Interdisciplinarité mathématiques et sciences physiques. Un exemple : la radioactivité en terminale S.

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1 Iterdiscipliarité mathématiques et scieces physiques. U exemple : la radioactivité e termiale S. Groupe Mathématiques et Scieces Physiques au Lycée IREM de Toulouse Michèle Fauré, Pierre López, Moique Madleur, Moique Sosset Itroductio. Le groupe «Mathématiques et scieces physiques au lycée de l IREM de Toulouse travaille depuis septembre Il est costitué de professeurs de mathématiques et de scieces physiques. Actuellemet, il compred deux professeurs de mathématiques (Michèle Fauré, Pierre Lopez) et deux professeurs de scieces physiques (Moique Madleur, Moique Sosset). La méthode de travail adoptée est basée sur quatre costats et quatre pricipes. Les costats. Premier costat : Das le préset comme das l'histoire, les mathématiques et les scieces physiques s'iterroget réciproquemet. Au cours de leurs recherches, les scieces physiques sollicitet les mathématiques pour résoudre certais des problèmes qu'elles recotret, et iversemet les mathématiques fourisset a priori aux scieces physiques des outils de modélisatio. Deuxième costat : Par le fait même qu'elles doivet permettre de prévoir, les scieces physiques e peuvet pas se passer de mathématiques.

2 Troisième costat : Les scieces physiques, et plus gééralemet toutes les scieces appliquées, utiliset pour leurs modélisatios des mathématiques de plus e plus élaborées. Ce phéomèe est ecouragé (paradoxalemet?) par le développemet de l usage de l ordiateur. Quatrième costat : Das la vie des lycées, les scieces physiques et les mathématiques sot liées. Les pricipes. Premier pricipe. Le ses que ous privilégios est le ses allat des scieces physiques vers les mathématiques. Il e s'agit pas de rechercher des situatios à cotexte physique (cocrètes ou pseudo-cocrètes) pour «illustrer» certaies otios mathématiques, mais plutôt de voir das la pratique du physicie commet sot utilisées les mathématiques. Deuxième pricipe. O veut éviter au professeur de scieces physiques de faire des mathématiques, et au professeur de mathématiques de faire des scieces physiques. O cosidère qu'il y a ue spécificité aux deux eseigemets, et que si ceux-ci iteragisset, ils e sauraiet se cofodre. Troisième pricipe : Les situatios que les lycées recotret e cours de scieces physiques sot l'occasio pour le professeur de mathématiques de cotextualiser des techiques plus ou mois explicites des programmes (le «ou mois» est fodametal pour otre recherche). Évetuellemet il s'agit de predre e charge pedat les cours de mathématiques l'acquisitio des outils et des techiques dot le physicie pourrait avoir besoi. Quatrième pricipe : Ue collaboratio etre les professeurs de mathématiques et de scieces physiques est écessaire. Elle doit aller vers des progressios cocertées. La collaboratio à laquelle ous veos de faire allusio doit être recoue istitutioellemet. Actuellemet, rie das le service des eseigats e la permet. Aussi les I.R.E.M. ot leur rôle a joué, et ous ous félicitos de la place qui ous a été faite au sei de l I.R.E.M. de Toulouse. Das le cadre d u travail de réflexio sur les programmes de termiale S, ous avos été aturellemet ameés à étudier le cas de la radioactivité qui occupe ue place privilégiée das les programmes.

3 E effet, elle fait l objet d u eseigemet e scieces de la vie et de la Terre et e scieces physiques. E mathématiques, elle a motivé ue orgaisatio ouvelle de l eseigemet de certaies otios du programme. O peut lire das les textes officiels : II - ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Il est demadé d itroduire la foctio expoetielle très tôt das l aée, das u souci de cohérece etre les eseigemets de mathématiques, de physique-chimie et de scieces de la vie et de la Terre. Pour l itroductio des autres cocepts, l eseigat reste libre de l ordre de présetatio. (B.O. 4 du 30 août 2001 hs série page 64) O remarque aussi, que das la partie du documet d accompagemet des programmes cosacrée à la classe de termiale S, il y a ue seule aexe, et elle est cosacrée à la radioactivité! Citos le documet d accompagemet : Ue aexe, sur l étude de la radioactivité complète cette partie cosacrée à la classe termiale : elle illustre la voloté d itroduire certais objets mathématiques (foctio expoetielle, lois de probabilité à desité cotiue) à travers l étude de ce phéomèe. (documet d accompagemet des programmes de termiale, itroductio page 6) Das la modélisatio de ce phéomèe les mathématiques s imposet fortemet. Elles itervieet das des registres variés (umérique, graphique, foctioel). Notre approche iterdiscipliaire 1 présupposés, otammet, sur : ous a ameés à remettre e cause certais la place de la foctio expoetielle et de l équatio différetielle qui lui est associée, l eseigemet des probabilités. Das cet article, ous présetos les coséqueces pédagogiques de ce travail. Nous avos élaboré ue progressio costituée de séaces de mathématiques et de scieces physiques teat réellemet compte de l aspect iterdiscipliaire de la radioactivité e termiale S. Nous commeços par préseter le premier T.P. fait e classe de physique qui étudie le phéomèe à u istat. 1 Nous ous sommes cotetés d ue approche maths-physique.

4 Il est suivi d u travail mathématique de modélisatio où les probabilités ot u rôle prépodérat. Pour passer à l étude expérimetale de la radioactivité das le temps, o s est redu compte qu il était écessaire de faire précédé le secod T.P. de physique par ue secode modélisatio mathématiques où la place occupée par l équatio différetielle est iattedue. Derière précisio avat de commecer, malgré ses logueurs, le texte qui suit, est qu u résumé. Il est prévu d éditer à l IREM de Toulouse ue brochure qui détaillera tous les poits, permettat d éclairer ceux qui pourraiet paraître obscurs.

5 A. Premier T.P. de physique. I. Objectif. Il s agit d évaluer, à partir d u istat doé de date t, le ombre de désitégratios se produisat pedat ue durée détermiée das u échatillo d u élémet radioactif. La démarche expérimetale coduit à effectuer plusieurs mesures. Cepedat il y a impossibilité de répéter plusieurs fois ue mesure à u même istat de date t. O choisit alors l élémet Césium 137 car la leteur de sa désitégratio permet de cosidérer que l activité de cet élémet est pas modifiée sur la durée du T.P.. Aisi, o admet que toutes les mesures, faites écessairemet à des istats différets, correspodet à des comptages à la même date t. II. Dispositif expérimetal. La désitégratio du Césium se fait selo la réactio d équatio Cs 0 1 e Ba + γ Le matériel utilisé (C.R.A.B.) est représeté et décrit ci-dessous. Ue source de Césium 137 (à droite das le tube) émetteur d électros accompagés de rayoemet γ ; u détecteur de radioactivité (à gauche das le tube) ; u compteur d'impulsios (partie iférieure). Le détecteur e reçoit qu'ue petite quatité du rayoemet émis. De plus, rie e permet d affirmer que le détecteur est efficace à 100%. Il réagit à des paquets de «radiatios». Le ombre d'impulsios affiché est doc pas égal au ombre de oyaux désitégrés. Mais, o cosidère que le ombre réel de désitégratios est proportioel au ombre affiché par l appareil.

6 III. Maipulatio. O fixe la distace D de la source au détecteur (4,5 cm) et la durée du comptage ( t = 2s). 1. Mesures. O lace le comptage. O effectue plusieurs séries de dix mesures. Das le tableau suivat, figuret quatre séries de comptages réalisées das ue classe de termiale S : Série 1 Série 2 Série 3 Série Iterprétatio. La dispersio des mesures décocerte et itrigue fortemet les élèves. Ceux-ci proposet des iterprétatios très diverses. E particulier certais émettet l idée que l appareil de comptage est défectueux, d autres ot l impressio que c est «importe quoi»! Le professeur doit ivalider les iterprétatios erroées et ameer l idée de phéomèe aléatoire qui est le premier objectif de ce T.P.. Cette phase est particulièremet importate : pour les élèves elle costitue la première recotre avec ce type de phéomèe. L eseigat guide alors les élèves vers u traitemet statistique. Mais cela écessite de faire appel à u très grad ombre de comptages. U fichier officiel coteat le résultat de 1000 comptages est exploité.

7 IV. Traitemet statistique de séries de comptages. Les élèves costruiset les diagrammes e bâtos (fréqueces e ordoées et classes e abscisses) correspodat à 50, 100, 200, 400, 500, 700 et 1000 comptages. Les diagrammes figurat ci-dessous ot été faits avec le logiciel Gééris comptages 100 comptages 0,3 0,3 0,25 0,25 0,2 0,2 0,15 0,15 0,1 0,1 0,05 0, comptages 400 comptages 0,3 0,3 0,25 0,25 0,2 0,2 0,15 0,15 0,1 0,1 0,05 0, comptages 700 comptages 0,3 0,30 0,25 0,25 0,2 0,20 0,15 0,15 0,1 0,10 0,05 0, ,

8 1000 comptages 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, A partir de 400 comptages, l allure des diagrammes e bâtos semble se stabiliser. Le «importe quoi» a ue «forme orgaisée». O costate que la valeur la plus fréquete du ombre de désitégratios est 7. O étudie esuite l évolutio du ombre moye de désitégratios selo le ombre de comptages. La courbe représetative est doée ci-dessous. 9,50 9,00,50,00 7,50 7,00 6,50 6,00 5,50 5, O costate que la moyee ted à se stabiliser à ue valeur légèremet iférieure à 7,5, ce qui est proche de la valeur la plus fréquete. O peut préciser la moyee : 7,37, et l écart type 2,61.

9 V. Coclusio. Le phéomèe de désitégratio radioactive qui pouvait paraître au départ imprévisible est à la fi cosidéré comme u phéomèe aléatoire. Les résultats expérimetaux permettet de dire qu à u istat de date t, o peut parler du ombre de désitégratios le plus probable (ici égal à 7), proche du ombre moye (ici égal à 7,37). A ce stade, citos le documet d accompagemet du programme de physique : «Au ses strict, o e peut parler de phéomèe aléatoire 2 que lorsqu o peut défiir ue variable aléatoire caractérisée par ue loi de probabilité» (documet d accompagemet de physique page 31 ote 6) O otera que la préoccupatio immédiate est probabiliste. La foctio expoetielle (et so équatio différetielle) est pas utile à ce stade. Lors d u cours de mathématiques suivat ce T.P., o motre qu il est possible de produire u modèle probabiliste e accord avec les résultats expérimetaux de physique. 2 (ote rajoutée par les auteurs) E cotradictio avec la phrase du documet d accompagemet de mathématiques (p. 77) : «L observatio motre que le ombre de oyaux qui se désitègret pedat u itervalle de temps t est ue quatité aléatoire». A mois que le mot «aléatoire» ait pas le même ses.

10 B. Première modélisatio mathématique. L objectif est de produire u modèle mathématique basé sur les probabilités qui rede compte des relevés expérimetaux, e particulier du graphique et des calculs suivats : 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 Moyee : 7,37 Ecart type : 2,61 0, Pour cela o fait des hypothèses. Première hypothèse : La désitégratio d u oyau d u élémet radioactif est u phéomèe aléatoire. A partir d u istat t fixé, pedat ue uité de temps t, u oyau de césium 137 a ue probabilité p de se désitégrer. Deuxième hypothèse : Pour cotiuer «cofortablemet», les oyaux de césium iteragisset pas etre eux, c est-à-dire qu au cours d ue uité de temps, chaque oyau de césium va se comporter idépedammet des autres. Il faut souliger le caractère arbitraire de cette derière hypothèse. Comme toute hypothèse! Certes. Mais o peut ici faire allusio au domaie de validité d u modèle. Cette hypothèse a sûremet pas lieu d être das u réacteur ucléaire, et ecore mois ue bombe atomique. O motre alors que si o ote N le ombre de oyaux à l istat de date t, la probabilité d avoir k désitégratios est égale à : N k N k p (1 p). k Il suffit de cosidérer que ce qui se passe à partir d u istat t, pedat ue uité de temps, est la répétitio N fois, de maière idépedate, de l évéemet «u oyau se

11 désitègre», c est-à-dire que l o a ue loi biomiale de paramètres N et p dot l espérace mathématique est égale à N.p et l écart type N.p.(1 p). Ceci est parfaitemet possible das le cadre du programme de mathématiques à coditio de e pas revoyer l étude des lois de probabilités e fi d aée 3 au prétexte d «itroduire la foctio expoetielle très tôt das l aée» 4 et so équatio différetielle, qui ot toujours pas servi! O va tester alors ce modèle e faisat ue simulatio. O rappelle que l o veut redre compte de l expériece physique avec ue moyee du ombre de désitégratios qui est égale à 7,37. Pour la simulatio o fait le choix de predre N = 100 et p = 0,0737. O obtiet alors le graphique suivat (ceci peut se faire avec ue calculatrice) : 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, avec u écart type de 2,61 A ce stade ue réflexio «philosophique» est sûremet écessaire 5. O peut se coteter du «miimum épistémologique» e disat que l accord avec les doées expérimetales validet les hypothèses, otammet cofirmer le caractère aléatoire du phéomèe. O pourrait s étoer d u accord «si parfait». E effet, predre u ombre de oyaux de l ordre de la cetaie est peu réaliste. Cepedat, e se rappelat les pricipes d approximatio de la loi biomiale, o se red compte que l o est das u cas d approximatio par ue loi de Poisso 6 qui e déped que d u paramètre λ = N.p., ce qui fait que das otre simulatio, il est iutile d augmeter N (il e faut pas le dimiuer!) car alors p serait modifié pour avoir N.p = 7,37, doc λ serait ichagé. 3 Sur sept mauels de termiale S parus e 2006, le uméro moye de la première page du chapitre de probabilités est 302 sur u ombre moye de pages qui est B août 2001, aexe page 64 5 C est d ailleurs la prochaie étape que l o compte meer das la classe de termiale où a été mise e pratique cette démarche. 6 La référece à la loi de Poisso, qui est pas au programme de mathématiques est présete das le documet d accompagemet de physique (page 31), alors qu o parle e fait assez peu de la loi biomiale.

12 C. Justificatio de la progressio choisie. Il s agit de passer maiteat à l étude de l évolutio du ombre N de oyaux radioactifs au cours du temps. Pour compredre la écessité d ue ouvelle modélisatio mathématique il faut regarder ce que le physicie fait comme expériece pour cette étude. Le programme de physique suggère deux types d expériece. L ue est l étude d u élémet radioactif, le rado 220, et l autre ue simulatio (par exemple avec des dés). Si o est covaicu spotaémet qu ue simulatio écessite ue modélisatio préalable, il est itéressat de voir que même l approche «physique» par l étude du rado e va pas de soi. E effet (comme o le détaillera au paragraphe E), au cours d u T.P. de physique, les élèves mesuret toutes les 7 secodes les ombres de désitégratios pedat ue durée de 5 secodes que l o otera N(t). N Esuite, les élèves calculet et représetet les rapports (t) (appelé activité et t oté A(t)). A l aide d u logiciel qui leur permet de tester plusieurs «modèles», ils arrivet à t choisir le modèle expoetiel et écrivet A (t) = A(0) exp. τ Le physicie dit alors : N(t) et A(t) sot proportioels. O e déduit que t N (t) = N(0) exp. τ N Cepedat o aura oté que l égalité (t) = k N(t) est pas «motrée» t expérimetalemet. Elle est u présupposé pour lire les résultats de l expériece et arriver à la coclusio voulue. Il apparaît clairemet qu il y a u «chaîo maquat». C est l objet de la secode modélisatio mathématique. Pour fiir ce paragraphe, citos à ouveau les textes officiels : Coformémet aux objectifs de cette activité, les élèves sot ameés ici à cofroter à des résultats expérimetaux les prédictios d u modèle théorique : celui de la désitégratio radioactive. O s attachera à bie séparer l aspect théorique de l aspect expérimetal. Pour l aspect théorique, l hypothèse d ue loi de décroissace expoetielle d ue populatio macroscopique N d atomes radioactifs a été émise et discutée lors d ue activité précédete. (documet d accompagemet de physique page 36)

13 D. Secode modélisatio mathématique. A la suite de la première modélisatio, o attache ue probabilité p à la désitégratio d u oyau pedat ue durée t à partir d u istat de date t. A priori, p déped de t, de N et de t. Pour cotiuer ous allos faire de ouvelles hypothèses. Hypothèse 1 : à N et t fixés, la probabilité de désitégratio est proportioelle à t : p = λ. t. Hypothèse 2 : la probabilité p e déped pas du ombre de oyaux : λ e déped pas de N. Hypothèse 3 : la désitégratio radioactive se fait «sas vieillissemet» : λ e déped pas de t. Chacue de ces trois hypothèses écessiterait u commetaire approfodi que l o e fait pas ici pour des questios de place. O se cotetera de remarquer que les deux premières qui peuvet paraître assez «ituitives», poset à ouveau la questio du domaie de validité du modèle, et que la derière est «plus arbitraire». O arrive doc à supposer que p = λ. t avec λ idépedat de N et de t. O remarquera que p est la probabilité qu u oyau se désitègre pedat la durée t, sachat que le oyau est pas désitégré à l istat t! Pour faire l étude de l évolutio d ue populatio de N oyaux, o regarde d abord ce qui se passe pour UN oyau 7 : écrire à t 1 = t, la probabilité qu il e soit pas désitégré est ( 1 λ t) ; 1 λ t ; à t 2 = 2. t, la probabilité qu il e soit pas désitégré est ( ) 2 à t =. t, la probabilité qu il e soit pas désitégré est ( 1 λ t t 1 λ. ), que l o peut 7 ou u dé, si o fait ue simulatio.

14 Doc pour u oyau, o peut défiir ue variable aléatoire de Beroulli X avec : P(X λ t λ t = 1) = 1 et P(X = 0) = 1 1. L évolutio d ue populatio de N oyaux peut être cosidérée comme la répétitio N fois, de maière idépedate, de ce qui se passe pour u oyau. Doc le ombre de oyaux restat à l istat. t est ue variable aléatoire qui suit t. λ ue loi biomiale de paramètres N et 1 Il faut remarquer que le ombre de oyaux restat à l istat t =. t est aléatoire! O coviet alors de s itéresser au ombre moye. Celui-ci sera cosidéré comme LE ombre de oyau restats à l istat t =. t : N(t ) λ t =. N 1 Jusqu ici, ous avos travaillé avec des temps discrets. L istat t e peut être qu u multiple de t. Pour avoir u «maillage» du temps plus fi, o choisit u t plus petit. Ce qui fait que pour u t fixé, devra être «assez grad». λ.t O s itéresse doc à lim N 1 + t limite est N e λ. D où la coclusio : la désitégratio radioactive se modélise das le temps par. Or ue activité permet de motre que cette λ t N(t) = N e. A partir de là, o dit que cette foctio est solutio de l équatio différetielle y = - λ y. E passat aux différetielles, o écrit dn(t) = - N(t) dt. O peut alors éocer : «la variatio du ombre de oyau à l istat t est proportioelle au ombre de oyau présets à l istat t et à la durée dt cosidérée». E appliquat les différetielles aux accroissemets N(t) = λ N(t) t, doc : N (t) = λ N(t). t O peut alors, sachat que toutes les solutios de l équatio différetielle y = - λ y λ t sot de la forme y(t) = C e, o peut alors retourer vers l expériece et tester le modèle par l étude du rado 220 selo le mode expérimetal évoqué plus haut et décrit e détails cidessous. Voir documet d accompagemet de mathématiques page 3.

15 D. Secod T.P. de physique. I. Objectifs : O étudie l évolutio du ombre de oyaux radioactifs das le temps. II. Etude expérimetale de la désitégratio radioactive du rado Pricipe de l expériece. Soit N(t) le ombre de oyaux radioactifs das l échatillo à l istat de date t. Aucu dispositif expérimetal e permettat d atteidre directemet cette valeur, o utilise la coclusio de la modélisatio mathématique précédete : N(t) = - λ N(t) t. Le rapport - N(t)/ t, appelé «activité» et oté A(t), doe ue valeur proportioelle à N(t) : A(t) = λ N(t). E résumé, pour étudier expérimetalemet l évolutio d ue populatio N(t) de oyaux radioactifs, o mesure N(t) (ou plutôt u ombre qui lui est proportioel), puis o calcule et étudie l évolutio de l activité A(t) de cet échatillo au cours du temps. 2. Mise e oeuvre de l'expériece. a. Descriptio du matériel utilisé et du protocole. Le géérateur de rado est ue fiole étache (voir ci-cotre 1) O cosidère que la cocetratio de rado 220 das cette fiole est costate. O crée ue dépressio das ue deuxième fiole de même volume, dite fiole scitillate. O met e commuicatio le géérateur de rado et la fiole scitillate. La dépressio aspire des oyaux de rado das la fiole scitillate. O désolidarise les deux fioles. La fiole scitillate est alors placée das la chambre d'u photomultiplicateur (voir ci-cotre 2) qui détecte des décharges électriques. Pedat ue durée t, le ombre d'évèemets détectés est proportioel au ombre de oyaux trasmutés. 1) Géérateur de rado. 2) La fiole scitillate placée das la chambre à photomultiplicateur.

16 b. Maipulatio. Le protocole expérimetal est coçu de sorte que le ombre de oyaux de rado 220 itroduits das la fiole scitillate est proportioel à la dépressio P réalisée. Nous e ous attarderos pas ici sur la justificatio de cette affirmatio. Cepedat, il ous paraît importat de souliger la force de toutes les «astuces» expérimetales : pour coaître N(t), o mesure ue autre gradeur, A(t), que l o cosidère proportioelle, proportioalité établie das ue théorie préalable. O mesure le ombre de désitégratios lors de deux prélèvemets successifs de rado 220, l ue à -50 kpa, l autre -70 kpa. Pour chaque expériece, les comptages sot démarrés toutes les 7 secodes. La durée de chaque comptage est de 5 secodes (les 2 secodes restates permettat de réiitialiser le compteur). 3. Traitemet des mesures. a. Etude de la désitégratio sous 50 kpa. α. Représetatios graphiques. A partir d u fichier de relevés expérimetaux fouri, les élèves calculet les rapports - N(t)/ t = A 1 (t). Ils représetet alors le uage de poits (t ; A 1 (t)) :

17 Le logiciel 9 utilisé permet la recherche d ue modélisatio du uage de poits par ue courbe, et il offre la possibilité de valider la pertiece de ce choix e calculat le coefficiet de corrélatio. Les élèves doivet choisir u «modèle» prédéfii parmi les suivats : droite, parabole, expoetielle croissate, expoetielle décroissate, siusoïde, siusoïde amortie. Le modèle expoetielle décroissat doe ici le meilleur coefficiet de corrélatio. Le logiciel doe alors automatiquemet l expressio et la représetatio d ue foctio f (qu il appelle A1m) sous la forme f(t) = a. exp t. τ a doc 1 τ =. λ Ceci valide le modèle précédet : t N (t) = N(0) exp. τ t A (t) = A(0) exp,et comme A(t) = λ N(t) o τ τ, appelée costate de temps, est liée à la costate radioactive λ par la relatio A1m β. Demi-vie. La durée au bout de laquelle l activité iitiale est divisée par 2 est appelé le temps de demi-vie t. 1 2 Le poiteur du logiciel e permet ue détermiatio graphique e partat de t = 0. E expérimetat plusieurs fois la même procédure, les élèves costatet l idépedace par rapport à l istat de départ choisi, ce qui est caractéristique de ce type de foctio et du phéomèe. γ. Costate de temps (τ ). 9 Le logiciel appelé «Atelier scietifique Gééris 5+».

18 Etat doé que f(t) = a. t 1 t exp, o a f ' (t) = a exp, doc f ' (0) = τ τ τ O e déduit que l équatio de la tagete au poit d abscisse t = 0, est 10 : a. τ a x = t + a. τ Pour x = 0, o a t = τ. Les élèves détermiet doc la costate de temps e traçat au poit d abscisse t = 0, la tagete à la courbe modélisée (A1m), et ils obtieet la valeur de τ e preat l abscisse du poit d itersectio de cette tagete avec l axe des temps. De ce qui précède, o déduit ue relatio etre τ et t 1 : 2 t 1 = τ l Il ous reste à faire ue derière vérificatio expérimetale. E effet das le modèle développé, λ e dépedait pas de N. O va regarder si la costate de temps e déped de N e étudiat la désitégratio sous 70 kpa. b. Etude de la désitégratio sous 70 kpa. O refait le travail précédet pour ue dépressio de 70 kpa. L activité est alors appelée A 2 (t), la courbe modélisée A2m. c. Etude comparée des deux activités. O affiche simultaémet à l écra les graphiques correspodat aux deux expérieces : 10 O utilisera la forme x = p t + m, qui est celle du logiciel dot disposet les élèves. Celui-ci doe e cliquat sur la droite l équatio de la tagete. 11 Voir l article «La demi-vie e radioactivité : u outil pour résoudre des problèmes» paru das le «Fil d Ariae», 20 mars 2004, Irem de Toulouse ;

19 O costate alors que la costate de temps est bie idépedate de la dépressio, doc du ombre de oyaux. E physique, o préfère le vérifier e passat aux logarithmes. A partir de t A (t) = A(0) exp, o obtiet l ( A(t) ) = λ t + l( A(0) ), ce qui est e accord avec le τ fait d obteir graphiquemet deux droites parallèles de coefficiet directeur λ : O cherche à valider que l activité est proportioelle au ombre de oyaux. Pour A2 (t) cela, o calcule les rapports à chaque date. A (t) E effet, 1 A (t) N 2(t) / t N 2(t) λ N2(t) t = = = A (t) N (t) / t N (t) λ N (t) t 2 = N2(t) N (t) O costate bie que ceux-ci sot «à peu près» costats, proches de la valeur 1,4. 1

20 E. Coclusio. Ce travail e préted pas être origial sur le fod : les aspects mathématiques sot cous et déjà développés ailleurs 12, sur les aspects physiques, c est la pratique réelle de os classes que ous avos teté de retrascrire. Notre apport se résume e fait e u regard objectif. Loi de predre telles quelles certaies affirmatios, otammet das les textes officiels 13, mais aussi das les mauels, ous ous sommes iterrogés sur ce que les élèves pouvaiet vivre pedat cet eseigemet de la radioactivité. Nous avos été obligés de costater que certais aspects étaiet présetés «à l evers», et ous avos seulemet essayé de les remettre à l edroit. Remarque : Cet article est u résumé d u travail qui fera l objet d ue brochure à paraître à l IREM de Toulouse O pourra citer l article de Adré Warusfel paru e javier 2004 das la revue RMS Par exemple, o e maquera pas d être étoé par cette phrase du documet d accompagemet de mathématique : «Das ce texte, l accet est mis sur la syergie écessaire etre physique et mathématiques pour ue boe compréhesio du phéomèe, e particulier cocerat les deux aspects suivats : (i) l étude empirique de la désitégratio radioactive coduit à cosidérer u objet mathématique ouveau pour les élèves, appelé équatio différetielle et (ii) o établit u modèle physique microscopique de la désitégratio, qui red compte de la loi macroscopique observée pour l évolutio de la valeur moyee du ombre de oyaux existat à u istat doé.» (aexe du documet d accompagemet de mathématiques pages 75-76, reproduit das le documet d accompagemet de physique pages 77-7) 14 Voir aussi le travail de otre groupe sur le site de l irem de Toulouse :