Chapitre V. Polygones semblables

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1 hapitre V Polygones semblables 1. Photocopieuse. Sur la photocopieuse du collège, on peut lire les pourcentages d agrandissement ou de réduction préprogrammés : 141%, 115%, 100%, 93%, 82%, 75%, 71%, et 63%. omment un dessin sera-t-il modifié dans chacun des cas? Prenons un dessin encadré, passons le à la photocopieuse en sélectionnant successivement les pourcentages proposés et voyons ce qu il devient. omplète le tableau ci-dessous. 100% 141% 71% 75% 93% 115% 63% 82% 1

2 omplète le tableau. Largeur longueur dessin à 100% 141% 115% 93% 82% 75% 71% 65% Où trouve-t-on les dimensions initiales du dessin? Que s est il passé avec les dimensions initiales dans chacun des cas? Le pourcentage indiqué sur la photocopieuse représente... insi, pour un pourcentage indiqué de 141 %, toutes les dimensions du dessin sont... Pour un pourcentage de 71%, toutes des dimensions sont multipliées par Le format standard 4. Les mesures des côtés d une feuille de format 4 sont pour le peu originales : L =..., l =... Pourquoi donner des valeurs aussi farfelues à un format aussi officiel? Nous allons tenter de trouver une explication. a) ompare des feuilles de format 4 et 3. a)quelle est la condition à respecter pour que ces deux formats puissent représenter deux figures semblables? b) Par quoi alors faut-il multiplier les dimensions du format 4 pour obtenir les dimensions du format 3? Quelle touche va-t-on sélectionner sur la photocopieuse? Puisque l aire du format 3 est double de l aire du format 4, que penses-tu du résultat si on sélectionne la touche 200%? c) Recherche de la valeur exacte d agrandissement d un format 4 en format 3. L 4 3 L l l alcule le coefficient d agrandissement si on veut passer d un format 4 au format Longueur et largeur 2 Longueur et largeur 2 2 On sélectionnera la touche : % d) Quelle touche faut-il sélectionner pour, cette fois-ci, passer du format 3 au format 4? Il s agit d une réduction. Trouve le coefficient de cette réduction. 2

3 e) alcul des dimensions du format 4. Sachant que la longueur d une feuille d un format choisi est égale à la largeur du format directement supérieur et que l aire d une feuille de format 0 vaut 1m 2, calcule les dimensions des différents formats jusqu au format 4. Format Longueur largeur ire 0 1 m f) exercices : 1) On veut multiplier par trois l aire d une figure dessinée sur une feuille rectangulaire. Quel est le pourcentage d agrandissement? Quelle séquence de touche de la photocopieuse conduit approximativement à ce résultat? 2) On veut réduire l aire d une figure aux deux tiers de l aire initiale. Quel est le pourcentage de réduction? 3) On veut agrandir un dessin de 15 sur 20 cm de sorte qu il utilise le maximum de surface d une feuille de format 4. Quel est le pourcentage maximum que l on peut utiliser? Quel est le pourcentage de réduction d un dessin de 50 sur 70 cm pour qu il puisse tenir sur une feuille de format 4? 3. Figures semblables. On dit que deux figures sont semblables si les côtés correspondants sont proportionnels et que les angles correspondants ont la même amplitude. Traduis mathématiquement (sous forme d égalités) le fait que les deux figures suivantes sont semblables. 4. as des triangles. e la même façon, écris toutes les égalités que l on peut trouver si deux triangles sont semblables. t réciproquement?? -t-on besoin de toutes ces égalités pour pouvoir affirmer sans erreur que deux triangles sont semblables? herche les égalités nécessaires et suffisantes pour pouvoir dire que deux triangles sont semblables. 3

4 Synthèse de la recherche. eux triangles sont semblables si et seulement si : 1 er cas : Ils ont deux angles correspondants de même amplitude. Ou 2 ème cas : Il ont un angle de même amplitude compris entre deux côtés correspondants proportionnels ou 3 ème cas : Ils ont les trois côtés correspondants proportionnels. pplications : apprendre à trouver des valeurs manquantes dans des triangles apprendre à démontrer. Situation 1 : la largeur de la rivière. Observe le dessin suivant, essaye d en tirer la méthode que l on a utilisée pour calculer la largeur de la rivière. alcule ensuite celle-ci.? 5,6m 2m 8m Situation 2 : Observe la situation suivante. Imagine un énoncé et résous le. 1m80 3m40 48m Situation 3. Trouve les longueurs manquantes

5 Situation 4 onnée : Un triangle rectangle en tel que = 6cm et = 8 cm. On place un point sur l hypoténuse de ce triangle à 6 cm de. Par ce point, on trace les perpendiculaires respectivement à et et on appelle F et G les points d intersection avec ces deux côtés. Question : FG est-il carré ou pas? Situation 5. ratosthène a réussi à mesurer la circonférence de la terre 300 ans av J. herche sur Internet la méthode qu il a utilisée et prépare un petit exposé pour la présenter à la classe. Situation 6. Que penses-tu du rectangle intérieur? st-il semblable au triangle extérieur sachant que l allée entre les deux rectangles a une largeur constante? Situation 6. t dans le cas du triangle? Situation 7. est un triangle tel que = 10 cm, = 7 cm et = 8cm. M est un point du segment [] tel que M =6cm. N est un point du segment [] tel que MN // alcule les longueurs N et MN. Situation 8. Le fameux problème des échelles. Y a-t-il trop peu de données? eux échelles sont coincées entre deux murs verticaux. L échelle [] mesure 8,5 m, l échelle [] mesure 5m et la distance entre les deux murs, vaut 4m. Peux-tu trouver à quelle hauteur se croisent les échelles?? 5

6 4. Figures isométriques. éfinition : Si deux figures sont semblables et que le coefficient pour passer des dimensions de l une aux dimensions de l autre est égal à 1, alors les figures sont dites «isométrqiues» (ISO = même ; MTRIQU = mesure) ans ce cas, tous les angles correspondants ont la même amplitude et tous les côtés correspondants ont la même mesure. as d isométrie des triangles. On peut transposer les cas de similitude des triangles en imposant que le rapport doit être égal à 1. On obtiendra alors les cas d isométrie des triangles, c'est-à-dire les conditions suffisantes et nécessaires pour pouvoir affirmer que deux triangles sont isométriques. 1 er cas : 2 ème cas : 3 ème cas : pplications : l utilisation des cas d isométrie des triangles se réduit le plus souvent à l apprentissage des construction de démonstrations et moins dans la recherche de longueur. xercices de démonstrations utilisant les cas d isométrie des triangles. Rappel : Les exercices de démonstrations visent à construire des «plaidoiries» rigoureuses qui par un enchaînement d affirmations justifiées aboutissent à une proposition à prouver. es démonstrations se basent sur les données du problème. elles-ci sont réunies dans l hypothèse. lles se basent également sur les définitions des objets que l on utilise. Par exemple, si on parle de triangle isocèle, on pourra utiliser sa définition à savoir qu il possède deux côtés isométriques. lles se basent aussi sur les propriétés ou théorèmes déjà démontrés. Par exemple nous pourrions utiliser le théorème de Pythagore démontré précédemment. La proposition à démontrer sera indiquée dans la thèse. 1. ans un triangle isocèle, démontre que les hauteurs relatives aux côtés de même longueur ont même longueur. 2. émontre que si M et N sont deux points de la médiatrice d un segment [], alors les triangles NM et NM sont isométriques. 3. On prolonge le côté [] du triangle isocèle d une longueur [F] et le côté [] d une longueur [] égale à [F]. émontre que : = F 4. Sur le côté [] d un triangle quelconque, on construit le triangle équilatéral et sur le côté [], on construit le triangle équilatéral. émontre que les segments [] et [] ont la même longueur. (Les constructions se font à l extérieur du triangle ) 6

7 5. ans un triangle isocèle, on porte sur les côtés de même longueur deux points M et N équidistants du sommet. On trace N et M qui se coupent en I. émontre que le triangle I est isocèle. 5. Le théorème de Thalès et sa démonstration. a) situation de départ. On désire placer un toit en tôles ondulées sur une cabane en bois. alcule la longueur totale de ces tôles sachant qu il faut une longueur de 0,7m pour couvrir 0,5m au sol et que la longueur totale de la cabane est de 2,8m. b) définitions : Lorsque il y a deux droites sécantes et une série de droites parallèles qui les coupent, on dit qu on est dans une situation de THLS. ans une situation de Thalès, on appelle segments homologues des segments délimités par des mêmes parallèles. c) l énoncé du théorème de Thalès et sa démonstration. es parallèles déterminent sur deux sécantes des segments homologues dont les mesures sont proportionnelles. ' ' ' ' 7

8 émonstration du théorème. Hypothèse : Thèse : émonstration : pplication du théorème de Thalès. 1. omplète le tableau ci-dessous en te référant au dessin ,5 4, étermine dans chaque cas la valeur de x. F F = 2 ; = 6 ; = 3 et F = x = 3 ; = 8, = x et F = 4 8

9 = 3, = 4, = x et = 6 = x ; = 3, = 3 et = 4 3. Sur la figure ci-dessous, on a O = 4cm, O = 5cm et = 3cm. Les droites et sont paralléles de même que les droites et. alcule et. O 4. est un triangle quelconque. M est le milieu de [], N est le milieu de [] et P est le milieu de [MN]. La droite P coupe au point K. Prouve que K = 3 5. alcule les longueurs manquantes dans la situation suivante. ttention : Thalès ou les triangles semblables? 3,2 3 d c 4,2 b 5,4 a 3,6 9

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