Résoudre un problème mise en pratique

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1 Résoudre un problème mise en pratique

2 Objectifs généraux Rappel de certains concepts mathématiques. Analyse des problèmes et des procédures de résolution. Étude de notions élémentaires de didactique Apport d'éléments d'information permettant la construction et l'analyse de séquences à l'école élémentaire.

3 Objectifs de la situation «Concertum» Faire apparaître l'utilisation de la division comme procédure experte pour la résolution d'un problème. Donner du sens, à partir de l'analyse de l'activité, à des notions de didactiques telles que dialectiques de l'action, de la formulation, de la validation et de l'institutionnalisation.

4 Matériel et consignes 10 cartons numérotés de 0 à 9 (et au-delà si on veut utiliser certains prolongements du jeu), de la taille de cartes à jouer (type bristol. Chacun tient ses cartes en main comme un jeu de cartes. Au cours du jeu, chaque joueur est amené à choisir un nombre de 0 à 9 et manifeste son choix en sélectionnant puis en montrant l'une de ses cartes. On peut aussi adopter un autre dispositif sans ce matériel : lorsqu'un joueur choisit un nombre, il l'écrit sur une feuille de papier et c'est la feuille qui est montrée.

5 Organisation Équipes de 3. Si le nombre de participants n'est pas un multiple de 3, on peut faire jouer un rôle par deux personnes à la fois, celles-ci effectuant les choix chacune leur tour. Il peut aussi être intéressant de confier à une ou deux personnes le rôle d'observateur des stratégies des différentes équipes. Le choix préalable des équipes de 3 paraît le plus intéressant mais on pourrait aussi commencer avec des équipes de 4, voire plus.

6 Présentation du jeu Lorsque chaque joueur a bien ses cartes en main, le professeur donne la consigne suivante : «je vais vous proposer un nombre entier, que j'appellerai nombre-cible. Chacun choisira un carton et un seul, et l'objectif de chaque équipe sera que les 3 cartons choisis par les différents membres de l'équipe aient pour somme le nombre-cible».

7 Phase 1 Le professeur propose quelques essais (diversifier le choix des nombres-cibles à la fois entre petits et grands nombres, ainsi qu'entre multiples et non multiples de 3). Lorsque chaque équipe montre ses cartons, il fait vérifier par les autres le résultats obtenu. En cas de difficultés, le professeur informe que chaque équipe peut demander un temps mort pour une nouvelle concertation. Cette phase s'arrête lorsque toutes les équipes commencent à fournir des choix corrects.

8 Phase 2 Le professeur donne la consigne suivante : «Dans chaque équipe, vous allez prendre un temps de réflexion pour rédiger un message écrit expliquant la stratégie choisie, de la façon la plus claire possible, afin que d'autres soient capables de l'utiliser. Les messages rédigés seront ensuite échangés entre les équipes, et nous jouerons à nouveau, chaque équipe devant obligatoirement utiliser la stratégie indiquée dans le message reçu. Vous devez indiquer clairement le rôle de chacun des membres de l'équipe».

9 Phase 3 Chaque équipe doit essayer de deviner et formuler la stratégie utilisée par les autres. Pour cela, ce n'est plus le professeur qui propose les nombrescibles, mais les élèves. Chaque stratégie fait l'objet d'un débat : Existe t-il une stratégie meilleure que les autres? Quelles sont les qualités d'une bonne stratégie?

10 Phase 4 Cette phase, comme la suivante, a pour objectif de faire évoluer les stratégies en faisant associer la notion de «bonne» stratégie à celle de stratégie «généralisable». Le même jeu est repris, mais avec cette fois des équipes de 4 (ou de 5, 6 ou de 7...), l'intervalle des nombres-cibles variant en conséquence.

11 Phase 5 Toujours avec le même jeu et les mêmes groupes, mais cette fois on n'utilise que les cartons de 0 à 7 (on peut aussi utiliser des cartons de 0 à p avec P supérieur à 9). A la fin, c'est tout le groupe qui forme une seule équipe et doit se concerter pour jouer, une première fois avec les cartons de 0 à 9, une seconde avec les cartons de 0 à 7.

12 Phase 6 Le problème suivant est donné «On dispose des cartons de 0 à p ; les joueurs sont par équipes de k joueurs ; le nombre choisi est n ; explicitez dans ce cas la stratégie que vous avez retenue dans la phase précédente».

13 Analyse de l'activité A quels niveaux de classe peut-on proposer cette activité? Aux classes de CM et de collège : 6ème. Mais aussi CP : situation Ermel. Questionnement préalable : Qu'est-ce qui vous paraît intéressant dans cette activité? Du point de vue du fonctionnement intellectuel, comment caractériseriez-vous les différentes étapes? Si on reprend depuis le départ avec pour objectif la connaissance et la compréhension de la formule élaborée à la fin, quels autres scénarios d'enseignement pourraiton imaginer?

14 Les différents types de situations en jeu Des situations d'action. Des situations de formulation. Des situations de validation et de recherche de preuve. Des situations d'institutionnalisation.

15 Les variables didactiques Ces variables sont ici essentiellement les nombres en jeu : Quels choix ont été faits? Peut-on imaginer que les procédures seraient différentes avec d'autres choix?

16 Le contrat didactique Au départ, si le professeur ne laisse pas entendre qu'il faut se concerter, les joueurs peuvent penser qu'ils doivent savoir répondre directement puisque ce n'est pas possible ou que c'est l'effet du hasard. Il leur faut rompre ce contrat implicite : c'est la dévolution : trouver une solution et pas seulement deviner ce qu'attend le professeur et répondre à ses attentes. Les joueurs cherchent seulement à se faire comprendre et vont en général à l'économie d'écriture, même les plus matheux : le problème du statut de l'écrit mathématique dans la classe.

17 Les situations a-didactiques La recherche de la stratégie et la recherche de l'écriture sont des situations a-didactiques : le joueur se saisit du problème sans essayer de comprendre les intentions didactiques de celui qui l'a posé. Dans les situations d'enseignement, la dévolution d'une situation a-didactique peut ne pas s'opérer, compromettant ainsi l'apprentissage.

18 Inventaire de quelques procédures Utilisation de la division par 9 C'est la procédure qui sera la plus souvent retenue à la fin comme la plus performante. Utilisation de la division par 3

19 Autres procédures Diverses autres procédures peuvent apparaître, plus ou moins difficiles à généraliser. Utilisation de la parité. Délimitation de tranches autonomes. Constitution d'une table. Passage par la représentation imagée...

20 Remarque Il n'est pas sans intérêt de mettre en relation les deux premières procédures décrites : division par 9 (p dans le cas général) et division par 3 (K dans le cas général). On peut dire ainsi que : La procédure de division par 9 correspond à une représentation en termes de division-quotition. La procédure de division par 3 correspond à une représentation en termes de division-partition.

21 Conclusion Cette situation peut aussi être utilisée facilement en dehors de l'étude des procédures de calcul additif ou de la division. L'intérêt qu'elle suscite généralement, l'engagement des participants, le travail d'équipe qu'elle nécessite, les débats qu'elle fait surgir, les rétroactions qu'elle provoque,... en font une situation riche et intéressante comme point de départ à une réflexion plus générale sur les problèmes d'apprentissage et plus particulièrement la résolution de problèmes.

22 Merci de votre attention!

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