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1 Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014

2 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc :

3 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : Pour n = 2 :

4 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : 2(2 + 1) Pour n = 2 : = 3 et = 3 2

5 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : 2(2 + 1) Pour n = 2 : = 3 et = 3 2 Pour n = 3 :

6 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : 2(2 + 1) Pour n = 2 : = 3 et = 3 2 Pour n = 3 : = 6 et 3(3 + 1) = 6 2

7 Introduction Principe de récurrence Exemple Même si on le vérifie jusqu à n = 100, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour tout n.

8 Introduction Principe de récurrence Exemple Même si on le vérifie jusqu à n = 100, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour tout n. Pour effectuer cette démonstration, on dispose d un outil particulier : le raisonnement par récurrence. Idée : le raisonnement par récurrence "est un instrument qui permet de passer du fini à l infini" (Poincaré).

9 Introduction Principe de récurrence Exemple Même si on le vérifie jusqu à n = 100, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour tout n. Pour effectuer cette démonstration, on dispose d un outil particulier : le raisonnement par récurrence. Idée : le raisonnement par récurrence "est un instrument qui permet de passer du fini à l infini" (Poincaré). Le principe est le suivant : si on peut se placer d abord sur un barreau d une échelle, et si on peut ensuite passer d un barreau quelconque à son suivant, alors on peut gravir tous les barreaux de cette échelle.

10 Introduction Principe de récurrence Exemple Pour démontrer par récurrence qu une proposition P n est vraie pour tout entier naturel n n 0, (n 0 un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes :

11 Introduction Principe de récurrence Exemple Pour démontrer par récurrence qu une proposition P n est vraie pour tout entier naturel n n 0, (n 0 un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie que P n0 est vraie, c est-à-dire que P n est vraie pour n = n 0. C est le premier barreau de l échelle.

12 Introduction Principe de récurrence Exemple Pour démontrer par récurrence qu une proposition P n est vraie pour tout entier naturel n n 0, (n 0 un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie que P n0 est vraie, c est-à-dire que P n est vraie pour n = n 0. C est le premier barreau de l échelle. Hérédité : On suppose que pour un entier k quelconque, la proposition P k est vraie. Sous cette hypothèse, on démontre que la proposition P k+1 est vraie. C est le passage d un barreau quelconque au suivant.

13 Introduction Principe de récurrence Exemple Pour démontrer par récurrence qu une proposition P n est vraie pour tout entier naturel n n 0, (n 0 un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie que P n0 est vraie, c est-à-dire que P n est vraie pour n = n 0. C est le premier barreau de l échelle. Hérédité : On suppose que pour un entier k quelconque, la proposition P k est vraie. Sous cette hypothèse, on démontre que la proposition P k+1 est vraie. C est le passage d un barreau quelconque au suivant. Conclusion : P n est vraie pour tout entier n ou pour tout entier n n 0.

14 Exemple Raisonnement par récurrence Introduction Principe de récurrence Exemple n Montrons que q = n = q=1 On note cette proposition P n. n(n + 1). 2

15 Exemple Raisonnement par récurrence Introduction Principe de récurrence Exemple Montrons que n n(n + 1) q = n =. 2 q=1 On note cette proposition P n. Initialisation :

16 Exemple Raisonnement par récurrence Introduction Principe de récurrence Exemple Montrons que n n(n + 1) q = n =. 2 q=1 On note cette proposition P n. Initialisation : Montrons que P n est vraie au rang 1, c est-à-dire que P 1 est vraie : 1(1 + 1) = 1 ; c est vérifié. 2

17 Introduction Principe de récurrence Exemple Hérédité :

18 Introduction Principe de récurrence Exemple Hérédité : Supposons que, pour un certain rang k, P k k(k + 1) est vraie, c est-à-dire que : k =. 2 Montrons alors que P k+1 est vraie : c est-à-dire que : (k + 1)(k + 2) (k + 1) =. 2 k(k + 1) Or (k + 1) = + (k + 1) = ( ) 2 k (k + 1) (k + 1)(k + 2) =. cqfd 2

19 Introduction Principe de récurrence Exemple Hérédité : Supposons que, pour un certain rang k, P k k(k + 1) est vraie, c est-à-dire que : k =. 2 Montrons alors que P k+1 est vraie : c est-à-dire que : (k + 1)(k + 2) (k + 1) =. 2 k(k + 1) Or (k + 1) = + (k + 1) = ( ) 2 k (k + 1) (k + 1)(k + 2) =. cqfd 2 Conclusion :

20 Introduction Principe de récurrence Exemple Hérédité : Supposons que, pour un certain rang k, P k k(k + 1) est vraie, c est-à-dire que : k =. 2 Montrons alors que P k+1 est vraie : c est-à-dire que : (k + 1)(k + 2) (k + 1) =. 2 k(k + 1) Or (k + 1) = + (k + 1) = ( ) 2 k (k + 1) (k + 1)(k + 2) =. cqfd 2 Conclusion : La propriété P n est vraie pour tout n 1, n(n + 1) c est-à-dire : n =. 2

21 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Par "étudier le comportement de la suite (u n )", on sous-entend étudier les propriétés du nombre u n lorsque l entier n devient de plus en plus grand (variations, encadrement, comportement à l infini... ).

22 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est :

23 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est : majorée par M si

24 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M.

25 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si

26 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si pour tout n N, u n m.

27 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si pour tout n N, u n m. bornée si

28 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si pour tout n N, u n m. bornée si pour tout n N, m u n M.

29 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Exemples

30 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Exemples Soit la suite ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ;

31 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Exemples Soit la suite ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ; pour tout n N, 1 n > 0. Cette suite est donc minorée par 0, mais aussi par tout réel négatif : un minorant n est donc pas unique.

32 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Exemples Soit la suite ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ; pour tout n N, 1 n > 0. Cette suite est donc minorée par 0, mais aussi par tout réel négatif : un minorant n est donc pas unique. Soit la suite (n 2 ) n 0 = {0; 1; 4;...} ;

33 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Exemples Soit la suite ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ; pour tout n N, 1 n > 0. Cette suite est donc minorée par 0, mais aussi par tout réel négatif : un minorant n est donc pas unique. Soit la suite (n 2 ) n 0 = {0; 1; 4;...} ; pour tout n N, n 2 0. Cette suite est aussi minorée par 0 et par tout réel négatif ; en plus ici, 0 est le minimum de la suite atteint au rang 0.

34 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions La suite (u n ) admet pour limite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient

35 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions La suite (u n ) admet pour limite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang.

36 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions La suite (u n ) admet pour limite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. On écrit alors :

37 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions La suite (u n ) admet pour limite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. On écrit alors :. lim u n = l n

38 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Interprétation graphique u n b u p l a p n

39 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soit A R. La suite (u n ) admet pour limite + (resp. ) si tout intervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) contient

40 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soit A R. La suite (u n ) admet pour limite + (resp. ) si tout intervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang.

41 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soit A R. La suite (u n ) admet pour limite + (resp. ) si tout intervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. On écrit alors :

42 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soit A R. La suite (u n ) admet pour limite + (resp. ) si tout intervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. On écrit alors :. lim u n = + (resp. ) n

43 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Interprétation graphique u n u p A p n

44 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n =... n +

45 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n +

46 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + n2 =...

47 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + n2 = +

48 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + n2 = + lim n =... n +

49 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + n2 = + lim n = + n +

50 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n =... lim n + n2 = + lim n = + n +

51 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n = + n +

52 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 =... lim n = + n +

53 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n = + n +

54 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n = + n + lim n + 1 =... n

55 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n = + n + lim n + 1 = 0 n

56 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n = + n + lim n + 1 = 0 n Pour tout entier k 1 : lim n + nk =...

57 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n = + n + lim n + 1 = 0 n Pour tout entier k 1 : lim n + nk = +

58 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n + nk = + lim n = + n + lim n + lim n + 1 = 0 n 1 n k =...

59 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n + nk = + lim n = + n + lim n + lim n + 1 = 0 n 1 n k = 0

60 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Preuve de lim n + n2 = + :......

61 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Preuve de lim n + n2 = + : soit A un réel quelconque.

62 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Preuve de lim n + n2 = + : soit A un réel quelconque. Si A 0 alors n 2 > A pour tout n 1 ; on choisit donc N = 1.

63 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Preuve de lim n + n2 = + : soit A un réel quelconque. Si A 0 alors n 2 > A pour tout n 1 ; on choisit donc N = 1. Si A > 0, pour tout entier n > A, on a n 2 > A, car la fonction carrée est strictement croissante sur ]0; + [. Soit N le plus petit entier tel que N > A ; alors n N on a n 2 > A.

64 Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Preuve de lim n + n2 = + : soit A un réel quelconque. Si A 0 alors n 2 > A pour tout n 1 ; on choisit donc N = 1. Si A > 0, pour tout entier n > A, on a n 2 > A, car la fonction carrée est strictement croissante sur ]0; + [. Soit N le plus petit entier tel que N > A ; alors n N on a n 2 > A. Donc lim n + n2 = +

65 Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + +

66 Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + +

67 Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n

68 Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n l + l

69 Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n l + l +

70 Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n l + l +

71 Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n l + l + +

72 Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n l + l + +

73 Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n l + l + + F. I. F. I. = forme indéterminée ; on ne connait pas à priori la réponse.

74 Produit de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 0 ou ±

75 Produit de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 0 ou ± lim n + v n l ± ±

76 Produit de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 0 ou ± lim n + v n l ± ± lim n + u n v n

77 Produit de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 0 ou ± lim n + v n l ± ± lim n + u n v n l l

78 Produit de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 0 ou ± lim n + v n l ± ± lim n + u n v n l l ± avec R. S.

79 Produit de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 0 ou ± lim n + v n l ± ± lim n + u n v n l l ± avec R. S. F. I. R. S. = règle des signes.

80 Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ±

81 Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ±

82 Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± lim n + u n v n

83 Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± u n l lim n + v n l

84 Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± u n l lim n + v n l 0

85 Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± u n l lim n + v n l 0 F. I.

86 Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± u n l lim n + v n l 0 F. I. ± (R. S.)

87 Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± u n l lim n + v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.)

88 Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± u n l lim n + v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.) F. I.

89 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Etudier la limite de la suite (u n ) définie sur N par : u n = 2 3n + 5

90 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Etudier la limite de la suite (u n ) définie sur N par : u n = 2 3n + 5 lim 2 = 2 n +

91 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Etudier la limite de la suite (u n ) définie sur N par : u n = 2 3n + 5 lim 2 = 2 n + et lim (3n + 5) = + n +

92 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Etudier la limite de la suite (u n ) définie sur N par : u n = 2 3n + 5 lim 2 = 2 n + et lim (3n + 5) = + n + Donc par quotient : lim n + 2 3n + 5 = 0

93 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note

94 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note " ", "0 ", " 0 0 ", " "

95 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note " ", "0 ", " 0 0 ", " " mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction.

96 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note " ", "0 ", " 0 0 ", " " mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction. Le principe est toujours le même pour "lever" une indétermination : il faut changer l écriture de la suite.

97 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5

98 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = +

99 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = + et lim n + ( n 5) =,

100 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = + et lim n + ( n 5) =, donc lim n + 3n 2 n 5 = F. I. (" ").

101 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = + et lim n + ( n 5) =, donc lim n + 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2

102 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = + et lim n + ( n 5) =, donc lim n + 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 lim n + n 2 = +

103 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = + et lim n + ( n 5) =, donc lim n + 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 lim n + n 2 = + et lim n + (3 1 n 5 ) = 3 n 2

104 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = + et lim n + ( n 5) =, donc lim n + 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 lim n + n 2 = + et lim n + (3 1 n 5 ) = 3 n 2 Donc par produit lim n + u n = +

105 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7

106 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = +

107 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = + et lim n + ( 2n + 7) =,

108 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = + et lim n + ( 2n + 7) =, donc lim n + u n = F. I. (" ").

109 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = + et lim n + ( 2n + 7) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n

110 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = + et lim n + ( 2n + 7) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n lim n + (3 + 5 n ) = 3

111 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = + et lim n + ( 2n + 7) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n lim n + (3 + 5 n ) = 3 et lim n + ( n ) = 2

112 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = + et lim n + ( 2n + 7) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n lim n + (3 + 5 n ) = 3 et lim n + ( n ) = 2 Donc par quotient lim n + u n = 3 2

113 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n

114 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = +

115 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = + et lim n + ( n) =,

116 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = + et lim n + ( n) =, donc lim n + u n = F. I. (" ").

117 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = + et lim n + ( n) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 n n ) = n(1 1 n )

118 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = + et lim n + ( n) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 lim n + n = + n n ) = n(1 1 n )

119 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = + et lim n + ( n) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 lim n + n = + et lim n + (1 1 n ) = 1 n n ) = n(1 1 n )

120 Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = + et lim n + ( n) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 lim n + n = + et lim n + (1 1 n ) = 1 Donc par produit lim n + u n = + n n ) = n(1 1 n )

121 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorèmes Soient deux suites (u n ) et (v n ) et un entier naturel N tels que pour tout entier n N, u n v n. Minoration : si lim u n = +, alors n +

122 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorèmes Soient deux suites (u n ) et (v n ) et un entier naturel N tels que pour tout entier n N, u n v n. Minoration : si lim u n = +, alors lim v n = + n + n +

123 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorèmes Soient deux suites (u n ) et (v n ) et un entier naturel N tels que pour tout entier n N, u n v n. Minoration : si lim u n = +, alors n + Majoration : si lim v n = + n + lim v n =, alors n +

124 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorèmes Soient deux suites (u n ) et (v n ) et un entier naturel N tels que pour tout entier n N, u n v n. Minoration : si lim u n = +, alors lim v n = + n + n + Majoration : si lim v n =, alors lim u n = n + n +

125 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) :

126 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que lim u n = + n +

127 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que lim u n = + n + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang.

128 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que lim u n = + n + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme lim u n = +, l intervalle ]A; + [ n + contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A.

129 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que lim u n = + n + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme lim u n = +, l intervalle ]A; + [ n + contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [.

130 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que lim u n = + n + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme lim u n = +, l intervalle ]A; + [ n + contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [. On en déduit que lim v n = + n +

131 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que lim u n = + n + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme lim u n = +, l intervalle ]A; + [ n + contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [. On en déduit que lim v n = + n + La démonstration est analogue pour le théorème de majoration.

132 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorème "des gendarmes" (admis) On considère trois suites (u n ), (v n ) et (w n ). Soit un entier N et un réel l. On suppose que pour tout entier n N, on a u n v n w n. Si les suites (u n ) et (w n ) convergent vers la même limite l, alors la suite (v n )

133 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorème "des gendarmes" (admis) On considère trois suites (u n ), (v n ) et (w n ). Soit un entier N et un réel l. On suppose que pour tout entier n N, on a u n v n w n. Si les suites (u n ) et (w n ) convergent vers la même limite l, alors la suite (v n ) converge également vers l

134 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorème Soit une suite (u n ) convergeant vers un réel l. Si la suite (u n ) est croissante, alors elle est

135 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorème Soit une suite (u n ) convergeant vers un réel l. Si la suite (u n ) est croissante, alors elle est majorée par l.

136 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorème Soit une suite (u n ) convergeant vers un réel l. Si la suite (u n ) est croissante, alors elle est majorée par l. c est-à-dire que pour tout entier naturel n,......

137 Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorème Soit une suite (u n ) convergeant vers un réel l. Si la suite (u n ) est croissante, alors elle est majorée par l. c est-à-dire que pour tout entier naturel n, u n l.

138 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une suite croissante et majorée, alors elle

139 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une suite croissante et majorée, alors elle converge.

140 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une suite croissante et majorée, alors elle converge. Si (u n ) est une suite décroissante et minorée, alors elle

141 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une suite croissante et majorée, alors elle converge. Si (u n ) est une suite décroissante et minorée, alors elle converge.

142 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une suite croissante et majorée, alors elle converge. Si (u n ) est une suite décroissante et minorée, alors elle converge. Attention : Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite de la suite, mais seulement son existence et un majorant, ou un minorant, de la suite.

143 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée

144 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée a pour limite +.

145 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée a pour limite +. Preuve (ROC) :

146 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée a pour limite +. Preuve (ROC) : Soit (u n ) une suite croissante non majorée et soit A R.

147 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée a pour limite +. Preuve (ROC) : Soit (u n ) une suite croissante non majorée et soit A R. Comme (u n ) n est pas majorée, il existe au moins un entier p tel que u p > A.

148 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée a pour limite +. Preuve (ROC) : Soit (u n ) une suite croissante non majorée et soit A R. Comme (u n ) n est pas majorée, il existe au moins un entier p tel que u p > A. Comme (u n ) est croissante, on a n p, u n u p d où n p, u n > A.

149 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée a pour limite +. Preuve (ROC) : Soit (u n ) une suite croissante non majorée et soit A R. Comme (u n ) n est pas majorée, il existe au moins un entier p tel que u p > A. Comme (u n ) est croissante, on a n p, u n u p d où n p, u n > A. Donc à partir du rang p, tous les termes de la suite appartiennent à ]A; + [. Conclusion : lim u n = +. n +

150 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la suite (q n )

151 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la suite (q n ) diverge vers + : lim n + qn = +

152 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la suite (q n ) diverge vers + : lim n + qn = + Si 1 < q < 1, alors la suite (q n )

153 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la suite (q n ) diverge vers + : lim n + qn = + Si 1 < q < 1, alors la suite (q n ) converge vers 0 : lim n + qn = 0

154 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la suite (q n ) diverge vers + : lim n + qn = + Si 1 < q < 1, alors la suite (q n ) converge vers 0 : lim n + qn = 0 Si q 1, alors la suite (q n )

155 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la suite (q n ) diverge vers + : lim n + qn = + Si 1 < q < 1, alors la suite (q n ) converge vers 0 : lim n + qn = 0 Si q 1, alors la suite (q n ) diverge et n admet pas de limite.

156 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) :

157 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na.

158 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation :

159 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et a = 1 ; donc P 0 est vraie.

160 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité :

161 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que pour un certain entier k, P k est vraie, soit (1 + a) k 1 + ka

162 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que pour un certain entier k, P k est vraie, soit (1 + a) k 1 + ka et montrons alors que P k+1 est vraie, c est-à-dire (1 + a) k (k + 1)a ;

163 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que pour un certain entier k, P k est vraie, soit (1 + a) k 1 + ka et montrons alors que P k+1 est vraie, c est-à-dire (1 + a) k (k + 1)a ; (1 + a) k+1 = (1 + a) k (1 + a)

164 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que pour un certain entier k, P k est vraie, soit (1 + a) k 1 + ka et montrons alors que P k+1 est vraie, c est-à-dire (1 + a) k (k + 1)a ; (1 + a) k+1 = (1 + a) k (1 + a) et (1 + a) k 1 + ka d après l hypothèse de récurrence.

165 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que pour un certain entier k, P k est vraie, soit (1 + a) k 1 + ka et montrons alors que P k+1 est vraie, c est-à-dire (1 + a) k (k + 1)a ; (1 + a) k+1 = (1 + a) k (1 + a) et (1 + a) k 1 + ka d après l hypothèse de récurrence. On en déduit que (1 + a) k+1 (1 + ka)(1 + a) car 1 + a > 0.

166 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que pour un certain entier k, P k est vraie, soit (1 + a) k 1 + ka et montrons alors que P k+1 est vraie, c est-à-dire (1 + a) k (k + 1)a ; (1 + a) k+1 = (1 + a) k (1 + a) et (1 + a) k 1 + ka d après l hypothèse de récurrence. On en déduit que (1 + a) k+1 (1 + ka)(1 + a) car 1 + a > 0. Ainsi : (1 + a) k ka + a + ka (k + 1)a car ka 2 > 0, et P k+1 est vraie.

167 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Nous avons montré la propriété P n pour tout n N : si a 0, (1 + a) n 1 + na.

168 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Nous avons montré la propriété P n pour tout n N : si a 0, (1 + a) n 1 + na. On pose maintenant q = 1 + a avec a > 0, donc q > 1.

169 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Nous avons montré la propriété P n pour tout n N : si a 0, (1 + a) n 1 + na. On pose maintenant q = 1 + a avec a > 0, donc q > 1. Alors q n 1 + na, d après la propriété P n.

170 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Nous avons montré la propriété P n pour tout n N : si a 0, (1 + a) n 1 + na. On pose maintenant q = 1 + a avec a > 0, donc q > 1. Alors q n 1 + na, d après la propriété P n. Or lim (1 + na) = +, car a > 0. n +

171 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Nous avons montré la propriété P n pour tout n N : si a 0, (1 + a) n 1 + na. On pose maintenant q = 1 + a avec a > 0, donc q > 1. Alors q n 1 + na, d après la propriété P n. Or lim (1 + na) = +, car a > 0. n + Donc d après le théorème de minoration : lim n + qn = +.

172 Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Nous avons montré la propriété P n pour tout n N : si a 0, (1 + a) n 1 + na. On pose maintenant q = 1 + a avec a > 0, donc q > 1. Alors q n 1 + na, d après la propriété P n. Or lim (1 + na) = +, car a > 0. n + Donc d après le théorème de minoration : lim n + qn = +.

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