Cours (Terminale S) Limite d une fonction

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1 Cours (Termile S) Limite d ue octio Limite d ue octio e + ou Foctio déiie u voisige de + (resp ) Soit ue octio d esemble de déiitio D O dir que «l octio est déiie u voisige de + (resp )» s il eiste u réel A tel que l itervlle ] A;+ [ (resp ] ;A[ ) soit iclus ds D Limite d ue octio e + (resp ) Cs d ue limite iie Soit ue octio d esemble de déiitio D O suppose que est déiie u voisige de + (resp ) sur ] A;+ [ (resp ] ;A[ ) O dir que l octio dmet ue limite l e + (resp ) si, pour tout itervlle de l l ε; l+ ε ( 0 ;A ) tel que pour tout orme ] [ ε > ), il eiste u réel M de ] A;+ [ (resp de ] [ supérieur (resp iérieur) à M, o ] l ε; l+ ε[ O écrit lors : lim = (resp ) l Iterpréttio géométrique (voir ci-dessous) : ds u repère orthogol, l courbe représettive de l octio dmet u voisige de + (resp ) ue symptote horizotle d équtio y = l l l + ε ε M PMths [-] Septembre 008

2 L idée odmetle de cette déiitio est l suivte : à prtir du momet où l o se doe l ε; l+ ε vec ε > 0 ), toutes les u itervlle ouvert o vide cetré e l (c'est-à-dire ] [ vleurs prises pr l octio à prtir d ue certie vleur de (cette vleur déped à priori de ε et correspod u réel M de l déiitio) serot ds cet itervlle Bie évidemmet, dire que l o ce résultt pour importe quel ε > 0 sous-eted qu o l pour u ε rbitriremet petit Remrque : il est équivlet de cosidérer u itervlle ouvert quelcoque cotet l ou u itervlle quelcoque ouvert cetré e l Eemples clssiques Pour tout réel, o : lim = lim = 0 et lim = 0 Etblissos, à l ide de l déiitio, le résultt : lim = 0 Ici, ous sommes ds l situtio où l limite est coue ( l = 0 ) Nous otos l octio Cette octio est déiie sur { } et ous llos ; puisque ous ous itéressos à l limite de e trviller sur l itervlle ] [ Cosidéros lors u réel ε strictemet positi quelcoque et l itervlle ] ε; ε[ O l équivlece : ] ε ; + ε [ ] ; [ ε + ε ε < <+ ε Comme ] ; [, o : < 0 et il viet lors : + ε < <+ ε > ε O poursuit : ε > < ε Le réel M cherché vut, pr eemple : M = ε O peut doc écrire : pour tout 0 O bie lim = 0 Le résultt est isi étbli ε ε >, < ] ε; + ε[ PMths [-] Septembre 008

3 Cs d ue limite iiie Soit ue octio d esemble de déiitio D O suppose que est déiie u voisige de + (resp ) O dir que l octio dmet + (resp ) comme limite e + (resp ) si, pour tout réel B, il eiste u réel M de D tel que pour tout supérieur (resp iérieur) à M, o ( ) > B (resp ( ) < B ) O écrit lors : (resp ) Iterpréttio de l déiitio de lim lim = + (resp ) + = + : pour tout réel (sous-etedu rbitriremet grd), il eiste ue vleur de l esemble de déiitio de l octio u-delà de lquelle toutes les vleurs prises pr l octio serot supérieures u réel cosidéré (de it, ue telle octio e ser ps mjorée!) Attetio! Ce qui précède implique e rie que l octio soit croisste! O pourr pr eemple cosidérer, pour s e covicre, l octio : si + 57 Notio d symptote oblique Soit ue octio d esemble de déiitio D O suppose que est déiie u voisige de + (resp ) et o ote C s courbe représettive ds u repère O dir que l octio dmet e + (resp ) ue symptote oblique Δ d équtio y = + b (ou «que l droite Δ d équtio y = + b est symptote oblique à C e + (resp )») si o : Remrques : (resp ) lim + b = 0 Lorsqu elle eiste, l symptote est uique! Pour étudier l positio de C pr rpport à Δ, o étudie le sige de l diérece ( + b) (cette étude se it, à priori, sur D ) Attetio! Ce sige ucu riso d être costt L octio ci-dessus dmet l droite d équtio y = + 5 comme symptote oblique e + et e mis l diérece chge périodiquemet de sige (c l igure pge suivte) PMths [3-] Septembre 008

4 L octio si : + 57 et so symptote oblique d équtio y = + 5 Limite d ue octio e u réel Cs d ue limite iie Soit ue octio d esemble de déiitio D et soit u réel r + r (o ote O suppose qu il eiste u réel strictemet positi r tel que ] [ { } ; que l octio est ps écessiremet déiie e O dit que «est déiie ds u voisige de ss écessiremet être déiie e») O dir que l octio dmet ue limite iie l e si pour tout réel ε strictemet positi, α; + α r; + r o peut trouver u réel strictemet positi α tel que si ] [ ] [ { } lors o ur ] l ε; l+ ε[ O écrit lors : lim = l PMths [-] Septembre 008

5 si cos Eemples clssiques : lim = et lim = 0, 0 0 (O oter que ces limites correspodet e it à des ombres dérivés) Remrques : O déiir de ço similire les (évetuelles) limites à droite et à guche de e O lim lim pour l limite à guche écrir lors : pour l limite à droite et > Pr eemple, l octio dmet ue limite à droite e = mis dmet ps de limite à guche e ce réel O remrquer églemet que l eistece de ces deu limites implique e rie leur églité (cosidérer l octio prtie etière e u réel ) ; lim = lim Ei, o peut voir > < < Cs d ue limite iiie Soit ue octio d esemble de déiitio D et soit u réel O suppose qu il eiste u réel strictemet positi r tel que ] r r[ { } + (o ote ; que l octio est ps écessiremet déiie e O dit que «est déiie ds u voisige de ss écessiremet être déiie e») O dir que l octio dmet + (resp ) comme limite e si pour tout réel B, o peut α; + α r; + r lors trouver u réel strictemet positi α tel que si ] [ ] [ { } o ur ( ) > B (resp ( ) < B ) O écrit lors : lim = + (resp ) Remrque : comme précédemmet, o peut «seulemet» voir ue limite iiie à guche et/ou à droite de O cosidèrer, à titre d illustrtio, l eemple suivt : lim > Iterpréttio géométrique Si dmet u limite iiie e (resp à guche, à droite), o dit que l courbe représettive C de l octio dmet e (resp à guche de, à droite de ) ue symptote verticle d équtio Eemples clssiques : lim = < = lim = + > ( ) ( ) ( ) lim = + > lim = lim = lim =+ < > PMths [5-] Septembre 008

6 Clcul de limites Opértios et limites Covetios de clcul Pour simpliier certis clculs de limites, o itroduit les «ombres» et + vec les règles de clcul suivtes : Additio + + ( + ) = + ; + ( ) = ;, + ( + ) =+ ;, + ( ) = ; Opposé : ( + ) = et =+ le clcul «+ ( + )» est ps déii Multiplictio + ( + ) = + ; ( ) = + ; ( + ) =+ ( ) = ; + *, ( + ) =+ et *, + *, ( ) = et *, Iverse : = 0 et + = 0 + = ; =+ ; Les clculs «0 ( + )» et «0 ( )» e sot ps déiis Il e découle que les clculs «± ±» e le sot ps églemet Le clcul «0 0» est ps déii De ço plus géérle, lorsque le déomiteur du rpport de deu octios ted vers 0, o se demder si le sige reste costt où ps (limite de type 0 + ou 0 Il y ucue riso que ce soit le cs et o pourr cosidérer l octio pour s e covicre) si PMths [6-] Septembre 008

7 Pour simpliier certis éocés (voir ci-près), o peut poser : = { ; + } Opértios et limites A prtir des covetios de clcul ci-dessus, o peut ormellemet écrire : Soit et g deu octios déiies ds u voisige de (ps écessiremet e ), et k Alors : lim ( k ) = k lim ( + g) = + g lim lim lim ( g) = g lim lim lim lim g lim = lim g Lorsque l o est coroté à ue situtio «iterdite» (c les clculs o déiis ci-dessus), o dit que l o ire à ue «orme idétermiée» O retiedr les qutre types odmetu de ormes idétermiées :, «0 0», et «0» Le cs des octios polyômes Soit ue octio polyôme L limite e ± de est l limite correspodte du terme de plus hut degré Eemple : lim ( ) lim ( 3 3 ) + = = Ue octio polyôme de degré ( ) est de l orme : = vec 0 0 Si = 0, o ire à ue octio costte (ie octio polyôme de degré 0) et o lim = lim = qui est bie le terme de plus hut degré (!) trivilemet : 0 0 ± Si 0, o, e mettt ± e cteur : = = = PMths [7-] Septembre 008

8 Comme : lim lim lim 0 = = ± ± = ± =, il viet : lim ± = D où : lim = lim = lim 0 ± ± ± Le résultt est isi étbli Le cs des octios rtioelles Soit ue octio rtioelle L limite e ± de est l limite correspodte du rpport des termes de plus hut degré Eemples : + 7 lim lim lim lim 0 3 = 3 = = = lim lim lim 3 = 3 = = lim = lim = lim = lim = Le théorème se démotre de ço logue à ce qui été it vec les polyômes (o ctorise cette ois le umérteur et le déomiteur, à chque ois pr le terme de plus hut degré) Compriso Soit et g deu octios déiies u voisige de + (resp ) O suppose qu il eiste u réel A tel que : ] A; + [ et ] A; [ g Pour tout réel > A (resp A Ds ces coditios, o : + (resp ] ;A[ et ] ;A[ g ) ; < ), o : g (resp g lim lim g = + = + (resp lim g lim Ces deu résultts sot ssez ituitis = = ) ) Si ue octio pred, e +, des vleurs supérieures (resp iérieures) à ue octio tedt vers + (resp ), lors elle ted églemet vers + (resp ) PMths [8-] Septembre 008

9 Etblissos le résultt ds le cs d ue octio dmettt ue limite égle à + e + O trville doc sur u itervlle ] A;+ [ sur lequel les octios et g sot déiies et vériiet : ] A; + [, g O suppose ei que l o : lim g =+ Soir lors u réel B lim g Comme =+, o peut trouver u réel M tel que : M g > > B Soit lors r = m ( M, A) Pour tout réel strictemet supérieur à r o : g( ) > B et g D où : ( ) > B O bie : lim = + Le résultt est isi étbli O églemet le théorème suivt commuémet ppelé «théorème des gedrmes» : Soit, g et h trois octios déiies u voisige de + (resp ) O suppose qu il eiste u réel A tel que : ] A; + [, ] A; + [ g et ] A; [ h ] ;A[ h ) ; Pour tout réel > A (resp A Ds ces coditios, o : + (resp ] [, ] [ ;A < ), o : g h lim g = lim h = l lim = l (resp lim lim lim g = h = l = l ) ;A g et h g Théorème des gedrmes Eemple de courbes représettives des octios (rouge), g (bleu) et h (vert) PMths [9-] Septembre 008

10 Démotros le théorème ds le cs d ue limite e + Nous supposos doc qu il eiste u réel A tel que : ] A; + [, ] A; + [ g et ] A; + [ h ; Pour tout réel A g h >, o : Pr illeurs, o suppose : lim lim Soit lors u réel ε strictemet positi lim g l g = h = l Comme =, il eiste u réel M tel que : > M l ε < g < l+ ε De même, comme lim h = l, il eiste u réel N tel que : N ε > l < h < l+ ε Posos lors r = m ( M, N, A) Pour > r, o l ε < g < l+ ε, l ε < h < l+ ε et g h Soit l ε < g h < l+ ε O isi trouvé u réel (r) tel que : > r l ε < < l+ ε O e tire lim = l Le résultt est isi étbli Limite d ue octio composée Soit et g deu octios Soit, b et l trois élémets de O suppose que : L octio est déiie ds u voisige de et lim = b ; lim g X = l X b L octio g est déiie ds u voisige de b et Alors o : Eemples : 5+ 3 lim go = l O cherche : lim L octio peut être cosidérée comme l composée de l octio : et de l octio g: X X 7 5 PMths [0-] Septembre 008

11 O lors : O : lim g( X) Filemet : lim = lim = lim = X X 7 7 lim = lim X = = = O cherche : lim 5cos + 7 cos 3 π O peut écrire : L octio 5cos + 7cos3 O cherche lors : lim g( X) X 7 5cos + 7 cos 3 = 5 cos + 7 cos 3 = 0 cos + 7 cos 8 peut lors être cosidérée comme l composée des octios : : cos et g: X 0X + 7X 8 O lors : lim ( ) lim cos π cos 0 π π = = = O cherche lors : lim g( X) O imméditemet : g( X) ( X X ) Filemet : π lim = lim = 8 X 0 X 0 lim 5cos + 7 cos 3 =8 X 0 PMths [-] Septembre 008

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