Calcul matriciel ... Il est impossible de faire la somme de 2 matrices de tailles différentes.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Calcul matriciel ... Il est impossible de faire la somme de 2 matrices de tailles différentes."

Transcription

1 Chapitre : Calcul matriciel Spé Maths - Matrices carrées, matrices-colonnes : opérations. - Matrice inverse d une matrice carrée. - Exemples de calcul de la puissance n-ième d une matrice carrée d ordre ou 3. I. Matrices et opérations élémentaires Définition : Une matrice de taille mxn est un tableau de nombres de m lignes et de n colonnes. a1,1 a1,... a1, n1 a1, n a,1 a,... a, n1 a, n a3,1 a3,... a3, n 1 a 3, n M am 1,1 am 1,... am 1, n 1 a m1, n am,1 am,... am, n1 a m, n Les nombres a i,j (avec 1 i m et 1 j n ) sont appelés les coefficients de la matrice M. Exemples : Une matrice dont tous les coefficients sont nuls est appelée matrice nulle. Une matrice de taille 1xn est appelée matrice ligne. Une matrice de taille mx1 est appelée matrice colonne. Somme de matrices : La somme de matrices A et B de même taille est la matrice C à coefficients c i,j =a i,j b i,j (avec 1 i m et 1 j n ). On ajoute entre eux les coefficients des matrices A et B qui ont la même position. Remarque : Il est impossible de faire la somme de matrices de tailles différentes. Produit d une matrice par un réel : Soit A une matrice et k un réel. Le produit de A par le réel k est la matrice ka dont chaque coefficient a été obtenu en faisant le produit des coefficients de A par le réel k Propriété : Soit A et B deux matrices de même taille et k un réel. k(ab)=kakb

2 Définition : Une matrice carrée de taille n est une matrice qui comporte autant de lignes que de colonnes. a1,1 a1,... a1, n1 a1, n a,1 a,... a, n1 a, n M an 1,1 an 1,... an 1, n 1 a n1, n a1 a... a n1 a n Les coefficient a 1,1, a,, a 3,3,, a n sont les coefficients diagonaux de la matrice carrée. Exemples : La matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonales qui sont égaux à 1 est appelée matrice unité I n de taille n : 1 1 I4 1 1 Produit d une matrices carrée par une matrice colonne : Soit A une matrice carrée de taille n et B une matrice colonne de taille nx1. Le produit de A par B est la matrice colonne C à coefficients c i,1 =a i,1 xb 1,1 a i, xb,1 a i,n xb 1 (avec 1 i n ). b b b 1,1,1 3,1 a a a a a a a a a 1,1 1, 1,3,1,,3 3,1 3, 3,3 c c c 1,1,1 3, ( 1) ( 1) 3 1 ( 3) 7 1 ( 1) ( 1)

3 Produit de deux matrices carrées : Le produit de matrices carrées A et B de même taille est la matrice C à coefficients c i,j =a i,1 xb 1,j a i, xb,j a i,n xb j (avec 1 i n et 1 j n ). b b b b b b b b b 1,1 1, 1,3,1,,3 3,1 3, 3,3 a a a a a a a a a 1,1 1, 1,3,1,,3 3,1 3, 3, Exemples : ( 4)( ) ( 4) 1 1( 4) ( 7) 1 9( 1)( ) ( 1) 1 1( 1) ( 7) ( ) ( 7) Mais : Remarques : En général, le produit de deux matrices n est pas commutatif. (AB BA) La multiplication par la matrice unité ne change rien (la matrice unité est l élément neutre du produit matriciel). Propriétés : Soit A, B et C trois matrices carrées de taille et k un réel. A(BC)=ABAC et (BC)A=BACA (distributivité) A(BC) = (AB)C = ABC (associativité) (ka) B = k (AB) = A(kB)

4 II. Puissances de matrices Définition : Soit n un entier naturel et soit A une matrice carrée de taille n. A = AA A 3 = AAA A n = AA A Propriété : Soit n un entier naturel et soit A une matrice diagonale de taille n. a1,1 a, A... a n a1,1 a, Alors : A... a n k a1,1 k a k, Et plus généralement: A, pour tout k entier naturel.... k a n III. Matrice inverse Définition : Soit A une matrice carrée de taille n. A est une matrice inversible s il existe une matrice B telle que : AB = I n Dans ce cas B est appelée matrice inverse de A et se note : B = A -1 = BA

5 Remarque : Les matrices carrées ne sont pas toutes inversibles I Donc est inversible et a pour inverse Propriété : Soit A une matrice carrée de taille : A est inversible si et seulement si ad bc. a A c b d Démonstration : a b Soit A et c d On a alors : d b B, avec a, b, c et réels. c a a b d b ad bc 1 A B () ad bc c d c a ad bc 1 1 er cas : (a,b,c,d) = (,,,) Dans ce cas, A et B sont deux matrices nulles. A=B= A n est donc pas inversible ème cas : ad-bc =, avec (a,b,c,d) (,,,) 1 Dans ce cas : A B 1 Raisonnons par l absurde en supposant que A est inversible. Soit C sa matrice inverse. On a d une part : C A B C A B C 1 Et d autre part : C A B C A B B B 1 Donc : B Ceci implique que : (a,b,c,d) = (,,,) Absurde! Donc A n est pas inversible. 3 ème cas : ad-bc Comme ad-bc, on peut diviser par ad-bc. d b 1 1 a b ad bc ad bc 1 A B A B ad bc ad bc c d c a 1 ad bc ad bc d b ad bc ad bc A est donc inversible, et sa matrice inverse est B c a ad bc ad bc.

6 Méthode : Résolution de systèmes à l aide des matrices On considère un système de 3 équations à 3 inconnues x, y et z. ax by cz d a ' x b ' y c ' z d ' a '' x b '' y c '' z d '' Ce système équivaut à ce produit matriciel : a b c x d a ' b ' c ' y d ' a '' b '' c '' z d '' a b c Si la matrice a ' b' c ' est inversible, alors on obtient : a '' b'' c '' 1 1 a b c a b c x a b c d a ' b' c ' a ' b ' c ' y a ' b ' c ' d ' a '' b '' c '' a '' b '' c '' z a '' b '' c '' d '' I 3 1 x a b c d y a ' b ' c ' d ' z a '' b '' c '' d '' Ce qui permet de déterminer rapidement la solution de ce système x y z 7 Résous ce système : x y 3z 3 3x y z x 7 Ce système équivaut au produit matriciel suivant : 3 y z est inversible d inverse x y z

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Les matrices. 1 Définitions. 1.1 Matrice

Les matrices. 1 Définitions. 1.1 Matrice Les matrices 2012-2013 1 Définitions 11 Matrice Définition 1 Une matrice m n est un tableau de nombres à m lignes et n colonnes Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice

Plus en détail

I) Le temps des matrices. A- A propos des matrices. Quang-Thai NGO Ch 01. Difficulté ** Importance **** Objectifs

I) Le temps des matrices. A- A propos des matrices. Quang-Thai NGO Ch 01. Difficulté ** Importance **** Objectifs Ch01 : Matrice Les matrices ont été introduites récemment au programme des lycées. Il s agit d outils puissants au service de la résolution de problèmes spécifiques à nos classes, en particulier les problèmes

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths, année 2012 1 Rappel de l épisode précédent

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES O. Lader 2014/2015 Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 1 / 51 Systèmes linéaires Deux exemples de systèmes linéaires à deux équations et deux

Plus en détail

A. 1. Définitions 96/154. Cas particuliers

A. 1. Définitions 96/154. Cas particuliers I II III IV V VI VII VIII Cours de Mathématiques IUT Orsay DUT INFORMATIQUE A - Semestre 0-0 Introduction Wims Calcul ensembliste Relations binaires, applications Logique Raisonnements par récurrence,

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Cours Diagonalisation

Cours Diagonalisation Cours Diagonalisation par Pierre Veuillez 1 Objectif Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1. Interprètation : Quelle relation reconnaît-on?

Plus en détail

Arthur Cayley (1821-1895)

Arthur Cayley (1821-1895) Arthur Cayley (1821-1895) Mathématicien britannique, il fait partie des fondateurs de l'école britannique moderne de mathématiques pures. Il est considéré comme l'inventeur des matrices. Dès 1854, il a

Plus en détail

Algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels R n. Jean-Paul Davalan. 1.1 Les ensembles R n. 1.2 Addition dans R n. (R n, +) désigne R n muni de l addition.

Algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels R n. Jean-Paul Davalan. 1.1 Les ensembles R n. 1.2 Addition dans R n. (R n, +) désigne R n muni de l addition. Algèbre linéaire. Jean-Paul Davalan 2001 1 Espaces vectoriels R n. 1.1 Les ensembles R n. Définition 1.1 R 2 est l ensemble des couples (x, y) de deux nombres réels x et y. D une manière générale, un entier

Plus en détail

Matrices. 1. Définition. Exo7. 1.1. Définition

Matrices. 1. Définition. Exo7. 1.1. Définition Exo7 Matrices Vidéo partie 1 Définition Vidéo partie 2 Multiplication de matrices Vidéo partie 3 Inverse d'une matrice : définition Vidéo partie 4 Inverse d'une matrice : calcul Vidéo partie 5 Inverse

Plus en détail

L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence

L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence Sommaire 1. Arithmétique 2 1.1. Division euclidienne......................... 2 1.2. Congruences.............................

Plus en détail

Matrices A = 6. Exemple Si A =

Matrices A = 6. Exemple Si A = Matrices 1. Définition Une matriceade dimensionn p ou de format(n;p) est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes. On note a ij l élément se trouvant à l intersection de la ligne i et de

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

Cours de mathématiques M22 Algèbre linéaire

Cours de mathématiques M22 Algèbre linéaire Cours de mathématiques M22 Algèbre linéaire λ u u + v u v u Exo7 Sommaire Systèmes linéaires 3 Introduction aux systèmes d équations linéaires 3 2 Théorie des systèmes linéaires 7 3 Résolution par la méthode

Plus en détail

L essentiel du cours

L essentiel du cours Terminale S et concours L essentiel du cours mathématiques Arithmétique - matrices Jean-Marc FITOUSSI Progress Editions Table des matières Arithmétique 01 LA DIVISIBILITÉ page 6 02 LA DIVISION EUCLIDIENNE

Plus en détail

Matrices et déterminants

Matrices et déterminants Matrices et déterminants Matrices Définition.. Une matrice réelle (ou complexe) M = (m i,j ) (m, n) à m lignes et n colonnes est un tableau à m lignes et n colonnes de réels (ou de complexes). Le coefficient

Plus en détail

Activité 1. Activité 2. M. Wissem Fligène Activités numériques II 1 A- Cours I. Opérations de base Calculs dans R : 1- Opérations dans R.

Activité 1. Activité 2. M. Wissem Fligène Activités numériques II 1 A- Cours I. Opérations de base Calculs dans R : 1- Opérations dans R. I. Opérations de base Calculs dans R : 1- Opérations dans R Activité 1 Compléter : 3 1 1) + =... 2 4 3 On dit que est la. de 2 et 1 4 (3 2 et 1 sont les de cette ) 4 3 2 3 2) =... ; On dit que est la de

Plus en détail

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures Chapitre 2 Anneaux, algèbres 2.1 Structures Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations internes + et et d éléments 0 A et 1 A qui vérifient : associativité de l addition : commutativité de l addition

Plus en détail

Second degré : Résumé de cours et méthodes

Second degré : Résumé de cours et méthodes Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITIN n appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f () = a + b + c (a,b et c réels avec a 0). Remarque : Par abus

Plus en détail

CHAPITRE 6 Les vecteurs

CHAPITRE 6 Les vecteurs A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche"

Plus en détail

MATHÉMATIQUES - SPÉCIALITÉ. Table des matières

MATHÉMATIQUES - SPÉCIALITÉ. Table des matières MATHÉMATIQUES - SPÉCIALITÉ F.HUMBERT Table des matières Chapitre A - Congruences 2 Chapitre B - PGCD 5 Chapitre C - Nombres premiers 11 Chapitre D - Matrices et évolution de processus 14 Chapitre E - Matrices

Plus en détail

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices Réduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Spé - Diagonaliser les matrices suivantes : 0 2 1 A = 3 2 0 B = 2 2 1 0 3 2 2 5 2 2 3 0 On donnera aussi la matrice de passage

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Introduction aux inégalités

Introduction aux inégalités Introduction aux inégalités -cours- Razvan Barbulescu ENS, 8 février 0 Inégalité des moyennes Faisons d abord la liste des propritétés simples des inégalités: a a et b b a + b a + b ; s 0 et a a sa sa

Plus en détail

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY. Les nombres contenus dans ce tableau sont appelés les coefficients de la matrice.

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY. Les nombres contenus dans ce tableau sont appelés les coefficients de la matrice. Les matrices chapitre 2 : calcul matriciel I / Définitions Soit n et p deux entiers naturels non nuls Une matrice n p (on dit aussi de format n ; p ( ) est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes

Plus en détail

MAT1702 A - SOLUTIONS DU TEST #2 - VERSION A

MAT1702 A - SOLUTIONS DU TEST #2 - VERSION A MAT702 A - SOLUTIONS DU TEST #2 - VERSION A. (5 points) Étant donné A 3 et B. 0 Pour chacune des opérations matricielles ci-dessous, calculez la matrice résultante si elle existe. Si l opération n est

Plus en détail

1/2 2/2. 2. Matrices. Sections 2.4 et 2.5 MTH1007. J. Guérin, N. Lahrichi, S. Le Digabel École Polytechnique de Montréal A2016.

1/2 2/2. 2. Matrices. Sections 2.4 et 2.5 MTH1007. J. Guérin, N. Lahrichi, S. Le Digabel École Polytechnique de Montréal A2016. 2. Matrices Sections 2.4 et 2.5 MTH1007 J. Guérin, N. Lahrichi, S. Le Digabel École Polytechnique de Montréal A2016 (v4) MTH1007: algèbre linéaire 1/18 Plan 1. Les règles des opérations matricielles 2.

Plus en détail

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J =

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J = Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 205 Prof. A. Abdulle EPFL Série 4 (Corrigé) Exercice Soit J M 2n 2n (R) la matrice définie par J 0 In, I n 0 où I n est la matrice identité de M n n (R) et 0

Plus en détail

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE. Algèbre Linéaire. Bachelor 1ère année 2008-2009. Sections : Matériaux et Microtechnique

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE. Algèbre Linéaire. Bachelor 1ère année 2008-2009. Sections : Matériaux et Microtechnique ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Algèbre Linéaire Bachelor ère année 28-29 Sections : Matériaux et Microtechnique Support du cours de Dr Lara Thomas Polycopié élaboré par : Prof Eva Bayer Fluckiger

Plus en détail

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Exercice 1 On considère sur R la loi de composition définie par x y = x + y xy. Cette loi est-elle associative, commutative?

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire Université de Paris X Nanterre UFR Segmi Année 7-8 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II Chapitre Algèbre linéaire Table des matières Espaces vectoriels Espaces et sous-espaces

Plus en détail

[ [ [ ] 1. Définitions et Vocabulaire. Chapitre 3 Calcul matriciel. a. Définitions d'une matrice

[ [ [ ] 1. Définitions et Vocabulaire. Chapitre 3 Calcul matriciel. a. Définitions d'une matrice Chapitre Calcul matriciel. Définitions et Vocabulaire a. Définitions d'une matrice Définition Une matrice de dimension n p est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes s [ 8 6 0 [ 6 8 0

Plus en détail

A. Déterminant d une matrice carrée

A. Déterminant d une matrice carrée IUT ORSAY Mesures Physiques Déterminants Initiation à la diagonalisation de matrice Cours du ème Semestre A Déterminant d une matrice carrée A-I Définitions élémentaires Si A est la matrice ( a ) on appelle

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51 Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech Paris-UPMC - p. /5 Rappels mathématiques s Propriétés - p. 2/5 Rappels mathématiques Soit à résoudre le système linéaire Ax = b. Rappels mathématiques

Plus en détail

Matrice et vocabulaire associé

Matrice et vocabulaire associé I Matrice et vocabulaire associé I1 Définitions Définition 1 Deux entiers naturels m et n étant donnés non nuls, on appelle matrice de format m, n tout tableau rectangulaire ayant m n éléments, disposés

Plus en détail

201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1

201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1 Chapitre1 Matrices 1 201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1 EXERCICES 1.2 1. a) 1 3 Ë3 7 3 2 Ë 1 16 pas défini d) 16 30 17 3 e) Ë 7 68 22 16 13 Ë 5 18 6 2. a) 0 4 4 4 0 4 Ë4 4 0 Ë 0 4 32 4 4 0 4 32 32 4 0 4 4

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Chapitre 3 : Matrices

Chapitre 3 : Matrices Chapitre 3 : Matrices Sommaire I Notion de matrice et vocabulaire II Opérations de base sur les matrices 3 1 Addition de matrices et multiplication d un réel par une matrice 3 Multiplication matricielle

Plus en détail

Cours de mathématiques : Equation du second degré

Cours de mathématiques : Equation du second degré Cours de mathématiques : Equation du second degré I ) Formes de l'équation du second degré. L'équation du deuxiéme degré à une inconnue est celle où l'inconnue est élévé à la puissance de 2, sans y etre

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE POITIERS

UNIVERSITÉ DE POITIERS UNIVERSITÉ DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées Mathématiques PREMIÈRE ANNEE DE LA LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES UE L «algèbre linéaire» Plan du cours Exercices Enoncés des

Plus en détail

Outils mathématiques pour la physique et la chimie. Introduction. 1.1 Espaces vectoriels. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon.

Outils mathématiques pour la physique et la chimie. Introduction. 1.1 Espaces vectoriels. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon.fr Tél : 87 14 Outils mathématiques pour la physique et la chimie Introduction Ce document est un rappel de notions de mathématiques de base (i.e. niveau L1/L).

Plus en détail

Dans tout ce qui suit, n, m et p sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.

Dans tout ce qui suit, n, m et p sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1. I Généralités sur les matrices Activité 1 Dans tout ce qui suit, n, m et p sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1 Une matrice A de dimensions m p est un tableau de nombres à m lignes et p colonnes

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 2015. Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 2015. Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 2015 L1 Économie Cours de M. Desgraupes Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques Séance 01 : Calcul algébrique

Plus en détail

Exercices Corrigés Matrices 1 2 A = 2 1

Exercices Corrigés Matrices 1 2 A = 2 1 Exercices Corrigés Matrices Exercice Considérons les matrices à coefficients réels : A =, B = 4 C =, D = 0, E = Si elles ont un sens, calculer les matrices AB, BA, CD, DC, AE, CE Exercice extrait partiel

Plus en détail

Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 17 Matrices et applications linéaires Sommaire 171 Matrices et applications

Plus en détail

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (K) Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C.

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (K) Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C. Matrices Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C Matrices rectangulaires Soient n, p deux nombres entiers non-nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K tout tableau rectangulaire

Plus en détail

Correction du devoir maison n o 7 PARTIE I

Correction du devoir maison n o 7 PARTIE I Lycée Kléber Pour le 5 décembre 2014 PSI* 2014-2015 Correction du devoir maison n o 7 (Mines I PSI 2001) MATHEMATIQUES PARTIE I Remarquons d abord que la définition de la semi-linéarité de u est équivalente

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Matrices. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2016/2017

Matrices. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2016/2017 Matrices Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 016/017 Table des matières 1 Notion de matrice 1.1 Définition................................................. 1. Addition de matrices...........................................

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

PROBLÈME : Endomorphismes semi-linéaires et valeurs co-propres. Partie I

PROBLÈME : Endomorphismes semi-linéaires et valeurs co-propres. Partie I PROBLÈME : Endomorphismes semi-linéaires et valeurs co-propres Sujet complet Mines Pont 2001 - PSI Partie I 1. Premières propriétés Remarquons d abord que la définition de la semi-linéarité de u est équivalente

Plus en détail

Algèbre 2 - L1 MIASHS/Lettres-Maths. UFR MIME, Université Lille 3.

Algèbre 2 - L1 MIASHS/Lettres-Maths. UFR MIME, Université Lille 3. Algèbre 2 - L1 MIASHS/Lettres-Maths AMIRI Aboubacar UFR MIME, Université Lille 3. 10 avril 2015. Université Lille 3 1 Définitions et notations Quelques matrices particulières Matrice d une famille sur

Plus en détail

Notes de cours de spé maths en Terminale ES

Notes de cours de spé maths en Terminale ES Spé maths Terminale ES Lycée Georges Imbert 05/06 Notes de cours de spé maths en Terminale ES O. Lader Table des matières Recherche de courbes sous contraintes, matrices. Systèmes linéaires.......................................

Plus en détail

1.3 Produit matriciel

1.3 Produit matriciel MATRICES Dans tout ce chapitre, K désigne les corps R ou C, p et n des entiers naturels non nuls 1 Matrices à coefficients dans K 11 Définition Définition 11 Matrice On appelle matrice à coefficients dans

Plus en détail

TS spé Exercices sur le calcul matriciel

TS spé Exercices sur le calcul matriciel TS spé Exercices sur le calcul matriciel ) A 0 0 0 et 0 0 B 0 On pose A et B 0 Calculer A B On pose A et B 0 8 Déterminer la matrice X carrée d ordre telle que A X B Calculer les matrices : A ; B ; C ;

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Cours fonctions, expressions algébriques

Cours fonctions, expressions algébriques I. Expressions algébriques, équations a) Développement factorisation Développer Développer un produit, c est l écrire sous forme d une somme. Réduire une somme, c est l écrire avec le moins de termes possibles.

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Plan (1/2) Support au cours. Plan (2/2) Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs de R N Norme d un vecteur

Plan (1/2) Support au cours. Plan (2/2) Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs de R N Norme d un vecteur Plan (1/2) Mathématique Élémentaire Introduction à l algèbre linéaire Support au cours S. Bridoux Université de Mons-Hainaut 1 L espace R N Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

Géométrie analytique

Géométrie analytique 8 décembre 2009 Théorème Dans( le plan muni d un repère orthonormal O; i, ) j, on considère une droite( passant par A et α de vecteur directeur u. β) Tout point M de cette droite est tel que : AM = t u,

Plus en détail

Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES

Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES Algèbre - cha 4 /9 Dans tout le chaitre K désigne R ou C, n et désignent des entiers naturels non nuls.. OPERATIONS SUR LES MATRICES. Notion de matrice Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES Définition

Plus en détail

Chapitre 3. Espaces vectoriels

Chapitre 3. Espaces vectoriels Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 3 Espaces vectoriels Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé

Plus en détail

Chapitre 1 : Programmation linéaire

Chapitre 1 : Programmation linéaire Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 1 : Programmation linéaire J.-F. Scheid 1 I. Introduction 1) Modélisation En Recherche Opérationnelle (RO), modéliser un problème consiste à identifier: les variables

Plus en détail

Le second degré. Table des matières

Le second degré. Table des matières Le second degré Table des matières 1 La forme canonique du trinôme 1.1 Le trinôme du second degré......................... 1. Quelques exemples de formes canoniques................. 1.3 Forme canonique

Plus en détail

Chapitre 13. Calcul matriciel. Mathématiques PTSI. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44

Chapitre 13. Calcul matriciel. Mathématiques PTSI. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44 Chapitre 13 Calcul matriciel Mathématiques PTSI Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44 On note K = R ou C Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac)

Plus en détail

Un point pondéré est un couple ( A, a ) formé d un point A et d un coefficient réel a.

Un point pondéré est un couple ( A, a ) formé d un point A et d un coefficient réel a. Cours 2 BARYCENTRES Définition Un point pondéré est un couple ( A, a ) formé d un point A et d un coefficient réel a 2 Barycentre d un système de plusieurs points pondérés On se place par exemple dans

Plus en détail

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3 Chapitre 10 Calcul matriciel 1 Généralités 2 11 Définitions 2 12 Matrices carrées particulières 3 2 Opérations sur les matrices 4 21 L espace vectoriel M np (R 4 22 Produit de deux matrices 5 23 Transposée

Plus en détail

Feuille 6 - Calcul matriciel

Feuille 6 - Calcul matriciel IUT d Orsay - Département Informatique 22-23 Exercices de mathématiques DUT A - S Feuille 6 - Calcul matriciel Opérations sur les matrices. Exercice corrigé en amphi Calculer, quand cela est possible,

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 2

Programmation Linéaire - Cours 2 Programmation Linéaire - Cours 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire 1 2 3 Retournons dans le yaourt! Reprenons l exemple du 1er cours Forme normale

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan Exo7 Systèmes linéaires Vidéo partie 1. Introduction aux systèmes d'équations linéaires Vidéo partie 2. Théorie des systèmes linéaires Vidéo partie 3. Résolution par la méthode du pivot de Gauss 1. Introduction

Plus en détail

Suites. 1 Notion de matrice-vocabulaire Exemple d utilisation Définitions et vocabulaire... 2

Suites. 1 Notion de matrice-vocabulaire Exemple d utilisation Définitions et vocabulaire... 2 Table des matières 1 Notion de matrice-vocabulaire 1 1.1 Exemple d utilisation......................................... 1 1.2 Définitions et vocabulaire...................................... 2 2 Multiplication

Plus en détail

CYCLE D ORIENTATION DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE MATHÉMATIQUES. S, L, M, GnivA NA 11.038.48

CYCLE D ORIENTATION DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE MATHÉMATIQUES. S, L, M, GnivA NA 11.038.48 1 CYCLE D ORIENTATION DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE MATHÉMATIQUES 9E S, L, M, GnivA NA DÉPARTEMENT DE L INSTRUCTION PUBLIQUE GENÈVE 1995 11.038.48 TABLE DES MATIÈRES 3 Table des matières 1 Les ensembles

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Existence et unicité de la fonction exponentielle 2 1.1 Deux résultats préliminaires.......................................

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

Les opérations sur les matrices Algèbre linéaire I MATH 1057 F

Les opérations sur les matrices Algèbre linéaire I MATH 1057 F Les opérations sur les matrices Algèbre linéaire I MATH 1057 F Julien Dompierre Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne Sudbury, 30 janvier 2011 Matrices (p. 107) Définition

Plus en détail

MATRICES. Quelques repères historiques (Voir le magazine «Tangente», HS N 44, janvier 2012)

MATRICES. Quelques repères historiques (Voir le magazine «Tangente», HS N 44, janvier 2012) MATRICES Quelques repères historiques (Voir le magazine «Tangente», HS N 44, janvier 2012) Les carrés «latins», ancêtres des Sudoku, sont connus depuis longtemps (on en trouve dans une légende chinoise

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 48 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées La motivation de ce chapitre est la suivante. Étant donné un endomorphisme f d un espace E de dimension finie, déterminé par sa matrice

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Calcul matriciel. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Calcul matriciel. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Calcul matriciel Bernard Ycart Ce chapitre est essentiellement technique et ne requiert pas d autre connaissance théorique que celle des espaces vectoriels

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

Cours élémentaire d arithmétique. Valentin Vinoles

Cours élémentaire d arithmétique. Valentin Vinoles Cours élémentaire d arithmétique Valentin Vinoles décembre 2009 Introduction «Wir müssen wissen. Wir werden wissen.» (Nous devons savoir. Nous saurons.) David Hilbert Voici un document présentant les principales

Plus en détail

Géométrie dans l Espace

Géométrie dans l Espace Géométrie dans l Espace Année scolaire 006/007 Table des matières 1 Vecteurs de l Espace 1.1 Extension de la notion de vecteur à l Espace............................. 1. Calcul vectoriel dans l Espace......................................

Plus en détail

Restauration d images

Restauration d images Restauration d images Plan Présentation du problème. Premières solutions naïves (moindre carrés, inverse généralisée). Méthodes de régularisation. Panorama des méthodes récentes. Problème général Un système

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail