Imbibition capillaire d un échantillon de bois : reconstitution 3D de l anatomie et simulation Lattice Boltzmann

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1 Imbbton capllare d un échantllon de bos : reconsttuton 3D de l anatome et smulaton Lattce Boltzmann X. FRANK a, G. ALMEIDA b, P. PERRÉ c a. INRA, UMR 1092 LERFOB, F Nancy cedex, France b. Luz de Queroz College of Agrculture. Unversty of Sao Paulo (ESALQ, USP), Brazl c. AgroParsTech, UMR 1092 LERFOB, ENGREF 14, rue Grardet F Nancy cedex, France E-mal : xfrank@nancy-engref.nra.fr Résumé : Le bos est un mleu poreux hydrophle, l est donc crucal de tenr compte de ses nteractons avec l eau. Nous nous ntéresserons plus partculèrement à la dynamque d mbbton capllare d un échantllon de bos. Celle-c est étudée numérquement par une approche Lattce Boltzmann dphasque. L anatome 3D de l échantllon est reconsttuée par nterpolaton au moyen du logcel Meshpore à partr d une sére d mages en mcroscope optque de coupes 2D réalsées au mcrotome. Abstract : As wood s an hydrophlc materal, t s crucal to take t s nteractons wth water nto account. Capllary mbbton dynamcs nsde a wood sample s adressed here. To do so, numercal experments are carred out wth the help of a multphase Lattce Boltzmann scheme. An nterpolaton routne, mplemented n the Meshpore software, s used to deduce wood anatomy n three dmensons from mcrographs of 2D sectons of a real wood sample. Mots clefs : mleu poreux, capllarté, Lattce Boltzmann, bos Introducton Les écoulements multphasques en mleux poreux ont pendant longtemps été appréhendés par des paramètres macroscopques (perméabltés relatves, presson capllare)[1]. En effet, l y a encore une ou deux décennes, prendre en consdératon à la fos la morphologe trdmensonnelle du mleu poreux et la répartton et l écoulement des dfférentes phases fludes présentes dans ce mleu n état qu un rêve. Aujourd hu, les progrès remarquables effectués sur dfférents fronts de scence (dspostfs d acquston, pussance des ordnateurs, méthodes numérques...) ont donné ve à ce rêve [2, 3]. Le traval présenté dans ce texte s ncrt dans ces travaux de modélsaton des phénomènes à l échelle des pores. Nous avons travallé sur une essence de bos feullu (Fagus sylvatca). L anatome 3D a été défne par une successon de coupes réalsées à l ade d un mcrotome à glssère. Chaque mage a ensute été tratée afn de décrre le système vaculare par un ensemble de contours fermés. Ces coupes 2D sérées ont ensute été analysées smultanément afn de reconsttuer la morphologe trdmensonnelle du système vasculare de l arbre. L nvason de ce système vasculare a fnalement été smulée par une approche Lattce Boltzmann dphasque. 1 Acquston et tratement des mages Cette étude a été réalsée sur du bos de hêtre (Fagus sylvatca). Cette essence produt, par crossance secondare, un bos à porosté dffuse qu possède des vasseaux d envron 50 µm de damètre. L exploraton anatomque a été fate sur un barreau de mm 3 suvant les drectons radale, tangentelle et longtudnale, respectvement. Ce barreau a été découpé en tranches successves grâce à un mcrotome. Afn d acquérr une mage de l échantllon après chaque découpe, nous avons utlsé un mcrotome à glssère. Un montage a été réalsé au laboratore afn de fxer sur ce mcrotome un mcroscope optque modulare avec éclarage épcentrque (Nachet MS 98) equpé d une caméra dgtale Basler Vson Technologes. Le mcrotome utlsé (ancen modèle de chez Letz) a pour partcularté d avor une avance de l échantllon parfatement vertcale. Cec permet au mcroscope d observer la même zone de l échantllon au fur et à mesure des découpes. Des sectons mcroscopques de 20 µm d épasseur (L) ont été réalsées et des mages ont été acquses une coupe sur deux, donc avec un ntervalle d exploraton de 40 µm. Un total de 58 mages a été analysé avec une épasseur d exploraton de 2,28 mm (L). 1

2 FIGURE 1 Étapes du tratement d mages : (A) mage ntale ; (B) Sélecton de la zone d ntérêt ; (C) segmentaton du système vasculare avec le logcel MeshPore ; (D) Contours vectorsés Le tratement des mages a été effectué grâce au logcel MeshPore, une applcaton Wndows développée au laboratore en Fortran 95 avec la bblothèque Wnteracter pour l nterface et les sortes graphques [4]. Ce logcel a pour partcularté de réalser tout le tratement d mage sous forme vectorelle, ce qu permet ultéreurement de générer des grlles de ponts avec une résoluton ndépendante de la talle ntale des pxels de l mage. La premère opératon réalsée par MeshPore consste à générer automatquement, sous la forme de chaînes de ponts, les contours d sovaleurs d un nveau de grs chos. Ces chaînes peuvent ensute être modfées manuellement (problèmes locaux de qualté d mage) et rééchantllonnées (répartton régulère des ponts du contours, chox de la résoluton spatale, abandon des objets trop petts...). En rason de la grande quantté de vasseaux présents dans chaque mage, un langage macro dsponble dans MeshPore a perms de chosr la même régon d ntérêt et les tratements automatques pour toutes les mages étudées. La Fgure 1 montre les prncpales étapes du tratement d mages : (1A) mage ntale acquse par la camera dgtale ; (1B) régon délmté pour fare le tratement d mage ; (1C) tratement d mage en utlsant le logcel MeshPore ; (1D) mage fnale qu montre la zone d étude (carré jaune). 2 Reconstructon de la morphologe 3D Afn de passer de n plans 2D à une vértable morphologe 3D, deux étapes crucales sont nécessares : ) trouver les connectvtés entre les chaînes de deux plans sucessfs et ) chosr une méthode d nterpolaton entre les plans afn de générer un réseau cubque. Pour franchr ces deux étapes, une verson 3D de MeshPore a été développée. Elle permet de charger tous les plans 2D et de fare un tratement de l ensemble de ces plans. La parte graphque de cette verson 3D permet de vsualser à losr un plan ou un ensemble de plans en chossant le plan de départ, le nombre et l ncrement. Un menu permet auss de chosr les clusters vsualsés. Les projectons 3D sont réalsés en utlsant les quaternons, qu permettent une formulaton élégante. De nombreuses optons sont envsageables pour trouver les connectvtés. Plutôt qu un crtère basé sur l are commune entre deux contours [5], nous avons préféré c un crtère plus exgeant pour décder s deux contours de plans successfs sont connectés : deux contours sont consdérés connectés s le barycentre de l un est à l ntéreur de l autre, ou vce versa. La récprocté du crtère est mportante, notamment pour les branchements (deux vasseaux d un plan connectés à un seul du plan supéreur ou nféreur). Conformément au théorème de Stokes, le barycentre est calculé par une ntégrale de contour sur la chaîne (1,2). L ntégrale sur le contour de l angle de l arc partant du pont permet de savor s ce pont est à l ntéreur du contour. Pour ces ntégrales de contours, les chaînes ouvertes sont fermées en relant derner et premer pont. Les clusters (ensemble des contours connectés) sont construts de proches en proches à partr de ces connectons. Des tratements sur les clusters sont ans possbles (par exemple, la sélecton de tous les clusters traversant l échantllon). La fgure 2 représente les contours de 20 plans (un plan tracé tous les deux plans) de 3 clusters traversant entèrement l échantllon. 2

3 FIGURE 2 Exemple de 3 clusters de contours tracés sur 20 plans successfs. x bary = 1 S y bary = 1 S C C x 2.dy (1) y 2.dx (2) L autre dffculté consste à nterpoler la morphologe entre deux plans successfs. Cette opératon est en effet nécessare pour obtenr un réseau cubque car les dstances selon l axe Oz entre plans successfs (40 µm) sont plus grandes que la résoluton typque nécessare dans le plan Oxy pour représenter correctement la morphologe des vasseaux. Afn de respecter au meux la structure vasculare de l arbre, ce sont les chaînes qu sont nterpolées avant de générer le réseau. Pour chaque couple de chaînes connectées (chaînes ntales) de deux plans successfs, une chaîne est construte pour chacun des plans d nterpolaton. Cette chaîne est construte pont par pont. Pour chaque pont la premère chaîne ntale, le melleur pont de l autre chaîne est sélectonné pour former une génératrce du chemnement. Un pont de la chaîne nterpolée est alors calculé comme ntersecton de cette génératrce avec le plan d nterpolaton. Le melleur pont de la seconde chaîne ntale est chos comme étant celu qu est le plus proche du plan défn par les deux barycentres et le pont de la premère chaîne (Fg. 3). Le résultat de cette nterpolaton est vsble sur la fgure 4 qu montre deux exemples typques de connectons : deux chaînes relées légèrement déformées et décalées dans le plan Oxy et un exemple de deux chaînes très proches connectées à une chaîne unque plus grande (cas de deux vasseaux connectés à un seul). 3 Approche Lattce Boltzmann La smulaton numérque des phénomènes de moullage est une tâche des plus complexes, en partculer dans le cas des mleux poreux réels, dont la géométre rend d autant plus dffcle l mplémentaton des condtons aux lmtes avec les approches classques, du type suv d nterface. L approche Lattce Boltzmann consttue une alternatve crédble aux méthodes classques de la mécanque des fludes numérque pour répondre à ces dffcultés. En partculer, les nterfaces émergent naturellement, ce qu évte la très délcate opératon de suv des nterfaces. Issue récemment des la physque statstque des systèmes hors équlbre, l approche Lattce Boltzmann ne repose pas sur une résoluton de l équaton de Naver-Stokes, mas s appue sur une descrpton statstque du système consdéré [6]. On défnt les fonctons densté de probablté de présence (PPDF) f, où f ( r, t) est la probablté de trouver au pont r à la date t une partcule se déplaçant à la vtesse c. Les partcules se déplacent sur un réseau, auss les seules vtesses c possbles sont celles qu permettent à une partcule de se déplacer d un noeud à un noeud vosn en un pas de temps. L ensemble des vtesses c défnsssent donc le réseau. Ic, nous utlserons le réseau D3Q19, un réseau trdmensonnel comportant 19 vtesses. L évoluton des f obét à l équaton Lattce Boltzmann (3). f ( r + δt c, t + δt) f ( r, t) = 1 τ (f f eq ) (3) Les dstrbutons d équlbre f eq sont dédutes des grandeurs macroscopques (4-7). 3

4 FIGURE 3 Prncpe développé pour la gérératon de chaînes sur les plans d nterpolaton. Ce procédé est répété pour toutes les chaînes connectées entre les plans 1 et 2. FIGURE 4 Exemple de 9 plans d nterpolaton construts entre les contours successfs de deux clusters : réseau de ponts obtenus pour les 2ème (haut) et 5ème (bas) plans d nterpolaton. 4

5 f eq = ρ (4) f eq c = ρ u (5) f eq c α c β = ρu α u β + ρc 2 s δ αβ (6) f eq c α c β c γ = ρc 2 s (u γ δ αβ + u α δ γβ + u β δ αγ ) (7) La densté ρ et la vtesse locale u sont des moments des f (8-9). ρ = ρ u = f (8) f c (9) Conformément à l approche de Shan et Chen [7, 8], une vtesse modfée est calculée, des forces d nteracton flude-flude F FF et flude-solde F FS agssant en chaque pont (10). ( ρ u = ρ u + τ FFF + F ) FS (10) Les forces sont dédutes de pseudo-potentels d nteracton entre partcules (11,12). F FF ( r) = ψ ( r) F FS ( r) = ψ ( r) G FF ψ ( r + δt c ) (11) G FS S ( r + δt c ) (12) La foncton ψ = 1 e ρ peut être nterprétée comme une densté équvalente. Le paramètre S ( r) adopte la valeur 1 s le pont r est dans la phase solde, et la valeur 0 dans le cas contrare. Les valeurs des paramètres G FF et G FS dépendent de la drecton (13,14). G FF G FS = = { 2G FF c = 1 G FF c = 2 { 2G FS c = 1 G FS c = 2 (13) (14) Au-delà d une valeur crtque de G FF, une transton lqude-vapeur se produt spontanément, donnant nassance à un système dphasque. D autre part, G FS fxe l angle de contact au nveau de la lgne trple lqudevapeur-solde. La vtesse modfée u, calculée va l équaton (10), remplace la vtesse u dans les équatons (5-7). En pratque, ce type d approche se révèle être partculèrement ben adapté aux problématques des mleux poreux [2, 3]. Le modèle de Shan et Chen a été mplémenté dans un code de calcul parallèle développé au laboratore et nstallé sur un cluster de 64 processeurs sous réseau Infnband. 4 Résultats L anatome 3D est décrte sur un réseau Afn que les forces capllares soent les seules forces motrces en présence, la talle du réseau a été doublée dans la drecton z, l échantllon vrtuel proprement dt n occupant que la moté de la fenêtre z 361. Une bande de lqude occupant l autre moté du domane de smulaton est smplement mse en contact avec la phase solde, et envaht spontanément les vasseaux (Fg. 5). La smulaton est donc réalsée sur un domane Dans le cas présent, notre code de calcul réalse tératons par heure de calcul. S, du fat d une force motrce plus mportante, les vasseaux étrots sont envahts plus rapdement au début de la smulaton, la vscosté contrebalance cet effet à plus long terme à mesure que la longueur de la colonne de lqude augmente. La varablté naturelle du réseau vasculare du bos ndut donc une varablté de la vtesse globale d mbbton d un vasseau à l autre. 5

6 FIGURE 5 Smulaton Lattce Boltzmann de l mbbton capllare d un échantllon vrtuel de bos de hêtre. A gauche : après tératons, à drote : après tératons. Concluson Ce traval propose une approche complète permettant de passer d un échantllon de bos à la smulaton dphase de l nvason de cet échantllon par un flude moullant. La méthode utlsée pour décrre la morphologe 3D est destructve et fastdeuse, mas elle permet d avor la très bonne résoluton de la mcrosocope optque avec un coup d équpement relatvement rédut. Une résoluton équvalente en mcro-tomographe nécesste en effet les melleurs équpements dsponbles dans les synchrotrons. L approche Lattce Boltzmann dphasque retenue c [7] présente quelques défauts, mas elle est très ben adaptée au calcul parallèle, ndspensable pour une représentaton suffsamment précse d une morphologe 3D complexe. De nombreuses applcatons de ce traval sont envsageables dans tout type de mleu poreux : mbbton, séchage, smulaton d essas de porosmétre mercure... Références [1] Whtaker S. Smultaneous heat, mass, and momentum transfer n porous meda : A theory of dryng. Advances n Heat Transfer, 13, , [2] Sukop M. C. and Or D. Invason percolaton of sngle component, multphase fluds wth lattce boltzmann models. Physca B, 338, , [3] Hatboglu C. U. and Babadagl T. Pore-scale studes of spontaneous mbbton nto ol-saturated porous meda. Phys. Rev. E, 77, , [4] Perré P. Meshpore : a software able to apply mage-based meshng technques to ansotropc and heterogeneous porous meda. Dryng technology Journal, 23, , [5] Kwon C. S. W., G. and and Lee K. J. Automatc generaton of tetrahedral meshes from medcal mages. Computers and Structures, 81, , [6] Succ S. The lattce boltzmann equaton for flud dynamcs and beyond. Clarendon Press, Oxford, [7] Shan X. and Chen H. Lattce boltzmann model for smulatng flows wth multple phases and components. Phys. Rev. E, 47, , [8] Martys N. S. and Chen H. Smulaton of multcomponent fluds n complex three dmensonnal geometres by the lattce boltzmann method. Phys. Rev. E, 53, ,