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1 Lcée Europole - R. Vidonne 1 TS - Cours sur le logarithme népérien Fonction carrée et racine carrée Considérons les fonctions f : R + R + g : R + R + 2 Dans un repère orthonormal, les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g sont smétriques par rapport à la première bissectrice dont une équation est =. Notons M un point du plan situé sur C f et M son smétrique par rapport à. Notons T M la tangente à C f au point M. Notons T M la tangente à C g au point M. Alors T M et T M sont smétriques par rapport à. On a pour tout, positifs l équivalence suivante = 2 = = f) g) = On dit que g est la fonction réciproque de f. Ce sont des bijections de R + dans R +. voir le livre p. 142)

2 Lcée Europole - R. Vidonne 2 Définition du logarithme népérien Définition 1 Nous avons dans le chapitre dévolu à l eponentielle réelle que l eponentielle réalisait une bijection de R dans R +. Sa bijection réciproque s apppelle le logarithme népérien. Elle est notée ln. Elle donc est défine sur R +, et elle est à valeur dans R. La représentation graphique du logarithme népérien admet l ae des ordonnées comme asmptote verticale. Nous avons donc On a aussi = e positif non nul réel 1. quel que soit R on a ln e ) =. 2. quel que soit ]0, + [ on a e ln) =. Eemple 1 ln = positif non nul réel 1. l équation e = 1 n a pas de solution. Donc ln n est pas définie en l équation e = 1 a une et une seule solution qui est : = l équation e = 2 possède une et une seule solution 0. Donc on a : ln2) = 0 0, Tableau de variation du logarithme népérien :

3 Lcée Europole - R. Vidonne 3 Premières propriétés du logarithme népérien Théorème 1 Propriété fondamentale du logarithme népérien : quels que soient a et b réels strictements positifs on a lna b) = lna) + lnb). Démonstration : Comme a > 0 il eiste α R tel que e α = a α = ln a. Comme b > 0 il eiste β R tel que e β = b β = ln b. Ce qui nous permets d écrire lnab) = ln e α e β) = ln e α+β) d après la propriété fondamentale de l eponentielle. = α + β d après la définition de ln = ln a + ln b. Corollaire 1 Quels que soient et strictement positifs et n entier relatif 1 1. on peut écrire ln = ln). 2. on peut écrire ln = ln) ln). 3. on peut écrire ln n ) = n ln). 4. on peut écrire ln ) = 1 2 ln) Démonstration : 1. Calculons pour > 0 0 = ln1) = ln 1 ) 1 = ln) + ln d après la propriété fondamentale du logarithme népérien. 1 Nous pouvons donc en déduire que ln = ln). 2. Calculons : ln = ln 1 ) 1 = ln ) + ln d après la propriété fondamentale du logarithme népérien = ln ln en vertu du point précédent. 3. Comme on a > 0 il eiste R tel que e =. On peut alors calculer : ln n ) = ln e ) n ) = ln e n ) = n = n = n ln). 4. Calculons ) 2 ln = ln = 2 ln ) En tirant parti du point précédent, ce qui permet de conclure.

4 Lcée Europole - R. Vidonne 4 Eemple d équations et d inéquations comportant des logarithmes népériens Eemple 2 Considérons l équation E) suivante : ln + 2) + ln 1) = ln2 + 10). Etape 1 : quand est-ce que cette epression a un sens? Il faut simultanément que [ + 2 > 0] et aussi [ 1 > 0] et aussi [ > 0] Ce qui est équivalent à [ > 2] et aussi [ > 1] et aussi [ > 5] ce qui est équivalent à > 1. Autrement dit, notre epression a un sens uniquement lorsque ]1, + [. Etape 2 : résolution de l équation.on a E) ln [ + 2) 1)] = ln2 + 10) et ]1, + [ + 2) 1) = ) et ]1, + [ 2 12 = 0 et > 1 [ = 3) ou = 4) et > 0] = 4. La solution = 3 ne convient pas car il faut que ]1, + [. Etape 3 : bilan : l équation E) possède une unique solution qui est = 4. Eemple 3 Considérons l équation E) suivante : ln [ + 2) 1)] = ln2 + 10). Etape 1 : quand est-ce que cette epression a un sens? Il faut simultanément que +2) 1) > 0 et > 5. Le produit est un trinôme du second degré qui est du signe de a = 1 à l etérieur de ses racines. Autrement dit, ce trinôme est strictement positif pour ], 2[ ]1, + [. Finalement, l epression initiale à un sens pour ] 5, 2[ ]1, + [. Etape 2 : résolution de l équation. On a ln [ + 2) 1)] = ln2 + 10) + 2) 1) = ) 2 12 = 0 [ = 3) ou = 4)] = 3 ou = 4. et ] 5, 2[ ]1, + [ et ] 5, 2[ ]1, + [ et ] 5, 2[ ]1, + [ et ] 5, 2[ ]1, + [ et ] 5, 2[ ]1, + [ Etape 3 : bilan : l équation E) possède donc deu solutions : S = { 3 ; 4}.

5 Lcée Europole - R. Vidonne 5 Eemple 4 Considérons l inéquation E) suivante : ln + 2) + ln 1) > ln2 + 10). Nous avons vu que cette epression avait un sens pour > 1. I) ln [ + 2) 1)] > ln2 + 10) et aussi > 1) + 2) 1) > ) et aussi > 1) 2 12 > 0 et aussi > 1) + 3) 4) > 0 et aussi > 1) Le trinôme + 3) 4) est du signe de a qui vaut ici 1) à l etérieur de ses racines 3 et +4. I) ] ; 3 [ ] 4 ; + [) et aussi > 1) ] 4 ; + [ Finalement l ensemble des solutions de l inéquation I) est S =] 4 ; + [. Dérivabilité du logarithme népérien, premières conséquences Théorème 2 La fonction ln est dérivable pour tout ]0, + [ et on a ln ) = 1. Démonstration : La courbe représentative de l eponentielle possède une tangente en chaque point, car l eponentielle est partout dérivable. Par smétrie par rapport à la première bissectrice d équation = on en déduit que la courbe représentative de la fonction ln possède une tangente en chacun de ses points, donc la fonction ln est dérivable. 1 D après le cours sur l eponentielle, la tangente à la courbe représentative de l eponentielle en un 1. On utilise ici le résultat suivant qui est admis : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert, on a : f est dérivable en 0 I si et seulement si C f admet une tangente au point M 0 ; f 0 )).

6 Lcée Europole - R. Vidonne 6 point Ma, e a ) coupe l ae des abscisses en a 1. Le nombre dérivé de la fonction ln en un point b est la pente de la tangente T b à la courbe représentative de ln au point d abscisse b. Soit Ceci prouve que ln ) = 1. nombre dérivé de ln en b = pente de T b = a a 1) = = 1 b 0 b. Démonstration : Voici une autre preuve, peut-être plus dans le goût de la terminale S. Soit α > 0 et β = lnα). Soit a > 0 et b = lna). Comme le logarithme est dérivable sur ]0, + [ il est aussi continu sur cet intervalle. Par conséquent on a α a) β b). En réalité on a une équivalence, mais nous n en avons pas besoin ici. Remarquez que l on peut écrire : Tout ceci nous permets d écrire ce qui suit ln a ln α a α = b β e b e β = 1 e b e β b β ln a ln α lim α a a α 1 β b e b e β b β = 1 e b = 1 a Pour une autre preuve, voir la page 175 du livre. Corollaire 2 La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0, + [. Autrement dit, pour tous u, v ]0, + [ avec u < v on a ln u < ln v. Corollaire 3 On a ln ln1 + h) lim = 1 ainsi que lim = h 0 h Démonstration : Pour la première limite, on a ln ln 0 lim ln ln1) = ln 1) = = 1 Pour la deuième ligne on a ln1 + h) Corollaire 4 lim h 0 h h 0 ln1 + h) 0 h h 0 ln1 + h) ln1) = ln 1) = 1 h 1 = 1 Pour tout h ] 1, 1[ on a ln1 + h) = h + h ph) avec ph) qui tend vers zéro quand h tend vers zéro. Démonstration : Posons pour h ] 1, 1[ : { ln1+h) 1, si h ] 1, 0[ ]0, 1[ h ph) = 0, si h = 0.

7 Lcée Europole - R. Vidonne 7 Alors la fonction ph) est bien définie, et d après le corollaire précédent, ph) tend vers zéro quand h tend vers zéro. De plus on a ln1 + h) ph) = 1 avec h ] 1, 0[ ]0, 1[ h hph) = ln1 + h) h avec h ] 1, 0[ ]0, 1[ Remarquons que cette dernière égalité reste vraie pour h = 0 donc hph) = ln1 + h) h avec h ] 1, 1[ hph) + h = ln1 + h) avec h ] 1, 1[ Corollaire 5 Soit f une fonction définie sur un intervalle I ouvert de R tel que pour tout I on aie f) > 0. Alors [lnf))] = f ) f). Démonstration : Posons { u) = ln) v) = f) on a { u ) = 1 v ) = f ) D après le théorème relatif au limites de fonctions composées on a [lnf))] = [u v] ) = u v)) v ) = u f)) f ) = 1 f) f ). Théorèmes de comparaison Théorème 3 On a lim + ln = 0 + lim ln ) = Démonstration : On a Pour la première limite ln = ln e ln = 1 e ln ln Et l on sait d après le cours portant sur l eponentielle que e u lim = +. u + u Comme la fonction ln tend vers l infini en l infini, on a ln lim + ln + 1 e ln ln ) = 1 + = 0+. pour la deuième limite. Pour > 0 posons = 1. Remarquons que lorsque tend vers zéro, alors tend vers +. cette remarque nous permet d écrire que lim ln ) ln 1 )) 1 ) ln + + ) ln ) = 0

8 Lcée Europole - R. Vidonne 8 Corollaire 6 Soit n un entier positif non nul. On a : e lim + n = + ainsi que lim n e ) = 0 + ln lim n ln ) = 0 ainsi que lim = n Démonstration : Pour la première limite, on a e lim ln + n + ln e ln n ) + ln e n ln ) + + n ln ) 1 n ln ) ln or d après le théorème précédent on a lim + = 0+ d où e lim ln = + + n Comme l eponentielle tend vers + en + et sachant que e ln = on obtient la limite demandée. Pour les autres limites, voir page 165. Logarithme décimal Pour les besoins d autres sciences, on est amené à poser Définition 2 Pour tout nombre réel strictement positif on a log) = ln) ln10). Par eemple, on a log 10 = 1, on a log100) = 2, on a log0, 1) = 1...

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