tan hi = I = ; ( ; h ); D(h ; 0) 9 6 fruits 9 = 6, + 7 = 9 Posons P = N = MN = P, donc = = 7 ; P = 7 9 r = (le raon est égal au deu tiers de la hauteur) 96 Soit n +, n +, n + les entiers naturels impairs cherchés L équation à résoudre est 6n = 90 Les entiers cherchés sont, et 97 À h 00, à 0 km de 98 a) Fau car pour =, ( )( + ) = 0 b) Fau car pour tout réel, < 0 c) Fau car pour =, l epression n est pas définie d) Fau car pour = 0 et = 0 ( + ) = 0 et + = 0 e) Vrai, il suffit de prendre b = a f) Vrai, il suffit de prendre a = b g) Fau car b doit être égal à a 99 a) ( )( + )( ) + = ( )( ) + b) S = ; ; ; c) S = {} d) S = { ; } e) S = ; ; 00 ( + + ) = ( + ) 8 ( + ) 8 = + = ou + = S = { ; 0} 0 Pour : + = + = ou + = + = = 0 ; + = = S = { ; 0} 0 ( ) = équivaut à = ou = = = 0 = = = ou = = = ou = S = { ; 0 ; } Problèmes ouverts impossible 0 Soit f la fonction définie sur par f() = et g la fonction définie sur par g() = a À l aide d un logiciel de géométrie, on peut tracer les deu courbes représentatives de f et de g en utilisant un curseur pour faire varier a de 0 à 0 par eemple Il eiste toujours un point d intersection au moins entre les deu courbes 0 n + a = 0 n pair : f : n est une fonction décroissante puis croissante dont le minimum est l origine du repère a = 0 : solution a > 0 : 0 solution a > 0 : solutions n impair : f : n est une fonction croissante strictement L équation admet eactement solution quel que soit le réel a n = 0 ; pour a =, tout est solution ; pour a ; aucune solution 6

19 HPITRE Fonctions de référence LES EXERIES Sur les capacités c Sens de variation de f : a + b f c) f() = + f non affine 7 a) Fau b) Fau c) Vrai 8 f() < f(), donc f est strictement croissante sur a) f() = + b) a = > 0, donc f est bien strictement croissante sur h 9 a) Non b) f est affine telle que f() < f() ; donc f est strictement croissante sur g 0 f est strictement croissante sur, donc : a) f() > f() > b) f() < f() < f() < < f est strictement croissante sur, g et h sont strictement décroissantes a) f() = b) g() = + c) h() = + d) k() = f est strictement croissante sur ; g, h et k sont strictement décroissantes f est affine et strictement croissante sur a) f() = + g() = ( + ) = + f(0) =, alors que g(0) = Donc f g b) f et g sont toutes deu strictement croissantes sur Non, car une fonction affine ne change pas de sens de variation sur 6 a) f() = ( + ) f affine strictement croissante sur b) f() = f affine et strictement décroissante sur a) f(0) =, f() =, f() = b) + c) f() a) <, donc f() f() car f est croissante r f() < 0 D où f() < 0

20 b) Non a) < 7, donc f() f(7) ; or f() > 0, d où f(7) > 0 b) 0 ] ; [ f) + 0, + 0 c Signe de a + b a) = b) + f() + 0 b) 6 a) b) a) = ; > c) b) 7 a) π f coupe () en = Sur ; +, f est au-dessus de () et sur ;, f est au-dessous de () n retrouve le tableau précédent a) + a) b) b) a) f() = c) d) e) b) g() = a avec a > 0 9 a) ( ) ( ) S = ; 8

21 b) 0 + ( ) ( ) S = ] ; + [ c) ( 6) ( ) ( ) S = ; 6 ; + a) <, donc f() < f(), c est-à-dire f() > 0 b) <, donc f( ) < f(), c est-à-dire f( ) < 0 c) 0 <, donc f(0) < f(), c est-à-dire f(0) < 0 a) b) f() = 0 et, f() > 0 c Variations de f : et g : 0 a) = ( ) b) = ( ) ( + ) c) = ( ) ( + ) b) c) a) t a = t 0 + Si t <, f est strictement décroissante sur Si t =, f est constante et égale à Si t >, f est strictement croissante sur a) b) f possède un maimum pour = f possède un minimum 0 pour = 0 7 a) Non, f est strictement décroissante sur [ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; ] b) Non, pour les mêmes raisons Remarque : une fonction qui n est pas croissante sur un intervalle n est pas nécessairement décroissante sur cet intervalle 8 a) 0 <,06 <, r la fonction carrée est strictement croissante sur + ; donc,06 <, b) 0 < π <, donc π < c) 0, < 0, < 0 r la fonction carré est strictement décroissante sur ; donc ( 0,) < ( 0,) n peut remarquer aussi que ( 0,) = 0, et ( 0,) = 0, r 0 < 0, < 0, D où 0, < 0, et donc : ( 0,) < ( 0,) 9 ( 0,) = 0, ; 0 = 0, 0 < 0, < 0, < < 0, r la fonction carré est strictement croissante sur + ; d où 0, < 0, < < (0,) 0 a) a b b) a b Non hapitre Fonctions de référence 9

22 a) Si >, alors > car la fonction carré est strictement croissante sur + b) Si <, alors > ( ), c est-à-dire >, car la fonction carré est strictement décroissante sur a) 9 6 b) 9 6 c) 0 Non De >, on peut déduire < ou > 0 + a) f() b) f possède un maimum pour = f possède un minimum pour = 6 0, < 0 < 0 < 0, < r la fonction inverse est strictement décroissante sur *, + donc 0 > 0, > es nombres sont positifs, alors que 0, < 0 D où 0, < < 0, < 0 7 a) 0 < < r la fonction inverse est strictement décroissante sur * D où + > b) π <, d où π > et donc π < puisque la fonction inverse est strictement décroissante sur * + c) < 0 et > 0 donc < 8 a) La fonction inverse est décroissante su * +, donc a b b) Elle est aussi décroissante sur *, donc a b Non, car * n est pas un intervalle insi par eemple : < et l on n a pas a > a) V K V, pour V * + b) La fonction inverse étant strictement décroissante sur * et k étant positif, la fonction précédente est + strictement décroissante sur * D où lorsque le volume + augmente, la pression diminue f(v) f(u) = v u = (v u) (v + u), du signe de v + u puisque u < v, c est-à-dire positif puisque u et v sont tous deu positifs D où si 0 u < v, alors f(u) < f(v) Donc f est strictement croissante sur + Lorsque u < v 0, f(v) f(u) est du signe de v + u, c est-à-dire négatif D où f est strictement décroissante sur * f(v) f(u) = v u = u v uv a) Négatif b) Négatif, puisqu on a dans les deu cas : uv > 0 D où f est strictement décroissante sur * et sur * + c ourbes de f : et g : a) 0 b) c) d) e) a) et b) 0 c) Pas d antécédents c) a < 0, donc a < 0 ; b > 0, donc b > 0 D où a < b 7 a) 9 9 a) < car la fonction inverse est strictement décroissante sur * + b) > car la même fonction est strictement décroissante sur * 0 a) b) Non Par eemple, si =, < on n a pas > et pourtant b) Non, car [ ; ] 0

23 8 a) S = { ; } b) S = { ; } c) S = {0} d) S = Ø 9 b) = = ou = c) Non, il signifie «au moins un» 0 k > 0 solutions k = 0 seule solution : 0 k < 0 Pas de solution d = a) 0 + b) ; ; ; c) / / a) 0 et b) = est l abscisse d un point d intersection de et de d Graphiquement, on a obtenu 0 et = = 0 ( ) = 0 = 0 ou = a) a) b) c) d) 0 n a pas d antécédents 6 = = = a) S = ]0 ; [ b) S = ; 0 c) S = ; 0 ; + b) ] ; 0[ ] ; + [, < ]0 ; [, < Pour = 0 ou =, = 7 M d a) = = b) = ( ) ( ) = H a) ; b) ; c) 0 ; 8 d hapitre Fonctions de référence

24 a) et b) = est l abscisse d un point d intersection de et de d Graphiquement, on a obtenu et = = 0 et 0 = ou = b) Mêmes résultats en ajoutant c et non pas au deu membres des inégalités 9 a) ] ; [ ]0 ; [, > ] ; 0[ ] ; + [, < Pour = ou =, = b) Fau, d après la re ligne du a) Vrai, car si naturel non nul, alors > 60 a) Fau, par eemple = ; = < b) Fau, par eemple = ; = > c) Fau, par eemple = ; = ; = et < d) Vrai : le point d abscisse 6 a) Fau : ( + ) = = ; + = b) Fau : + = ; + = 6 a) = avec > 0 b) c) = et > 0 = = = 0 et > 0 et > 0 = 6 a) 0 u < v u < v car la fonction carré est strictement croissante sur + u + < v + D où f est strictement croissante sur + u < v 0 u > v car la fonction carré est strictement décroissante sur u + > v + D où f est strictement décroissante sur 6 a) Il semble que f est strictement décroissante sur ] ; ] et qu elle est strictement croissante sur [ ; + [ b) u < v 0 u < v (u ) < (v ) car la fonction carré est strictement croissante sur + De même : u < v u < v 0 (u ) > (v ) car la fonction carré est strcitement décroissante sur D où confirmation des résultats obtenus graphiquement avec la calculatrice 6 a) f semble strictement décroissante sur ] ; [ et sur ]; + [ b) < u < v 0 < u < v u > car la v fonction inverse est strictement décroissante sur ]0; + [ De même : u < v < u < v < 0 u > car la v fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0[ D où f est strictement décroissante sur ] ; [ et sur ]; + [ 66 = = ( ) ; donc en raison de la smétrie par rapport à la droite =, f( ) = f() = c Fonction polnôme de degré 67 g 68 a) f() = b), ( ) > 0, donc ( ) + >, c est-à-dire f() > f() c), f() > f(), donc f présente un minimum en = d) + f() 69 a) 0, > 0, donc + >, c est-à-dire f() > f(0) Donc f présente un minimum, en = 0, égal à b) 0, > Donc f présente un minimum, en = 0, égal à c), ( ) > 0, c est-à-dire f() > f() Minimum, en =, égal à 0 d), ( ) > 0, donc ( ) + > Minimum, en =, égal à

25 a) 0 + c) + f() f() d) ( + ) = 0 ( + ) ( + + ) = 0 = ou = e) b) 0 + g() c) + h() 0 7 a) f() = ( ) + b), ( ) < 0, donc ( ) + <, c est-à-dire f() < f() Maimum, en =, égal à c) + f() d) d) + + k() 7 70 *, < 0, donc < f(0) = D où la plus grande ordonnée est, obtenue au point d abscisse 0 7 d) f() = ( ) 7 a) et c) 7 f, fonction polnôme de degré, possède, en =, un minimum égal à ; donc f() est de la forme a( ) + De plus, f(0) =, d où a =, c est-à-dire f() = ( ) + 76 a) est une parabole b) + + = + = 0 = 0 ou = D où l ae de smétrie de est la droite d équation = c) f( ) = f(0) = et > Donc f présente un minimum d) + 7 a) ( + ) = + + = + = f() b) f() hapitre Fonctions de référence

26 e) 9 g 77 b) + + = = 0 ou = D où l ae de smétrie de est la droite d équation = c) f = ; f(0) = et maimum en = égal à > Donc f présente un c) + h() 8 d) g() + e) h 8 d) + k() 8 78 a) k + f() 6 f 79 a) Maimum égal à 0 pour = 0 Par eemple, X et 6 Y b) Maimum égal à pour = 6 Par eemple 0 X et Y c) Minimum égal à pour = Par eemple X et Y 80 f() = ( ) b) g() Maimum égal à pour = D où c est pour = que est le plus grand possible 8 f() est de la forme a( 6) r f(8) = Donc a = 6 D où f() = avec [0; 6] 6

27 c6 Fonction homographique 0 8 f, g, k 8 a) Non, = n a pas d image b) f() = ; f() = 0 8 a) * b) {} c) { ; } d) {} 8 a) b) c) {} d) {} 86 a) {} b) ui, car f() = 87 a) f() = b) { } ( ) + + = 88 a) D f = {}; D g = b) D h = ; 89 D f = Il se peut que, sur l écran, on ne voie pas le «trou» correspondant au point d abscisse Trouvez l erreur 90 Dans l epression de f(), le coefficient de qui donne le sens de variation est m et non r m est un réel quelconque Il faudra donc considérer les cas m > 0, m < 0 et m = 0 9 Le coefficient de dans est Il est négatif Donc si, 0 et si, 0 9 La fonction carré est croissante sur +, mais elle est décroissante sur r les nombres 0,7 et 0,9 sont négatifs, avec 0,7 < 0,9 D où f > f( 0,9) 9 La fonction inverse est décroissante sur ] ; 0[ D f, f() = ( + ) + = 9 L ordonnée de l etremum est égale à f = et non pas à LES EXERIES Problèmes 9 f strictement croissante sur, d où a > 0 f strictement décroissante sur, d où a < 0 f constante sur, d où a = 0 96 n doit avoir 0 I 00 Intensités supportables :, 0 a) P I en ampères b) P = 0 I f : I 0 I est une fonction linéaire strictement croissante sur +, d où «lorsque l intensité augmente, la puissance augmente» (à tension constante) 97 Notons le nombre de voitures vendues dans le mois n doit avoir : > , soit > 6,66 D où 7 98 f : ; g : ; h : ; k : 99 f coupe () au points d abscisses et Donc ne convient pas f(0) = < 0, donc ne convient pas D où la courbe f est égale à hapitre Fonctions de référence

28 00 = = ; = + = = a) = ( + ) ; b) Les trois courbes représentant les fonction f, f, f passent par le même point N( ; ) Donc pour =, () = () = () = aire triangle NH = 0 b) Milieu de [] ; P ; Q 0 0 f() = + ; milieu de [PQ] a) Théorème de Thalès dans le triangle NM, avec () // (N) + ND = +, c est-à-dire ND = b) D où g() = = a) f 0 a) S = = 000,0 = S = S + 00 = 000,0 = 0 b) () = () = 0(00 + ) + = 0(00 + ) 00 = 0,(00 + ) c) Il suffit de remplacer par d) 6, = 0,( + 00) ( + 00) = 6, + 00 = 07, car > 0 = 7, 0 k g 6 h a) f( ) = ; f( ) = ; f(0) = 0 ; 6 f() = ; f() = b) Voir courbe ci-dessus a) S = { } b) S = [ ; ] {} c) S = ] ; 6[ a) ui b) Non, les réels plus grands que n ont pas d antécédents 0 a) = + 0 b) f et g semblent se couper en un seul point d abscisse 0 f() = g() + = + = car ]0; + [, donc 0 ( + ) = ( + ) = = car > 0 0 = π + π( ) = π( + ) f() = π( + ) pour ]0; [ a) et b) = 0 = 0 ou = D où l ae de smétrie : = h = et h(0) = ; <, donc h présente un minimum en = égal à c) ]0; [, f() = πh() π étant positif, f présente en = un minimum égal à π L aire est alors minimum est lorsque les deu cercles et ont tous deu pour raon 06 P(i) = 0,i( i) P(i) > 0 pour i ]0 ; [ a) 0,i( i) = 0 i = 0 ou i = g 6

29 D où l ae de smétrie : i = b) i 0 P(i) 0,9 c) La puissance est maimale pour une intensité de Elle vaut alors 0,9 W d) P 0, f() f() = a) ]0; [ b) P = f() = () = M N = ( ) a) = b) f = > f(0) donc f présente un maimum en = a) 0 b) Le maimum de est obtenu pour = i a) ui pour =, c est-à-dire P au milieu de [] b) ui pour = 0 ou =, c est-à-dire P = ou P = 6 a) La droite d équation = 0 coupe la courbe de f en deu points, d où deu valeurs pour et donc deu positions pour P b) ( ) + 8 = 0 ( ) = 0 ( ) ( ) = 0 = ou = 09 a) 0 0 = 0 b) Puisque 0 n est pas solution, on ne perd pas de solution en divisant les deu membres par n obtient : = 0, c est-à-dire = n a alors M = N, car = MPN est donc un carré c) 08 [0; ] ( ) a) f() = ( ) = 6 ( ) = b) Développer ( ) ou : f() = ( + 8) = (( ) + ) = ( ) + 8 Les solutions de l équation = sont les abscisses des points d intersection des deu courbes précédentes a) Les courbes semblent ne se couper qu en un seul point d abscisse b) = donc est bien solution de l équation Le logiciel de calcul formel confirme le fait qu il n a qu une solution : = 0 M est un point de ][ r = 8 = Donc ]0; [ D étant un carré, le triangle est isocèle de sommet Donc le triangle MQ est aussi isocèle de sommet M, c est-à-dire M = MQ D où f() = = hapitre Fonctions de référence 7

30 MQ = M = D où f() = ( ) = + e de smétrie : = ; g() = ; g(0) = 0 < g() Donc g présente un maimum en = égal à + g() f a) 0 g() 0 0 b) L aire du triangle PQ présente un maimum égal à pour =, c est-à-dire lorsque M = 0 Le triangle PQ n est autre dans ce cas que le triangle D, donc l aire vaut bien Graphiquement, on constate que la droite d équation = coupe la courbe représentant f en deu points Les abscisses de ces points sont les valeurs de cherchées n obtient ainsi deu positions pour M : l une entre et, correspondant à = et l autre entre et g LES EXERIES lgorithmique pour tous orrigé dans le manuel Pour n = 0, S,99 Pour n = 00, S,87 Il suffit de remplacer S + par S + i i Pour n = 0, T,6 Pour n = 00, T,6 Pour i >, i > i et donc i < i Pour i =, i = i D où n * {}, T < S, avec égalité pour n = orrigé dans le manuel Saisir Pour i variant de à 0 prend la valeur FinPour fficher a) Pour TI, par eemple : Input FR(I,, 0) End Disp b), 0 a) (0 ) ; b) (,) (0 ), 0 6 = 8 ; = ; = 7 ; = n effectue une boucle «Pour», le compteur i variant de à n u premier passage, contient la valeur f(), c est-à-dire et i vaut u deuième passage, contient f( ), c est-à-dire et i vaut, etc, jusqu au n-ième passage a) i 8,, b) =, = c) vant d entrer dans la boucle, la variable i n avait pas encore été utilisée dans ce programme a) vec «fficher i», s affichent les valeurs successives de i qui évoluent dans la boucle «Pour» :,, vec «fficher n», ce sera toujours la même valeur qui s affichera à chaque tour de la boucle, à savoir le nombre n que l on aura saisi au départ b) n n aura qu un seul affichage : n + et n Pourquoi n +? Lors du dernier passage (c est-à-dire le n-ième), i vaut n ; mais après chaque «FinPour», i augmente de, c est-à-dire ici i prend la valeur de n + ; la boucle s arrête alors car il fallait i n D où, après la boucle, i vaut n + 7 a) Par eemple pour TI : Input Input N FR(I,, N) / + Disp I, End 8

31 b) 9, ; 0, ; 9, ; 0, Il semble que ces nombres se rapprochent de plus en plus de, alternativement, par défaut et par ecès c) Tous les nombres essaés permettent de faire la même conjecture n conjecture alors que le résultat précédent serait vrai quel que soit le nombre choisi au départ d) = n voit que les nombres,, sont alternativement plus grands et plus petits que, s en rapprochent de plus en plus, et ceci quel que soit 8 Si f() =, alors f(f()) =, pour non nul Donc la suite de nombres sera, pour non nul :,,,,! Inutile d écrire un algorithme pour obtenir une telle suite! f 6 LES EXERIES Pour aller plus loin** 9 n a v < < u r f est affine non constante, donc f est ou bien strictement croissante sur, ou bien strictement décroissante De plus f() = 0 Donc, ou bien f(v) < 0 < f(u), ou bien f(v) > 0 > f(u) Dans les deu cas, f(u) f(v) < 0 0 Si f() s écrit a + b, alors : f(f()) = a(a + b) + b = a + ab + b Pour que g soit strictement décroissante, il faudrait a < 0, ce qui est impossible Pour toute fonction affine strictement croissante, c est-à-dire pour toute fonction de la forme f() = a + b, avec a > 0, f() < a + b < < b, car a > 0 a Donc seuls les nombres inférieurs à b rendent a f() < Donc il n eiste pas de fonction affine répondant à la question f() = a + b, g() = c + d D où g(f()) = c(a + b) + d = ca + cb + d D où l enchaînement de deu fonctions affines est toujours une fonction affine n n obtient donc jamais la fonction carré Il faut étudier le signe du coefficient de a) a = t t = t(t ) t 0 a Si t = 0 ou t =, alors, f() = > 0 Si t ; 0 ; +, Si t 0 ;, t t f() 0 + t t f() + 0 b) a = t + t = t(t + ) t 0 a Si t = ou t = 0, alors, f() = > 0 Si t ; 0 ; +, t + t f() 0 + hapitre Fonctions de référence 9

32 Si t ; 0, t + t f() + 0 a) L égalité est vraie, En particulier, pour = = 0, on obtient : f(0 + 0) = f(0) + f(0) D où f(0) = 0 b) f(0) = b 0 Donc f ne vérifie pas (P ) a) f est strictement croissante sur + et strictement décroissante sur En effet : si 0 u < v, alors u < v (car la fonction carré est strictement croissante sur + ) et donc u + < v + De même, si u < v 0, alors u > v (car la fonction carré est strictement décroissante sur ) et donc u + > v + D où le résultat b) Même raisonnement, mais la multiplication des deu membres des inégalités par le nombre négatif change le sens des inégalités Les résultats sont donc inversés c) Même sens de variation que la fonction carré pour a > 0 Résultats inversés pour a < 0 6 a) f a le même sens de variations que la fonction inverse En effet : si 0 < u < v, alors u > car la fonction inverse v est strictement décroissante sur *, et donc + u + > v + D où f est strictement décroissante sur * + Même raisonnement, si u < v < 0 b) étant positif, g a le même sens de variation que la fonction inverse c) étant négatif, par multiplication des deu membres des inégalités par, le sens des inégalités va changer et la fonction h sera strictement croissante sur * et sur * + g f h 7 a) + = ( + ) 9 Minimum, pour =, égal à 9 ( + ) 9 = 0 ( + ) ( + + ) = 0 = ou = b) + + = ( + ) + Minimum, pour =, égal à Pas de points d intersection avec () c) + + = ( ) + = (( ) ) + = ( ) + Maimum, pour =, égal à ( ) = 0 ( ) ( + ) = 0 = + ou = 8 a) u < v 0 u < v (u ) < (v ) u < v u < v 0 (u ) > (v ) Si a > 0, la multiplication par a et le fait d ajouter ne changent pas le sens des inégalités Si a < 0, les inégalités changent de sens et les résultats seront inversés Si a = 0, f() = f est constante D où si a > 0, f est strictement croissante sur [ ; + [ et strictement décroissante sur ] ; ] Résultats inversés si a < 0 b) f() = a + b + c avec a 0 g = a + b a + c = a + b a b a + c = a + a b b ac a omme précédemment, la discussion porte sur le signe de a Si a > 0, f est strictement décroissante sur ; b a et strictement croissante sur b a ; + Si a < 0, résultats inversés 9 D f = {} a) f() = = b) Non car il n eiste pas de réels tels que = 0 u bien : avec l epression initiale, il n eiste pas de réels tels que = c) f() > f > < 0 < 0

33 0 (P) s écrit :, Sa négation : tel que < a) Fau car, par eemple, = appartient à et son carré,, est inférieur à b) Fau, puisque tous les éléments de ont leurs carrés supérieurs ou égau à ui, par eemple : = {} ; = { ; } Problèmes ouverts Graphiquement, il a un seul point d intersection entre P et n Notons 0 son abscisse n a 0 > 0, car n est positif D où ire n n = = n n n n = n 0 0 n n n Remarque : pour que la droite d équation = a coupe, il est nécessaire que a < 0 Intersection de et de D = a = a = (car a 0) a = a ou = car a > 0 a En raison de la smétrie par rapport à de et de D, les deu points M et N sont smétriques par rapport à Si a < 0, on obtient de même deu points d intersection entre et D = a smétriques par rapport à Donc le quadrilatère MPNQ dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme Pour qu il soit un losange, il faut et il suffit que les deu droites D et D soient orthogonales, c est-à-dire que aa = e sera un carré si, et seulement si, les diagonales ont la même longueur M = a + (a) = a + a P = + ( a ) a = a a = a + car aa = a D où pour a > 0 donné, on trouve un seul réel a convenable : a = a = a M N hapitre Fonctions de référence