zz' = z. z' ; Si z' # 0 1 z' Re(z) = z + z z est réel z = z ; z est imaginaire pur z = - z

Transcription

1 Nomres complexes Module et conjugué d'un nomre complexe Définition - Propriétés Un nomre complexe z s'écrit de fçon unique sous l forme + i ; IR, IR On dit que + i est l forme lgérique du nomre complexe z. est l prtie réelle de z, on note = Re(z) est l prtie imginire de z, on note = Im(z). Le nomre complexe i est tel que i = -. Les complexes de l forme i vec IR, sont ppelés imginires purs. Deux nomres complexes sont égux si et seulement si ils ont même prtie réelle et même prtie imginire. Éqution du second degré à coefficients réels L'éqution z + z + c =, où, et c sont des réels (vec # ) dmet dns CI deux solutions (éventuellement confondues). Soit = - 4c le discriminnt de l'éqution. est un nomre réel. si ³, les deux solutions sont réelles z = -- et z = - + si, on peut écrire = (i δ) vec δ IR, les deux solutions sont lors des nomres complexes, (conjugués l'un de l'utre) z = -- i δ et z = - + i δ Le trinôme z + z + c se fctorise sous l forme (z - z )(z - z ) Représenttion géométrique d'un nomre complexe Dns le pln rpporté à un repère orthonorml, u nomre complexe z = + i, on peut ssocier le point M( ; ) ou le vecteur V ( ; ). z = + i est l'ffixe de M et de V. M( ; ) est l'imge ponctuelle, v ( ; ) est l'imge vectorielle de z = + i. Si M pour ffixe z = + i et si M' pour ffixe z' = ' + 'i, lors le vecteur MM' pour ffixe z' - z = ('- ) + ('- )i le milieu I de [MM'] pour ffixe z I = z + z' le rycentre G de (M ; α) et (M' ; β) pour ffixe z G = αz + βz' (α + β # ). α + β TS - Fiche de cours : Nomres complexes / 4 On ppelle module du nomre complexe z = + i, IR, IR, le réel positif z = +. z = z = ; - z = z ; z + z' z + z' zz' = z. z' ; z = z TS - Fiche de cours : Nomres complexes / 4 ; z z' = z z' On ppelle conjugué du nomre complexe z = + i, IR, IR, le nomre complexe z = - i. z = z ; z = z ; Si z # z = z z z. z = z (donc z. z est un réel positif) z + z' = z + z' ; z - z' = z - z' ; zz' = z. z' Si z' # z' = z' ; z z' = z z' Re(z) = z + z ; Im(z) = z - z i z est réel z = z ; z est imginire pur z = - z Si M pour ffixe z et si M' pour ffixe z' lors OM = z et MM' = z' - z Si V pour ffixe z, lors V = z. Forme trigonométrique d'un nomre complexe non nul Tout nomre complexe non nul z peut être écrit sous l forme : z = r(cos θ + i sin θ), vec θ IR et r IR * + C'est l forme trigonométrique de z. r est le module de z, r = z θ est un rgument de z. Si z = r(cos θ + i sin θ) lors z = r(cos(-θ) + i sin(-θ)) et - z = r(cos(θ + π) + i sin(θ + π)) sin θ O θ cos θ M r = z

2 Arguments d'un nomre complexe L'rgument d'un nomre complexe z n'est ps unique, il est défini modulo π. Si θ est un rgument de z, on noter rg z = θ [π] ou rg z = θ + kπ (k ZZ ) On ppelle rgument principl de z l'rgument de z pprtennt à ]-π ; π]. Pour z CI * et z' CI * z = z', on z = z' rg z = rg z' [π] Soient V et V ' deux vecteurs non nuls d'ffixes respectives z et z' On lors ( u ; V ) = rg z [π] ( u étnt le vecteur d'ffixe ) ( V ; V ' ) = rg z' - rg z [π] z et z' étnt deux nomres complexes non nuls on : rg(zz') = rg z + rg z' [π] ; rg z = - rg z [π] rg z = rg z - rg z' [π] ; rg (z n ) = n rg z [π] z' rg ( z ) = - rg z [π] ; rg (- z) = rg z + π [π] Nottion exponentielle On note cos θ + i sin θ = e iθ et r(cos θ + i sin θ) = r e iθ e iθ.e iθ' = e i(θ+θ') ; e iθ= e iθ = e -iθ ; e iθ e i(θ-θ') e iθ'= (e iθ ) n = e inθ Utilistion en Géométrie L notion de distnce correspond u module. L notion d'ngle à l'rgument. A, B et C étnt trois points distincts d'ffixes z A, z B et z C dns (O; u, v ), lors : le vecteur AB pour ffixe z B - z A, et on AB = z B - z A l'ngle ( u, AB ) pour mesure rg(z B - z A ) [π] l'ngle ( AB, AC) pour mesure rg(z C - z A )- rg(z B - z A ) = rg z C - z A z [π] B - z A AB et AC sont colinéires AC = α AB, α IR* z C - z A IR* rg z B - z z C - z A A z = [π] B - z A AB et AC sont orthogonux AB. AC = z C - z A est imginire pur non nul rg z B - z z C - z A A z = π B - z A [π] L'ppliction qui u point M d'ffixe z ssocie le point M' d'ffixe z' = z + où est un nomre complexe fixé, est l trnsltion de vecteur u d'ffixe. L'ppliction qui u point M d'ffixe z ssocie le point M' d'ffixe z' vec z' - ω = e iα (z - ω) où α est un réel fixé et ω un complexe fixé est l rottion de centre Ω d'ffixe ω et d'ngle α. L'ppliction qui u point M d'ffixe z ssocie le point M' d'ffixe z' vec z' - ω = k (z - ω) où k est un réel non nul fixé et ω un complexe fixé est l'homothétie de centre Ω d'ffixe ω et de rpport k. Le cercle de centre Ω d'ffixe ω et de ryon r est l'ensemle des points M d'ffixe z vérifint z - ω = r TS - Fiche de cours : Nomres complexes 3 / 4 TS - Fiche de cours : Nomres complexes 4 / 4

3 Opértions sur les limites Limite d'une somme Limites Asymptotes à une coure Si f ou (u n ) pour limite l l l Si g ou (v n ) pour limite l' Alors f + g ou (u n ) + (v n ) pour limite Limite d'un produit l + l' Si f ou (u n ) pour limite l l + ou - ps de résultt générl Si g ou (v n ) pour limite l' + ou - + ou - + ou - Alors f x g ou (u n x v n ) pour limite Limite d'un inverse l x l' Si g ou (v n ) pour limite l' Alors g ou pour limite v n l' Limite d'un quotient + ou - suivnt les signes pr vleurs inférieures Si f ou (u n ) pour limite l l l Si g ou (v n ) pour limite l' Alors f g ou u n v n pour limite l l' + ou - pr vleurs sup. ou pr vleurs inf. + ou - suivnt les signes + ou - suivnt les signes pr vleurs supérieures ps de résultt générl + ou ou - pr vleurs sup. ou pr vleurs inf. + ou - + ou - TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes / 3 ps de résultt générl + ou - suivnt les signes l' + ou - suivnt les signes + ou - ps de résultt générl Les formes indéterminées On dit qu'il y forme indéterminée lorsqu'on ne peut ps donner de résultt générl à prtir des tleux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dns eucoup de cs trouver l limite en effectunt les mnipultions suivntes. + - : Fctoristion du terme "dominnt". (terme de plus hut degré pour un polynôme) : Fctoristion des termes "dominnts" puis simplifiction. : Fctoristion d'un terme tendnt vers, puis simplifiction. x : peut en générl se rmener à l'une des formes ou. Lorsque des rcines crrées interviennent et que les méthodes ci-dessus ne donnent ps de résultt, on pourr multiplier pr l quntité "conjuguée". (Les nottions + - ; sont des révitions à ne ps utiliser dns un devoir rédigé) Limites et inéglités I est un intervlle dépendnt de l'endroit où l limite est cherchée : ] ; + [ pour une limite en +, ]x - h ; x + h[ pour une limite en x etc Limites pr comprison Si pour tout x I f(x) ³ g(x) et si lim g(x) = + lors lim f(x) = +. Si pour tout x I f(x) - l g(x) et si lim g(x) = lors lim f(x) = l. Comprison de limites Si pour tout x I f(x) g(x), si lim f(x) = l et lim g(x) = l' lors l l'. Théorème des gendrmes Si pour tout x I g(x) f(x) h(x) et si lim g(x) = lim h(x) = l, lors lim f(x) = l. Ce théorème est ussi vlle pour une limite infinie. TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes / 3

4 Limite d'une composée de fonctions, et l désignent soit des réels, soit +, soit -. Si lim f(x) = et lim g(y) = l, lors lim g o f(x) = l. x y x Limites otenues pr l dérivée Si f est une fonction dérivle en x lors : lim f(x + h) - f(x ) = f'(x h h ) ou encore lim f(x) - f(x ) = f'(x x x x - x ). Limites usuelles L limite d'une fonction polynôme en + ou en - est l limite de son terme de plus hut degré. L limite d'une fonction rtionnelle en + ou en - est l limite du quotient des termes de plus hut degré du numérteur et du dénominteur. lim sin x x x = ; lim cos x - =. x x Les fonctions sinus et cosinus n'ont ps de limite en + ni en -. On trouver dns les fiches "logrithme népérien" et "exponentielle" les limites correspondnt à ces fonctions. Asymptotes à une coure (C) étnt l coure représenttive de l fonction f Asymptote prllèle à Oy (verticle) (C) pour symptote l droite d'éqution x = si : lim f(x) = + ou - (il peut s'gir d'une limite à droite ou à guche seulement) x Asymptote prllèle à Ox (horizontle) (C) pour symptote l droite d'éqution y = si : lim f(x) = ou lim f(x) = x + x - Asymptote olique, symptote coure (C) pour symptote l droite d'éqution y = x + si : lim f(x) (x + ) = ou lim f(x) -(x + ) = x + x - (C) pour symptote l coure représenttive de g si : lim f(x) - g(x) = ou lim f(x) - g(x) = x + x - TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes 3 / 3 Continuité Continuité - Dérivilité f est continue en x, si lim f(x) = f(x x x ) c'est-à-dire si lim f(x h + h) = f(x ) f est continue sur un intervlle I, si f est continue en tout point x de I Nomre dérivé - Fonction dérivée - Tngente f est dérivle en x lorsque lim f(x + h) - f(x ) est un nomre réel. h h Cette limite est le nomre dérivé en x, on le note f'(x ) On lors f'(x ) = h lim f(x + h) - f(x ) h = lim f(x) - f(x ) x x x - x Si une fonction f est dérivle en tout point x d'un intervlle I, on dit que f est dérivle sur I, et l'ppliction qui à tout x de I ssocie le nomre dérivé de f u point x est ppelée fonction dérivée de f. L fonction dérivée de f est notée f'. L coure représenttive de f pour tngente en M (x ; f(x )) l droite T de coefficient directeur f'(x ). T pour éqution y = f'(x ) (x - x ) + f (x ). Opértions sur les dérivées Soient u et v deux fonctions dérivles sur un intervlle I. u + v est dérivle sur I et on (u + v)' = u' + v' u v est dérivle sur I et on (u v)' = u'v + u v' Si IR, u est dérivle sur I et on ( u)' = u' Si u ne s'nnule ps sur I, lors u est dérivle et ' = - u ' u u Si v ne s'nnule ps sur I, lors u v est dérivle et u ' = u'v - u v' v v Si u est une fonction dérivle sur un intervlle I, Si v est une fonction dérivle sur un intervlle J, et si pour tout x I, u(x) J, lors v o u est dérivle sur I et on ( v o u )' = u ' x (v ' o u) TS - Fiche de cours : Continuité - Dérivilité / 3

5 Dérivées usuelles Fonction Dérivée f(x) = k f'(x) = f(x) = x f'(x) = f(x) = x + f(x) = x f'(x) = f'(x) = x f(x) = x 3 f'(x) = 3x f(x) = x f'(x) = - x f(x) = x f'(x) = x f(x) = x n, n Z f'(x) = nx n- f(x) = sin x f(x) = cos x f'(x) = cos x f'(x) = - sin x f(x) = tn x f'(x) = + tn x = cos x f(x) = e x f(x) = ln x f'(x) = e x f'(x) = x Si u est une fonction strictement positive et dérivle sur un intervlle I, lors u est dérivle sur I et on ( u ) ' = u ' u Si u est une fonction dérivle sur un intervlle I, lors pour tout n ZZ, u n est dérivle en tout point où elle est définie et on (u n ) ' = n u'u n- Si u est une fonction dérivle sur un intervlle I, lors e u est dérivle sur I et on (e u ) ' = u' e u Si u est une fonction strictement positive et dérivle sur un intervlle I, lors ln u est dérivle sur I et on (ln u) ' = u ' u TS - Fiche de cours : Continuité - Dérivilité / 3 Appliction ux vritions d'une fonction Soit f une fonction dérivle sur un intervlle I, Si f' est nulle sur I, lors f est constnte sur I. Si f' est positive ou nulle sur I, lors f est croissnte sur I. Si f' est négtive ou nulle sur I, lors f est décroissnte sur I. Pour démontrer qu'une fonction f est strictement croissnte sur I, il suffit de démontrer que f est dérivle sur I et que s dérivée f' est strictement positive sur I suf éventuellement en un nomre fini de points. (Propriété similire pour une fonction strictement décroissnte) Théorème des vleurs intermédiires Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervlle [ ; ], lors pour tout réel k compris entre f() et f(), l'éqution f(x) = k une solution unique dns [ ; ]. Le théorème peut s'ppliquer ussi dns le cs d'un intervlle non fermé ou non orné en utilisnt les limites de f. Pr exemple : si f est continue et strictement décroissnte sur ]- ; [, lors pour tout k pprtennt à ] limf(x) ; lim f(x)[, l'éqution f(x) = k une solution x x - x < unique dns ]- ; [. Compléments Si lim f(x + h) - f(x ) est un nomre réel A, on dit que l fonction f est h h h > dérivle à droite en x et que A est le nomre dérivé à droite de f en x. L coure représenttive de f lors une demi-tngente de coefficient directeur A en M (x ; f(x )) (Propriété similire vec une limite à guche et un nomre dérivé à guche) Pour qu'une fonction f soit dérivle en x, il fut qu'elle soit dérivle à guche et à droite en x et que les nomres dérivés à guche et à droite soient égux. TS - Fiche de cours : Continuité - Dérivilité 3 / 3

6 Définition Primitives On ppelle primitive d'une fonction f sur un intervlle I, toute fonction F définie et dérivle sur I, dont l dérivée est f. Si F est une primitive de f sur I, lors l'ensemle des primitives de f sur I est l'ensemle des fonctions G de l forme G = F + k, vec k IR. Soit f une fonction ynt des primitives sur un intervlle I, soit x I et y IR. Il existe une et une seule primitive F de f telle que F(x ) = y. Toute fonction continue sur un intervlle I des primitives sur I. Primitives des fonctions usuelles Fonction Primitives Intervlle f(x) = F(x) = k k IR IR f(x) = F(x) = x + k k IR IR f(x) = x F(x) = x + k k IR f(x) = x F(x) = 3 x3 + k k IR IR f(x) = x F(x) = - x + k k IR ] ; + [ ou ]- ; [ f(x) = x F(x) = x + k k IR f(x) = x n n ZZ -{-} F(x) = n + xn+ + k k IR IR ] ; + [ ] ; + [ ou ]- ; [ (n < ) IR (n ³ ) f(x) = sin x F(x) = - cos x + k k IR IR f(x) = cos x F(x) = sin x + k k IR IR f(x) = + tn x = cos x f(x) = x F(x) = tn x + k k IR F(x) = ln x + k k IR - π ; π modulo π ] ; + [ Propriétés Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I, lors F + G est une primitive de f + g sur I. Si F est une primitive de f sur I et si est un réel, lors F est une primitive de f sur I. ATTENTION : Un produit de primitives n'est ps une primitive du produit. Un quotient de primitives n'est ps une primitive du quotient. Sur un intervlle ien choisi : Une fonction de l forme u' u n vec n ZZ -{-} pour primitives les fonctions de l forme n + un+ + k vec k IR. Une fonction de l forme u ' u de l forme u + k vec k IR. pour primitives les fonctions Une fonction de l forme u' x e u pour primitives les fonctions de l forme e u + k vec k IR. Une fonction de l forme u' pour primitives les fonctions u de l forme ln u + k vec k IR. Une fonction de l forme u' x (v' o u) pour primitives les fonctions de l forme v o u + k vec k IR. f(x) = e x F(x) = e x + k k IR IR TS - Fiche de cours : Primitives / TS - Fiche de cours : Primitives /

7 Définition - Propriétés Logrithme Népérien L fonction réciproque de l fonction exponentielle est l fonction logrithme népérien. On l note ln : ] ; + [ IR x ln x Pour tout réel x, on ln (e x ) = x Pour tout réel strictement positif x, on e ln x = x e x = y x = ln y x IR y ]; + [ L fonction ln est définie, continue et dérivle sur ]; + [, et on ( ln x )' = x. L fonction ln s'nnule en, donc ln =. D'utre prt ln e = L fonction ln est strictement croissnte sur ] ; + [. x > ln x > et < x < ln x < Si u est une fonction strictement positive et dérivle sur un intervlle I, lors l fonction composée ln o u est dérivle sur I et on : ( ln o u )' = u' u Toute fonction de l forme u' pour primitive ln u sur tout intervlle dns lequel u u ne s'nnule ps. Si u est strictement positive, u' pour primitive ln(u). u Reltion fonctionnelle et étnt deux réels strictement positifs, on : ln (.) = ln + ln ln( n ) = n.ln pour tout n ZZ ln = - ln ln = ln - ln ln = ln Si,,..., n sont des réels strictement positifs, on : ln (... n ) = ln + ln ln n. Pour tout x IR : ln (e x ) = x TS - Fiche de cours : Logrithme népérien / Limites - Vritions lim ln x = + ; x + x x > lim ln x x + x = ; et pour n IN * Tleu de vritions lim ln x = - ; lim x ln x = ; x y = e x x > lim ln x x + x n =. x + + ln - Coure représenttive y = ln x TS - Fiche de cours : Logrithme népérien / e lim x ln ( + x) = x On dit que le nomre réel e tel que ln e = est l se du logrithme népérien. On e,7 L coure pour symptote verticle l'xe (Oy). L tngente à l coure u point d'scisse pour coefficient directeur, c'est l droite d'éqution y = x - L coure de l fonction ln est symétrique de l coure de l fonction exponentielle pr rpport à l droite d'éqution y = x

8 Définition - Propriétés Fonction exponentielle Équtions différentielles Il existe une unique fonction f, dérivle sur IR, telle que f' = f et f() =. Cette fonction est ppelée fonction exponentielle. On note exp : IR ] ; + [ x exp(x) = e x L fonction exponentielle est définie, continue et dérivle sur IR et on (e x )' = e x e = e = e Pour tout réel x, on e x > L fonction exponentielle est strictement croissnte sur IR. x > e x > et x < < e x < Coure représenttive L coure pour symptote horizontle l'xe (Ox) qund x tend vers -. L tngente à l coure u point d'scisse pour coefficient directeur, c'est l droite d'éqution y = x + L coure de l fonction exponentielle est symétrique de l coure de l fonction ln pr rpport à l droite d'éqution y = x e y = e x y = ln x Si u est une fonction dérivle sur un intervlle I, l fonction composée exp o u est dérivle sur I, et on : (exp o u)' = u'.exp o u ou encore (e u )' = u' x e u Toute fonction de l forme u' x e u pour primitive e u, sur tout intervlle dns lequel u est dérivle. Reltion fonctionnelle et étnt deux réels, on : e + = e.e e n = (e ) n pour tout n ZZ e - = e e - = e e Équtions différentielles Limites - Vritions lim e x = + ; lim e x = ; lim e x x + x x + x = + ; lim x e x = ; lim e x - = x x x et pour n IN * lim e x x + x n= + ; lim x + x n e -x = ; lim x n e x =. x - Tleu de vritions x e x TS - Fiche de cours : Fonction exponentielle / Soient et deux réels vec. L'ensemle des solutions de l'éqution différentielle y' = y + est l'ensemle des fonctions définies sur IR pr f(x) = ke x - vec k IR. Etnt donné un couple (α ; β), il existe une unique solution de l'éqution différentielle y' = y + vérifint y(α) = β. TS - Fiche de cours : Fonction exponentielle /

9 Définition - Propriétés Puissnces réelles Les puissnces réelles d'un nomre strictement positif sont définies pr : x = e x ln pour tout nomre réel x. Pour tous réels strictement positifs et, et pour tous réels x et y, on : x+y = x. y ; -x = x ; x-y = x y x.y = ( x ) y ; (.) x = x. x ; x = x On ppelle "fonction exponentielle de se " ( > ), l fonction : IR IR x x = e x ln L'étude de l fonction exponentielle de se, se déduir fcilement de l'étude de l fonction x e x et du signe de ln. Si < <, on ln < lim x = + et lim x = x - x + L coure pour symptote l'xe Ox qund x tend vers + Si >, on on ln > lim x = et x - lim x = + x + L coure pour symptote l'xe Ox qund x tend vers - < < = e x > = Fonctions puissnces Pour n IN *, l fonction x x n est une ijection de ] ; + [ dns ] ; + [, c'està-dire que pour tout réel strictement positif, il existe un et un seul réel strictement positif tel que n =. On dit que est l rcine n ième de, on note = n = n L fonction x x est l réciproque, sur ]; + [ de l fonction x x n On en prticulier x = x et 3 x = x Croissnces comprées Si n IN * on : lim ln x x + x n = ; lim e x x + x n= + ; lim xn e -x = ; lim x n e x =. x + x - Au voisinge de +, les fonctions x x n croissent infiniment plus vite que l fonction ln. l fonction exponentielle croît infiniment plus vite que les fonctions x x n n. e x x 3 x ln x - - O 3 4 x - L fonction x e x correspond à l fonction exponentielle de se = e. - TS - Fiche de cours : Puissnces réelles / TS - Fiche de cours : Puissnces réelles /

10 Intégrles Propriétés Définition - Interpréttion grphique unité d'ire Si f une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; ] et (C) s coure dns un y (C) repère orthogonl (O; i, j ). f(t) dt est le réel mesurnt l'ire, en f(t) dt unités d'ire, de l prtie du pln limitée pr l coure (C), l'xe Ox et les droites O d'équtions x = et x = c'est-à-dire l'ensemle des points M(x ; y) tels que x y f(x). x f et g sont des fonctions ynt des primitives sur les intervlles considérés. f(t) dt = f(t) dt = - f(t) dt f(t) dt + c f(t) dt = c f(t) dt (Reltion de Chsles) (f + g)(t) dt = f(t) dt + g(t) dt Si k IR ( kf )(t) dt = k f(t) dt Si f est une fonction pire, lors - f(t) dt = f(t) dt Si f et g deux fonctions continues sur un intervlle [ ; ] ( < ) telles que, pour tout x [ ; ] : g(x) f(x). L'ire de l prtie du pln limitée pr les coures de f et de g et les droites d'éqution x = et x =, c'est-à-dire l'ensemle des points M(x ; y) vérifint x g(x) y f(x) est donnée en unités d'ires pr ( f(x) - g(x) ) dx C f [f(x)-g(x)]dx C g Si f est une fonction impire, lors - f(t) dt = Si f est une fonction périodique de période T, lors + T f(t) dt = T f(t) dt Si et si pour tout x de [ ; ] on f(x) ³, lors f(x) dx ³ Si et si pour tout x de [ ; ] on f(x) g(x), lors f(x) dx g(x) dx f(t) dt = F() - F() où F est une primitive de f sur [; ]. On note ussi f(t) dt = F(t) L fonction H définie pr H(x) = x f(t) dt est l primitive de f s'nnulnt en. Vleur moyenne On ppelle vleur moyenne de f sur [ ; ], le réel Théorème de l moyenne - f(t) dt. S'il existe deux réels m et M tels que pour tout x de [ ; ] ( ), m f(x) M, lors m( - ) f(t) dt M( - ) TS - Fiche de cours : Intégrles / 3 TS - Fiche de cours : Intégrles / 3

11 Intégrtion pr prties On suppose que toutes les fonctions utilisées ont des primitives sur les intervlles considérés u(t).v'(t)dt = u(t).v(t) - u'(t).v(t) dt Exemple Pour clculer πt sin t dt, on pose u(t) = t v'(t) = sin t u'(t) = v(t) = - cos t Alors π t sin t dt = (t)(- cos t) π - π ()(- cos t)dt Donc π t sin t dt = - tcos t π - π - sin t = π - t cos t + sin t) Donc πt sin t dt = - π cos π + sin π - (- cos + sin ) = π Clcul de volumes Pour un volume V de huteur H dont l section vec un pln à l huteur h pour ire S(h), on V = H S(h) dh TS - Fiche de cours : Intégrles 3 / 3 H h S(h) Risonnement pr récurrence Soit P(n) une proposition dépendnt d'un entier n et n un entier fixé. Si P(n ) est vrie (Initilistion) et si pour tout entier n ³ n P(n) P(n+), (Hérédité) lors P(n) est vrie pour tout entier n ³ n. Exemple On considère l somme S n des cues des n premiers entiers, c'est-à-dire S n = n 3 Démontrons pr récurrence que pour tout entier n ³ : S n = n (n + ) 4 Appelons P(n) l proposition : «S n = n (n + )» 4 ère étpe : initilistion On S = 3 = et pour n =, n (n + ) = x = 4 4 L proposition P() est donc vrie ème étpe : hérédité - pssge de n à n+ Supposons que l proposition P(n) est vrie pour un entier prticulier n ³, c'està-dire que S n = n (n + ) 4 Alors pr définition S n+ = n 3 + (n+) 3 = S n + (n+) 3 Donc S n+ = n (n + ) + (n+) 4 3 = (n+) n + (n + ) 4 S n+ = (n+) n + 4n + 4 = (n+) 4 (n+) 4 On donc démontré que S n+ = (n+) (n+) 4 c'est-à-dire que l proposition P(n+) est vrie. Conclusion On démontré que P() est vrie et que pour tout entier n ³, P(n) P(n+). On en déduit donc que P(n) est vrie pour tout entier n ³. On démontré pr récurrence que pour tout entier n ³ S n = n (n + ). 4 Appliction : S = = x = TS-Fiche de cours : Risonnement pr récurrence /

12 Suites Suites rithmétiques - suites géométriques Les définitions et propriétés des suites rithmétiques et géométriques sont vlles ussi ien pour des suites de nomres réels que pour des suites de nomres complexes. Suite rithmétique On dit qu'une suite (u n ) n³n est une suite rithmétique de rison r lorsque : pour tout entier nturel n ³ n, u n+ = u n + r. Soit (u n ) n³n une suite rithmétique de rison r. Pour tout n ³ n et tout p ³ n, on u n = u p + (n- p) r en prticulier : u n = u + n r ; u n = u + (n- ) r Sens de vrition : Si r =, l suite est constnte. Si r est réel et r >, l suite est croissnte et on lim u n + n = + Si r est réel et r <, l suite est décroissnte et on lim u n + n = - Si le premier terme de l suite est, l somme des n premiers termes est : n(n - ) S = n + r Suite géométrique On dit qu'une suite (u n ) n³n est une suite géométrique de rison q lorsque : pour tout entier nturel n ³ n, u n+ = u n x q. Soit (u n ) n³n une suite géométrique de rison q. Pour tout n ³ n et tout p ³ n, on u n = u p x q (n-p) (en supposnt q # ) en prticulier : u n = u x q n ; u n = u x q n- Sens de vrition Si q =, l suite (u n ) est constnte. Si q <, lim q n =, donc lim u n + n + n = (l suite converge vers ). Si q est réel et q >, lim u n + n = + ou lim u n + n = - Si q est réel et q -, l suite (u n ) n' ps de limite. Si le premier terme est et si q #, l somme des n premiers termes est : S = qn q TS - Fiche de cours : Suites / 4 Suites monotones, mjorées, minorées, périodiques Soit (u n ) une suite de nomres réels. Suites monotones On dit que l suite (u n ) est croissnte si pour tout n, u n+ ³ u n On dit que l suite (u n ) est décroissnte si pour tout n, u n+ u n On dit que l suite (u n ) est sttionnire (ou constnte) si pour tout n, u n+ = u n (On peut de même définir une suite strictement croissnte ou strictement décroissnte) On dit qu'une suite est monotone lorsqu'elle est croissnte ou lorsqu'elle est décroissnte. Si l suite (u n ) est croissnte et si n ³ p, lors u n ³ u p Si l suite (u n ) est décroissnte et si n ³ p, lors u n u p Si l suite (u n ) est strictement croissnte et si n > p, lors u n > u p Si l suite (u n ) est strictement décroissnte et si n > p, lors u n < u p Si f est une fonction croissnte sur [k ; + [, l suite définie pr u n = f(n) pour n ³ k est une suite croissnte. Attention l réciproque est fusse : l suite peut être croissnte lors que l fonction ne l'est ps. (Propriété similire vec un fonction décroissnte, strictement croissnte, strictement décroissnte) Suites mjorées, minorées, ornées S'il existe un réel M tel que pour tout n, u n M, on dit que l suite (u n ) est mjorée pr M. (On dit que M est un mjornt de l suite). S'il existe un réel m tel que pour tout n, u n ³ m, on dit que l suite (u n ) est minorée pr m. (On dit que m est un minornt de l suite). Une suite à l fois mjorée et minorée, est ppelée suite ornée. Suites périodiques S'il existe un entier non nul p tel que pour tout n, u n+p = u n, on dit que l suite (u n ) est périodique de période p. (Cette dernière définition peut ussi s'ppliquer à une suite de nomres complexes). TS - Fiche de cours : Suites / 4

13 Limites de suites Remrque : L limite pour une suite (u n ) correspond toujours à une limite lorsque n tend vers +. Limites connues Les suites ( n ) ; (n) ; (n ) ; (n 3 ) ; (n α ) vec α IN * ; ( n ) vec > et (ln n) ont pour limite +. Les suites ; n n ; n ; n 3 ; n α vec α IN* ; n vec > et ln n ont pour limite. Soit (u n ) une suite de nomres réels. si l suite (-u n ) tend vers +, l suite (u n ) tend vers -. si l suite (u n - l) tend vers, l suite (u n ) tend vers l. Limites otenues pr comprison S'il existe une suite (v n ) de limite +, un réel α > et un entier k tels que : pour tout n ³ k u n ³ α v n, lors (u n ) pour limite + S'il existe une suite (v n ) de limite -, un réel α > et un entier k tels que : pour tout n ³ k u n α v n, lors (u n ) pour limite - S'il existe une suite (v n ) de limite, un réel α > et un entier k tels que : pour tout n ³ k, u n - l α v n lors (u n ) pour limite l. Cs prticulier très importnt Si pour tout n ³ k, u n - l α q n vec α > et < q < lors lim u n + n = l. Théorème des gendrmes Si lim v n + n = l et lim w n + n = l, et s'il existe un entier k tel que : pour tout n ³ k, v n u n w n lors (u n ) une limite et lim u n + n = l. Suite monotone ornée Une suite croissnte et mjorée est convergente. Il en est de même pour une suite décroissnte minorée. (Cette propriété justifie que l suite converge mis ne permet ps de trouver l limite) Suites du type u n = f(n) f Si f est une fonction définie sur [k ; + [, si (u n ) n³k est l suite définie pr u n = f(n) et si lim f(x) =, et lors lim u x + n + n =. (Ce résultt est vlle pour une limite finie ou infinie.) Attention : l limite de l fonction f permet de donner l limite de l suite u n = f(n), mis l limite de l suite u n = f(n) ne permet ps de donner l limite de l fonction f. Les propriétés sur l limite de l somme, du produit et du quotient de deux fonctions resteront donc vlles pour les suites. Imge d'une suite pr une fonction Soit f une fonction définie sur un intervlle I, et (u n ) une suite d'éléments de I. Si lim u n + n =, et si lim f(x) =, x lors lim f(u n + n ) =. (Cette propriété est vlle lorsque et sont des limites finies ou infinies.) Comprison de suites et de limites Si lim u n + n = l et lim v n + n = l', et s'il existe un entier k tel que : pour tout n ³ k u n v n lors l l'. Attention : ce résultt n'est ps vri vec des inéglités strictes. Suites djcentes Deux suites (u n ) et (v n ) sont djcentes lorsque : (u n ) est une suite croissnte, (v n ) est une suite décroissnte et lim v n + n - u n = Deux suites djcentes sont convergentes et ont l même limite. (Cette propriété justifie que les suites convergent mis ne permet ps de trouver l limite) TS - Fiche de cours : Suites 3 / 4 TS - Fiche de cours : Suites 4 / 4

14 Crdinl d'un ensemle Dénomrement Le crdinl d'un ensemle fini est le nomre d'éléments de cet ensemle. Si A et B sont deux prties d'un ensemle fini, on crd A B = crd A + crd B - crd A B On pourr, pour déterminer les crdinux de certins ensemles, utiliser un digrmme, un tleu, un rre. On ppelle produit crtésien deux ensemles E et F, l'ensemle E x F des couples ( ; ) vec E et F. Si E et F sont des ensemles finis, on crd E x F = crd E x crd F On peut générliser l notion de produit crtésien à un produit de 3 ensemles (ensemle des triplets), de 4 ensemles (qudruplets), de p ensemles (p-uplets) On lors crd (E x E x... x E p ) = crd(e ) x crd(e ) x... x crd(e p ) Une suite de p éléments distincts d'un ensemle E ynt n éléments (n ³ p) est ppelée un rrngement p à p des éléments de E. Schnt qu'on n choix possiles pour le er élément, (n-) choix pour le ème, (n-) choix pour le 3 ème,, (n-p+) choix pour le p ième, on peut justifier pr un rre qu'il y n x (n-) x x (n-p+) rrngements p à p des n éléments de E. Une suite des n éléments (distincts) d'un ensemle E est ppelée une permuttion de E. (C'est un rrngement n à n des n éléments de E) Le nomre de permuttions des n éléments d'un ensemle E est noté n! On n! = n x (n - ) x (n - ) x x x, (n! se lit "n fctorielle"). (n! est donc le nomre de fçons de "rnger" n éléments) Pr convention, on pose! = Cominisons On ppelle cominison p à p des n éléments d'un ensemle E, toute prtie de E ynt p éléments. Une cominison est une prtie de l'ensemle E, elle ne fit ps intervenir d'ordre prmi les éléments. Le nomre de cominisons p à p des n éléments de E est noté n p. On n p = si p > n n n! p = si p n p! (n- p)! n p Reltions sur les nomres : n = n p = n n-p n n = n = n n + n p- p = n n- n+ p = n Formule du inôme de Newton, vlle pour et réels ou complexes : ( + ) n = n n + n n- + + n p n-p p + + n n n p = n = n p = p n-p p Cs prticulier pour = = n + n + + n p = n n = n p = p = n. Le nomre de prties d'un ensemle à n éléments est n Les nomres n p peuvent être trouvés dns le Tringle de Pscl : p = p = p = p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 n = n = n = n = n = n = n = n = TS - Fiche de cours : Dénomrement / TS - Fiche de cours : Dénomrement /

15 Proilités élémentires Proilités L'ensemle des éventulités (résultts possiles) d'une expérience létoire est l'univers. Il est souvent noté Ω Un événement est une prtie de Ω. est l'événement impossile. Ω est l'événement certin. A B est l'événement «A ou B». A B est l'événement «A et B». Si A B =, on dit que A et B sont incomptiles (ou disjoints). On note A l'événement contrire de A. On définit une loi de proilité p sur Ω = {ω ; ω ;...; ω n } en ssocint à chque éventulité ω i un nomre réel p i tel que : pour tout i { ; ; ; n} p i et p + p + + p n = p i est l proilité de l'éventulité ω i. On note p i = p(ω i ) Pour tout événement A = { ; ; ; k }, l proilité de A est : p(a) = p( ) + p( ) + + p( k ). Pour tout événement A, p(a) [; ] A étnt le contrire de A, p ( A ) = - p(a) Si A et B sont quelconques, p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) Si A et B sont disjoints, p(a B) = p(a) + p(b) Si A est contenu dns B, p(a) p(b) Si A, A,..., A k sont des événements deux à deux disjoints, p(a A... A k ) = p(a ) + p(a ) + + p(a k ) Cs prticulier Si toutes les éventulités ont l même proilité, l proilité de chcune d'elles est lors p = crd(ω). ( éventulités équiproles) Dns ce cs, pour tout événement A, on : p(a) = crd(a) crd(ω) Vrile létoire Une vrile létoire est une ppliction X de l'univers Ω dns un ensemle Ω'. Si Ω' est une prtie de IR, on dit que X est une vrile létoire numérique. On détermine l loi de proilité d'une vrile létoire X, en donnnt les proilités p(x = x i ), pour toutes les vleurs x i prises pr X. (l somme de ces proilités est égle à ) Si X est une vrile létoire numérique : L'espérnce mthémtique de X (ou moyenne) est le nomre réel E(X) = x.p(x=x ) + + x n.p(x=x n ) c'est-à-dire E(X) = x i.p(x = x i ). i = L vrince de X est le nomre réel (positif) V(X) = [x - E(X)].p(X=x ) + + [x n - E(X)].p(X=x n ) c'est-à-dire V(X) = [xi - E(X)].p(X=x i ) i = On ussi V(X) = (x i ) p(x=x i ) [E(X)] i = L'écrt-type de X est le nomre réel (positif) σ(x) = V(X). Proilités conditionnelles A et B étnt deux événements, on note p B (A), l proilité de l'événement A schnt que l'événement B est rélisé. On p(a B) = p B (A) x p(b) et si B est de proilité non nulle p B (A) = p(a B) p(b) L'ppliction qui à un événement A ssocie p B (A) est une loi de proilité sur Ω Deux événements A et B sont indépendnts lorsque p(a B) = p(a).p(b) (c'est-à-dire lorsque p B (A) = p(a) ou p A (B) = p(b) ) On dit que deux vriles létoires X et Y sont indépendntes, si pour tout i et pour tout j les événements (X = x i ) et (Y = y j ) sont indépendnts. Soit E, E,..., E n est une prtition de Ω (c'est-à-dire un ensemle d'événements deux à deux disjoints dont l réunion est Ω) Pour tout événement A, on p(a) = p(a E ) + p(a E ) p(a E n ) ce qui s'écrit ussi p(a) = p E (A) x p(e ) + p E (A) x p(e ) p En (A) x p(e n ) (lorsque les événements E, E,..., E n sont de proilité non nulle) TS - Fiche de cours : Proilités / 5 TS - Fiche de cours : Proilités / 5

16 Arres pondérés Règles de construction L somme des proilités des rnches issues d'un même nœud est. L proilité de l'événement correspondnt à un trjet est le produit des proilités des différentes rnches composnt ce trjet. En dehors des rnches du premier niveu, les proilités indiquées sont des proilités conditionnelles. Exemple On jette une pièce. Si on otient pile (P), on tire une oule dns une urne contennt 3 oules dont lnche (B) et noires (N). Si on otient fce (F), on tire une oule dns une urne contennt 5 oules dont 3 lnches (B) et noires (N). On peut représenter cette expérience pr l'rre pondéré ci-contre : Loi inomile - Schém de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une épreuve pouvnt donner deux résultts: le résultt A vec l proilité p et le résultt A vec l proilité - p. Un schém de Bernoulli, est l répétition n fois, de mnière indépendnte, d'une épreuve de Bernoulli. L loi de proilité de l vrile létoire X égle u nomre de résultts A otenus, est ppelée loi inomile de prmètres n et p. L proilité d'otenir lors exctement k fois le résultt A (et donc n - k fois le résultt A) est donnée pr : p(x=k) = n k p k (- p) n-k. L'espérnce mthémtique de X est lors E(X) = np, s vrince est V(X) = np( - p) P F B N B N p(p,b) = x 3 p(p,n) = x 3 p(f,b) = x 3 5 p(f,n) = x 5 Exemples de lois de proilité continues On peut définir une loi de proilité sur un univers infini Ω en utilisnt l notion de densité. Loi uniforme sur [ ; ] Cette loi modélise le choix d'un nomre réel u hsrd dns l'intervlle [ ; ]. L proilité pour que ce réel soit compris entre et vec, est lors proportionnelle à l'mplitude de l"intervlle [ ; ]. p([ ; ]) = - = dx On ur pr exemple p( [,5 ;,6]) =, = : l proilité que le nomre choisi soit compris entre,5 et,6 est, ce qui est conforme à l'intuition. L densité de cette loi est l fonction f définie sur [ ; ] pr f(x) =. Loi exponentielle Cette loi modélise le phénomène de durée de vie sns vieillissement, oservé pr exemple pour l désintégrtion rdioctive. L proilité, schnt qu'un noyu est présent à l'instnt t, pour qu'il se désintègre dns l'intervlle [t ; t+s] ne dépend ps de son "âge" t. L proilité pour qu'un noyu se désintègre dns l'intervlle de temps [ ; ] est p([ ; ]) = λ e -λx dx L constnte strictement positive λ dépend de l sustnce rdioctive étudiée. On peut remrquer que λ e -λx dx = -e-λx = -e -λ + et pr conséquent + lim - e -λ =. L densité de cette loi est l fonction f définie sur [ ; + [ pr f(x) = λ e -λx. TS - Fiche de cours : Proilités 3 / 5 TS - Fiche de cours : Proilités 4 / 5

17 Adéqution à une loi équiréprtie Le prolème se pose prfois de svoir si des données sttistiques sont réprties de fçon uniforme et si les vritions que l'on oserve pr rpport à un modèle sont cceptles. Exemple : Lorsqu'on jette un grnd nomre de fois un dé dont les six fces sont numérotées, les nomres d'pprition des différentes fces ne sont ps en générl égux et on peut se demnder si l vrition oservée d'une fce à l'utre est une vrition "normle" (ppelée fluctution d'échntillonnge) ou "normle" (ce qui pourrit signifier que le dé n'est ps équiliré). Pour cel on fer une comprison de l'écrt entre les résultts otenus et le modèle donné pr l théorie, vec l'écrt entre des résultts simulés (vec une clcultrice ou un ordinteur) et le même modèle. Supposons que les résultts otenus sur un grnd nomre de tirges sont donnés dns le tleu suivnt : Fce i Fréquence d'pprition f,66,4,65,866,534,484 i L théorie pour un dé équiliré ssocie à chque fce une fréquence de 6. On mesure l'écrt entre les résultts otenus et le modèle donné pr l théorie en clculnt : d os = i = 6 f i = i - 6 c'est-à-dire d os = f f f f f f 6-6 où f, f,..., f 6 sont les fréquences données dns le tleu. On otient d os,3 En simulnt un grnd nomre de séries de tirges et en clculnt pour chcune des séries le nomre d correspondnt, on otient une série sttistique pour lquelle le 9 ème décile est,3. (C'est-à-dire que 9% des vleurs de d sont inférieures ou égles à,3) Schnt que d os >,3, on déclre que le dé n'est ps équiliré (ou que l série n'est ps équiréprtie) u risque de %. (Le 9ème décile correspondnt à 9 % des données le risque d'erreur est de %) Si on vit otenu d os <,3 on urit déclré le dé équiliré. Remrque : Si on utilisit le 3 ème qurtile de l série des d simulés, on déclrerit un dé équiliré ou non équiliré u risque de 5%. (Le 3ème qurtile correspondnt à 75 % des données le risque d'erreur est de 5%) Brycentre Géométrie dns le pln et dns l'espce Le rycentre d'un système de n points pondérés {(A i ; i )} i n, dont l somme des coefficients i est non nulle, est l'unique point G vérifint : GA + GA + 3 GA n GA n =, c'est-à-dire i MA i = i = (Le rycentre ne chnge ps si on multiplie tous les coefficients pr k IR*) On ppelle isorycentre des points A, A,, A n, le rycentre de ces points tous ffectés d'un même coefficient non nul. L'isorycentre de deux points A et B est le milieu du segment [AB]. L'isorycentre de trois points A, B, C est le centre de grvité du tringle ABC (point d'intersection des médines). Lorsque i #, les trois propriétés suivntes sont équivlentes : i = ) G est rycentre du système {(A i ; i )} i n, c'est-à-dire i GA i =. i = ) Pour tout point M on : i MA i = i = i MG. i = 3 ) Il existe un point O tel que : i OA i = i = i OG. i = Si chque point A i pour coordonnées x i, y i éventuellement z i, ou pour ffixe z i les coordonnées ou l'ffixe du rycentre G de {(A i ; i )} i n sont données pr : i x i x G = i = i i = i y i ; y G = i = i i = i z i et éventuellement z G = i = i i = TS - Fiche de cours : Proilités 5 / 5 TS - Fiche de cours : Géométrie / 5

18 Soient A, B et C trois points non lignés. L'ensemle des rycentres de (A ; ) ; (B ; ) vec IR, IR et + # est l droite (AB). L'ensemle des rycentres de (A ; ) ; (B ; ) vec ³, ³ et + # est le segment [AB]. L'ensemle des rycentres de (A ; ) ; (B ; ) ; (C ; c) vec IR, IR, c IR et + + c # est le pln (ABC). L'ensemle des rycentres de (A ; ) ; (B ; ) ; (C ; c) vec ³, ³, c ³ et + + c # est l'intérieur du tringle ABC (côtés compris). Produit sclire Si u et v sont des vecteurs non nuls tels que u = OA et v = OB ; si H est le projeté orthogonl de B sur (OA), le produit sclire de u pr v est u. v = OA x OH u. v = OA x OB x cos ( OA, OB) u. v = u x v x cos ( u, v ) Si l'un des vecteurs u ou v est nul, lors u. v =. Pour tous vecteurs u, u', v et tout réel k, on : u. v = v. u ; ( u + u'). v = u. v + u'. v (k u). v = u.(k v ) = k( u. v ) ; u. u = u = u Deux vecteurs u et v sont orthogonux, si et seulement si u. v =. Si u et u' sont deux vecteurs du pln de coordonnées (x ; y) et (x' ; y') dns un repère orthonorml (O; i, j ), on u. u' = xx' + yy' Si u et u' sont deux vecteurs de l'espce de coordonnées (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') dns un repère orthonorml (O; i, j, k ), on u. u' = xx' + yy' + zz' O v u B H A Géométrie dns le pln Dns le pln rpporté à un repère orthonorml (O; i, j ) Si A et B sont deux points de coordonnées (x A, y A ), (x B, y B ) on d(a,b) = AB = AB = (x B - x A ) + (y B - y A ) Soit ABC un tringle : AB = c, AC =, BC =, BAC = α, ABC = β, ACB = γ. Alors : = + c - c cos α (Reltion d'al Kshi) (Si le tringle est rectngle, cette reltion correspond u théorème de Pythgore) L'ire du tringle est donnée pr : S = c sin α = c sin β = sin γ. On peut en déduire l reltion sin α = sin β = sin γ c Si I le milieu de [BC], on AB + AC = AI + BC (théorème de l médine) Le cercle de centre Ω(x ; y ) et de ryon r pour éqution : (x - x ) + (y - y ) = r Une droite D une éqution crtésienne de l forme x + y + c = ( ; ) ( ; ) L droite D prtge le pln en deux demiplns P et P crctérisés pr les inéqutions : x + y + c ³ et x + y + c L projection orthogonle sur l droite D est l'ppliction qui à un point M ssocie le point m, intersection de D et de l droite pssnt pr M et perpendiculire à D L distnce du point M (x ; y ) à l droite D est l distnce du point M à m. Elle s'exprime pr : d(m, D) = M m = x + y + c + P M P m D TS - Fiche de cours : Géométrie / 5 TS - Fiche de cours : Géométrie 3 / 5

19 Géométrie dns l'espce Dns l'espce rpporté à un repère orthonorml (O; i, j, k ) Si A et B sont deux points de l'espce de coordonnées (x A ; y A ; z A ), (x B, y B, z B ) on d(a,b) = AB = AB = (x B - x A ) + (y B - y A ) + (z B - z A ) L sphère de centre Ω(x, y, z ) et de ryon r pour éqution : (x - x ) + (y - y ) + (z - z ) = r On dit qu'un vecteur u est orthogonl u (ou norml) à un pln P si u est orthogonl à tout vecteur de P. u P Pour qu'un vecteur u soit orthogonl à P, il m suffit qu'il soit orthogonl à deux vecteurs non colinéires de P. Tous les vecteurs orthogonux à un pln P sont colinéires entre eux. E D Une droite de vecteur directeur u est orthogonle (perpendiculire) à P si et seulement si le vecteur u est orthogonl à P. Pour qu'une droite soit perpendiculire à un pln P, il suffit qu'elle soit perpendiculire à deux droites sécntes de ce pln. Tout pln P une éqution crtésienne de l forme x + y +cz + d = vec ( ; ; c) # ( ; ; ) et u ( ; ; c) vecteur norml à P. Réciproquement l'ensemle des points M(x ; y ; z) tels que x + y + cz + d = vec ( ; ; c) # ( ; ; ) est un pln qui pour vecteur norml u ( ; ; c). Un pln P prtge l'espce en deux demi-espces E et E crctérisés pr les inéqutions : x + y + cz + d ³ et x + y + cz + d L projection orthogonle sur le pln P est l'ppliction qui à un point M ssocie le point m, intersection de P et de l droite pssnt pr M et perpendiculire à P. E M Soit D l droite pssnt pr A(x A ; y A ; z A ) et de vecteur directeur u ( ; ; c) x = x A + k M(x ; y ; z) D y = y A + k k IR z = z A + kc Le système ci-dessus est un système d'éqution prmétriques de l droite D. Réciproquement un tel système vec (; ; c) # ( ; ; ) définit une droite. Deux droites sont prllèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs u et v sont colinéires c'est-à-dire lorsque v = k u vec k IR *. Deux droites sont orthogonles si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs u et v sont orthogonux c'est-à-dire lorsque u. v =. Deux droites dns l'espce peuvent être orthogonles sns être sécntes. L'intersection d'une droite D et d'un pln P peut être : l'ensemle vide, un point unique ou l droite D tout entière. On pourr déterminer cette intersection en utilisnt le système d'équtions prmétriques de l droite et l'éqution crtésienne du pln. L'intersection de deux plns peut être : l'ensemle vide, une droite ou un pln. L'intersection de trois plns peut être : l'ensemle vide, un point, une droite ou un pln. On pourr déterminer ces intersections en écrivnt les systèmes formés vec les équtions crtésiennes des plns. Une droite pourr être définie pr intersection de deux plns, c'est-à-dire pr un x + y +cz + d = système de deux équtions crtésiennes : 'x + 'y +c'z + d' = L projection orthogonle sur l droite D est l'ppliction qui à un point M ssocie le point m, intersection de D et du pln pssnt pr M et perpendiculire à D. P M D m L distnce du point M (x ; y ; z ) u pln P est l distnce du point M à m. Elle s'exprime pr : d(m, P) = M m = x + y + cz + d + + c TS - Fiche de cours : Géométrie 4 / 5 TS - Fiche de cours : Géométrie 5 / 5

20 Trigonométrie Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur IR et on pour tout réel x : - cos x ; - sin x cos x + sin x = Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période π. On donc, pour tout réel x et pour tout entier reltif k : sin(x + kπ) = sin x et cos(x + kπ) = cos x L fonction tngente est définie pour tout x π [π] pr tn x = sin x cos x L fonction tngente est périodique de période π : tn(x + kπ) = tn x (k ZZ) x π π 3π π sin x - cos x - π 6 3 π 4 3π L fonction sinus est impire : pour tout réel x, on sin (-x) = -sin x (S coure représenttive dns un repère orthogonl pour centre de symétrie l'origine du repère). L fonction sinus est dérivle sur IR et s dérivée est : (sin x )' = cos x L fonction cosinus est pire : pour tout réel x, on cos (-x) = cos x (S coure représenttive dns un repère orthogonl pour xe de symétrie l'xe des ordonnées). L fonction cosinus est dérivle sur IR et s dérivée est : (cos x )' = - sin x π 3 3 π sin x x x cos x π π 3 π 4 π 6 Correspondnces Pour tout réel x : sin π - x = cos x ; cos π - x = sin x sin x + π = cos x ; cos x + π = - sin x sin (π - x) = sin x ; cos (π - x) = - cos x cos (x + π) = - cos x ; sin (x + π) = - sin x π x x + π Il fut svoir retrouver toutes ces églités à prtir du dessin. Formules d'ddition et de dupliction Pour tous réels et : x + π π - x cos ( + ) = cos cos - sin sin ; sin ( + ) = sin cos + cos sin cos ( - ) = cos cos + sin sin ; sin ( - ) = sin cos - cos sin cos () = cos - sin = cos - = - sin sin () = sin cos Résolution d'équtions α étnt un réel fixé : x = α + kπ cos x = cos α ou k ZZ x = -α + kπ x α + kπ x -α + kπ L fonction tngente est impire : pour tout x π [π], on tn(-x) = -tn x (S coure représenttive dns un repère orthogonl pour centre de symétrie l'origine du repère). L fonction tngente est dérivle sur tout intervlle dns lequel elle est définie et s dérivée est : (tn x )' = + tn x = cos x α étnt un réel fixé : x = α + kπ sin x = sin α ou k ZZ x = π -α + kπ π - α + kπ α + kπ TS - Fiche de cours : Trigonométrie / TS - Fiche de cours : Trigonométrie /