ANNALES BACCALAURÉAT 2014 MATHÉMATIQUES TERMINALE S 1

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1 ANNALES BACCALAURÉAT 014 MATHÉMATIQUES TERMINALE S ANNALES BACCALAURÉAT 014 MATHÉMATIQUES TERMINALE S 1 1 Suites 1 Foctios 11 3 Probabilités 4 Géométrie Spécialité 41 6 Cocours 53 1 Suites 1-1 : Podichéry, jui 014, Eercice 3 (5 poits, o spécialistes) Le pla complee est mui d u repère orthoormé direct ( O; u, v) Pour tout etier aturel, o ote A le poit d affie z défii par : O défiit la suite ( ) z 0 = 1 et z = + i z 4 4 r par r = z pour tout etier aturel 1 Doer la forme epoetielle du ombre complee 3 + i a Motrer que la suite ( r ) est géométrique de raiso b E déduire l epressio de r e foctio de c Que dire de la logueur OA lorsque ted vers +? 3 O cosidère l algorithme suivat : Variables Etrée etier aturel R réel Termiale S 1 Aales P réel strictemet positif Demader la valeur de P Traitemet R pred la valeur 1 Sortie pred la valeur 0 Tat que R > P pred la valeur +1 R pred la valeur Fi tat que Afficher a Quelle est la valeur affichée par l algorithme pour P = 0,5? 3 R b Pour P = 0,01 o obtiet = 33 Quel est le rôle de cet algorithme? 4 a Démotrer que le triagle OAA + 1 est rectagle e A + 1

2 π i b O admet que z = re 6 Détermier les valeurs de pour lesquelles A est u poit de l ae des ordoées c Compléter la figure doée ci-dessous, e représetat les poits A 6, A 7, A 8 et A 9 Les traits de costructio serot apparets 1- : Amérique du Nord, mai 014, Eercice 4 (5 poits, o spécialistes) U volume costat de 00 m 3 d eau est réparti etre deu bassis A et B Le bassi A refroidit ue machie Pour des raisos d équilibre thermique o crée u courat d eau etre les deu bassis à l aide de pompes O modélise les échages etre les deu bassis de la faço suivate : au départ, le bassi A cotiet 800 m 3 d eau et le bassi B cotiet m 3 d eau ; tous les jours, 15 % du volume d eau préset das le bassi B au début de la jourée est trasféré vers le bassi A ; tous les jours, 10 % du volume d eau préset das le bassi A au début de la jourée est trasféré vers le bassi B Pour tout etier aturel, o ote : a le volume d eau, eprimé e m 3, coteu das le bassi A à la fi du -ième jour de foctioemet ; b le volume d eau, eprimé e m 3, coteu das le bassi B à la fi du -ième jour de foctioemet O a doc a 0 = 800 et b 0 = Par quelle relatio etre a et b traduit-o la coservatio du volume total d eau du circuit? 3 Justifier que, pour tout etier aturel, a+ 1 = a L algorithme ci-dessous permet de détermier la plus petite valeur de à partir de laquelle a est supérieur ou égal à 1100 Recopier cet algorithme e complétat les parties maquates ( ) Termiale S Aales 014

3 Variables est u etier aturel a est u réel Iitialisatio Affecter à la valeur 0 Affecter à a la valeur 800 Traitemet Tat que a < 1100, faire : Sortie Affecter à a la valeur Affecter à la valeur +1 Fi Tat que Afficher 4 Pour tout etier aturel, o ote u = a 130 a Motrer que la suite ( u ) est ue suite géométrique dot o précisera le premier terme et la raiso b Eprimer u e foctio de E déduire que, pour tout etier aturel, a 3 = O cherche à savoir si, u jour doé, les deu bassis peuvet avoir, au mètre cube près, le même volume d eau Proposer ue méthode pour répodre à ce questioemet 1-3 : Atilles, jui 014, Eercice 4 (5 poits, o spécialistes) Soit la suite umérique ( u ) défiie sur l esemble des etiers aturels N par u 0 = et pour tout etier 1 aturel, u+ 1 = u 3 0, a Recopier et, à l aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite ( u ) approchées à 10 près : u b D après ce tableau, éocer ue cojecture sur le ses de variatio de la suite ( u ) a Démotrer, par récurrece, que pour tout etier aturel o ul o a b E déduire que, pour tout etier aturel o ul, u+ 1 u 0 c Démotrer que la suite ( u ) est covergete 3 O se propose, das cette questio de détermier la limite de la suite (u ) Soit ( v ) la suite défiie sur N par v = u 10 0,5 15 0,5 u > 4 a Démotrer que la suite ( v ) est ue suite géométrique de raiso 1 O précisera le premier terme de la 5 suite ( v ) b E déduire, que pour tout etier aturel, c Détermier la limite de la suite ( u ) u Termiale S 3 Aales = ,5 5 4 Recopier et compléter les liges (1), () et (3) de l algorithme suivat, afi qu il affiche la plus petite valeur de telle que u 0,01 Etrée et u sot des ombres Iitialisatio pred la valeur 0 u pred la valeur

4 Traitemet Tat que (1) Sortie pred la valeur () u pred la valeur (3) Fi Tat que Afficher 1-4 : Asie, jui 014, Eercice 4 (5 poits, o spécialistes) Soit u etier aturel supérieur ou égal à 1 O ote f = 1 + f la foctio défiie pour tout réel de l itervalle [0 ; 1] par ( ) 1 Pour tout etier >1, o défiit le ombre 1 Les représetatios graphiques de certaies foctios f obteues à l aide d u logiciel sot tracées ci-cotre E epliquat soigeusemet votre démarche, cojecturer, pour la suite I l eistece et la valeur évetuelle ( ) de la limite, lorsque ted vers + Calculer la valeur eacte de I 1 3 a Démotrer que, pour tout réel de l itervalle [0; 1] et pour tout etier 1 aturel > 1, o a : 1 1+ b E déduire que, pour tout etier aturel > 1, o a : I 1 4 Démotrer que, pour tout réel de l itervalle [0; 1] et pour tout etier 1 aturel >1, o a : Calculer l itégrale 1 1 d 0 1 I f d d = 0 = 0 I par : ( ) 6 À l aide des questios précédetes, démotrer que la suite ( I ) est covergete et détermier sa limite 7 O cosidère l algorithme suivat : Variables, p et k sot des etiers aturels et I sot des réels Iitialisatio I pred la valeur 0 Traitemet Demader u etier >1 Demader u etier p >1 Pour k allat de 0 à p 1 faire : pred la valeur k p I pred la valeur Fi Pour Afficher I 1 1 I + 1+ p Termiale S 4 Aales 014

5 a Quelle valeur, arrodie au cetième, revoie cet algorithme si l o etre les valeurs = et p = 5? O justifiera la répose e reproduisat et e complétat le tableau suivat avec les différetes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l algorithme Les valeurs de I serot arrodies au millième k I 0 4 b Epliquer pourquoi cet algorithme permet d approcher l itégrale I 1-5 : Cetres Etragers, jui 014, Eercice (4 poits) O défiit, pour tout etier aturel, les ombres complees z par : aturel O ote r le module du ombre complee z : r = z z0 = 16 + z + 1 = 1 i, pour tout etier z Das le pla mui d u repère orthoormé direct d origie O, o cosidère les poits A d affies z 1 a Calculer z 1, z et z 3 b Placer les poits A 1 et A das le pla c Écrire le ombre complee 1+ i sous forme trigoométrique d Démotrer que le triagle OA 0 A 1 est isocèle rectagle e A 1 Démotrer que la suite ( r ) est géométrique, de raiso Iterpréter géométriquemet le résultat précédet La suite ( r ) est-elle covergete? O ote L la logueur de la lige brisée qui relie le poit A 0 au poit A e passat successivemet par les poits A 1, A, A 3, etc Aisi = 1 k k+ 1 = k= 0 L A A A A A A A A 3 a Démotrer que pour tout etier aturel : A A + = r + b Doer ue epressio de L e foctio de c Détermier la limite évetuelle de la suite ( L ) : Polyésie, jui 014, Eercice (5 poits, o spécialistes) O cosidère la suite ( u ) défiie par Calculer u 1 et u O cosidère les deu algorithmes suivats : Variables u = et, pour tout etier aturel, u + 1 = u + + Algorithme 1 Algorithme est u etier aturel u est u réel est u etier aturel u est u réel Etrée Saisir la valeur de Saisir la valeur de Traitemet u pred la valeur 0 Pour i allat de 1 à u pred la valeur 0 Pour i allat de 0 à 1 : Termiale S 5 Aales 014

6 u pred la valeur u +i + Fi Pour u pred la valeur u +i + Fi Pour Sortie Afficher u Afficher u De ces deu algorithmes, lequel permet d afficher e sortie la valeur de u, la valeur de l etier aturel état etrée par l utilisateur? 3 À l aide de l algorithme, o a obteu le tableau et le uage de poits ci-dessous où figure e abscisse et u e ordoée a Quelle cojecture peut-o faire quat au ses de variatio de la suite ( u )? Démotrer cette cojecture b La forme parabolique du uage de poits amèe à cojecturer l eistece de trois réels a, b et c tels que, pour tout etier aturel, u = a + b+ c Das le cadre de cette cojecture, trouver les valeurs de a, b et c à l aide des iformatios fouries 4 O défiit, pour tout etier aturel, la suite ( ) a Eprimer v par : v = u+ 1 u v e foctio de l etier aturel Quelle est la ature de la suite ( ) b O défiit, pour tout etier aturel, S = vk = v0 + v1 + + v k= 0 Démotrer que, pour tout etier aturel, S ( 1)( ) = + + v? c Démotrer que, pour tout etier aturel, S = u+ 1 u0, puis eprimer u e foctio de u : Frace sept 014, Eercice 3 (5 poits) O admiistre à u patiet u médicamet par ijectio itraveieuse La quatité de médicamet das le sag dimiue e foctio du temps Le but de l eercice est d étudier pour différetes hypothèses, l évolutio de cette quatité miute par miute Termiale S 6 Aales 014

7 1 O effectue à l istat 0 ue ijectio de 10 ml de médicamet O estime que 0% du médicamet est élimié par miute Pour tout etier aturel, o ote u la quatité de médicamet, e ml, restat das le sag au bout de miutes Aisi u 0 = 10 a Quelle est la ature de la suite ( u )? b Pour tout etier aturel, doer l epressio de u e foctio de c Au bout de combie de temps la quatité de médicamet restat das le sag deviet-elle iférieure à 1% de la quatité iitiale? Justifier la répose Ue machie effectue à l istat 0 ue ijectio de 10 ml de médicamet O estime que 0% du médicamet est élimié par miute Lorsque la quatité de médicamet tombe edessous de 5mL, la machie réijecte 4mL de produit Au bout de 15 miutes, o arrête la machie Pour tout etier aturel, o ote v la quatité de médicamet, e ml, restat das le sag à la miute L algorithme suivat doe la quatité restate de médicamet miute par miute Variables Iitialisatio Traitemet est u etier aturel v est u ombre réel Affecter à v la valeur 10 Pour allat de 1 à 15 Affecter à v la valeur 0,8 v Si v < 5 alors affecter à v la valeur v +4 Afficher v Fi de boucle a Calculer les élémets maquats du tableau ci-dessous doat, arrodie à 10 et pour supérieur ou égal à 1, la quatité restate de médicamet miute par miute obteue avec l algorithme v ,4 8,15 6,5 5,1 8,17 6,54 5,3 8,18 6,55 5,4 b Au bout de 15 miutes, quelle quatité totale de médicamet a été ijectée das l orgaisme? c O souhaite programmer la machie afi qu elle ijecte ml de produit lorsque la quatité de médicamet das le sag est iférieure ou égale à 6mL et qu elle s arrête au bout de 30 miutes Recopier l algorithme précédet e lemodifiat pour qu il affiche la quatité de médicamet, e ml, restat das le sag miute par miute avec ce ouveau protocole 3 O programme la machie de faço que : - à l istat 0, elle ijecte 10mL de médicamet, - toutes les miutes, elle ijecte 1mL de médicamet O estime que 0% du médicamet préset das le sag est élimié par miute Pour tout etier aturel, o ote w la quatité de médicamet, e ml, présete das le sag du patiet au bout de miutes a Justifier que pour tout etier aturel, w + 1 = 0,8w + 1 b Pour tout etier aturel, o pose z = w 5 Démotrer que ( z ) est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le premier terme c E déduire l epressio de w e foctio de d Quelle est la limite de la suite ( w )? Quelle iterprétatio peut-o e doer? Termiale S 7 Aales 014

8 1-8 : Atilles - Guyae, sept 014, Eercice (6 poits) Partie A O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l itervalle [ 0; + [ par ( ) = 1 Détermier la limite de la foctio f e + f e Détermier la dérivée f de la foctio f sur [ 0; + [ et e déduire le tableau de variatios de f sur [ 0; + [ O doe ci-dessous la courbe C f représetative de la foctio f das u repère du pla La droite d équatio y = a aussi été tracée Partie B Soit la suite ( ) u défiie par = u et, pour tout etier aturel, ( ) 0 1 u f u 1 Placer sur le graphique, e utilisat la courbe C f et la droite, les poits A 0, A 1 et A d ordoées ulles et d abscisses respectives u 0, u 1 et u Laisser les tracés eplicatifs apparets Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel, u > 0 3 Motrer que la suite ( u ) est décroissate 4 a Motrer que la suite ( u ) est covergete b O admet que la limite de la suite ( u ) est solutio de l équatio Résoudre cette équatio pour détermier la valeur de cette limite + 1 = e = Partie C O cosidère la suite ( S ) défiie pour tout etier aturel par Compléter l algorithme suivat afi qu il calcule S 100 Déclaratio des variables S et u sot des ombres réels k est u ombre etier Iitialisatio u pred la valeur S pred la valeur Traitemet Pour k variat de 1 à u pred la valeur k= = k = k= 0 S u u u u u e u S pred la valeur Termiale S 8 Aales 014

9 Fi Pour Afficher 1-9 : Nelle Calédoie, mars 014, eercice 3 (5 poits) Partie A Soit f la foctio dérivable, défiie sur l itervalle ] 0;+ [ par f ( ) l( ) = 1 Détermier les limites de f e 0 et e + O appelle f la foctio dérivée de f sur ] 0;+ [ Motrer que f ( ) ( ) 3 Détermier les variatios de f sur ] 0;+ [ Partie B Soit C la courbe représetative de la foctio f das u repère orthoormal ' = l + 1 Soit A l aire, eprimée e uités d aire, de la partie du pla comprise etre l ae des abscisses, la courbe C et les droites d équatios respectives = 1 et = O utilise l algorithme suivat pour calculer, par la méthode dite «des rectagles», ue valeur approchée de l aire A (voir la figure ci-après) Algorithme Variables : k, sot des etiers aturels ; U, V sot des ombres réels Iitialisatio : U pred la valeur 0, V la valeur 0, la valeur 4 Traitemet : Pour k allat de 0 à 1 : 1 Affecter à U la valeur U f 1 k Affecter à V la valeur V f 1 k Fi pour Affichage : Afficher U, Afficher V 1 a Que représetet U et V sur le graphique précédet? b Quelles sot les valeurs U et V affichées e sortie de l algorithme (o doera ue valeur approchée de U par défaut à 10 4 près et ue valeur approchée par ecès de V à 10 4 près)? c E déduire u ecadremet de A Soiet les suites (U ) et (V ) défiies pour tout etier o ul par : U = f ( 1) f 1 f 1 f ; V = f 1 f 1 f 1 f ( ) O admettra que, pour tout etier aturel o ul, U a Trouver le plus petit etier tel que V U < 0,1 A V b Commet modifier l algorithme précédet pour qu il permette d obteir u ecadremet de A d amplitude iférieure à 0,1? Partie C Termiale S 9 Aales 014

10 = 4 Soit F la foctio dérivable, défiie sur ] 0;+ [ par F( ) l( ) 1 Motrer que F est ue primitive de f sur ] 0;+ [ Calculer la valeur eacte de A 1-10 : Amérique du Sud, ov 014, eercice 3 (5 poits, o spécialistes) O cosidère la suite umérique ( u ) défiie sur N par : u 0 = et pour tout etier aturel, Partie A : Cojecture 1 3 u+ 1 = u 3u + 1 Calculer les valeurs eactes, doées e fractios irréductibles, de u 1 et u Doer ue valeur approchée à 10 5 près des termes u 3 et u 4 3 Cojecturer le ses de variatio et la covergece de la suite ( u ) Partie B : Validatio des cojectures O cosidère la suite umérique ( ) 1 Motrer que, pour tout etier aturel, v défiie pour tout etier aturel, par : v = u 3 1 v+ 1 = v Démotrer par récurrece que ; pour tout etier aturel, 1 v a Démotrer que, pour tout etier aturel, v+ 1 v = v v + 1 b E déduire le ses de variatio de la suite ( v ) 4 Pourquoi peut-o alors affirmer que la suite ( v ) coverge? 5 O ote L la limite de la suite ( v ) O admet que L appartiet à l itervalle [ 1 ; 0] et vérifie l égalité : Détermier la valeur de L 6 Les cojectures faites das la partie A sot-elles validées? 1 L = L 1-11 : Nouvelle-Calédoie, ov 014, eercice 4 (5 poits, o spécialistes) O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle [ 0;+ [ par f ( ) O admettra que f est dérivable sur l itervalle [ 0;+ [ = O a tracé ci-dessous das u repère orthoormé la courbe C représetative de f aisi que la droite D d équatio y = 1 Démotrer que f est croissate sur l itervalle [ 0;+ [ Résoudre l équatio f ( ) = sur l itervalle [ 0;+ [ O ote α la solutio O doera la valeur eacte de α puis o e doera ue valeur approchée à 10 près 3 O cosidère la suite ( u ) défiie par u 0 = 1 et, pour tout etier aturel, u f ( u ) + 1 = Sur la figure, e utilisat la courbe C et la droite D, placer les poits M 0, M 1 et M d ordoée ulle et d abscisses respectives u 0, u 1 et u Quelles cojectures peut-o faire sur le ses de variatio et la covergece de la suite ( u )? 4 a Démotrer, par récurrece, que, pour tout etier aturel, 0 u u+ 1 α où α est le réel défii das la questio Termiale S 10 Aales 014

11 b Peut-o affirmer que la suite ( u ) est covergete? O justifiera la répose 5 Pour tout etier aturel, o défiit la suite ( ) k= S par S = uk = u0 + u1 + + u a Calculer S 0, S 1 et S Doer ue valeur approchée des résultats à 10 près b Compléter l algorithme doé ci-dessous pour qu il affiche la somme S pour la valeur de l etier demadée à l utilisateur c Motrer que la suite ( S ) diverge vers + k= 0 Etrée : u etier aturel Variables : u et s sot des variables réelles, et i sot des variables etières Iitialisatio : u pred la valeur 1 s pred la valeur u i pred la valeur 0 demader la valeur de Traitemet : Tat que affecter à i la valeur i +1 affecter à u la valeur affecter à s la valeur fi Tat que Sortie : afficher s Foctios -1 : Podichéry, jui 014, Eercice (4 poits) Pour chacue des propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la répose choisie Termiale S 11 Aales 014

12 Il est attribué u poit par répose eacte correctemet justifiée Ue répose o justifiée est pas prise e compte Ue absece de répose est pas péalisée 1 Propositio 1 Toute suite positive croissate ted vers + 1 g est la foctio défiie sur ; + Propositio 1 Sur ; +, l équatio g( ) Propositio 3 par g( ) l( 1) = + = a ue uique solutio : e 1 Le coefficiet directeur de la tagete à la courbe représetative de la foctio g au poit d abscisse 1 est : 1+l4 3 L espace est mui d u repère orthoormé ( O; i, j, k ) P et R sot les plas d équatios respectives : + 3y z 11= 0 et + y+ 5z 11= 0 Propositio 4 Les plas P etr se coupet perpediculairemet - : Podichéry, jui 014, Eercice 4 (7 poits) Partie A f est ue foctio défiie et dérivable sur R f est la foctio dérivée de la foctio f Das le pla mui d u repère orthogoal, o omme C 1 la courbe représetative de la foctio f et C la courbe représetative de la foctio f Le poit A de coordoées (0 ; ) appartiet à la courbe C 1 Le poit B de coordoées (0 ; 1) appartiet à la courbe C 1 Das les trois situatios ci-dessous, o a dessié la courbe représetative C 1 de la foctio f Sur l ue d etre elles, la courbe C de la foctio dérivée f est tracée coveablemet Laquelle? Epliquer le choi effectué Situatio 1 Situatio Termiale S 1 Aales 014

13 Situatio 3 Détermier l équatio réduite de la droite D tagete à la courbe C 1 e A 3 O sait que pour tout réel, ( ) f = e + a+ b où a et b sot deu ombres réels a Détermier la valeur de b e utilisat les reseigemets doés par l éocé b Prouver que a = 4 Étudier les variatios de la foctio f sur R 5 Détermier la limite de la foctio f e + Partie B Soit g la foctio défiie sur R par g( ) f ( ) ( ) = + 1 a Motrer que la foctio g admet 0 comme miimum sur R b E déduire la positio de la courbe C 1 par rapport à la droite D La figure ci-dessous représete le logo d ue etreprise Pour dessier ce logo, so créateur s est servi de la courbe C 1 et de la droite D, comme l idique la figure 3 ci-dessous Afi d estimer les coûts de peiture, il souhaite détermier l aire de la partie colorée e gris Le cotour du logo est représeté par le trapèze DEFG où : - D est le poit de coordoées ( ; 0), - E est le poit de coordoées ( ; 0), - F est le poit d abscisse de la courbe C 1, - G est le poit d abscisse de la courbe C La partie du logo colorée e gris correspod à la surface située etre la droite D, la courbe C 1, la droite d équatio = et la droite d équatio = Termiale S 13 Aales 014

14 figure figure 3 Calculer, e uités d aire, l aire de la partie du logo colorée e gris (o doera la valeur eacte puis la valeur arrodie à 10 du résultat) -3 : Amérique du Nord, mai 014, Eercice (6 poits) O cosidère la foctio f défiie sur [ 0;+ [ par ( ) f = 5e 3e + 3 O ote C f la représetatio graphique de la foctio f et D la droite d équatio y = 3 das u repère orthogoal du pla Partie A : Positios relatives de C f et D Soit g la foctio défiie sur l itervalle [ 0;+ [ par g( ) f ( ) ( 3 ) 1 Justifier que, pour tout réel de l itervalle [ 0;+ [, g( ) > 0 La courbe C f et la droite D ot-elles u poit commu? Justifier Partie B : Étude de la foctio g = O ote M le poit d abscisse de la courbe C f, N le poit d abscisse de la droite D et o s itéresse à l évolutio de la distace MN 1 Justifier que, pour tout de l itervalle [ 0;+ [, la distace MN est égale à g( ) O ote g ' la foctio dérivée de la foctio g sur l itervalle [ 0;+ [ g Pour tout de l itervalle [ 0;+ [, calculer '( ) 3 Motrer que la foctio g possède u maimum sur l itervalle [ 0;+ [ que l o détermiera E doer ue iterprétatio graphique Partie C : Étude d ue aire O cosidère la foctio A défiie sur l itervalle [ 0;+ [ par ( ) = ( ) ( 3 ) 0 A f t t dt 1 Hachurer sur le graphique ci-dessous le domaie dot l aire est doée par A() Justifier que la foctio A est croissate sur l itervalle [ 0;+ [ 3 Pour tout réel strictemet positif, calculer A( ) 4 Eiste-t-il ue valeur de telle que A( ) =? Termiale S 14 Aales 014

15 -4 : Liba, mai 014, Eercice 3 (5 poits) Soit f la foctio défiie sur l itervalle [ 0;+ [ par ( ) f = e O ote C la courbe représetative de f das u repère orthogoal Partie A 1 O ote f la foctio dérivée de la foctio f sur l itervalle [ 0;+ [ Pour tout réel de l itervalle [ 0;+ [, calculer f ( ) l itervalle [ 0;+ [ E déduire les variatios de la foctio f sur Détermier la limite de la foctio f e + Quelle iterprétatio graphique peut-o faire de ce résultat? Partie B Soit A la foctio défiie sur l itervalle [ 0;+ [ de la faço suivate : pour tout réel t de l itervalle [ 0;+ [, A( t ) est l aire, e uités d aire, du domaie délimité par l ae des abscisses, la courbe C et les droites d équatios = 0 et = t 1 Détermier le ses de variatio de la foctio A O admet que l aire du domaie délimité par la courbe C et l ae des abscisses est égale à 1 uité d aire Que peut-o e déduire pour la foctio A? 3 O cherche à prouver l eistece d u ombre réel α tel que la droite d équatio = α partage le domaie compris etre l ae des abscisses et la courbe C, e deu parties de même aire, et à trouver ue valeur approchée de ce réel 1 a Démotrer que l équatio A( t ) = admet ue uique solutio sur l itervalle [ [ 0;+ Termiale S 15 Aales 014

16 b Sur le graphique ci-dessus sot tracées la courbe C aisi que la courbe Γ représetat la foctio A Sur le graphique, idetifier les courbes C et Γ, puis tracer la droite d équatio 1 y = E déduire ue valeur approchée du réel α Hachurer le domaie correspodat à A( α ) 4 O défiit la foctio g sur l itervalle [ 0;+ [ par ( ) ( 1) g = + e a O ote g ' la foctio dérivée de la foctio g sur l itervalle [ [ [ 0;+ [, calculer g' ( ) b E déduire, pour tout réel t de l itervalle [ 0;+ [, ue epressio de A( t ) c Calculer ue valeur approchée à 10 près de A ( 6 ) 0;+ Pour tout réel de l itervalle -5 : Atilles, jui 014, Eercice (6 poits) = + + e O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l esemble R des ombres réels par f ( ) 1 O ote C sa courbe représetative das u repère orthoormé ( O; i, j) Partie A 1 Soit g la foctio défiie et dérivable sur l esemble R par g( ) 1 = + e Dresser, e le justifiat, le tableau doat les variatios de la foctio g sur R (les limites de g au bores de so esemble de défiitio e sot pas attedues) E déduire le sige de g( ) Détermier la limite de f e puis la limite de f e + 3 O appelle f ' la dérivée de la foctio f sur R Démotrer que, pour tout réel, f' ( ) e g( ) = 4 E déduire le tableau de variatio de la foctio f sur R 5 Démotrer que l équatio f ( ) = 0 admet ue uique solutio réelle α sur R Démotrer que 1 < α < 0 6 a Démotrer que la droite T d équatio y = + 1 est tagete à la courbe C au poit d abscisse 0 b Étudier la positio relative de la courbe C et de la droite T Partie B Termiale S 16 Aales 014

17 1 Soit H la foctio défiie et dérivable sur R par ( ) ( 1) H = e Démotrer que H est ue primitive sur R de la foctio h défiie par h( ) = e O ote D le domaie délimité par la courbe C, la droite T et les droites d équatio = 1 et = 3 Calculer, e uité d aire, l aire du domaie D -6 : Asie, jui 014, Eercice 3 (5 poits) Ue chaîe, suspedue etre deu poits d accroche de même hauteur peut être modélisée par la 1 a a représetatio graphique d ue foctio g défiie sur [ 1;1] par g( ) = ( e + e ) où a est u a paramètre réel strictemet positif O e cherchera pas à étudier la foctio g O motre e scieces physiques que, pour que cette chaîe ait ue tesio miimale au etrémités, il faut et il suffit que le réel a soit ue solutio strictemet positive de l équatio ( ) Das la suite, o défiit sur [ 0; + [ la foctio f par ( ) ( ) 1 e 1 = 0 f = 1 e 1 pour tout réel > 0 1 Détermier la foctio dérivée de la foctio f Vérifier que f '( 0 ) = et que lim f' ( ) O ote f '' la foctio dérivée de f ' Vérifier que, pour tout réel >0, Termiale S 17 Aales f'' = 4e = + 3 Motrer que, sur l itervalle [ 0; + [ la foctio f ' s aule pour ue uique valeur, otée 0 4 a Détermier le ses de variatio de la foctio f sur l itervalle [ 0; + [, puis motrer que f ( ) est égatif pour tout réel apparteat à l itervalle [0 ; 0 ] b Calculer f ( ) E déduire que sur l itervalle [ 0; + [, la foctio f s aule pour ue uique valeur Si l o ote a cette valeur, détermier à l aide de la calculatrice la valeur de a arrodie au cetième 5 O admet sas démostratio que la logueur L de la chaîe est doée par l epressio 1 a a L = ( e + e ) d 0 Calculer la logueur de la chaîe ayat ue tesio miimale au etrémités, e preat 1, comme valeur approchée du ombre a -7 : Cetres Etragers, jui 014, Eercice 3 (7 poits) Les parties A et B sot idépedates Ue image umérique e oir et blac est composée de petits carrés (piels) dot la couleur va du blac au oir e passat par toutes les uaces de gris Chaque uace est codée par u réel de la faço suivate : = 0 pour le blac ; = 1 pour le oir ; = 0,01 ; = 0,0 et aisi de suite jusqu à = 0,99 par pas de 0,01 pour toutes les uaces itermédiaires (du clair au focé) L image A, ci-après, est composée de quatre piels et doe u échatillo de ces uaces avec leurs codes U logiciel de retouche d image utilise des foctios umériques dites «foctios de retouche» Ue foctio f défiie sur l itervalle [0 ; 1] est dite «foctio de retouche» si elle possède les quatre propriétés suivates : f ( 0 ) = 0 ; f ( 1) = 1 ; f est cotiue sur l itervalle [0 ; 1] ; f est croissate sur l itervalle [0 ; 1] Ue uace codée est dite assombrie par la foctio f si f ( ) >, et éclaircie, si f ( ) <

18 Aisi, si f ( ) =, u piel de uace codée 0, predra la uace codée 0, = 0,04 L image A sera trasformée e l image B ci-dessous Si f ( ) =, la uace codée 0, predra la uace codée 0, 0,45 L image A sera trasformée e l image C ci-dessous 0,0 0,40 0,04 0,16 0,45 0,63 Partie A 0,60 0,80 0,36 0,64 0,77 0,89 Image A Image B Image C 1 O cosidère la foctio f 1 défiie sur l itervalle [0 ; 1] 3 f par : ( ) = + a Démotrer que la foctio f 1 est ue «foctio de retouche» b Résoudre graphiquemet l iéquatio f1 ( ), à l aide du graphique doé ci-cotre e faisat apparaître les poitillés utiles Iterpréter ce résultat e termes d éclaircissemet ou d assombrissemet O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle [0; 1] par : ( ) = + ( ) f l 1 e 1 O admet que f est ue foctio de retouche O défiit sur l itervalle [0; 1] la foctio g par : ( ) ( ) g = f a Établir que, pour tout de l itervalle [0; 1] : g' ( ) = ( ) ( 1) 1+ ( e 1) e e b Détermier les variatios de la foctio g sur l itervalle [0 ; 1] Démotrer que la foctio g admet u e maimum e dot ue valeur arrodie au cetième est 0,1 e 1 c Établir que l équatio g( ) =0,05 admet sur l itervalle [0; 1] deu solutios α et β avec α < β O admettra que : 0,08 < α < 0,09 et que : 0,85 < β < 0,86 Partie B O remarque qu ue modificatio de uace est perceptible visuellemet que si la valeur absolue de l écart etre le code de la uace iitiale et le code de la uace modifiée est supérieure ou égale à 0,05 1 Das l algorithme décrit ci-dessous, f désige ue foctio de retouche Quel est le rôle de cet algorithme? Variables (uace iitiale) : réel ; y (uace retouchée) : réel ; E (écart) : réel c (compteur) : etier ; k : etier Iitialisatio c pred la valeur 0 Traitemet Pour k allat de 0 à 100, faire pred la valeur k 100 Termiale S 18 Aales 014

19 y pred la valeur f ( ) E pred la valeur y Sortie Si E >0,05, faire c pred la valeur c +1 Fi si Fi pour Afficher c Quelle valeur affichera cet algorithme si o l applique à la foctio f défiie das la deuième questio de la partie A? Partie C Das cette partie, o s itéresse à des foctios de retouche f dot l effet est d éclaircir l image das sa globalité, c est-a-dire telles que, pour tout réel de l itervalle [0; 1], f ( ) O décide de mesurer l éclaircissemet global de l image e calculat l aire A f de la portio de pla comprise etre l ae des abscisses, la courbe représetative de la foctio f, et les droites d équatios respectives = 0 et = 1 Etre deu foctios, celle qui aura pour effet d éclaircir le plus l image sera celle ayat la plus petite aire O désire comparer l effet des deu foctios suivates, dot o admet qu elles sot des foctios de retouche : 1 a Calculer b Calculer A f 1 A f 1 f1 ( ) = e ; f ( ) = De ces deu foctios, laquelle a pour effet d éclaircir le plus l image? -8 : Polyésie, jui 014, Eercice 4 (5 poits) Soiet f et g les foctios défiies sur R par f ( ) = e et g ( ) e 60 4 = 1 O ote C f et C g les courbes représetatives des foctios f et g das u repère orthogoal 1 Démotrer que les courbes C f et C g ot u poit commu d abscisse 0 et qu e ce poit, elles ot la même tagete T dot o détermiera ue équatio Étude de la positio relative de la courbe Cg et de la droite T h Soit h la foctio défiie sur R par ( ) a Détermier la limite de la foctio h e b Justifier que, pour tout réel, h( ) = e c O ote h ' la foctio dérivée de la foctio h sur R Pour tout réel, calculer h' ( ) et étudier le sige de '( ) d Dresser le tableau de variatios de la foctio h sur R e E déduire que, pour tout réel, e 1 + Termiale S 19 Aales 014 e = 1 E déduire la limite de la foctio h e + h suivat les valeurs de f Que peut-o e déduire quat à la positio relative de la courbe C g et de la droite T? 3 Étude de la positio relative des courbes C f et C g

20 a Pour tout réel, développer l epressio e 1 b Détermier la positio relative des courbes C f et C g 4 Calculer, e uité d aire, l aire du domaie compris etre les courbes C f et C g et les droites d équatios respectives = 0 et =1-9 : Frace Métropolitaie, jui 014, Eercice 1 (5 poits) Partie A Das le pla mui d'u repère orthoormé, o désige par C 1 la courbe représetative de la foctio f 1 défiie sur R par : f1 ( ) = + e 1 Justifier que C 1 passe par le poit A de coordoées (0 ; 1) Détermier le tableau de variatio de la foctio f 1 O précisera les limites de f 1 e + et e Partie B L objet de cette partie est d'étudier la suite ( ) 0 1 I défiie sur N par : = ( + ) I e d 1 Das le pla mui d'u repère orthoormé ( O; i, j), pour tout etier aturel, o ote C la courbe représetative de la foctio f défiie sur R par f ( ) courbe C pour plusieurs valeurs de l'etier et la droite D d'équatio = 1 a Iterpréter géométriquemet l'itégrale I = + e Sur le graphique ci-dessous o a tracé la b E utilisat cette iterprétatio, formuler ue cojecture sur le ses de variatio de la suite ( I ) et sa limite évetuelle O précisera les élémets sur lesquels o s'appuie pour cojecturer Démotrer que pour tout etier aturel supérieur ou égal à 1, E déduire le sige de I+ 1 3 Détermier l'epressio de I puis démotrer que la suite ( I ) est covergete 1 + I+ 1 I = e e d 0 I e foctio de et détermier la limite de la suite ( ) ( 1) ( 1 ) I Termiale S 0 Aales 014

21 -10 : Frace sept 014, Eercice 1 (5 poits) Sur le graphique ci-dessous, o a tracé, das u repère orthoormé ( O; i, j), ue courbe C et la droite (AB) où A et B sot les poits de coordoées respectives (0 ; 1) et ( 1 ; 3) O désige par f la foctio dérivable sur R dot la courbe représetative est C O suppose, de plus, qu il eiste u réel a tel que pour tout réel, ( ) f = + 1+ ae 1 a Justifier que la courbe C passe par le poit A b Détermier le coefficiet directeur de la droite (AB) c Démotrer que pour tout réel, '( ) 1 ( 1) f = a e d O suppose que la droite (AB) est tagete à la courbe C au poit A Détermier la valeur du réel a D après la questio précédete, pour tout réel, ( ) = et '( ) 1 3( 1) f e f = + e a Démotrer que pour tout réel de l itervalle ] 1; 0], f ( ) > 0 b Démotrer que pour tout réel iférieur ou égal à 1, f' ( ) > 0 c Démotrer qu il eiste u uique réel c de l itervalle 3 ; 1 tel que f ( c ) = 0 Justifier que 3 10 c< + 3 O désige par A l aire, eprimée e uités d aire, du domaie défii par : c 0 a ÉcrireA sous la forme d ue itégrale et 0 y f ( ) Termiale S 1 Aales 014

22 b O admet que l itégrale I ( ) 0 = f d est ue valeur approchée de A à 10 3 près Calculer la valeur eacte de l itégrale I -11 : Atilles - Guyae, sept 014, Eercice 3 (3 poits) 3 O cosidère l équatio (E 1 ): e =0 où est u réel strictemet positif et u etier aturel o ul 1 Motrer que l équatio (E 1 ) est équivalete à l équatio (E ): l = 0 Pour quelle(s) valeur(s) de l équatio (E 1 ) admet-elle deu solutios? -1 : Amérique du Sud, ov 014, eercice 4 (5 poits) O désire réaliser u portail comme idiqué ci-dessus Chaque vatail mesure mètres de large Partie A :modélisatio de la partie supérieure du portail O modélise le bord supérieur du vatail de droite du portail avec ue foctio f défiie sur l itervalle 1 4 [0; ] par f ( ) = + e + b 4 où b est u ombre réel O ote f la foctio dérivée de la foctio f sur l itervalle [0; ] 1 a Calculer f ( ), pour tout réel apparteat à l itervalle [0; ] b E déduire le ses de variatio de la foctio f sur l itervalle [0 ; ] Détermier le ombre b pour que la hauteur maimale du portail soit égale à 1,5 m 1 5 f = + e Das la suite la foctio f est défiie sur l itervalle [0 ; ] par ( ) 4 Partie B : détermiatio d ue aire Chaque vatail est réalisé à l aide d ue plaque métallique O veut calculer l aire de chacue des plaques, sachat que le bord iférieur du vatail est à 0,05 m de hauteur du sol Motrer que la foctio F défiie sur l itervalle [0 ; ] par e est ue primitive de la 4 foctio f E déduire l aire e m de chaque vatail O doera la valeur eacte puis ue valeur approchée à 10 près de cette aire (O s itéresse ici à l objet «vatail» sas faire référece à so eviroemet) Partie C : utilisatio d u algorithme Termiale S Aales 014

23 O désire réaliser u portail de même forme mais à partir de plaches rectagulaires disjoites de largeur 0,1 m, espacées de 0,05 m Pour le vatail de droite, le coi supérieur gauche de chaque plache est situé sur le bord supérieur du vatail (voir la figure ci-dessus) et le bas de chaque plache à 0,05 m de hauteur Les plaches sot umérotées à partir de 0 : aisi la première plache à gauche porte le uméro 0 1 Doer l aire de la plache uméro k Recopier et compléter l algorithme suivat pour qu il calcule la somme des aires des plaches du vatail de droite Variables : Les ombres X et S sot des ombres réels Iitialisatio : Affecter à S la valeur 0 Affecter à X la valeur 0 Traitemet : Tat que X +0,17 < Affichage : S pred la valeur S + X pred la valeur X + 0,17 Fi de Tat que Afficher S -13 : Nouvelle-Calédoie, ov 014, eercice (5 poits) Les quatre questios de cet eercice sot idépedates Pour chaque questio, ue affirmatio est proposée Idiquer si chacue d elles est vraie ou fausse, e justifiat la répose Il est attribué u poit par répose eacte correctemet justifiée Ue répose o justifiée e rapporte aucu poit Ue absece de répose est pas péalisée Das les questios 1 et, le pla est rapporté au repère orthoormal direct ( O; u, v) O désige par R l esemble des ombres réels 1 Affirmatio 1 : Le poit d affie ( 1+ i ) 10 est situé sur l ae imagiaire Affirmatio : Das l esemble des ombres complees, l équatio z z+ 4i = 0 admet ue solutio uique 3 Affirmatio 3 : l 4 Affirmatio 4 : 5 Affirmatio 5 : L équatio ( ) ( ) e 7 9 l+ l3 le e = l l4 le e l3 e 3 d = 0 l e + 5 l 1 l + = l 4 admet ue solutio uique das R Termiale S 3 Aales 014

24 3 Probabilités 3-1 : Podichéry, jui 014, Eercice 1 (4 poits) Das cet eercice, sauf idicatio cotraire, les résultats serot arrodis au cetième 1 La durée de vie, eprimée e aées, d u moteur pour automatiser u portail fabriqué par ue etreprise A est ue variable aléatoire X qui suit ue loi epoetielle de paramètre λ, où λ est u réel strictemet positif O sait que ( ) P X = 0,15 Détermier la valeur eacte du réel λ Das la suite de l eercice o predra 0,081 pour valeur de λ a Détermier P ( X 3 ) b Motrer que pour tous réels positifs t et h, { }( ) ( ) P X t X t+ h = P X h c Le moteur a déjà foctioé durat 3 as Quelle est la probabilité pour qu il foctioe ecore as? d Calculer l espérace de la variable aléatoire X et doer ue iterprétatio de ce résultat 3 Das la suite de cet eercice, o doera des valeurs arrodies des résultats à 10 3 près L etreprise A aoce que le pourcetage de moteurs défectueu das la productio est égal à 1% Afi de vérifier cette affirmatio 800 moteurs sot prélevés au hasard O costate que 15 moteurs sot détectés défectueu Le résultat de ce test remet-il e questio l aoce de l etreprise A? Justifier (O pourra s aider d u itervalle de fluctuatio) 3- : Amérique du Nord, mai 014, Eercice 1 (5 poits) Das cet eercice, tous les résultats demadés serot arrodis à 10 3 près Ue grade eseige de cosmétiques lace ue ouvelle crème hydratate Partie A : Coditioemet des pots Cette eseige souhaite vedre la ouvelle crème sous u coditioemet de 50 ml et dispose pour ceci de pots de coteace maimale 55 ml O dit qu u pot de crème est o coforme s il cotiet mois de 49 ml de crème 1 Plusieurs séries de tests coduiset à modéliser la quatité de crème, eprimée e ml, coteue das chaque pot par ue variable aléatoire X qui suit la loi ormale d espérace µ = 50 et d écart-type σ = 1, Calculer la probabilité qu u pot de crème soit o coforme La proportio de pots de crème o coformes est jugée trop importate E modifiat la viscosité de la crème, o peut chager la valeur de l écart-type de la variable aléatoire X, sas modifier so espérace µ = 50 O veut réduire à 0,06 la probabilité qu u pot choisi au hasard soit o coforme O ote σ ' le ouvel écart-type, et Z la variable aléatoire égale à a Préciser la loi que suit la variable aléatoire Z b Détermier ue valeur approchée du réel u tel que ( ) 0,06 c E déduire la valeur attedue de σ ' X 50 σ' P Z u = 3 Ue boutique commade à so fourisseur 50 pots de cette ouvelle crème O cosidère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d atteidre l objectif fié et doc que la proportio de pots o coformes das l échatillo est 0,06 Soit Y la variable aléatoire égale au ombre de pots o coformes parmi les 50 pots reçus a O admet que Y suit ue loi biomiale E doer les paramètres b Calculer la probabilité que la boutique reçoive deu pots o coformes ou mois de deu pots o coformes Termiale S 4 Aales 014

25 Partie B : Campage publicitaire Ue associatio de cosommateurs décide d estimer la proportio de persoes satisfaites par l utilisatio de cette crème Elle réalise u sodage parmi les persoes utilisat ce produit Sur 140 persoes iterrogées, 99 se déclaret satisfaites Estimer, par itervalle de cofiace au seuil de 95 %, la proportio de persoes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème 3-3 : Liba, mai 014, Eercice 1 (5 poits) Les trois parties A, B et C peuvet être traitées de faço idépedate Les probabilités serot arrodies au di millième U élève doit se redre à so lycée chaque mati pour 8 h 00 Pour cela, il utilise, selo les jours, deu moyes de trasport : le vélo ou le bus Partie A L élève part tous les jours à 7 h40 de so domicile et doit arriver à 8 h 00 à so lycée Il pred le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps Les jours où il pred le vélo, il arrive à l heure das 99,4% des cas et lorsqu il pred le bus, il arrive e retard das 5% des cas O choisit ue date au hasard e période scolaire et o ote V l évèemet «L élève se red au lycée à vélo», B l évèemet «l élève se red au lycée e bus» et R l évéemet «L élève arrive e retard au lycée» 1 Traduire la situatio par u arbre de probabilités Détermier la probabilité de l évèemet V R 3 Démotrer que la probabilité de l évèemet R est 0,019 4 U jour doé, l élève est arrivé e retard au lycée Quelle est la probabilité qu il s y soit redu e bus? Partie B : le vélo O suppose das cette partie que l élève utilise le vélo pour se redre à so lycée Lorsqu il utilise le vélo, o modélise so temps de parcours, eprimé e miutes, etre so domicile et so lycée par ue variable aléatoire T qui suit la loi ormale d espérace µ = 17 et d écart-type σ = 1, 1 Détermier la probabilité que l élève mette etre 15 et 0 miutes pour se redre à so lycée Il part de so domicile à vélo à 7 h 40 Quelle est la probabilité qu il soit e retard au lycée? 3 L élève part à vélo Avat quelle heure doit-il partir pour arriver à l heure au lycée avec ue probabilité de 0,9? Arrodir le résultat à la miute près Partie C : le bus Lorsque l élève utilise le bus, o modélise so temps de parcours, eprimé e miutes, etre so domicile et so lycée par ue variable aléatoire T qui suit la loi ormale d espérace µ ' = 15 et d écart-type σ ' O sait que la probabilité qu il mette plus de 0 miutes pour se redre à so lycée e bus est de 0,05 O ote Z la variable aléatoire égale à T' 15 σ' 1 Quelle loi la variable aléatoire Z suit-elle? Détermier ue valeur approchée à 0,01 près de l écart-type σ ' de la variable aléatoire T 3-4 : Atilles, jui 014, Eercice 1 (5 poits) Les parties A et B sot idépedates Les résultats serot arrodis à 10 4 près Partie A U ostréiculteur élève deu espèces d huîtres : «la plate» et «la japoaise» Chaque aée, les huîtres plates représetet 15 % de sa productio Les huîtres sot dites de calibre 3 lorsque leur masse est comprise etre 66 g et 85 g Seulemet 10 % des huîtres plates sot de calibre 3, alors que 80 % des huîtres japoaises le sot 1 Le service saitaire prélève ue huître au hasard das la productio de l ostréiculteur Termiale S 5 Aales 014

26 O suppose que toutes les huitres ot la même chace d être choisies O cosidère les évèemets suivats : * J : «l huître prélevée est ue huître japoaise», * C : «l huître prélevée est de calibre 3» a Costruire u arbre podéré complet traduisat la situatio b Calculer la probabilité que l huître prélevée soit ue huître plate de calibre 3 c Justifier que la probabilité d obteir ue huître de calibre 3 est 0,695 d Le service saitaire a prélevé ue huître de calibre 3 Quelle est la probabilité que ce soit ue huître plate? La masse d ue huître peut être modélisée par ue variable aléatoire X suivat la loi ormale de moyee µ = 90 et d écart-type σ = a Doer la probabilité que l huître prélevée das la productio de l ostréiculteur ait ue masse comprise etre 87 g et 89 g b Doer ( X > 91) Partie B P Cet ostréiculteur affirme que 60 % de ses huîtres ot ue masse supérieure à 91 g U restaurateur souhaiterait lui acheter ue grade quatité d huîtres mais il voudrait, auparavat, vérifier l affirmatio de l ostréiculteur Le restaurateur achète auprès de cet ostréiculteur 10 douzaies d huîtres qu o cosidèrera comme u échatillo de 10 huîtres tirées au hasard Sa productio est suffisammet importate pour qu o l assimile à u tirage avec remise Il costate que 65 de ces huîtres ot ue masse supérieure à 91 g 1 Soit F la variable aléatoire qui à tout échatillo de 10 huîtres associe la fréquece de celles qui ot ue masse supérieure à 91 g Après e avoir vérifié les coditios d applicatio, doer u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire F Que peut peser le restaurateur de l affirmatio de l ostréiculteur? 3-5 : Asie, jui 014, Eercice (6 poits) Le tau d hématocrite est le pourcetage du volume de globules rouges par rapport au volume total du sag O ote X la variable aléatoire doat le tau d hématocrite d u adulte choisi au hasard das la populatio fraçaise O admet que cette variable suit ue loi ormale de moyee µ = 45, 5 et d écarttype σ Partie A O ote Z la variable aléatoire X µ Z = σ 1 a Quelle est la loi de la variable aléatoire Z? b Détermier ( X µ ) P E preat 3,8 Partie B σ =, détermier P ( 37,9 X 53,1) Arrodir le résultat au cetième Ue certaie maladie V est présete das la populatio fraçaise avec la fréquece 1 % O sait d autre part que 30 % de la populatio fraçaise a plus de 50 as, et que 90 % des porteurs de la maladie V das la populatio fraçaise ot plus de 50 as O choisit au hasard u idividu das la populatio fraçaise O ote α l uique réel tel que ( ) = 0,995 l eercice O e cherchera pas à calculer α O défiit les évèemets : M : «l idividu est porteur de lamaladie V» ; P X α où X est la variable aléatoire défiie au début de Termiale S 6 Aales 014

27 S : «l idividu a plus de 50 as» ; H : «l idividu a u tau d hématocrite supérieur à α» Aisi P ( M ) = 0,01, P ( ) = et ( H ) = ( X > α ) M S 0,9 P P D autre part, ue étude statistique a révélé que 60 % des idividus ayat u tau d hématocrite supérieur à α sot porteurs de la maladie V 1 a Détermier ( M S) P b O choisit au hasard u idividu ayat plus de 50 asmotrer que la probabilité qu il soit porteur de la maladie V est égale à 0,03 a Calculer la probabilité P ( H ) b L idividu choisi au hasard a u tau d hématocrite iférieur ou égal à α Calculer la probabilité qu il soit porteur de la maladie V Arrodir au millième Partie C Le but de cette partie est d étudier l ifluece d u gèe sur la maladie V 1 Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la fréquece de la maladie V das des échatillos de taille 1 000, prélevés au hasard et avec remise das l esemble de la populatio fraçaise O arrodira les bores de l itervalle au millième Das u échatillo aléatoire de persoes possédat le gèe, o a trouvé 14 persoes porteuses de la maladie V Au regard de ce résultat, peut-o décider, au seuil de 95%, que le gèe a ue ifluece sur la maladie? 3-6 : Cetres Etragers, jui 014, Eercice 1 (4 poits) Cet eercice est u questioaire à choi multiples comportat quatre questios idépedates Pour chaque questio, ue seule des quatre affirmatios proposées est eacte Le cadidat idiquera sur sa copie le uméro de la questio et la lettre correspodat à l affirmatio eacte Aucue justificatio est demadée Ue répose eacte rapporte u poit ; ue répose fausse ou ue absece de répose e rapporte i elève de poit Questio 1 Das u hypermarché, 75% des cliets sot des femmes Ue femme sur ciq achète u article au rayo bricolage, alors que sept hommes sur di le fot Ue persoe, choisie au hasard, a fait u achat au rayo bricolage La probabilité que cette persoe soit ue femme a pour valeur arrodie au millième : a 0,750 b 0,150 c 0,46 d 0,700 Questio Das cet hypermarché, u modèle d ordiateur est e promotio Ue étude statistique a permis d établir que, chaque fois qu u cliet s itéresse à ce modèle, la probabilité qu il l achète est égale à 0,3 O cosidère u échatillo aléatoire de di cliets qui se sot itéressés à ce modèle La probabilité qu eactemet trois d etre eu aiet acheté u ordiateur de ce modèle a pour valeur arrodie au millième : a 0,900 b 0,09 c 0,00 d 0,67 Questio 3 Cet hypermarché ved des téléviseurs dot la durée de vie, eprimée e aée, peut êtremodélisée par ue variable aléatoire réelle qui suit ue loi epoetielle de paramètre λ La durée de vie moyee d u 1 téléviseur est de huit as, ce qui se traduit par : λ = 8 La probabilité qu u téléviseur pris au hasard foctioe ecore au bout de si as a pour valeur arrodie au millième : a 0,750 b 0,50 c 0,47 d 0,58 Questio 4 Termiale S 7 Aales 014

28 Cet hypermarché ved des baguettes de pai dot la masse, eprimée e gramme, est ue variable aléatoire réelle qui suit ue loi ormale de moyee 00 g La probabilité que la masse d ue baguette soit comprise etre 184 g et 16 g est égale à 0,954 La probabilité qu ue baguette prise au hasard ait ue masse iférieure à 19 g a pour valeur arrodie au cetième : a 0,16 b 0,3 c 0,84 d 0, : Polyésie, jui 014, Eercice 3 (5 poits) Pour chacue des ciq affirmatios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la répose Ue répose o justifiée est pas prise e compte Ue absece de répose est pas péalisée 1 Zoé se red à so travail à pied ou e voiture Là où elle habite, il pleut u jour sur quatre Lorsqu il pleut, Zoé se red e voiture à so travail das 80 % des cas Lorsqu il e pleut pas, elle se red à pied à so travail avec ue probabilité égale à 0,6 Affirmatio 1 : «Zoé utilise la voiture u jour sur deu» Das l esemble E des issues d ue epériece aléatoire, o cosidère deu évèemets A et B Affirmatio : «Si A et B sot idépedats, alors A et B sot aussi idépedats» 3 O modélise le temps d attete, eprimé e miutes, à u guichet, par ue variable aléatoire T qui suit la loi epoetielle de paramètre 0,7 Affirmatio 3 : «La probabilité qu u cliet attede au mois ciq miutes à ce guichet est 0,7 eviro» Affirmatio 4 : «Le temps d attete moye à ce guichet est de sept miutes» 4 O sait que 39 % de la populatio fraçaise est du groupe sagui A+ O cherche à savoir si cette proportio est la même parmi les doeurs de sag O iterroge 183 doeurs de sag et parmi eu, 34 % sot du groupe sagui A+ Affirmatio 5 : «O e peut pas rejeter, au seuil de 5%, l hypothèse selo laquelle la proportio de persoes du groupe sagui A+ parmi les doeurs de sag est de 39% comme das l esemble de la populatio» 3-8 : Frace Métropolitaie, jui 014, Eercice (5 poits) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet Partie A U laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies So service de commuicatio met e avat les caractéristiques suivates : - la probabilité qu'ue persoe malade présete u test positif est 0,99 ; - la probabilité qu'ue persoe saie présete u test positif est 0,001 1 Pour ue maladie qui viet d'apparaître, le laboratoire élabore u ouveau test Ue étude statistique permet d'estimer que le pourcetage de persoes malades parmi la populatio d'ue métropole est égal à 0,1 % O choisit au hasard ue persoe das cette populatio et o lui fait subir le test O ote M l'évéemet «la persoe choisie est malade» et T l'évéemet «le test est positif» a Traduire l'éocé sous la forme d'u arbre podéré b Démotrer que la probabilité P ( T ) de l'évéemet T est égale à 1, c L'affirmatio suivate est-elle vraie ou fausse? Justifier la répose Affirmatio : «Si le test est positif, il y a mois d'ue chace sur deu que la persoe soit malade» Le laboratoire décide de commercialiser u test dès lors que la probabilité qu'ue persoe testée positivemet soit malade est supérieure ou égale à 0,95 O désige par la proportio de persoes atteites d'ue certaie maladie das la populatio À partir de quelle valeur de le laboratoire commercialise-t-il le test correspodat? Partie B La chaîe de productio du laboratoire fabrique, e très grade quatité, le comprimé d'u médicamet Termiale S 8 Aales 014