Terminale S-SI Probabilités conditionnelles

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1 robabilités conditionnelles Table des matières 1 Introduction 2 2 Définitions 2 3 Formule des probabilités totales 3 4 Indépendance et principe du produit 5 5 Exercices 5 1

2 1 Introduction Lorsque 7 élèves d une classe de 32 élèves pratiquent le tennis, on sait alors que la fréquence de l événement : l élève fait du tennis est de f = 7 soit à peu près 21,9%. Cette fréquence devient une probabilité lorsqu on réalise 32 l expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard un élève de la classe. Ainsi, bien souvent considérons-nous une probabilité d un événement A comme la proportion de A dans un ensemble de référence, appelé Univers, noté bien souvent Ω. Considérons l expérience aléatoire qui consiste à choisir un individu au hasard dans une ville quelconque. On s intéresse à la probabilité de l événement :La personne fait des paris sportifs sur Internet. Vous comprendrez sans doute que la probabilité de cet événement est très affectée selon la ville choisie, la population choisie ou le lieu choisie.si le sondage est effectué à la sortie d un stade,la probabilité de devrait être plus importante qu à la sortie d une église. L ensemble de référence est donc a priori important. C est le principe des probabilités conditionnelles. 2 Définitions Définition 1 Soit A et B deux événements tels que p(a) 0. Alors la probabilité de B sachant que A est réalisé est égale à : p A (B) = p(a B) p(a) Il faut comprendre qu au travers de cette formule,on cherche la part de B dans A comme l illustre le diagramme suivant : A A B B Or la part de B dans A n existe qu au travers de la part de A B dans A, d où p(a B). p(a) Exemples : Dans une classe, la probabilité d obtenir un garçon est de 0,7 et celle d obtenir un garçon qui pêche est de 0, 035. armi les garçons quelle est la probabilité d obtenir un pêcheur? Dans un troupeau de vache, 5% sont malades. armi ces malades, 98% réagissent positivement à un test de dépistage de la maladie. armi le troupeau, quelle est la probabilité d obtenir une vache malade et qui réagit positivement au test? Correction : On réalise une partition de l ensemble de référence selon deux critères : (Garçon,êcheur) pour le premier et (Malade,ositif) pour le second. On peut donc représenter la situation soit par un diagramme de Ven, soit par un arbre de probabilité.

3 Exemple n 1 : Avec un diagramme On connaît la proportion de G dans Ω et de celle de G dans Ω; il faut en déduire la proportion de (ou G) dans G : G G avec p(g) = 0,7 et p(g ) = 0,035. Et on cherche p G (). Donc d après la formule précédente, p G () = p(g ) = 0,035 = 0,05. Ainsi, 5% des garçons sont des p(g) 0,7 pêcheurs ou en termes de probabilité, la probabilité d obtenir un pêcheur parmi les garçons est de 0, 05. La situation se résume ainsi : Exemple n 2 : Avec un arbre 0,05 M 0,98 0,02 0,95 M?? Les? sontdesdonnéesinconnues.onconnaîtdoncp(m)(quipermetdecalculerrapidementp(m)etp M ()(qui permet de calculer rapidement p M ). Donc la formule donne : p(m ) = p(m) p M () = 0,05 0,98 = 0,049 Donc dans le troupeau, la probabilité qu une bête soit malade et positive est de 0,049 3 Formule des probabilités totales Considérons le problème suivant : Trois machines M 1,M 2 et M 3 réalisent respectivement 20%,35% et 45% de la production d une entreprise. On estime à 1,5%,2% et 1%, les proportions de pièces défectueuses produites respectivement par M 1,M 2 et M 3.On choisit une pièce au hasard dans la production et on s intéresse à la probabilité de l événement D :La pièce est défectueuse. On peut remarquer que :

4 D = (D M 1 ) (D M 2 ) (D M 3 ) avec (D M i ) (D M j ) = (i j) C est-à-dire que l événement D est la réunion de trois événements deux à deux disjoints. Rappelons enfin que quelque soit les événements A et B : p(a B) = p(a)+p(b) p(a B) et dans le cas où A B =,p(a B) = 0. En appliquant cette formule à D on obtient : soit enfin avec les formules précédentes : p(d) = p(d M 1 )+p(d M 2 )+p(d M 3 ) p(d) = p(m 1 ) p M1 (D)+p(M 2 ) p M2 (D)+p(M 3 ) p M3 (D) Soit p(d) = 0,2 0,015+0,35 0,02+0,45 0,01 = 0,0145. C est la formule des probabilités totales. Théorème 1 Si l univers Ω d une expérience aléatoire est la réunion d événements A 1,A 2,...A n, deux à deux incompatibles, alors pour tout événement B, on a : p(b) = p(a 1 B)+p(A 2 B)+...+p(A n B) Dans ce cas,on dit que la famille (A i ) 1 i n réalise une partition de Ω.Un cas particulier est la famille (A,A) qui réalise une partition de Ω, quelque soit l événement A. La formule s écrit encore, à l aide des probabilités conditionnelles : p(b) = p(a 1 ) p A1 (B)+p(A 2 ) p A2 (B)+...+p(A n ) p An (B) La situation peut s illustrer par un arbre de probabilité : 0,015 D 0,2 M 1 0,985 D 0,02 D 0,35 M 2 0,98 D 0,01 0,45 D M 3 0,99 D ou un tableau à double entrée : M 1 M 2 M 3 total D 0,003 0,007 0,0045 0,0145 D 0,197 0,343 0,4455 0,9855 Total 0,2 0,35 0,45 1

5 4 Indépendance et principe du produit Définition 2 Deux événements A et B sont indépendants si l une des conditions suivantes est vérifiée : p A (B) = p(b) p B (A) = p(a) p(a B) = p(a) p(b) Remarques : Ne pas confondre indépendance et incompatibilité. Quand on répète un tirage avec remise dans une urne, on crée des expériences indépendantes. Ce n est pas le cas si le tirage est fait sans remise (sauf si le nombre d objet est infiniment grand!). roposition 1 Si A et B sont deux événements indépendants alors les événements : 1. A et B 2. A et B 3. A et B le sont aussi Démonstration :Les deux événements A et B sont indépendants donc p(a B) = p(a) p(b). De plus A et A réalise une partition de l univers Ω donc, d après la formule des probabilités totales : p(b) = p(a B)+p(A B). D où : p(a B) = p(b) p(a B) = p(b) p(a) p(b) = (1 p(a)) p(b) = p(a) p(b). On étend la règle précédente à n événements deux à deux indépendants pour énoncer le principe du produit : La probabilité d une liste de résultats, deux à deux indépendants, est égale au produit des probabilités de chacun des résultats. C est ce résultat important que l on retrouve dans le schéma de Bernoulli pour déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus. 5 Exercices Exercice n 1 : Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. our le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V, sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre et sur le dernier la lettre L. Un concurrent tire au hasard un jeton : s il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, s il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, s il tire le jeton sur lequel figure la lettre, il effectuera le trajet à pied, s il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents. On observe que lorsqu un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70% des cas, il choisit le roller dans 20% des cas el il décide de faire le parcours à pied dans 10% des cas. 1. Construire un arbre pondéré correspondant à la situation. our les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième. 2. Calculer la probabilité qu un concurrent effectue le trajet à vélo.

6 3. Sachant qu un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L? 4. On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres. L expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d avoir effectué le trajet à vélo est 2 3. Calculer la probabilité qu au cours des six prochaines années l épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent non cycliste. Exercice n 2 : Le jeu d échecs est un jeu à deux joueurs. L un joue avec des pièces et pions clairs appelés blancs, l autre avec des pièces et pions foncés appelés les noirs. Une partie d échecs se termine soit par la victoire des blancs, soit par la victoire des noirs, soit par un nul sans vainqueur. Le président d un club d échecs a établi une enquête statistique sur les parties jouées par ses adhérents lors de tournois avec d autres clubs, depuis la création de ce club. our les adhérents de ce club, l analyse des résultats a conduit aux constatations suivantes : 45% des parties ont été jouées avec les blancs, 70% des parties jouées avec les blancs ont été gagnantes, 25% des parties jouées avec les blancs ont été perdantes, 4% des parties jouées avec les noirs ont fini par un nul, pour les parties jouées avec les noirs, il y a eu autant de parties gagnées que perdues. Le président de ce club choisit au hasard une partie jouée par un de ses adhérents pour l étudier. On appellera B l évènement : La partie choisie est jouée avec les blancs, N l évènement : La partie choisie est jouée avec les noirs, V l évènement : La partie choisie se termine par une victoire, E l évènement : La partie choisie se termine par un nul, D l évènement : La partie choisie se termine par une défaite. 1. Déterminer la probabilité de l évènement N. 2. Représenter la situation par un arbre pondéré. 3. Justifier que la probabilité de l évènement La partie choisie est jouée avec les noirs et est gagnée est égale à 0, Calculer la probabilité que la partie choisie se termine par une victoire. 5. Sachant que la partie choisie se termine par une victoire, calculer la probabilité qu elle ait été jouée avec les noirs et donner sa valeur décimale arrondie au millième. Exercice n 3 : Suite à une panne technique, un distributeur de boissons ne tient aucun compte de la commande faite par le client. Cette machine distribue soit un expresso, soit du chocolat, soit du thé en suivant une programmation erronée. Chaque boisson peut être sucrée ou non. La probabilité d obtenir un expresso est 1 2. La probabilité d obtenir un thé sucré est 2 9. Si l on obtient un expresso, la probabilité qu il soit sucré est 5 9. Si l on obtient un chocolat, la probabilité qu il soit sucré est 1 3. La probabilité d obtenir une boisson sucrée est 5 9 On pourra considérer les évènements suivants : T : On a obtenu un thé.

7 E : On a obtenu un expresso. C : On a obtenu un chocolat. S : La boisson obtenue est sucrée. 1. Construire un arbre probabiliste modélisant la situation. 2. Calculer la probabilité d obtenir un expresso sucré. 3. Démontrer que la probabilité d obtenir un chocolat sucré est En déduire la probabilité d obtenir un chocolat. 5. Une personne obtient une boisson sucrée. Quelle est la probabilité que cette boisson soit un thé? Exercice n 4 : À l issue d une compétition, des sportifs sont contrôlés par un comité antidopage qui doit se prononcer sur leur positivité ou négativité au dopage. Or, d une part certains produits dopants restent indétectables aux contrôles, d autre part certains médicaments ont un effet de dopage inconnu du sportif; le comité prend donc sa décision avec un risque d erreur. On note D l évènement le sportif est dopé, O l évènement le sportif est déclaré positif. E l évènement le comité a commis une erreur. 1. Dans cette question, on suppose que parmi les sportifs 50% ne sont pas dopés et que la probabilité d être déclaré positif est indépendante de l état réel du sportif (dopé ou non dopé). Lors d une étude sur des compétitions antérieures on a pu observer que ce comité déclarait positifs 20% des sportifs. On choisit un sportif au hasard. Calculer la probabilité que le sportif soit non dopé et déclaré positif; la probabilité que le sportif soit dopé et déclaré négatif; la probabilité de l évènement E. 2. Dans cette question, on note p la fréquence des dopés parmi les sportifs contrôlés. On suppose que la probabilité d être déclaré positif n est pas la même selon que le sportif est réellement dopé ou non, la probabilité qu un sportif dopé soit déclaré positif est 0,9; la probabilité qu un sportif non dopé soit déclaré positif est 0,1. On choisit un sportif au hasard. (a) Construire un arbre pondéré illustrant la situation. (b) Calculer la probabilité de E. (c) Calculer, en fonction de p, la probabilité que ce sportif soit déclaré positif. (d) On s intéresse à la probabilité qu un sportif ayant été déclaré positif soit réellement dopé. Montrer que 0,9p cette probabilité, notée f(p), est définie par f(p) = 0,8p+0,1. Résoudre l inéquation f(p) > 0, 9. Interpréter ce résultat. Exercice n 5 : our chaque question, une seule des réponses est exacte. 1. Un magasin de matériel informatique vend deux modèles d ordinateur au même prix et de marques M 1 et M 2. Les deux ordinateurs ont les mêmes caractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc. D après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70% des acheteurs ont choisi l ordinateur M 1 et, parmi eux, 60% ont préféré la couleur noire. ar ailleurs, 20% des clients ayant acheté un ordinateur M 2 l ont choisi de couleur blanche. On utilise la liste des clients ayant acheté l un ou l autre des ordinateurs précédemment cités et on choisit un client au hasard.

8 (a) La probabilité qu un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M 2 de couleur noire est : Réponse A : 3 5 Réponse B : 4 5 Réponse C : (b) La probabilité qu un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur de couleur noire est : Réponse A : Réponse B : Réponse C : 3 5 Réponse D : (c) Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité qu il soit de marque M 2 est : Réponse A : 4 11 Réponse B : 6 25 Réponse C : Réponse D : Réponse D : Une urne contient 4 boules jaunes, 2 boules rouges et 3 boules bleues. Les boules sont indiscernables au toucher. L expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l urne. (a) La probabilité d obtenir trois boules de même couleur est : Réponse A : Réponse B : 2 7 Réponse C : (b) La probabilité d obtenir trois boules de trois couleurs différentes est : Réponse A : 2 7 Réponse B : 1 7 Réponse C : Réponse D : 4 63 Réponse D : (c) On répète plusieurs fois l expérience, de manière indépendante, en remettant à chaque fois les trois boules dans l urne. Le nombre minimal d expériences à réaliser pour que la probabilité de l évènement obtenir au moins une fois trois boules jaunes soit supérieure ou égale à 0,99 est : Réponse A : 76 Réponse B : 71 Réponse C : 95 Réponse D : 94

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